第15讲函数模型及其应用（解析版）-2023年高考数学一轮总复习（新高考专用）

第15讲函数模型及其应用

考点1:利用函数图像刻画实际问题

考点2：己知函数模型解决实际问题

函数模型及其应用

构建指数、对数函数模型解决实际问题

考点3：构建函数模型解决实际问题乡-------------

----------------------------------＜构建二次函数、分段函数模型解决实际问题

■----------------------------------------------------------------------------------------1

考点探究-题型突破//////////////////////////////

＞考点1利用函数图象刻画实际问题

［名师点睛］

判断函数图像与实际问题变化过程是否吻合的方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排

除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.

［典例］

1.如图，一高为“且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所

用时间为T.若鱼缸水深为〃时，水流出所用时间为t,则函数%=/（，）的图象大致是（）

答案B

解析水匀速流出，所以鱼缸水深〃先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.

2.（2022•泰州模拟）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用

85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60c时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需

时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分

布情况，下列咖个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（）

A.^=/Mx2+w（/n>0）

B.

C.y=mcf+n（m>Q,a>l）

D.y-mlog^+n（m>0,a>0,aWl）

答案B

解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且

［举一反三］

1.（2022•武汉模拟）在用计算机处理灰度图象（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用

0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用。至255之间对应的数表示，这样可以

给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对

图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级,实现如下图所示的效果:

>$

处理前处理后

则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）

［新灰度值1新灰度值

255卜255^--------］

;原一度值人

原次度值

a255a25

AB

［新灰度值|新灰度值

255卜....7：255k......」

/原灰度值\

a255O'2f55

CD

答案A

解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图

象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y=x上方.结合选项只有A选项能够较好的达到目的.

2.（2022•郑州质检）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时

到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：

①0时到3时只进水不出水；

②3时到4时不进水只出水；

③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是（填序号）.

答案①

解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时,

蓄水量增加的速度是2,故①正确；

不进只出水时，蓄水量减少的速度为2,故②不正确；

两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0,故③不正确.

3.（2022•武汉调研）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年

的树高为g米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间”年）与树高M米）之间的关系.请你据此判断，

在下列函数模型：①y=2~；0y=a+log2?;③了=3+。；④伊=3+。中（其中a为正的常数），生长年数

与树高的关系拟合最好的是（填写序号），估计该树生长8年后的树高为米.

y

4

3.­

2.•*

1•**

-ol~1234567/

„10

答案②丁

解析由散点图的走势，知模型①不合适.

曲线过点（4,9，则后三个模型的解析式分别为②y=g+log2f;③y=»+；；④尸3+；，当f=l时，代入

④中，得y=点与图不符，易知拟合最好的是②.

将，=8代入②式，得了=^+1。828=¥（米）.

>考点2已知函数模型解决实际问题

［名师点睛］

求解已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

［典例］

1.（2022•江苏•高三阶段练习）新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成

为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗

-7=,n<No

时，（〃）（单位：小时）大致服从的关系为“〃）=M为常数）.已知第16天检测过程平均

—j==^NN。

耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时

大致为小时.

_64

【答案】—

【解析】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，乂>16,

所以靠=16,解得，。=6<

\/10

64。

又去，解得乂=64,

64-

所以yfn,

8,M>64

6464

所以当〃=49时，《49）=-j==—.

64

故答案为：—

2.（2022♦浙江•高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态

水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料X(单位：千克)满足

5(X2+3),0<x<2

如下关系：卬(力」

5。居,肥料成本投入为lOx元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工

2<x<5

费)20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为/(x)

(单位：元).

(1)求“X)的函数关系式;

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【解】⑴由已知〃x）=15W（x）-20x-10x=15W（x）-30x

15x5（x2+3）-30x,0<x<2,75X2-30X+225,0<X<2,

750

15x（50-里）—30x,2<x<5750------30乂2<x<5.

x+lx+l

(2)解：由(1)得

2

75x2-30x4-225,0<x<2,75+222,0<x<2,

/O'750-上75空0-30苍2<x<5.

1+x780-30上+（l+x）,2cx<5.

1+x

当0«xW2时，11ax="2）=465；

当2<xV5时，/(A:)=780-30f+(l+x)<780-30x2^y1^--(l+x)=480

当且仅当2卢5=l+x时，即x=4时等号成立.

因为465<480,所以当x=4时，/(x)1nM=480.

当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.

［举一反三］

1.(2022•广东茂名•二模)双碳，即碳达峰与碳中和的简称,2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，

2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在

整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄

电池的容量C（单位：A-h）,放电时间”单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式c=/"j,

其中“TogJ为尸常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流/=10A时，放电时间r=57h,则当

2

放电电流/=15A,放电时间为（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【答案】B

【解析】解：根据题意可得C=57JO",

则当/=15A时,

57-10"=15,,-r,

所以/=57.（1）=57.停产=57.自学=28.5h，

即当放电电流/=15A,放电时间为28.5h.

故选：B.

2.（2022•全国•高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出

于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入

商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间1（分钟）之间的函数关系为

0.1/,0<r<10

丫=卜1、才"，函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时

，》。

间最迟是（）

A.9:00B.8:40C.8:30D.8:00

【答案】A

【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点（1。4），

0.1r,0<r<10

代入函数的解析式，可得（；）=1，解得a=i，所以y=t]0,

,I

令y40.25,可得0.1Y0.25或［J<0,25-

解得0<Y2.5或年30,

所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.

故选：A.

3.(2022•福建福州•三模)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间单位：年)

之间的关系为尸«)=《(1+10%)',其中4为f=0时的产值.假定%=2,那么在t=10时，G。尸增长的速度大

约是.(单位：亿元/年，精确到0。亿元/年)注：110a2.59,当x取很小的正数时，ln(l+x卜x

【答案】0.52

【解析】由题可知尸⑺=2(1+10%)'=2x1.f,

所以P'(f)=2xl/lnl.l,

所以P(10)=2x11°lnl.1B2X2.59*0.1=0.51820.52,

即GDP增长的速度大约是0.52.

故答案为：0.52.

4.(2022•上海交大附中高三开学考试)2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，

经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、

投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某

企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每

生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R(x)万

500-2x,0<x<20

元，且=21406250

370+........-,x>20

.xx

(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

【解】⑴当0<x420时,S=x/?(x)-(380x+150)

=500X-2X2-380X-150

=-2x2+120x750，

当x>20时，S=xR(x)-(380x+150)

=370x+2140-^^-380x-150

X

i八6250iCM

=-10x-----+1990,

x

所以年利润s(万元)关于年产量X(万台)的函数解析式为

'-2x2+120x-150,0<x<20

6250

S-10x-^-^+1990,x>20

.x

(2)当0<x420时，5=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1650,

所以函数S在(0,20］上单调递增，所以当x=20时，S取得最大值1450,

当x>20时，S=-10x-乡里+1990=-(10x+区当+1990

XX

<-2jox.空^+1990=-500+1990=1490,

当且仅当10x=些，即x=25时取等号，此时S取得最大值1490,

x

因为1490>1450,

所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元

＞考点3构建函数模型解决实际问题

［名师点睛1

构建函数模型解决实际问题的步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实

际问题的解.

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)48两城相距100km,在两城之间距/城x(km)处建一核电站给N,8两城

供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量

(亿度)之积的0.25倍，若/城供电量为每月20亿度，8城供电量为每月10亿度.

(1)求x的取值范围；

(2)把月供电总费用y表示成x的函数；

(3)核电站建在距“城多远，才能使供电总费用y最少？

【解】(1)由题意知X的取值范围为［IO,90］.

2222

(2)y=0.25x20xX+0.25xl0x(100-x)=5x+|(100-x),

y=5x2+-(l00-x)2(10<x<90)；

(3)y=5x2+|(100-x)2=yx2-500x+25000=,

100,50000

彳=亍时n，％“=一^—,

核电站建在距A城野kw处，供电总费最少.

2.(2022•全国•高三专题练习)杭州地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知

某条线路通车后，列车的发车时间间隔，(单位：分钟)满足24420,经市场调研测算，列车载客量与发

车时间间隔z相关，当104/420时列车为满载状态，载客量为500人，当2«/<10时，载客量会减少，减

少的人数与(10一力的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为P").

(□)求P⑺的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

(□)若该线路每分钟的净收益为Q")=8p⑺-2656-60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分

t

钟的净收益最大，并求出最大值.

【解】(口)由题设，当24t<10时，令汰。=500-。10-/)2,而发车时间间隔为2分钟时的载客量为372

人，

爪2)=500-&(10-2)2=372,解得％=2.

,、［300+40/-2r2,2<r<10.一,

凶尸S…”-故f=5时有p(5)=500-2x(l°-5)2=45°・

［500,10</<20

260-16Z--,2</<10

(L!)由(।)知：。。)="'9

1344

———60,10"W20

It

2〈f<10时，。⑺4260-2^16，•竿=132当且仅当f=4等号成立,

24/<10上。Q)M=0(4)=132,

而104d20上,。⑺单调递减，则。⑴1rax=。(10)=744,

综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

［举一反三|

1.（2022•福建龙岩•模拟预测）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，/地组织物流企业的汽车运输队

从高速公路向上海运送抗疫物资.已知力地距离上海500km,设车队从工地匀速行驶到上海，高速公路限速

为60km/h~110km/h.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与

速度vkm/h的立方成正比，比例系数为6,固定部分为〃元.若》=击，a=104,为了使全程运输成本最低，

车队速度v应为（）

A.80km/hB.90km/hC.100km/hD.110km/h

【答案】C

【解析】

解：设运输成本为y元，依题意可得y=（io'+皋彷）•迎=、八+so。。。。。,

\200）v2v

3362224

则,1_s,5000000_5v-5000000_5（v-10）_5（v-10）（v+10v+10）

、Jy—w--5—5

V-VVv~

所以当v=l（）2时y'=0,当60W"100时y'<0,当WOcvMllO时y'>0,

即函数在（60,100）上单调递减，在（100,110）上单调递增，所以当v=100时取得极小值即最小值，

所以丫=100km/h时全程运输成本最低；

故选：C

2.（2022•福建•三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神

经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=其中乙表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始

学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始

学习率为05,衰减速度为22,且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45,则学习率衰减到0.05以下

（不含0.05）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg2*0.3010,Ig3«0.4771）

A.11B.22C.227D.481

【答案】D

GG

【解析】由卜乙=4£>。。，所以L=0.5x。五，

22g

依题意0.45=0.5n0=2,贝IJL=O.5X（21”，

ioUoJ

GG

山L=0.5x(\y<0.05得(豺2

10

G

<lg±.j2lg2<.1

102210

22

G-(lg9-lgl0)<-22,G(lgl0—lg9)>22,G>]

22_2222

«480.35,

l-21g3-1-2x0.47710.0458

所以所需的训练迭代轮数至少为481轮.

故选：D

3.（2022•全国•高三专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部

A.400B.12C.20D.30

【答案】C

【解析】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得g="0<x<40,

4040

解得y=40—x,所以面积S=x(40—x)=-x2H-40x=—(x—20)2+400(0<x<40),

当x=20时，Smfl.r=400.

故选：C.

4.（2022•全国•高三专题练习）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、

-1000v

交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=o,"+4，

其中4为安全距离，y为车速（m/s）.当安全距离4）取30m时，该道路一小时“道路容量''的最大值约为（）

A.135B.149

C.165D.195

【答案】B

z1000v1000,1000…”

____________________________=__________________________<____________________________七)

【解析】由题意得，N—0.7丫+0.3/+4，7工。皿30-0.7+2面壬画14g，当且仅当。斗=卫si，即

"U./十------y

V

丫=10时取

所以该道路•小时“道路容量”的最大值约为149.

故选：B

5.（2022•北京西城•一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分

类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总

量不低于100kg,则额外奖励x分（x为正整数）.月底积分会按照01元/分进行自动兑换.

□当x=10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换元；

□为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%,则x的最大值为

【答案】13