第5章弧度制教案

5.1.2弧度制

学习目标核心素养

1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一

对应关系.

1.通过对弧度制概念的学习，培

2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度

养学生的数学抽象素养.

的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊

2.借助弧度制与角度制的换

角的弧度数.（重点、难点）

算，提升学生的数学运算素养.

3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联

系.（易错点）

自主预习。需新加

NINHUYUXITAZXIZNHI

—新知初探口

1.度量角的两种单位制

⑴角度制：

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.

②1度的角：周角的击.

⑵弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

2.弧度数的计算

思考：比值,与所取的圆的半径大小是否有关？

提示：一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半

径大小无关.

3.角度制与弧度制的换算

4.一些特殊角与弧度数的对应关系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180。270°360°

弧

71712兀3兀3兀

0兀2兀

度32TTTT

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,a(0〈a〈27i)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l=aR.

(2)扇形面积公式：S=1/7?=1ct7?2.

|~^初1试

1.下列转化结果错误的是()

7T

A.60°化成弧度是§rad

B.一芋兀rad化成度是一600°

7

C.—150。化成弧度是一下irad

jr

D.记rad化成度是15°

LT兀兀LT1010

C[对于A,60°=60><7^rad=Trad;对于B,一rad=-fX180°=一

loUJ33

715711

600°;对于C,—150°=—150X-7^T-rad=—TJirad;对于D,rad=777X180°

lol)o1212

=15°.故选C.]

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

297rSTTS9QJT

B[等=4兀+,是第二象限角，.•.资是第二象限角.]

O00O

3.(1存rad化为角度是.

(2)105。的弧度数是.

7兀7兀(7R180、

(1)252°⑵五[(l)yrad=^yX~J°=252°；

兀7兀

(2)105。=105rad=^rad.]

TT_

4.半径为2,圆心角为耳的扇形的面积是.

当[由已知得S扁=3*表22=鼻.]

合作探究。提素养

HEZUOTAZJIUTISUYANG

角度与弧度的互化与应用

入类型ly-------------

【例1】(1)①将112。30'化为弧度为.

②将一昔571rad化为角度为.

JT7兀、、

(2)已知a=15°,4=正rad,y=lrad,6=105°,夕=五rad,试比较a,夕,

y,0,(p的大小.

⑴①济ad②一75°[⑴①因为1。=焉rad,

小，兀571

所以112°30X112.5rad=vrad-

loUo

……(180丫

②因为1rad=|^—J,

兀兀、，、°

所“以一5适rad=_((5适180=-75°.]

(2)法一(化为弧度):

7T7T7T77T

ct=15°=15X7ZTrad=7Trad,0=105°=105Xyzrrad=7Trad.

1oU1Z1oU1Z

兀兀7兀

显然五〈正VIV五.故a<BVyVe=(p.

法二(化为角度):

180'

18°,产lrad=57.30°,

71

7兀180'

105°.

,兀,

显然，15。<18°<57.30°<105。.

故a<B<Y<0=(p.

「■仆打遇

角度制与弧度制互化的关键与方法

(1)关键：抓住互化公式7irad=18O。是关键；

(2)方法：度数乂念=弧度数；弧度数X(¥)=度数；

(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

金跟颤帆

1.(1)将一157。30'化成弧度为.

⑵将一号11JTrad化为度是.

7,315717

(1)一针rad(2)-396°［(1)-157°30'=—157.5°=一可X瓦rad=一针

rad.

117T11兀180'

(2)--rad=--^-X°=-3960.]

,兀，

2.在［0,4同中，与72。角终边相同的角有.(用弧度表示)

212

5兀，y7i［因为终边与72°角相同的角为。=72°+左-360。(左©Z).

2

当上=0时，。=72°=5兀rad;

12

当左=1时，6=432°=亨irad,

2I?

所以在［0,4河中与72。终边相同的角有于，1兀］

用弧度数表示角

、类型2

【例2】(1)终边经过点(a,0(aWO)的角a的集合是()

兀

C.ja。=^+2%兀，Z,

D.[a。=彳+左兀，左£Z1

(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角e的集合.

(1)D「因为角a的终边经过点(mQ)(QWO),

所以角a的终边落在直线y=%上，

所以角a的集合是1a。=£+左兀，k^Z.]

7T7兀

(2)[解]因为30°=&rad,210°=不rad,

JT

这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线A3上的角为a=E+”,

O

7T

kGZ,而终边在y轴上的角为夕=也+],左©Z,从而终边落在阴影部分内的角

JT7T

的集合为左兀+不。＜%兀+1，kRZ\

»fh6iA

1.弧度制下与角a终边相同的角的表示：

在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为{向5=2E+a,左©Z},即

与角a终边相同的角可以表示成a加上2兀的整数倍.

2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：

（1）仔细观察图形.

（2）写出区域边界作为终边时角的表示.

（3）用不等式表示区域范围内的角.

提醒：角度制与弧度制不能混用.

塞晚训1练.

3.下列与Q号jr的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

A.2也+45。（左力

9兀

B.左・360。+4（左£Z）

C.k360。—315。（左£Z）

,,571

D.%兀+丁（左£Z）

C[A,B中弧度与角度混用，不正确.

9兀9兀

下=2兀+不所以兀与彳终边相同.一315°=—360°+45°,所以一315°也与

45°终边相同.故选C.]

4.用弧度写出终边落在如图阴影部分（不包括边界）内的角的集合.

兀3兀

[角翠]。=/。=土

30Orad,150Orad.

终边落在题干图中阴影区域内角的集合（不包括边界）是

兀5兀

6兀不+%兀，%£Z

弧长公式与扇形面积公式的应用

、类型3

［探究问题］

1.用公式|创=:求圆心角时，应注意什么问题？

提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又栗注

意其正负.

2.在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单

位，需注意什么问题？

提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否

则结果易出错.

【例3】(1)如图所示，以正方形A3CD中的点A为圆心，边长A3为半径

作扇形E43若图中两块阴影部分的面积相等，则NEAD的弧度数大小为

⑵已知扇形0AB的周长是60cm,面积是20cm求扇形0AB的圆心角的

弧度数.

［思路点拨］(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求NEA。

的弧度数.

(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径,

最后用弧度数公式求圆心角的弧度数.

(1)2-2［设A3=l,ZEAD=a,"：S扇形ADE=S阴影BCD，

i\/i2

由题意可得］Xl2Xct=l2———,

7T

解得a=2—1］

(2)设扇形的弧长为I,半径为

f2r+/=60,

则<夕r=20,

fr=15+7205,fr=15-y]205,

40或彳40

I-15+^205I-15-V205;

・•.扇形的圆心角的弧度数为

(=43—36而或43+3^/205.

［母题探究］

1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他

条件不变，求扇形圆心角的弧度数.

［解］设扇形圆心角的弧度数为。(0V6V2兀)，弧长为/,半径为「，

7+2r=10,①

依题意有1

/=4.②

由①得/=10—2/，代入②得/一5厂+4=0,

解得厂1=1,厂2=4.

当r=l时，/=8(cm),

此时，。=8rad>2兀rad舍去.

21

当r=4时，/=2(cm),此时，rad.

2.(变结论)将本例⑵中的条件“面积是20cm2”删掉，求扇形。43的最大

面积及此时弧长AB.

［解］设弧长为/,半径为厂，由已知/+2r=60,

„.,I60—2r

所以/=60—2厂，\a\=~=--—，

.._1160—2〃,

从而5=习。—9=了—~—•/9=一7+30尸=—(r-15)2+225,

/60—2r

当厂=15时，S取最大值为225,这时圆心角a=；=——=2rad,

可得弧长AB=ar=2X15=30(cm).

战仆力IA

弧度制下解决扇形相关问题的步骤：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l=\a\r,和(这里a必须

是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.

提醒：看清角的度量制，恰当选用公式.

匚课堂小结二

1.在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注

意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用.

2.弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制

下.同时也应注意与其他知识如函数内容的结合.

当堂达标。国5H基