数学（人教版选修22）练习活页作业（八）

活页作业(八)生活中的优化问题举例1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，A.eq\f(20,3)cm B．10cmC．15cm D.eq\f(20\r(3),3)cm解析：设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，其体积V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)．V′＝eq\f(π,3)(400－3x2)，令V′＝0得x＝eq\f(20\r(3),3)，又当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0；eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，∴当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．答案：D2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3)C．－1 D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C3．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为()A.eq\r(\f(3S,π＋4)) B.eq\r(\f(S,π＋4))C.eq\r(\f(2S,π＋4)) D．2eq\r(\f(S,π＋4))解析：设圆的半径为x，矩形的高记作h，那么窗户面积S＝eq\f(π,2)x2＋2hx.窗户周长为l(x)＝πx＋2x＋2h＝eq\f(π,2)x＋2x＋eq\f(S,x).令l′(x)＝eq\f(π,2)＋2－eq\f(S,x2)＝0，解得x＝eq\r(\f(2S,π＋4))(舍去负值)．∵l(x)只有一个极值，且为极小值，∴x＝eq\r(\f(2S,π＋4))为最小值点．答案：C4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为______万元．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(15≥x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.6万元5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为______．解析：设销售额为y，销售件数为x，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200xx≤150，x∈N，,x·[200－x－150]x>150，x∈N.))当x≤150且x∈N时，y的最大值为200×150＝30000.令g(x)＝x·[200－(x－150)]＝350x－x2，g′(x)＝350－2x.解g′(x)＝0，得x＝175.易知，当x＝175时，g(x)有最大值30625.∵30625＞30000，∴当x＝175时，y取得最大值30625.答案：1756．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距am．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为xm的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式．(2)当a＝640m时，需新建多少个桥墩才能使y解：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝a.则n＝eq\f(a,x)－1.∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－1))＋eq\f(a,x)(2＋eq\r(x))·x＝eq\f(256,x)a＋aeq\r(x)＋2a－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256a,x2)＋eq\f(1,2)ax－eq\f(1,2)＝eq\f(a,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．∴f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝eq\f(a,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．7．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：设正三棱柱的高为h，则V＝eq\f(1,2)a2sin60°·h＝eq\f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq\f(4V,\r(3)a2).所以正三棱柱的表面积S＝2·eq\f(\r(3),4)a2＋3ah＝eq\f(\r(3),2)a2＋3a·eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，∴S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2).令S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).答案：C8．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400))，则总利润最大时，每年生产的产量是()A．100 B．150C．200 D．300解析：设Q(x)表示产量为x时的总利润则Q(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400,60000－100x，x>400))当0≤x≤400时，Q′(x)＝300－x，令Q′(x)＝0，则x＝300，当0≤x<300时，Q′(x)>0，当300<x≤400时，Q′(x)<0，∴当x＝300时，Q(x)max＝Q(300)＝25000.当x>400时，Q′(x)＝－100<0，∴Q(x)单调递减Q(x)<Q(400)．综上Q(x)max＝Q(300)．故选D.答案：D9．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30nmile/h，当速度为10nmile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为__________nmile/h.解析：设每小时的燃料费z与航速x满足关系式z＝ax3(0≤x≤30)．∵25＝a·103，∴a＝eq\f(1,40).设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，则y＝av3×eq\f(800,v)＋eq\f(800,v)×400＝20v2＋eq\f(320000,v).由y′＝40v－eq\f(320000,v2)＝0，得v＝20<30.答案：2010．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时，总利润最大．解析：设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝eq\f(k,x)，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000，所以p2＝eq\f(250000,x)，p＝eq\f(500,\r(x))，x>0.设总利润为y万元，则y＝eq\f(500,\r(x))·x－1200－eq\f(2,75)x3＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200.求导数得，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.令y′＝0得x＝25.故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.因此，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．答案：2511．某商场预计2015年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，x≤12)．该商品第x月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是：q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＋2x，x∈N*，且1≤x≤6，,185－\f(160,x)，x∈N*，且7≤x≤12.))(1)写出2015年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2015年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x·(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1时也符合，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为g(x)，则g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋40x35－2x，x∈N*，且1≤x≤6，,－3x2＋40x·\f(160,x)，x∈N*，且7≤x≤12，))即g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x3－185x2＋1400x，x∈N*，且1≤x≤6，,－480x＋6400，x∈N*，且7≤x≤12.))当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5，或x＝eq\f(140,9)(舍去)．当1≤x<5时，g′(x)>0，当5<x≤6时，g(x)′<0，此时g(x)max＝g(5)＝3125；当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3040，综上，商场2015年5月份的月利润最大，最大利润为3125元．12．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(3,2))).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝eq\f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq\f(1,2)，因为－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))解得点Q的横坐标是xQ＝eq\f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).因为|PA|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝eq\r(1＋k2)(k＋