第二章系统模型建立的方法论

第二章系统模型建立的方法论

2.1系统与建模

为了研究系统，从理论上讲可以用实际系统来做实验。但是往往出于经济、安全及可能

性方面的考虑，一般情况下不希望直接在真实系统上这么做，而是通过一种更简捷的途径来

进行研究过程的实现。特别是现代信息技术的飞速发展，为这种思想提供了有利的条件。在

计算机上进行的系统仿真是一种主要的技术手段。仿真是离不开模型的，建立有效的计算仿

真模型是保证系统仿真得以顺利实现的基础。

2.1.1系统建模方法的形式化描述

模型与真实世界之间的最重要关系之一就是抽象和映射。抽象过程是建模的基础。如我

们所研究的飞行器（宇宙飞船、火箭、卫星等）的飞行轨道，可以将飞行器看作一个质点，使

用质点运动学、质点动力学等基本运动定律对质点进行的描述就是对系统的一种抽象过程，

这个过程中没有考虑飞行器在飞行中的姿态等。

根据第1章的介绍，建立适当的系统数学模型，首先必须搞清楚两个问题，即所研究系

统的边界和其中与研究目的相关的实体，并建立实体表。实体表中的研究实体和相对应的属

性是对研究对象的客观抽象，而实体表中的（内部或外部）行为恰恰是系统状态改变的主要因

素。当所研究的系统是连续系统时，我们考虑最多的是系统的实体及其属性间的关系，由此

也往往可以轻而易举地从中提取出几个有用的集合：输入集、输出集及状态变量集等，并且

对其已经赋予了相应的变量表示方法。如果在这些抽象的基础上再建立起复合的集合结构，

包括一些特定的函数关系，那么这个过程就称为对系统模型的理论构造。

看待一个系统时，如果重点是研究系统本身某些特定的性质，而且就这种性质建立起它

的关系模型，那么简单地就称这个系统为模型系统。反过来，系统有时候也简称为模型。下

面从两个角度对系统及其模型进行描述，一种是将系统从内部进行详细的分解形式的描述方

法，另--种是从外部看待系统行为的描述方法，只看系统（模型）本身对外部的反应和内部框

架。

1.系统模型的形式化描述

通常，由实体表表述的系统内容可以进行变量和参数的设计，并由此建立系统的模型。

对这些模型、适应时间、变量和参数变化的数据集合等进行详细的划分，形成下面的结构形

式：

S={T,X,C,Q,Y,8,X}

其中：

T是系统过程的时间集，为整数集或实数集。对应的系统S为离散事件系统和连续系统。

X是系统输入集，外部环境通过它与系统发生关系。可以这么认为，系统在任何时候都

是在系统输入的作用下发生状态的变化的，而系统不对X直接控制。

Q是系统输入段集，系统的输入段描述了在某时间间隔内系统的输入模式。如果作用在

系统上的全集认为是（X,T）的话，那么输入段Q就是其子集。

Q是内部状态集，表示系统对系统输入在时间参数上，如现在和未来的输出响应，因此

也是内部结构建模的核心。

输出集Y代表界面的一部分，系统通过它作用于环境。

6是状态转移函数，8：QXQ-Q。当系统在时刻t。处于状态q时，如果施加一个输

入段3：<t。，t）一q,则6（q,3）表示系统在3时刻的状态。因此，系统任意时刻的内部

状态和从该时刻起的输入段唯一地决定了段终止时的状态。

输出函数人最简单的解释方式是把它表示成映射A：Q-Y。它能够把假想的系统内部

状态与系统对其环境的影响相联系，表示了系统内部状态与系统输出间的关系。

枭统输入X枭统蜡出Y

2.关于系统模型的几种描述水平

对系统进行的描述分为三个水平，这种划分有利于对模型的可信性进行分析，有利于对

系统模型进行有效性验证。

⑹(c)

图2.2系统模型的不同描述水平

(1)行为水平

对系统的行为水平的描述，是将所研究的系统看成一个黑盒(black-box),并且对它

施加一个输入信号，然后观测其输出信号。为此至少需要一个“时间序列”来观测系统相应

的两种信号是一种如何的行为，整个“时间序列”一般是一个实数区间(连续时间区间)，有

时是一个整数区间或者是随机时间序列(离散时间事件)。用来描述系统行为的概念是“轨

迹”，它是从一个时间序列到表示可能的观测结果的某个集合上的映射。由此我们可以说，

一个“行为描述”是这样一组轨迹的集合组成的，这种描述也可称为系统的“行为”。通常,

在系统仿真的概念上，加到黑盒上的以箭头表示的某个变量被视为输入(如图2.2(a)所示)，

它不受盒子本身的控制；盒子另一端箭头是系统的输出，指向系统以外的环境，可能对环境

产生影响。

例2.1：连铸结晶器漏钢预报系统研究中，对结晶器上埋设的热电偶温度变化特征进行

数学描述和检测，从而准确地判断结晶器内铸坯表面，或结晶器内凝固坯壳是否与结晶器铜

板发生黏结.在对热电偶温度进行模型计算和特征判断时，人们所研究的实体脱离了实际监

视的物理设备，即研究者没有真实地了解结晶器内板坯表面与结晶器铜板间发生的情况，而

只是通过热电偶表现出来的温度变化情况估计和判断其间是否发生黏结，因此这种方式就是

利用了系统的输入输出动态特征研究内部状态转化的实例。

例2.2：同样，高炉炼铁过程中的炉体侵蚀情况判断也是通过计算外部温度变化特征进

行的估算。一般情况下，冶炼过程中的状态判断和趋势预报都属于这种系统，因为这时候实

际系统中的环境不适合于直接进行观察和测量，而且不能够对其中的状态变化进行准确的数

学演绎，所以不能推导出准确的数学模型。

(2)状态结构水平

如果已经了解了系统的内部工作机制和多数时刻的系统表现，则就说我们对系统的状态

结构有了基本的研究。因此可以通过这种研究，在整个时间序列上递推出系统发生的行为轨

迹，能够产生这种递推的基本单元是系统的“状态集”以及“状态转移函数”。“状态集”表

示系统在任意时间序列点上所有可能的结果，“状态转移函数”则提供从当前给定状态计算

未来状态的规则。有些时候状态集是不能直接观测的，但一旦测得系统的状态集，就可以计

算系统的行为(如图2.2(b)所示)。

例2.3：五机架冷连轧计算机控制系统中，关于轧制力设定值计算的过程，就是通过深

入研究系统中涉及材料变形抗力、带钢宽度、机架半径以及设定轧制厚度等，建立了准确的

系统计算模型，从机理的角度对系统状态转化时的各种变量、参数进行演绎得到的计算模型。

(3)分解结构水平

在这个水平描述系统，是将它看作由许多基本的黑盒互相连接而成的一个整体，这种描

述也可称为网络描述。具体的黑盒称为“成分”或“子系统”，每个基本的黑盒都给出一个

在状态结构上的描述；此外，每个子系统都表明“输入变量”和“输出变量”，并且还须给

出各子系统之间的“耦合关系描述”。必要时可以进一步分解系统，以便获得更高一层的描

述（如图2.2（c）所示）。

例2.4：同样是冷连轧五机架计算机控制系统，根据计算性质的不同，如果将力能参数

的计算和所有中间参数，如材料数据学习、轧制策略演算等都设计成一个计算系统，显然这

将是一个计算复杂度很高，而且条理很不清晰的模型系统。因此，为了更方便建立、管理、

维护系统，首先根据参数性质和使用方法的不同，将所有变量、参数分别放置在设定值预计

算、材料数据自学习、模型系数自适应和轧制策略计算等不同的子系统中，将整体系统从结

构上进行了分解。

2.1.2系统数学模型的分类

在前面一章中我们从系统模型的物理和数学等角度对系统的模型进行了简单的分类，在

计算机仿真系统中我们所面对的主要是数学模型，特别是系统模型的建立又是一个主要的分

支，因此在研究计算机仿真过程中对模型的研究处在一个非常重要的地位。很多教材中关于

数学模型的分类都有过研究，总结起来常用的数学模型可以从下面两个方面进行进行讨论。

1.根据模型的时间集合分为连续时间模型和离散时间模型

连续时间模型中的时间用实数来表示，即系统的状态可以在任意时刻点获得，离散时间

模型中的时间用整数来表示，即系统的状态只能在离散的点上获得。离散的时间实际只是一

种整数的表示方式，不是绝对的时间观念。

2.根据模型中的状态变量分为连续变化模型和离散事件模型

同样系统的状态如果是随时间连续的变化，即为状态连续的系统模型。离散变化模型中,

状态的变化是不连续的它只能在某特定或随机的时刻变化，而在两个相邻的时刻之间要么系

统保持状态不变化，要么找不到系统的状态。

按照上面的方法对模型进行的分类，可以用各类模型中状态变量的轨迹特征形象地表示

（如下图）。

___________状态变量的轨迹____________

连续变化的模型~离♦变化的极型

图2.3连续系统模型与离散系统模型的状态轨迹描述方式

(1)连续系统数学模型

这里对最常见的连续时间模型的线性定常形式进行简单介绍。

a.常微分方程模型

假定一个系统的输入变量为〃")，输出变量为y(f),则用微分方程描述的系统数学模

型的以便形式为：

dnydn-'ydy「df「d"-2u「，、

…范+5。。祈+°|赤+…(2.1)

其中q(i=0,1,...,〃)为输出变量的系数，£(i=0,1,.,〃一1)为输入变量的系数。

当〃=0,即系统没有输入函数时，上式变为

匕+...+*◎+“()

dtn-'dt"

成为齐次微分方程。

线性常微分方程模型是连续系统仿真中连续时间模型的基本形式，它表现了系统输入输

出之间的关系。

b.传递函数模型

若系统的初始条件为零，即输入函数〃(/)和输出变量y(f)及其各级导数的初值均为零,

系统在1=0时刻处于一个稳定状态，则对上述微分方程的形式两边取拉普拉斯变换：

4s"y(s)+a]S"Ty⑸+...+a“Tsy(s)+q,y(s)^

n2

=Cos-'U(s)+Cls"-U(s)+...+Cn_iU(<s)

即

“一1

VCsj

y(s)_C°S〃T+GS"-2+…+c,i一6

)--------------------------------------------

U(S)+Q]S+…

J=0

称为系统的传递函数形式。

传递函数是研究系统动态相应性能的重要模型，它只与系统本身的结构、特性和参数有

关，而与输入量的变化无关。

C.状态方程形式

状态变量技术是利用〃个微分方程去替换一个〃阶微分方程。因此，用状态变量描述的

系统的仿真主要是同步地求解〃个一阶方程。

从⑵2）中的微分方程设

dnxdH-'xdx

°dt"1dr'n1dt"

引入状态变量西,工2,…，工”，令

玉=X,%2=%，%3

由此得一微分方程组

X\=X2

XX

<2=3

'"一叫一q-也一-a^+u

丁、

令X=%

d，”

或

X=AX+Bu

其中

°1°°1roi

0010Jo

A=

000「

-an-an-\一4-2~a\_

出dnxdn-'xdx

将u—册+4.卜…a,』空+代入一般形式的微分方程(2.1),得到

°dtn1dtn-'dt

dnyd"~'ydy

%萧+《dtn-'

+a,R+

「『2d"d^'xdx

X+a„x)+

'dt"-2°df'df-'"Tdt

",d"xd'-'xdx

+Ci-------Fci,-------+...+a।—+ax)

n-,°dt"1"Idtn

整理后得

dnyd'-'ydy

dd，Xd，2x

_a\C"'+C"++C七

一°df'(0dt"-''dt1"2--2dt+C“_]X)+

a9+c…+dx

'dtn-'C°dt"TC'dt"-2+cdt

+*c4c©+...+Y

"°dt"-'1dtn-2"-2dt

即

y-c0dfi+G由"-2+…+c『2~+CiX

令y=y,则得

y=Gx.+Gx.T++c,i再

即

Y=CX

其中：C=(C.Tc„_2G)。由此得系统的状态空间模型

X=AX+Bu

Y=CX

系统的状态空间模型不仅描述了系统输入与输出之间的关系，而且也描述了系统的内部

状态。由控制理论可知，杂微分方程模型中可以引进不同组合的状态变量，因此可以产生多

个不同的状态空间模型。即一个系统的状态空间模型不是唯一的。

d.连续系统数学模型实例

微分方程的最早应用是在解决动力学、电磁学等领域中的问题出现的。但近年来发现微

分方程用来描述生态学中的作物生长、人口学中的人口增长规律以及经济和军事领域中存在

的现象也非常适用。所以研究用微分方程的形式进行系统模型描述就成为进行系统仿真的一

个重要部分，特别是在连续系统的模型表示方法中，微分方程的表示形式更容易被计算机接

受，更有利于进行计算机求解和运算。

例2.3：自由落体运动

研究一个物体在空中自由降落时下落的速度，如果取加速度g=9・8%2。则根据

牛顿定律可以写出这个物体的运动方程

初始条件为：1=0时，h=0y/l=0o

如果取物体下落时的高度及其导数作为状态变量，则在前述条件下系统的状态方程为:

dh

­=h

dt

<

dh

令玉=〃，x2=h则上述方程表示为:

dx}

dt

dx-,

.dt

实际上从微分方程组可以直接求得系统的解

h=H一;

而从另一方面来讲，如果考虑物体下落时空气的阻力。，和不同高度时重力加速度

g(〃)是高度力的函数，则物体的运动方程有写为

d2hD(h,h)

=~g(h)~

drM

M是物体的质量。此时系统的状态方程为

也

—

dt~

d2h...D(k,h)

K=_g①)------

[drM

或

4%-r

~~r-X)

dt

dx。(西,々)

ir2-gg

-MT

例2.4：炮弹运动轨迹的研究

当炮弹以初速％和与水平方向成。夹角发射时，其运动的轨迹如图2.3所示。

图2.3炮弹发射后的运动轨迹

设任意时刻/,炮弹飞行位置的坐标为(x«),y(。)，速度欣。，速度方向与水平方向的

夹角。(/),则根据牛顿运动定律，炮弹的运动方程可以写为

m------=R+G

dt

即炮弹运行的加速度为

dv(t)R

a=------=—+g

dtm

其中R为炮弹飞行时遇到的空气阻力

R=；C//Q)S3Q)

所以

kv'(t)

a=-------+g

m

将其分解为沿x轴和y轴方向的加速度4和%,则

ax=八("cos8(')

<m(2.3)

kv1(t)...、

%=---------sm6Q)+g

m

式中:

。—为空气密度；

S-为炮弹的横截面积；

cd-为炮弹几何形状有关的阻力系数。

G一为炮弹的重力，G-mg«

同样炮弹的运动速度还可以写为

v(t)=v(r)cos0(t)xo+u(f)sine(f»o

式中：

%-为水平方向的单位矢量；

凡-为竖直方向的单位矢量。

v(/),v(f)-分别为炮弹的矢量速度和标量速度。

对上式两边求导数得

而⑴

a=cos-v(r)sin0(t)

dt

(2.4)

sine(f)+M)cos。⑺%

对⑵4)同样做水平方向和竖直方向的分解，又得到

dv{t}〜、/、.八/、d6(t)

a=----cos8(f)一出)sin。⑺-----

rdtdt

(2.5)

a=sin^(/)+v(t)cos

lv'力dt

比较(2.3)和(2.5)式，则运动方程可以写成如下形式：

dv(t).dO(t)kv2(t)

coso,(r)-v(Z)sin8⑴=cos

dt----------------------dt-------m

dv(t).八/、/、八，、de(t)kv2(t).八,、

----sin^(r)+v(Z)cos。。)----=-------sin-g

<dtdtm

*")=v(/)cos6。)

dt

=v(r)sin6>(r)

Idt

方程的初始条件为：f=0时，皿)=0,丁(/)=0,出)=%,伙。=6»0。

2.离散事件系统模型

例2.5：理发店的故事

理发店内只有一个理发师，一般情况下顾客没有来到时理发师处于空闲状态；若顾客到

达，则理发师为顾客进行理发；而如有顾客来到时理发师正为其他顾客理发，则新来的顾客

必须在一旁排队等候。显然每位顾客到理发店来的时间是随机的，理发师为顾客服务的时间

随机，同时每位顾客在排队中的顺序也是随机的。这是一个典型的离散事件系统例子。

进行系统仿真的目的之一就是掌握系统的运动规律，即系统内部状态的变化规律。连续

系统中内部的状态是不间断地随时间变化的，即系统在时间序列的每一个时间点上都有状

态，因此也可以找出这种系统内部状态与时间之间的函数关系。对于离散事件系统来讲，系

统内部状态的变化是随机的，两个状态之间的转换在时间概念上是不确定的，同时缺乏进行

下一次状态预测的可能。事件的发生和状态一般不存在某种形式的函数关系，我们只能用一

种统计的方法对系统进行考察0对于这种无法进行预测的系统状态变化，由于没有时间观念

上的状态连续性，所以对它的状态分析只能通过建立系统内部发生状态变化的时间点和产生

这些变化的原因间的关系进行研究。同时连续系统相i致的，在离散事件系统的建模过程中，

也有几种与建模相关的模型元素。

(1)实体的概念

在离散事件系统中，实体的概念可以分为两类，临时性实体和永久实体。临时实体只是

系统中的一个临时部分，它在某时刻进入系统与某些实体发生作用后离开系统。永久性实体

是系统中固定的成员，它始终处于系统的内部。例如上述例子中，顾客是临时性实体，而理

发师是永久性实体。

(2)事件概念

事件是系统状态发生变化的行为。只有在事件的作用下，系统状态才发生变化。例如上

述例子中，系统的状态定义为系统内实体的数目，即等候理发的顾客的人数和永久实体的状

态，即理发师是忙还是闲。当事件发生时，即顾客来到时，理发师的状态就从闲状态进入忙

状态，而如果理发师其时处于忙状态，则新来的顾客只能等候，是系统的另一种状态发生变

化。

(3)活动的概念

离散事件中的活动用于表示两个相邻的引起系统状态变化的过程。它标志着系统状态的

转移。例如顾客到达事件与顾客接受理发师服务事件之间这一过程为一次活动-一等候，而

顾客开始接受理发师的服务到该顾客理发完成这两个事件之间为一次活动--服务。等候活

动标志着理发店内队列程度的变化。而理发活动则标志着理发师状态的变化。一项活动因为

某个事件开始，活动结束时有产生另一个事件。

(4)进程

系统的进程是描述实体在系统中历经的整个过程，包括若干个事件和活动，及其间的相

互逻辑关系和时序关系。如顾客从到达开始排队等候，到接受理发师的服务，直至完成理发

事件离开即可成为一个进程。

进程

排队等候服务理发服务活动

顾客到达事件服务开始事件服务结束事件

图2.4理发服务系统中进程的表示方式

(5)仿真时钟

仿真时钟用于设置仿真的时间变量。仿真计算的过程就是有当前仿真时刻系统的状态推

算出下一个时刻系统的状态。仿真钟推进的时间间隔称为仿真步长。在连续系统的计算机仿

真中，仿真的时间步长是确定的。而在离散事件系统仿真中，两相邻方式的事件之间系统状

态不会发生任何不会，因而仿真钟可以跳国这段时间，从上一事件发生时刻推进到下一次事

件发生时刻。由此可见，离散事件仿真系统的时间钟的推进步长不是确定的。

2.2系统建模的方法论

为了有效地进行计算机仿真，必须首先根据仿真的目的，对需进行仿真的系统建立起可

信的系统模型。系统模型是对现实世界中事物的抽象，对事物过程进行数学或逻辑上的描述。

在这种抽象的过程中需要经过一定程度的简化并依赖于部分假设。建立一个准确的系统模型

是进行计算机仿真的前提和必要条件。

2.2.1系统数学模型的作用

无论是纯科学领域或是工程实践方面的研究，系统模型的作用体现在两个方面，即提高

人们对事物的认识水平，增强人们处理事物或对事物的决策能力。

系统的模型为人们提供了一个准确的、易于理解的形式。因此，当将系统的信息用模型

的形式传递给他人时，可以减少误解。系统模型可以辅助人们思考，当系统模型被综合成公

理或定律时，使人们对类似的系统更容易理解。可以说系统模型能够帮助人们不断加深对客

观现象的认识，并启发人们去进行能获得满意结果的试验。

在系统的管理、控制和设计方面，系统模型也具有主要的作用。管理、控制和设计是人

们对系统进行干预的三个不同的层次，利用系统模型可以对系统有更好的理解和把握，确定

管理的目标和大致的行为方向，决定控制水平或选择设计方案，提高对系统干预的成功把握,

即提高决策和干预能力。

2.2.2建立系统模型的依据

建立学模型必须依据与系统有关的信息。在分析系统过程中必须设法获得尽可能多的有

用信息，在受环境限制的条件下，应当制定相应的计划，采用一些技能去沟通不同资源的信

息，以获得一个满意的结果。

建模过程主要有三类信息源：

1.建模目的

事实上，一个系统模型只能对所研究的系统给出一个非常有限的映象。另一方面，一个

系统中有多个研究目的，从而造成系统的描述不唯一。建模目的对模型的形式有很大的影响。

在不同的建模目的下，同一个行为有时可定义为系统的内部作用，有时又可以定义为系统边

界上的输入变量。同样，如果仅需了解系统与外界的相互作用关系，那么可以建立一个以输

入为主的系统外部行为模型。而若希望了解系统的内在活动规律，就要设法建立一个描述系

统输入集合、状态集合及输出集合之间关系的内部结构状态模型。由此可以看出，建立系统

模型的目的是建模过程的主要信息来源之一。

2.先验知识

很多实际系统的内容是已经被前人研究过的，而且一些部分经过长期的研究已经集累了

丰富的知识并形成了一个科学分支。在这个分支中已经发现了许多原理、定理和常用的模型。

前人研究的成果可以作为后人解决问题的起点。因此在系统建模过程中可以从与系统有关的

已有知识出发，提高建模的速度和正确性。如果相同或相关的过程已经为其他建模者为了类

似的目的而仅需过分析，而且证明结论是正确的，那么就没有必要重复这部分工作，可以将

这些先验知识作为建模的信息来源。

3.实验数据

建模过程的信息来源，也可通过对系统进行实验和观测获得。在系统建模过程中，仅有

先验知识是不够的。先验知识，尤其是与系统相关学科中的原理和定理是带有普遍性的，而

实际系统除了适应普遍的原理之外，还有其特殊性。既使是两个相同的系统，在不同的环境

条件下，所表现出的特性也不会完全一样。因此对实际系统的实验和测量是掌握系统自身特

性的重要手段。通过实验可以获得一定数量的实验数据，这些实验数据是建立系统模型的又

一个重要来源。

2.2.3系统模型的可信性

模型的可信度就是指模型的真实程度。模型的可信性分析是一个十分复杂的问题，它既

取决于模型的种类，又取决于模型的构造过程。模型本身可通过实验在不同的水平上建立起

来，因此也可区别不同的可信度水平。如衡量模型能否复现系统的行为，能否与真实系统在

状态上相互对应，模型能否表示知识系统内部的工作情况并唯一地表示出来。

如果模型的主要信息来源是先验知识，则模型描述的可信性就取决于先验知识的可信

度。如前所述一个有效的先验知识寓于正确性及普遍性之中，确定这种正确性和普遍性是非

常重要的。可信性可以通过两个途径来分析，即研究前提的正确性和检验由前提引起的其它

结果的正确性。

如果模型的主要信息来源是实验数据，则可信性分析归结为模型行为与真实系统行为之

间的比较。假如系统的数据被确认为具有统计特性或者模型是用一个随机过程表示的，可信

性也可以通过模型数据与真实系统数据之间的偏离程度来确定。在这时必须选择一种统计实

验方法，在真实系统仅有有限个有效数据的条件下，通过对随机过程进行采样获得模型的数

据，以便估计实际系统与模型之间的一致程度。

模型在系统目标方面的可信性也是非常重要的。一个模型只有在它用于原定的目标时才

能体现出它的实际意义。从实践的观点出发，如果运用一个模型能够达到系统预期的目标，

那么这个模型就是成功的。一个在实际上可信的模型应当满足所有可能的研究目的。建立如

此的综合模型是困难的，可行的办法是分别建立满足各个目标的模型群。

2.2.4系统建模的途径

1.模型建立的途径

建模技术的运用在于利用不同的信息源构造满足系统目标的模型。根据模型信息源的不

同，建模的途径主要有演绎法和归纳法两种。

演绎法是一个从一般到特殊的过程，将模型看作是从一组前提下经过演绎而得出的结

果。假定实际系统已经有一些定理和原理可以被利用，由此可以通过数学演绎和逻辑演绎来

建立系统的模型。

归纳法是基于实验数据来建立系统模型的方法。这种方法从观测到的行为出发，试图推

导出与观测一致的带有普遍性的结论。由于实验数据经常是有限的，而且是不充分的，所以

归纳过程中必定会要求对数据进行某种外推。这就产生一个问题，即如何附加最少的信息就

能完成这种外推。利用这种外推建立的系统模型不是唯一的。

在具体情况下，建模的途径一般为：

(1)对于内部结构和特性清楚的系统，即所谓的白盒系统，可以利用一些已知的基本定

理，经过分析和演绎导出系统模型；

(2)对于内部结构和特性不清楚或不很清楚的系统，即所谓的黑盒或灰盒系统，如果允

许直接进行实验性观测，则可以假设模型并通过实验对假设的模型加以验证和修正；

(3)对那些属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则可以采用数据收集和统计归纳

的方法来假设模型。

实际上，采用单一的途径建模很难获得有效的结果，通常是采用混合的途径，而如何进

行混合则是一个关键的问题。

2.变量、参数设计规则

系统建模之前，变量、参数的设计是一个主要研究内容，必须依据一些规则。实际上当

确定好系统中的这些变量和参数后，模型的建立过程就简单多了，因为变量、参数的设计范

围有时候很难确定。

一般情况下变量、参数的设计规则为：依据系统的研究目的，找出系统中所有与研究目

的相关实体，找出所有这些实体的属性中与研究目的相关的所有属性(见图2.5),然后再通

过一定的方法建立这些属性间的数理关系。实际上，系统建模就是建立这些属性间的数学关

系。

I建模的目的］

小A

I比抗:宸杷：I/-I条缥比如I

图2.5系统变量、参数设计过程图2.6建模过程图示

2.3系统辨识

2.3.1系统辨识

建立系统的数学模型有两种方法：理论的方法和实践的方法。理论的方法是从已知的定

律、定理和原理出发，通过机理分析找出系统内在的运动规律，推导出系统中各种状态参数

和外作用之间的解析关系式一-数学模型，这种方法称为理论建模。因为这种问题的基本规

律是已知的，有时被称为“白箱”问题。实验方法是直接从系统运行和实验数据（系统的输

入和系统的输出数据），应用辨识的方法建立系统的数学模型，称为“辨识”建模。“辨识”

的方法适用于系统的客观规律不清楚的情况，所以有时也称为“黑箱”问题。所谓辨识建模

是根据一个准则，在给定的约束条件下，选择一个与给定数据拟合最好的数学模型。实际上

任何定律和定理的发现也是过去反复实验和观测获得的，因此辨识建模是科学研究最基本和

最基础的研究方法。在科学实践中经常遇到的问题是已知系统服从某些规律，但又有某些机

理不太清楚，有待研究，这就要求将理论建模与辨识建模结合起来，对机理已知的部分采用

理论建模的方式，再用辨识的方法确定机理不清楚的数学模型。种类问题称为“灰箱”问题。

在某些特殊情况下，甚至可由系统特性和运动规律导出系统完整的状态方程组，而仅需确定

方程中的未知参数，这时系统辨识就简化为参数估计问题。

总之通过测量系统在外部行为作用下（输入）系统动态响应（输出）数据，按照一定的准则

从这些试验数据建立反映系统本质属性的数学模型，并确定模型中的未知参数，就是系统辨

识，如图2.7所示。

修改数学模型及参数

图2.7系统辨识过程及示意

系统辨识的对象有两种状态：一种是开环系统，这时系统的输入不受系统输出的影响，

系统输出仅反映系统输入和系统本身的特性；另一种是闭环系统，这种输入信号受输出信号

的反馈作用，输出信号不仅反映系统的特性，也反映了反馈装置的特性，这时要求测得反馈

装置的输出并分别建立系统和反馈装置的数学模型，会使问题更加复杂化。如图2.8所示。

如果此时把闭环断开，作为开环处理，则必须十分小心，可能会出现不可辨识的问题。

开环系统闭环系统

图2.8两类系统结构示意图

同时系统辨识有两种方式。一种是离线辨识，也称事后处理。先在实验时记录下所有的

输入输出数据，实验后再进行处理。由于时间充裕，可以用较复杂的准确数学模型将数据分

组，采用迭代法一组组地进行辨识。另一种是在线辨识，即在系统运行过程中边测量边辨识,

通常采用递推算法逐点进行辨识，不断用新测量的数据修正当时的估计值。

系统辩识和系统分析是互逆的两种过程。系统分析是已知系统所服从的基本规律、定律

（数学模型）和外界对该系统的作用，确定系统对外作用的响应历程。系统辩识则是反过来，

给定了系统的外作用和响应历程，要求确定描述系统特性的数学模型。事实上，系统辩识、

系统分析和控制论的研究有着密切的关系：

给定系统输入和系统数学模型，求解系统输出是系统分析的问题；

给定系统输出和系统数学模型，求解系统输入是系统控制的问题；

给定系统输入和输出，求解系统数学模型是系统辩识问题。

2.3.2动力学系统辨识

动力学是研究物体在外力作用下运动规律的学科；动力学系统是研究物体在外力作用下

的运动规律和力学特性的力学系统。刚体力学、结构力学和飞行动力学是比较成熟的动力学

学科。动力学理论应用于各技术领域就形成各类动力学分支，如燃气轮机动力学、热流体动

力学、液压管路动力学等，分别研究各类动力学系统的动态特性。飞机、导弹、汽车、轮船

和鱼雷在操纵力的外力作用下的航行品质和操纵性稳定性研究；液体在管路中的流动、振动

和贮箱中的晃动研究；桥梁、建筑物等弹性体在外载荷下的振动研究；机械系统，如激振器、

振动台的动态特性研究；人机系统中，人的振动特性和跟踪特性研究：热交换器的传热过程

以及燃气轮机、喷气发动机的动态研究等，都可当成动力学系统研究其动态特性。

动力学系统辩识是动力学系统研究的逆问题，它利用系统在试验和运行中测得的输入-

输出数据，采用系统辩识技术，建立反映系统本质动态特性的数学模型，并辩识出模型中的

待定系数。由于动力学系统遵循牛顿力学定律、质量守恒定律、能量守恒定律等基本物理定

律，所以系统的基本数学模型(动力学方程组)是已知的，需要辩识的只是动力学方程组中的

某些待定因素，诸如外作用、系统固有特性(固有频率、固有阻尼比、模态参数、结构参数)

等，是典型的“灰箱问题”。

动力学系统通常分两步进行：首先根据系统特性和力学基本定理，采用推理方式建立动

力学方程组--状态方程组，这是理论建模阶段；然后利用系统试验或系统运行中测得的输

入输出数据，辩识出动力学系统中的待定因素，包括建立外作用的数学模型(外作用与系统

状态参数的定量关系式)，辩识出系统的模态参数和结构参数等，这是辩识建模阶段。对于

大多数动力学系统，理论建模工作比较成熟，有现成完整的动力学方程组，系统辩识只是建

立系统中外作用的数学模型和辩识系统中的待定参数。建模的过程由四部分组成：

1.试验设计：设计试验方案以获取有关动力学系统本质特性的最大信息量和准确的试

验数据；

试验设计是系统辨识过程的重要环节，是辨识能否成功的基础，其目的是使试验能为系

统辨识提供含有足够信息量的试验数据。通常应考虑如下问题：

(1)输入--输出参数的选择：根据辨识目的和试验所处环境，选择试验所要测量的输

入、输出数据以及用于测量的传感器类型和量程，使试验数据的峰值处于接近满量程工作状

态而又不超过满量程，避免出现饱和运行状态和幅值过小的现象。

(2)输入信号的设计：对于允许引入输入信号的动力学系统，输入信号的优化设计是一

个重要的问题。输入信号应设计成能激发我们感兴趣的运动模态，并使输出数据的信息量达

到最大，以提高辨识准度，即参数辨识结果与参数真值的逼近程度；同时应考虑所设计的输

入信号易于实现且成本较低。对于不能引入输入信号的动力学系统，应在试验过程中给予一

定的初始扰动，以激发待辨识的运动模态。

(3)数据采样速率的确定：试验数据采用系统的采样数据直接影响辨识准度。采样速率

太低，无法正确提供系统的动态特性而影响辨识准度；采样过高，对数据采样系统提出过高

要求而且增加数据处理工作量。

(4)试验时间的确定：试验时间的长短决定了提供信息量的多少，不能因试验时间过短

而影响辨识结果的正确性。

2.模型辩识：确定动力学系统数学模型的结构形式；

模型辨识是建模的关键。实践证明，如果模型结构形式选得不合适，那么不论采用什么

样的参数估计方法也无法提高辨识准度。然而模型结构形式又是辨识过程最难以定量确定

的。模型结构形式的选择在很大程度上取决于对系统物理特性的了解。对动力学系统辨识，

系统应满足的基本定律(牛顿定律、质量、能量守恒定律)是已知的，待辨识的数学模型常常

是系统中的外作用的数学模型或某子系统的数学模型。例如飞行器动力学系统辨识主要是建

立气动力数学模型，汽车动力学系统辨识要求建立轮胎力数学模型等。

模型辨识是根据动力学系统的特性，选出模型结构形式的候选模型集，然后根据一定的

辨识准则，从候选的模型集中选出最优的模型结构形式。例如，气动力非线性数学模型的建

模，可以根据气动力的物理学特性选定气动力是攻角和侧滑角的二元多项式函数形式，然后

根据辨识的建模准则和试验数据，从二元多项式函数集当中选出最优表达式。

对单输入单输出的情况，模型辨识就是模型阶次的确定。由于候选的模型是人为预选的,

在最优模型做参数估计之后，还需通过模型验证，如果验证结果不满意，必须另选模型结构

形式重新教学模型辨识。

3.参数估计：已知模型结构时，确定模型中的待定参数；

模型辨识之后，数学模型的形式就被确定了，问题变成根据辨识准则函数和试验数据求

取模型中的待定参数，也就是参数估计问题，这是系统辨识定量研究的核心阶段。参数估计

包括辨识准则函数的确定和优化算法两部分，辨识准则将参数估计问题转化为求一个泛函极

值问题。目前常用的辨识准则有最大似然准则、贝叶斯准则、最小方差准则等。经验证明，

最大似然准则和牛顿拉夫逊算法在动力学系统辨识中最实用、有效，并得到广泛应用。

由于输入输出数据中的常值偏差成分，在参数估计中无法消除其影响，数据中还有高频

噪音、时间延迟等误差，为消除这些误差而使参数估计增加了很大计算量。通常在参数估计

前先进行数据预处理和相容性检验，消除常值偏差、高频噪音、时间延迟等，以减少参数估

计的计算工作量并提高辨识准度。

4.模型验证：验证辩识所得模型和参数的正确性。

系统辨识的目的是建立反映系统本质属性的数学模型，由于辨识过程的各个步骤含有不

少人为的主观因素(如候选模型集的确定)，在模型辨识和参数估计之后，应对辨识所得数学

模型和估计所得参数值的正确性进行检验，以确定所得数学模型是否确实反映了系统的本质

属性。这是系统辨识不可缺少而又十分困难的步骤。

目前常用的模型验证方法有：

(1)利用不同试验数据集和不同候选模型集进行系统辨识，如果所得数学模型特性相

近，那么所得数学模型是可信的，通常选择其中参数最少的模型为辨识结果。

(2)利用不同试验数据，辨识出不同的数学模型，用所得数学模型计算另一组数据对应

的辨识准则函数，如两者差距不大，说明该数学模型不是反映特定数据的属性，而是反映系

统的共有特性，因此辨识结果是可信的。

(3)如数学模型相对应的残差序列不是零均值白色噪音序列，说明该数学模型还有不尽

完善之处。

通常动力学系统的数学模型可以由不同的研究途径获得，如果所得模型比较一致，则所

得数学模型是可信的。例如，飞行器动力学系统的气体动力学数学模型，除了可由飞行试验

数据求得以外，还可用理论计算方法和风洞吹风实验方法获得，如用两种方法所得结果相差

较大时，则应深入分析，找出差别原因，直到三种方法所得结果较为一致才可信。

2.4系统建模的实践

对于上述的系统模型的建立方法都是从理论上进行的讨论，对与如何从系统到建模起着

重要的指导作用。本节将针对不同的计算机仿真的背景分别建立相关的熟悉模型。

2.4.1机械系统的建模方法

机械工程中常将下面的由刚体、弹簧和阻尼器做成的系统来研究机械振动的情况，如汽

车在不平的路面行驶时弹簧的振动、等。

例2.1：如图2.9所示，刚体的质量为M,其只能在与弹簧和阻尼连接的竖直方向或

水平方向运动。弹簧的应力与位置的变化x成正比，比例系数为K,且方向恒与位移的方向

相反。阻尼产生的阻尼力与活塞的运动速度，即x成正比，比例系数为。，方向与活塞运动

方向相反。图2.9(a)忽略了弹簧和阻尼器的质量、空气阻力：图2.9(b)中忽略了弹簧、阻

尼器与水平面的摩擦和空气的阻力等。

对于竖直方向上的振动系统，产生的力主要有：

Mx-质量M运动过程中的惯性力；

Kx一弹簧产生的应力；

D,-阻尼器产生的阻尼力：

F⑴一施加在M上的外力。

F(t)

(a)(b)

图2.9刚体、弹簧、阻尼器（水平、竖直）机械振动系统结构图示

根据牛顿定律，得下面的关系式：

/⑺=Mx+Dx+Kx

控制系统中常常将上式写成更标准的形式：

x+2<^cox-co2F*（?）

其中/*=F/K,2"=£>/MM2=K/MO=2»/,/称为振动频率，。称为振荡角频

率。

上述研究的刚体-弹簧-阻尼器系统的位移x的变化曲线如图2.10所示。如果考虑实际

背景的话，可以设想在颠簸的公路上行驶的载重卡车（如图2.11所示），此时车厢位移是由

路面高低不平造成的。

,|F

M|

K”

____liJD

图2.10刚体振动曲线图2.11汽车路面行驰示意图

2.4.2电气系统的建模方法

例2.1：考察如图2.12所示的RLC电路。

图2.12RLC串联电路图示

根据电路基本定律得出:

dt

i3=C*

dt

以上两式便是描述这个电路的微分方程组，如果我们的目标是为了研究输入〃(/)和输出

“。)0=〃,(力之间的关系，则可以消去中间变量i(a，得：

LC&u；+RC^-+u=«(r)

dt2dt'

{这便是RLC串联电路输入、输出的数学模型。

2.4.3连铸过程中的系统建模方法

例2.3：连铸中的漏钢是钢铁生产中的灾难性事故，对结晶器中铸坯的温度变化行为进

行检测，从而有效地进行漏钢预报，特别是粘结性漏钢的预报，对于极大地减少事故隐患，

提高连铸生产的效益具有重要的意义。

上一章的内容中介绍了漏钢预报系统的基本组成，本节内容将主要介绍根据热电偶测得

的结晶器表面温度变化趋势建立的温度变化模型。

温度平均值

图2.13单个热电偶温度变化趋势

根据对发生粘结时断裂口发展的趋势分析，得到单个热电偶温度变化趋势随时间变化的

判断模型。

(1)前5个时刻平均温度的偏差计算模型

Tea=chik\{i,1)^^+chikl(i,2)+chik5vcryoch

其中：

chiklQl)-温度偏差计算参数1；

chikKi,2)-温度偏差计算参数2；

chik5-铸速加速度计算参数；

hvc—连铸速度；

Tea-平均温度计算值：

vcryoch—当前铸速与铸速变化时速度的差。

(2)平均值中断时温度变化速度计算模型

Tev=chik3(i,chik3(i,2)+chik.5vcspeoch

其中：

chik3(i,l)—速度变化计算参数1；

chik3(i,2)~速度变化计算参数2；

Tev-温度温度变化计算值；

vcspeoch—铸速加速度。

连铸过程中漏钢预报系统以此为计算温度变化的计算模型，判定是否进行进一步的预报

计算。由于所有热电偶报警计算过程比较复杂，这里略去了后面的大部分报警计算模型。

2.4.4机一电一磁系统实验系统的曲线拟合与插值处理

例2.3：下图是一个闭环反馈控制系统，是一个随机系统。

区

10

7O-

r4沁2

图2.14随机系统示意图

两个相同的电位器1、2由同一个直流电源供电，电位器1的滑臂由手柄3转动。以。

和。分别表示两电位器的滑柄位置，若。则两滑臂电位不等，就形成信号电压勺，

经放大器4放大后在直流发电机5的励磁绕组6中产生励磁电流//。发电机发出的电势使

电动机8旋转，经过传动机构9驱动负载10随着转动，同时带动电位器2的滑臂11,直到

。=0,即负载机械的角位置符合操纵手柄给定的角位置，整个系统才能静止。这样就实现

了负载10对手柄3的随动。图中7是发电机5的原动机，其转速是恒定的，12是电动机8

的励磁绕组。

下面分几步建立系统的数学模型

1.各分系统模型

(1)电位器组。它们的输入量是角。和夕，输出量是电压勺，描述电位器组的方程是

%=kp@—kp(p(2.2)

其中：

kp-是电位器的比例系数。

(2)放大器。放大器的输入量是电压乙,输出量是电流乙。假设放大器工作在特性的

线性区域内，它的电压放大倍数是常量心，它的输出电路的总电阻(包括放大器的等效电阻)

是R/。励磁绕组6的电感是L/,并假定发电机的磁路并未饱和，因此乙是常量。于是就

可以写出放大器的方程

dif

或

dlk

f(2.3)

f

dtf所P

其中％=%，称为励磁电路的时间常数。

(3)发电机--电动机组。它的输入量是励磁电流//,而输出量是电动机轴的角速度。。

由于前面已经假设发电机的磁路没有饱和，所以发电机的电势正比于励磁电流//,其比例

系数勺是可测的。

在电磁方面，其运动服从下列方程：

勺。一纥=4*⑵4)

式中：

—电枢电流；

La—电枢电路的总电感；

Ra-电枢电路的总电阻。

在机械方面，其运动服从下面方程：

M-M(2.5)

dt

式中:

M—电动机产生的电磁力矩；

ML-电动机轴上的反向力矩（包括负载、摩擦、风阻等）；

J~电动机整个转动部分（连同减速器和负载机械等）等总转动惯量。

下面的两个方程把电量与机械量连续起来：

E”-怎。(2.6)