2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.2 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）（教师用书）教案 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.23.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）（教师用书）教案新人教A版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容是第3章导数及其应用的3.2节，内容涵盖基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）。具体包括以下几个部分：

1.基本初等函数的导数公式：主要包括指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

2.导数的运算法则（二）：主要包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、链式法则等。

教学内容与学生已有知识的联系：

学生在之前的学习中已经掌握了导数的基本概念、导数的运算法则（一）、基本初等函数的导数公式等知识，本节课将继续深化这些知识，并进一步学习导数的运算法则（二）。这些知识将为后续学习更高阶的导数、微分方程等打下基础。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：

1.逻辑推理：通过学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二），学生能够理解和运用导数的运算法则进行函数的导数计算，培养学生的逻辑推理能力。

2.数学建模：学生能够运用所学的导数知识解决实际问题，如计算函数的斜率、求解函数的极值等，培养学生的数学建模能力。

3.直观想象：通过示例和练习，学生能够直观地理解导数的概念和意义，以及导数在函数图像中的应用，培养学生的直观想象能力。

4.数学运算：学生能够熟练运用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则进行函数的导数计算，培养学生的数学运算能力。

5.数据分析：学生能够运用所学的导数知识对函数的变化趋势进行分析，如判断函数的单调性、求解函数的极值等，培养学生的数据分析能力。三、教学难点与重点1.教学重点：

（1）基本初等函数的导数公式：本节课重点掌握指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。例如，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x，三角函数的导数需熟记。

（2）导数的运算法则（二）：重点掌握导数的四则运算法则、复合函数的导数、链式法则。例如，导数的四则运算法则包括常数倍法则、和差法则、积法则和商法则；复合函数的导数遵循链式法则，如f(g(x))的导数为f'(g(x))g'(x)。

（3）导数的应用：重点掌握导数在函数单调性、极值、曲线切线等方面的应用。例如，通过导数判断函数的单调性，导数为正表示函数递增，导数为负表示函数递减；求解函数的极值，需找到导数为0的点，并判断其单调性。

2.教学难点：

（1）复合函数的导数：理解并应用链式法则求解复合函数的导数是本节课的难点。例如，求解f(g(x))的导数，需要掌握如何将复合函数的导数分解为简单函数的导数。

（2）三角函数的导数：记忆并理解三角函数的导数公式是本节课的难点。例如，正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数，需熟练掌握其他三角函数的导数公式。

（3）导数在实际问题中的应用：将导数知识应用于解决实际问题是本节课的难点。例如，如何运用导数求解函数的极值、判断函数的单调性等问题，需要学生具备一定的数学建模和数据分析能力。

针对以上重点和难点，教师在教学过程中应举例讲解、引导学生思考，并通过练习巩固知识点。同时，关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生突破难点，提高学生的核心素养。四、教学资源1.软硬件资源：教室内的多媒体设备，如投影仪、计算机、白板等，用于展示PPT、板书重点内容、演示导数运算过程等。

2.课程平台：教师准备的教学PPT、教案、习题等资料，可通过学校内部的课程平台进行分享，方便学生预习和复习。

3.信息化资源：教师可利用网络资源，如数学教育网站、在线数学课程等，为学生提供额外的学习资料和练习题，帮助学生巩固知识点。

4.教学手段：教师可采用讲解、示例、练习、小组讨论等多种教学手段，引导学生主动参与课堂，提高学生的理解和应用能力。

5.教学辅助工具：可使用导数计算器、数学软件等辅助工具，帮助学生更好地理解导数的概念和运算规则。

6.教材和辅导书：教师指定的人教A版选修1-1教材，以及相关的辅导书籍，供学生参考和学习。

7.练习题和测试题：教师准备的练习题和测试题，用于巩固课堂所学知识，并通过测试了解学生的学习情况。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数及其应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于导数的图片或视频片段，让学生初步感受导数的美妙或特点。

简短介绍导数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解导数的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍导数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.导数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的导数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解导数的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数及其应用的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调导数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数的短文或报告，以巩固学习效果。六、知识点梳理本节课的知识点主要涉及基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二），具体包括以下几个方面：

1.基本初等函数的导数公式：

（1）指数函数的导数公式：d/dx(a^x)=a^x*ln(a)

（2）对数函数的导数公式：d/dx(log_a(x))=1/(x*ln(a))

（3）三角函数的导数公式：

-正弦函数的导数公式：d/dx(sin(x))=cos(x)

-余弦函数的导数公式：d/dx(cos(x))=-sin(x)

-正切函数的导数公式：d/dx(tan(x))=sec^2(x)

（4）反三角函数的导数公式：

-反正弦函数的导数公式：d/dx(arcsin(x))=1/√(1-x^2)

-反余弦函数的导数公式：d/dx(arccos(x))=-1/√(1-x^2)

-反正切函数的导数公式：d/dx(arctan(x))=1/(1+x^2)

2.导数的运算法则（二）：

（1）导数的四则运算法则：

-常数倍法则：若c为常数，则c*f(x)的导数为c*f'(x)

-和差法则：若f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则(f(x)±g(x))的导数为f'(x)±g'(x)

-积法则：若f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则(f(x)*g(x))的导数为f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

-商法则：若f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))的导数为(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2

（2）复合函数的导数：遵循链式法则，若f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则(f(g(x)))的导数为f'(g(x))*g'(x)

（3）链式法则：若f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，则(f(g(x)))的导数为f'(g(x))*g'(x)七、教学反思与总结今天上的这节课是关于导数及其应用的内容，主要是基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）。在教学过程中，我尽力让学生理解和掌握这些知识点，并能够应用到实际问题中。

在导入新课时，我通过提问和展示一些图片和视频片段，激发了学生对导数的兴趣。在讲解导数基础知识时，我详细介绍了导数的定义和组成部分，并通过示例让学生更好地理解导数的概念。在导数案例分析环节，我选择了几个典型的案例进行分析，让学生全面了解导数的特性和重要性。

在学生小组讨论环节，我让学生分组讨论导数在实际问题中的应用，培养了他们的合作能力和解决问题的能力。在课堂展示与点评环节，我让学生依次上台展示讨论成果，其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进了互动交流。

然而，在教学过程中也存在一些问题和不足。首先，在讲解导数的运算法则时，我发现部分学生对于复合函数的导数理解不够深刻，需要在今后的教学中加强这方面的讲解和练习。其次，在课堂展示与点评环节，我发现部分学生对于如何运用导数解决实际问题还不够熟练，需要更多的练习和案例分析。八、典型例题讲解1.例题1：求函数f(x)=x^3的导数。

答案：f'(x)=3x^2

2.例题2：求函数f(x)=ln(x)的导数。

答案：f'(x)=1/x

3.例题3：求函数f(x)=cos(x)的导数。

答案：f'(x)=-sin(x)

4.例题4：求函数f(x)=tan(x)的导数。

答案：f'(x)=sec^2(x)

5.例题5：求函数f(x)=sin(3x)的导数。

答案：f'(x)=3cos(3x)

6.例题6：求函数f(x)=(2x+1)^2的导数。

答案：f'(x)=4(2x+1)

7.例题7：求函数f(x)=x^2*ln(x)的导数。

答案：f'(x)=2xln(x)+x^2/x

8.例题8：求函数f(x)=(x^2-1)^2的导数。

答案：f'(x)=8x(x^2-1)

9.例题9：求函数f(x)=(x-1)/(x^2+1)的导数。

答案：f'(x)=(x^2+1-2x)/(x^2+1)^2

10.例题10：求函数f(x)=x^2*(x+1)的导数。

答案：f'(x)=2x^2+2x作业布置与反馈作业布置：

1.请学生完成课后练习题，巩固本节课所学的导数及其应用的知识点。

2.请学生选择一个实际问题，运用导数的知识进行分析并求解。

3.请学生总结本节课所学的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二），并用自己的话进行复述。

作业反馈：

1.对学生的课后练习题进行批改，重点检查学生对基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）的掌握情况。对于存在的问题，及时指出并给出改进建议，例如，对于计算错误，建议学生重新检查计算过程；对于理解不透彻的地方，建议学生多阅读教材和辅导书，加强理解。

2.对学生选择实际问题进行分析并求解的作业进行批改，重点检查学生是