第5章 曲线运动-2020-2021学年人教版（2019）高中物理必修第二册学案

曲线运动

基础梳理

—•、曲线运动

1、物体做曲线运动的条件

（1）动力学条件：合力方向与速度方向不共线，这包含三个层次的内容。

①初速度不为零；

②合力不为零；

③合力方向与速度方向不共线。

（2）运动学条件：加速度方向与速度方向不共线.

2、曲线运动的轨迹特点

（1）物体的轨迹在速度和合外力夹角之间且与速度相切；

（2）物体的运动轨迹向合外力的方向弯曲；

（3）合外力在垂直于速度方向上的分力改变速度方向，合外力在沿着速度方向上的分力改

变速度大小。

3、曲线运动的性质及分类

（1）性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动。

（2）分类：

①匀变速曲线运动：加速度恒定；

②非匀变速曲线运动：加速度变化。

1.1、曲线运动概念辨析

【例1】一个做匀速直线运动的物体突然受到一个与运动方向不在同一条直线上的恒力作用

时，则物体（）

A.继续做直线运动

B.一定做曲线运动

C.可能做直线运动，也可能做曲线运动

D.运动的形式不能确定

答案：B

解析：当合外力方向与速度方向不在同一条直线上时，物体的运动一定是曲线运动。

【变式1］（多选）下列说法正确的是（）

A.曲线运动的速度大小可以不变，但速度方向一定改变

B.物体做曲线运动，它的运动状态一定在改变

C.物体受到一恒力作用，则物体一定做匀加速直线运动

D.物体做曲线运动时，它的加速度方向总与合外力方向一致，而与速度方向不共线

答案：ABD

解析：由于曲线运动的轨迹为曲线，速度方向一定改变，则它的运动状态必定发生改变，故

选项A、B正确；由牛顿第二定律可知，物体的加速度总与合外力方向一致，但据曲线运动

的条件，若物体做曲线运动，则其合力（或加速度）与速度方向一定不在同一直线上.故选项

C错误，D正确。

1.2、轨迹判断

【例2】“神舟十号”在飞行过程中，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在

此过程中“神舟十号”所受合力方向可能是下列图中的（）

NNNN

答案：C

解析：做曲线运动的物体的运动轨迹向合力方向弯曲，A、D错误；“神舟十号”速度减小,

表明它所受的合力沿切线方向的分力与速度方向相反，如题图所示，故B错误，C正确。

【变式2】（多选）一个物体以初速度w从4点开始在光滑水平面上运动，一个水平力作用

在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，图中8为轨迹上的一点，虚线是过A、8两

点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分5个区域，则关于施力物体的位置，下面

说法正确的是（）

A.如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域

B.如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域

C.如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域

D.如果这个力是斥力，则施力物体一定在④区域

答案：AC

解析：如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域，这是因为做曲线运动物体的轨迹一定

处于合外力与速度方向之间且弯向合外力这一侧，因此A正确.如果这个力是斥力，将②

①③⑤区域内任何一点分别与A、8两点相连并延长，可发现①③⑤区域的点，其轨迹不在

合外力方向和速度方向之间，而②区域的点的轨迹都在合外力方向和速度方向之间，因此C

正确。

二、运动的合成与分解

1、合运动与分运动

(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运

动就是分运动。

(2)实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位

移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度。

2、合运动与分运动的关系

(1)等时性：合运动与分运动经历的时间一定相等，即同时开始、同时进行、同时停止；

(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，分运动各自独立进行，互不影响；

(3)等效性：各分运动的共同运动效果与合运动的运动效果相同。

3、合运动的性质和轨迹的判断

(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动；

(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。

2.1、概念辨析

【例1】关于运动的合成与分解，下列说法正确的是()

A.两个速度大小不等的匀速直线运动，其合运动一定不是匀速直线运动

B.两个直线运动的合运动一定是直线运动

C.合运动是曲线运动时，其分运动中至少有一个是变速运动

D.合运动是曲线运动时，其分运动都是变速运动

答案：C

解析：合运动与分运动遵循平行四边形定则，即运动的物体在每一时刻的速度、位移、加速

度遵循平行四边形定则.但是物体的合运动究竟是直线运动还是曲线运动取决于物体所受合

外力的方向和物体初速度的方向.当物体做曲线运动时，物体所受合外力的方向和初速度的

方向一定不共线.故C选项正确。

【变式1】关于运动的合成与分解，下列说法正确的是()

A.两个速度大小不等的匀速直线运动，其合运动一定不是匀速直线运动

B.两个直线运动的合运动一定是直线运动

C.合运动是曲线运动时，其分运动中至少有一个是变速运动

D.合运动是曲线运动时，其分运动都是变速运动

答案：C

解析：合运动与分运动遵循平行四边形定则，即运动的物体在每一时刻的速度、位移、加速

度遵循平行四边形定则。但是物体的合运动究竟是直线运动还是曲线运动取决于物体所受合

外力的方向和物体初速度的方向。当物体做曲线运动时，物体所受合外力的方向和初速度的

方向一定不共线，故C选项正确。

2.2、图像问题

【例2】质量为2kg的质点在x-y平面上运动，x方向的速度一时间图像和y方向的位移一

时间图像分别如图所示，则质点()

v/(m*s-1)

A.初速度为4m/s

B.所受合外力为4N4：3\

C.做匀变速直线运动()1~]»Ol—\»

12〃s12t/s

D.初速度的方向与合外力的方向垂直

答案：B

解析：由题图可知，质点在x轴方向的初速度为以=4m/s,在y轴方向的初速度内=3m/s,

则质点的初速度N=\v/+vy2=5m/s,故A错误；由题图可知，质点在x轴方向的加速度

a=2m/s2,在y轴方向做匀速直线运动，所以质点所受合力/合=根。=4N,故B正确；质

点在x轴方向的合力恒定不变，在y轴方向做匀速直线运动，在y轴方向合力为零，则质点

的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；质点的合力沿％轴方向，而初速度方向既

不沿x轴方向，也不沿y轴方向，所以质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误。

【变式2]质量m=2kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度以和内随时间变化的图线

如图2(a)、(b)所示，求：

(1)物体所受的合力;

(2)物体的初速度;

(3)£=8s时物体的速度;

02468t/s02468t/s

(4)t=4s内物体的位移。(a)(b)

=2

解析：(1)物体在％方向：&=0;y方向：ay="^0.5m/s

根据牛顿第二定律：/合=^%=1N,方向沿y轴正方向；

(2)由题图可知9)=3m/s,肛)=0,则物体的初速度为w=3m/s,方向沿无轴正方向.

(3)由题图知，£=8s时，以=3m/s,力=4m/s,物体的合速度为y=d《+¥=5m/s,设

速度方向与X轴正方向的夹角为0,则tan6=$0=53。,即速度方向与x轴正方向的夹角

为53。。

(4)r=4s内，尤=v/=12m,y—^ayt1—4m,物体的位移/=#/+俨司2.6m

设位移方向与无轴正方向的夹角为a,则tana=Z-，所以a=arctanL

X33

即与入轴正方向的夹角为arctan|o

三、抛体运动

1、概念：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

2、基本规律：以抛出点为原点，水平方向（初速度w方向）为无轴，竖直向下方向为y轴，

建立平面直角坐标系，贝

（1）水平方向：做匀速直线运动，速度以=%,位移X=TV；

（2）竖直方向：做自由落体运动，速度力=gf,位移尸那；

（3）合速度：丫川1十诏,方向与水平方向的夹角为仇则tan9=£=£；

（4）合位移：s=Yf+F方向与水平方向的夹角为a,tana=^=^-o

NJXZVo

3、对规律的理解

（1）飞行时间：由1=旧知,时间取决于下落高度心与初速度w无关；

（2）水平射程：x=nof=vo后，即水平射程由初速度no和下落高度〃共同决定，与其他因

素无关；

2

（3）落地速度：Vt=yjVx+vy=y]v0+2gh,以。表示落地速度与％轴正方向的夹角，有tan

vx=vQX

。=皆=+产，所以落地速度也只与初速度W和下落高度h有关；

（4）速度改变量：因为平抛运动的加速度为重力加速度g,所以做平抛运\\

动的物体在任意相等时间间隔加内的速度改变量An=g。相同，方向恒为J\

竖直向下，如图所示。

（5）两个重要推论

①做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此「专£：

时水平位移的中点，如图中A点和B点所示；----二条小

②做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平J

方向的夹角为a,位移方向与水平方向的夹角为仇贝hana=2tand。

3.1、平抛运动规律的应用

【例1]（多选）关于平抛物体的运动，以下说法正确的是（）

A.做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大

B.做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变

C.平抛物体的运动是匀变速运动

D.平抛物体的运动是变加速运动

答案：BC

解析：由平抛运动的概念可知：物体仅受重力的作用，则加速度恒定，做匀变速曲线运动，

故BC正确。

【变式1】在同一高处有两个小球同时开始运动，一个以水平初速抛出，另一个自由落下，

在它们运动过程中的每一时刻，有()

A.加速度不同，速度相同B.加速度相同，速度不同

C.下落的高度相同，位移不同D.下落的高度不同，位移不同

答案：BC

解析：平抛运动和自由落体运动的受力情况是相同的，它们的加速度是相同的；不同的是平

抛运动同时参与了两个分运动，速度和位移分别是相应的两个分速度和分位移的合成，因此,

经过相同的时间后它们的速度和位移是不同的。正确的答案是BCo

【变式21一个物体从某一确定的高度以vo的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt，

重力加速度为g，下列说法正确的是()

”1?Ivt~vo

A.它的运动时间是"二也B.它的运动时间是工^

g9

C.它的竖直方向位移是/D..它的位移是与琏

2g2g

答案：B

解析：物体竖直方向上的分速度为：%=—诏,根据Vy=gf得：t=£=土二.故B

正确，A错误；物体在竖直方向上的位移.为：3/=受=咚理。故C错误；水平位移为：x=

2g2g

v0t=p0£Eio则位移的大小为：sf2”手喑。故D错误，故选B。

【变式3】从某高度处以12m/s的初速度水平抛出一物体，经2s落地，不计空气阻力，g取

10m/s2o

求：(1)物体抛出时距地面的高度〃；

(2)物体落地点距抛出点的水平距离尤；

(3)刚落地时速度方向与水平方向的夹角9的正切值tanM

解：(1)根据|g产代入数据得物体抛出点距离地面的高度为：〃=20m；

(2)物体落地点距抛出点的水平距离为：%=vot=12X2m=24m；

(3)物体落地时的竖直分速度为：％=gt=10x2m/s=20m/s„

根据平行四边形定则知：tanO=^=T=J

VQ153

4.斜抛运动：将物体以初速度即斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.

5.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.

6.研究方法：运动的合成与分解

（1）水平方向：匀速直线运动；

（2）竖直方向：匀变速直线运动.

7.基本规律（以斜上抛运动为例，如图所示）『

（1）水平方向：Vox—Vbcos9,尸件*=0；%|_沸一^

（2）竖直方向：voy—vbsin9,F合产mg.胫4一

8、特点：

（1）水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动；

（2）最高点竖直方向的速度为零;

3.2、斜抛运动应用

【例3】有A、8两小球，8的质量为4的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不

计空气阻力，如图所示，①为A的运动轨迹，则8的运动轨迹是（）

A.①B.②C.③D.@

答案：A

解析：物体做些抛运动的轨迹只与初速度有关，与物体的质量无关，则A、B两物体的运动

轨迹相同，故选A。

【变式4】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不

计空气阻力，若抛时点B向篮板方向移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则

可行的是（）

A.增大抛射速度vo，同时减小抛射角。

B.减小抛射速度vo，同时减小抛射角。

C.增大抛射角0,同时减小抛出速度vo

D.增大抛射角0,同时增大抛出速度vo

答案：C

解析：可以将篮球的运动等效成篮球做平抛运动，当水平速度越大时，抛出后落地的速度越

大，与水平面的夹角则越小，若水平速度越小，则落地速度变小，但与水平面的夹角变大,

因此只有增大抛射角，同时减小抛出速度，才能垂直打到篮球板上，故选C。

3.3、探究平抛运动的特点

【例3】(1)为了研究平抛物体的运动，可

做下面的实验：如图甲所示，用小锤打击弹

性金属片，B球就水平飞出，同时A球被松

开，做自由落体运动，两球同时落到地面；

如图乙所示的实验：将两个完全相同的斜滑道固定在同一竖直面内，最下端水平。把两个

质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板连接，则将观

察到的现象是球1落到水平木板上击中球2,这两个实验说明

A.甲实验只能说明平抛运动在竖直方向做自由落体运动

B.乙实验只能说明平抛运动在水平方向做匀速直线运动

C.不能说明上述规律中的任何一条

D.甲、乙二个实验均能同时说明平抛运动在水平、竖直方向上的运动性质

(2)关于“研究物体平抛运动”实验，下列说法正确的是

A.小球与斜槽之间有摩擦会增大实验误差

B.安装斜槽时其末端切线应水平

C.小球必须每次从斜槽上同一位置由静止开始释放

D.小球在斜槽上释放的位置离斜槽末端的高度尽可能低一些。

E.将木板校准到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直平面平行

F.在白纸上记录斜槽末端槽口的位置。作为小球做平抛运动的起点和所建坐标系的原点

(3)如图丙，某同学在做平抛运动实验时得出如图丁所示的小球运动轨迹，。、b.c三点

的位置在运动轨迹上已标出。贝U：(g取lOm/s?)

②小球运动到b点的速度为m/s

③抛出点坐标x=cm,y=emo

答案：(1)AB(2)BCE(3)22.5-10-1.25

解析：(1)用小锤打击弹性金属片，B球就水平飞出，同时球被松开，做自由落体运动，

两球同时落到地面，知B球竖直方向上的运动规律与A球相同，即平抛运动竖直方向

上做自由落体运动，故A正确，B、把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时

释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2,知1

球在水平方向上的运动规律与2球相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，故B

正确，C、D错误。

(2)A、小球与斜槽之间有摩擦，不会影响小球做平抛运动，故A错误；B、研究平抛运动

的实验很关键的地方是要保证小球能够水平飞出，只有水平飞出时小球才做平抛运动，则安

装实验装置时，斜槽末端切线必须水平的目的是为了保证小球飞出时初速度水平，故B正

确；C、由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次

平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，故C正确，D、小球在斜槽上释放

的位置离斜槽末端的高度不能太低，故D错误，E、根据平抛运动的特点可知其运动轨迹在

竖直平面内，因此在实验前，应使用重锤线调整面板在竖直平面内，即要求木板平面与小球

下落的竖直平面平行，故E正确，F、在白纸上记录斜槽末端槽口的位置O,不能作为小球

做平抛运动的起点故F错误；故选：BCE»

(3)①在竖直方向上：Ay=g72,贝q：7=聆=患s=0.1s,小球平抛运动的初速度:

%=，=yfm/s=2ni/s。②小球运动到b点时，竖直方向的速度大小：4=攀=l-5m/s,

则小球运动到b点的速度为：v=J诏+琢=2.5m/so③抛出点到b点的运动时间为：t'=

j=0.15s,所以水平方向的位移为：=vt'=0.3m,竖直方向的位移为：、1=19产=

0.1125m,所以抛出点的坐标为：x=xb-x'=-10cm,y=yb-y'=—1.25cmo

【变式5】(2019年怀化三中月考)用实验室的斜面小槽等器材装配如图甲所示的实验装

置，小槽末端水平。每次都使钢球在斜槽上从同一位置由静止滚下，钢球在空中做平抛运

动，设法用铅笔描出小球球心经过的位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。

(1)某同学在安装实验装置和进行其余的实验操作时都准确无误，他在分析数据时所建立

的坐标系如图乙所示。他的错误之处是

（2）该同学根据自己所建立的坐标系，在描出的平抛运动轨迹图上任取一点（x,y）,运

用公式％=：,求小球的初速度vo,这样测得的平抛初速度值与真实值相比（选填“偏

大”“偏小”或“相等”

（3）该同学在自己建立的坐标系中描绘出钢球做平抛运动的轨迹及数据如图丙所示，据图

象可求得钢球做平抛运动的初速度为m/s,钢球的半径为emo

答案：（1）坐标原点。的位置不该选在斜槽的末端，而应上移至小球圆心在白纸的投影处；

（2）偏大（3）2.02.0

解析：（2）由于坐标原点偏下，所以在计算飞行时间：t=旧时偏小，由：氏=（可知：实

验求出的初速度比真实值偏大；

（3）在竖直方向上，根据：Ay=gT2得：7=后=舟=Q.ls,则平抛运动的初速度:

A33

v0=|=^|m/s=2.0zn/s。纵坐标为18cm处的竖直分速度为:%=°~^,°m/s=2.0m/s；

抛出点到该点的竖直位移为：y==0.2m=20cm,则钢球的半径为：^20-18cm=2cmo

重点突破

1、小船过河

小船渡河的两类模型

时间最短位移最短1

渡河情景

7777^77777777777^7，森〃J

船头斜向上游，与合速

渡河条件船头垂直于河岸船头斜向上游且V船＞丫水

度方向垂直，且V水〉V船

渡河结果最短时间〜最短位移为河宽d最短位移为4

U船

【例1】关于轮船渡河，正确的说法是（）

A.水流的速度越大，渡河的时间越长

B.欲使轮船垂直驶达对岸，船头的指向应垂直河岸

C.欲使渡河时间越短，船头的指向应垂直河岸

D.轮船相对水的速度越大，渡河时间一定越短

答案：c

解析：船实际参与了两个方向的运动，沿穿透指向的匀速运动的盐水流方向的语速运动，两

个分运动同时发生，互不影响，渡河时间取决于垂直于河岸方向的分速度，与水流方向的速

度无关，A错误；欲使轮船垂直到达河岸，船头一定指向河流的上游成一定的夹角，B错误；

要使渡河时间最短，则船头应垂直指向河对岸，C正确；D错误。

【变式1】一条河的宽度为100m,船在静水中的速度为4m/s,水流的速度5m/s,则（）

A.该船能垂直河岸横渡到对岸

B.当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短

C.当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100m

D.该船渡到对岸时，船的位移可能等于100m

答案：B

解析：根据题意可知，由于船在静水中的速度为4m/s,水流的速度5m/s,船速小于水速，

则无论船头指向哪个方向，都不可能使船垂直驶向对岸，A错误；根据t=—可知，要

使f最小，需要。最大，即船头与河岸垂直，B正确；当船头垂直于河岸时渡河时间1=上=

%

黑5=25s,沿水流方向的位移为y=v2t=5m/sx25s=125m,故实际位移应大于125m,

C错误；由于船速小于水速，船不可能垂直到达对岸，位移应大于100m,D错误。

【变式2】如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大，一条小船保持船头垂直

于河岸的方向匀速航行。现沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系尤Oy,则该小船渡

河的大致轨迹是（）

答案：C

解析：小船垂直于河岸方向航行的速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因此小船过河过

程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特点可知，加速

度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项C正确。

【变式3】一小船过河时，船头与上游河岸夹角为a,其航线恰好垂直于河岸。已知小船在

静水中的速度为V。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措

施中可行的是（）

A.减小a角，减小船速vB.减小a角，增大船速v

C.增大a角，增大船速vD.增大a角，减小船速v

答案：B

解析：由题意可知，小船相对水的速度为V,其航线恰好垂直于河岸，如：一

图所示，当水流速度也稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，游U'忌晨

则船速变化如图M所示，可知B正确。也

2、关联物体的速度分解

绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两者的速度是有联系的

（一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等）。

1.绳（杆）端速度的分解思路

注意：是分解物体的实际运动，故应

先分析物体的实际运动，然后再沿

绳方向和垂直于运动方向分解。

2.四种常见的速度分解模型

【例1】如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,设

重物和汽车的速度的大小分别为VB、VA，贝（1（）

A.VA~VBB.VA<VB

C.VA>VBD.重物B的速度逐渐增大

答案：CD

解析如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度VA可以产生两个运动效果:

一是使绳子伸长；二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速，s

度山应有沿绳方向的分速度V0和垂直绳的分速度也，由运动的分解/飞

可得V0=VACOsa；又由于VB=vo，所以VA>VB,故C正确.因为随

着汽车向左行驶，a角逐渐减小，所以诙逐渐增大，故D正确.

【变式1】（多选）如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为相，水的阻力恒为力当轻绳

与水平面的夹角为。时，船的速度为v,此时人的拉力大小为R贝1|（）

A.人拉绳行走的速度为vcos6

B.人拉绳行走的速度为啖

cos6

C.船的加速度为照"

m

D.船的加速度为匕

m

答案：AC

解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮

顺时针转动，因此将船的速度进行分解，如图所示，人拉绳行走的速度v人

=vcos0,A对、B错;绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为

F,与水平方向成（9角，因此5cos<9—/=〃皿，得。="黑工C对、D错。

【例2】如图所示，一根长直轻杆A8在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动。当A8杆和墙面

的夹角为。时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为也，8端沿地面滑动的速度大小为也。

也、丫2的关系是（）

A.V1=V2B.vi=V2COS3

C.vi—vitan0D.也=vzsin0

答案：C

解析：将A、8两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿方向的速度

分别为和也〃，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有也〃=vicos

6,V2/z=V2sin0,由也〃=也〃，得也=V2tanO,选项C正确。

【变式2】如图所示，杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水平杆0C上的质

量为M的小环运动。运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度

将（）

A.逐渐增大B.先减小后增大

C.先增大后减小D.逐渐减小

答案：A

解析：设经过时间t,ZOAB^mt,则AM的长度为」则A2杆上小环M绕A点运动的

coscot

线速度u=3•-^。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆

coscot

方向的分速度大小等于小环〃绕A点运动的线速度v,则小环M的速度式=—=」之，

costotcosza）t

随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故A正确，B、C、D错误。

3、平抛运动斜面问题

1、顺着斜面抛（分解位移）

2ootan0

x—voty=]gPtan8=]可求得t=

g

末速度方向与初速度无关；运动时间/与初速度成正比

tan&=2tan8（a为末速度与初速度夹角，0为位移与初速度夹角）

votan9

离斜面最远时为整个过程的时间中点：分解末速度由Vy=g，得/'=

g

2、对着斜面抛：

（1）垂直砸在斜面上（分解速度）:

八VoVo

。kgrtan6=『不

可求得片品

（2）随意砸在斜面上（分解位移，考查不多）

【例1】在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和;的速度沿同一方向水平抛出，两球都

落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

答案：A

解析：设斜面倾角为a,小球落在斜面上速度方向偏向角为仇甲球以速度v抛出，落在斜

面上，如图所示;

根据平抛运动的推论可得tan0=2tana,所以甲乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等;

故对甲有："甲=焉

V

对乙有:V=--------

乙72cos0

所以匕=2,故A正确、BCD错误。

v乙1

【变式1】一水平抛出的小球落到一倾角为6的斜面上时，其速度方向Oy

、

与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示.小球在竖直方向下落的距离与

在水平方向通过的距离之比为（）上

A-B-嬴C.tan。D.2tan8

答案：B

解析：如图平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角0,则有：tan。=%

gt

则下落高度与水平射程之比为==所以B正确。

课堂练习

1、下列说法中正确的是（）

A.物体的运动状态改变，它一定在做曲线运动

B.物体做曲线运动，它的运动状态一定在改变

C.物体做曲线运动时，它的加速度方向和速度方向一定相同

D.物体做曲线运动时，它的加速度方向一定不变

答案：B

解析：物体的运动状态改变，物体可以做曲线运动也可以做匀变速直线运动，A错误；物

体做曲线运动，必然有加速度，则物体的运动状态一定会改变；B正确；物体做曲线运动

的条件是加速度方向不共线，C错误；物体做曲线运动的加速度可以改变，D错误。

2、下列关于曲线运动的说法正确的是（）

A.做曲线运动的物体速度方向一定变化，则加速度也一定变化

B.一个是匀变速直线运动，另一个是匀速直线运动，则物体的运动一定匀变速运动

C.合运动的加速度一定比每个分运动加速度大

D,由于曲线运动的两个分运动的是彼此独立的，所以分运动的时间可以不相等

答案：B

解析：做曲线运动的物体可以受恒力的作用，则加速度可以不变，A错误；一个是匀变速

直线运动，另一个是匀速直线运动，则物体的合运动加速度不变，则物体一定做匀变速运

动，B正确；加速度是矢量，矢量和不一定比每一个分矢量大，C错误；分运动的时间以

定相等，D错误。

3、如图所示，一物体由静止开始下落一小段时间后突然受一恒定水平风力的作用，但着地

前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹的情况可能是图中的（）

ABCD

答案：C

解析：在曲线运动中，合力一定在轨迹的凹侧内。

4、如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体

拉着匀速向上运动.则关于拉力厂及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是（）

A.P不变、v不变

B.F增大、v不变

C.尸增大、v增大

D.F增大、v减小

答案：D

解析：设绳子与竖直方向上的夹角为0,因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零,

有：Feos0=mg,因为。增大，则尸增大.物体A沿绳子方向上的分速度尸v物cos仇因

为。增大，则1，减小.D正确。

5、游泳运动员以恒定的速率垂直于河岸渡河，当水速突然变大时，对运动员渡河时间和经

历的路程产生的影响是（）

A.路程变大，时间延长B.路程变大，时间缩短

C.路程变大，时间不变D.路程和时间均不变

答案：C

解析：运动员渡河可以看成是两个运动的合运动：垂直河岸的运动和沿河岸的运动.运动员

以恒定的速率垂直河岸渡河，在垂直河岸方向的分速度恒定，由分运动的独立性原理可知,

渡河时间不变；但是水速变大，沿河岸方向的运动速度变大，因时间不变，则沿河岸方向的

分位移变大，总路程变大，故选项C正确。

6、如图所示，钢球从斜槽轨道末端以V0的水平速度飞出，经过时间r

落在斜靠的挡板A8中点。若钢球以2Vo的速度水平飞出，则（）

A.下落时间仍为fB.下落时间为2f

C.下落时间为D.落在挡板底端2点

答案：C

解析：钢球做平抛运动，落到斜挡板上时，斜挡板的倾角表示位移与水平方向的夹角，

12

tan6=2f1=里解得下落时间为：”2/tan",

vot2v0g

假设初速度为2%时，钢球仍落到斜挡板上，则下落时间f=2t,竖直方向上下落高度

〃=产=46,其中为为以w的水平速度飞出时下落的高度，故钢球落到了地面上，假设

不成立。钢球落到地面上，下落高度为2儿