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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.2.空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日指数变化趋势,下列叙述错误的是()A.这20天中指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上(指数)的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好3.设复数满足为虚数单位),则()A. B. C. D.4.过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.45.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95446.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.7.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为()A. B. C. D.8.函数在上为增函数,则的值可以是()A.0 B. C. D.9.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.1510.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()A.. B.C. D.11.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A. B. C. D.12.在中,为边上的中线,为的中点,且,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为________.14.对定义在上的函数,如果同时满足以下两个条件:(1)对任意的总有;(2)当,,时,总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数,则实数a的取值范围为________.15.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.16.已知向量,,若,则实数______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,右焦点为,为椭圆上两点,圆.(1)若轴,且满足直线与圆相切,求圆的方程;(2)若圆的半径为,点满足,求直线被圆截得弦长的最大值.19.(12分)已知,.(1)当时,证明:;(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.20.(12分)已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.(1)求实数a的取值范围;(2)若函数的极大值点和极小值点分别为和,且,求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数)21.(12分)已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)若“,”为假命题,求的取值范围.22.(10分)分别为的内角的对边.已知.(1)若,求;(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2.C【解析】
结合题意,根据题目中的天的指数值,判断选项中的命题是否正确.【详解】对于,由图可知天的指数值中有个低于,个高于,其中第个接近,第个高于,所以中位数略高于,故正确.对于,由图可知天的指数值中高于的天数为,即占总天数的,故正确.对于,由图可知该市月的前天的空气质量越来越好,从第天到第天空气质量越来越差,故错误.对于,由图可知该市月上旬大部分指数在以下,中旬大部分指数在以上,所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好,故正确.故选:【点睛】本题考查了对折线图数据的分析,读懂题意是解题关键,并能运用所学知识对命题进行判断,本题较为基础.3.B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.4.C【解析】
设直线AB的方程为,代入得:,由根与系数的关系得,,从而得到,同理可得,再利用求得的值,当Q,P,M三点共线时,即可得答案.【详解】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选:C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意取最值的条件.5.C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.6.B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.7.B【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为,可设所求双曲线的标准方程为k.再把点代入,求得k的值,可得要求的双曲线的方程.【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k.又在双曲线上,则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选:B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程,双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础题.8.D【解析】
依次将选项中的代入,结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当时,在上不单调,故A不正确;当时,在上单调递减,故B不正确;当时,在上不单调,故C不正确;当时,在上单调递增,故D正确.故选:D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性,涉及到诱导公式的应用,是一道容易题.9.B【解析】,∴,选B.10.C【解析】
根据函数的对称性和单调性的特点,利用排除法,即可得出答案.【详解】A中,当时,,所以不关于直线对称,则错误;B中,,所以在区间上为减函数,则错误;D中,,而,则,所以不关于直线对称,则错误;故选:C.【点睛】本题考查函数基本性质,根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性,属于基础题.11.C【解析】
设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为,解得球的半径,再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为,解得,所以该球的体积为.故选:C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,属于基础题.12.A【解析】
根据向量的线性运算可得,利用及,计算即可.【详解】因为,所以,所以,故选:A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,向量数量积的运算,向量数量积的性质,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.40【解析】
先求出的展开式的通项,再求出即得解.【详解】设的展开式的通项为,令r=3,则,令r=2,则,所以展开式中含x3y3的项为.所以x3y3的系数为40.故答案为:40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.【解析】
由不等式恒成立问题采用分离变量最值法:对任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,从而可得.【详解】因为是定义在上G函数,所以对任意的总有,则对任意的恒成立,解得,当时,又因为,,时,总有成立,即恒成立,即恒成立,又此时的最小值为,即恒成立,又因为解得.故答案为:【点睛】本题是一道函数新定义题目,考查了不等式恒成立求参数的取值范围,考查了学生分析理解能力,属于中档题.15.8(写为也得分)【解析】
由,得,.当时,,所以,所以的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列;其偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列.则,.16.-2【解析】
根据向量坐标运算可求得,根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得:,解得:本题正确结果:【点睛】本题考查向量的坐标运算,关键是能够利用平行关系构造出方程.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见详解.【解析】
(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.18.(1)(2)【解析】试题分析:(1)确定圆的方程,就是确定半径的值,因为直线与圆相切,所以先确定直线方程,即确定点坐标:因为轴,所以,根据对称性,可取,则直线的方程为,根据圆心到切线距离等于半径得(2)根据垂径定理,求直线被圆截得弦长的最大值,就是求圆心到直线的距离的最小值.设直线的方程为,则圆心到直线的距离,利用得,化简得,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得,因此,当时,取最小值,取最大值为.试题解析:解:(1)因为椭圆的方程为,所以,.因为轴,所以,而直线与圆相切,根据对称性,可取,则直线的方程为,即.由圆与直线相切,得,所以圆的方程为.(2)易知,圆的方程为.①当轴时,,所以,此时得直线被圆截得的弦长为.②当与轴不垂直时,设直线的方程为,,首先由,得,即,所以(*).联立,消去,得,将代入(*)式,得.由于圆心到直线的距离为,所以直线被圆截得的弦长为,故当时,有最大值为.综上,因为,所以直线被圆截得的弦长的最大值为.考点:直线与圆位置关系19.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)令,求导,可知单调递增,且,,因而在上存在零点,在此取得最小值,再证最小值大于零即可.(2)根据题意得到在点处的切线的方程①,再设直线与相切于点,有,即,再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得,即,根据,转化为,,令,转化为要使得在上存在零点,则只需,求解.【详解】(1)证明:设,则,单调递增,且,,因而在上存在零点,且在上单调递减,在上单调递增,从而的最小值为.所以,即.(2),故,故切线的方程为①设直线与相切于点,注意到,从而切线斜率为,因此,而,从而直线的方程也为②由①②可知,故,由为正整数可知,,所以,,令,则,当时,为单调递增函数,且,从而在上无零点;当时,要使得在上存在零点,则只需,,因为为单调递增函数,,所以;因为为单调递增函数,且,因此;因为为整数,且,所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.20.(1);(2).【解析】
(1)首先对函数求导,根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围;(2)首先求出的值,再根据求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数的定义域为是,,若有两个极值点,则方程一定有两个不等的正根,设为和,且,所以解得,此时,当时,,当时,,当时,,故是极大值点,是极小值点,故实数a的取值范围是;(2)由(1)知,,,则,,,由,得,即,令,考虑到,所以可化为,而,所以在上为增函数,由,得,故实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性,利用函数单调性证明不等式,属于难题.21.(1)(2)【解析】
(1))当时,将函数写成分段函数,即可求得不等式的解集.(2)根据原命题是假命题,这命题的否定为真命题,即“,”为真命题,只需满足即可.【详解】解:(1)当时,由,得.故不等式的解集为.(2)因为“,”为假命题,所以“,”为真命题,所以.因为,所以,则,
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