2021-2022学年度强化训练北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节测试试卷（含答案详解）

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节测试

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

2_衿④""=3:4:5,能判定

1、下列条件：®b2=c2-a2i②③a:O:c=

3

△48C是直角三角形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2、下列各组线段中,能构成直角三角形的一组是（)

A.5,9,12B.7,12,13C.30,40,50D.3,4,6

3、下列四组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.5,13,12B.6,8,10C.9,12,15D.3,4,6

4、如图，RtAABC中,NS=90。，点尸在边49上，CP邛■分4ACB,阳=3cm,J^lOcm,则△/只7的

面积是（）

A.15cm2B.22.5cm2C.30cm2D.45cm2

5、已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为（）

A.10B.15C.17D.19

6、下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）

A.1,2,y/5B.8,9,10C.石，26，713D.小,4,x/5

7、如图，等腰△中，AB=AC,ZBAC=120°,JL。。于〃，点〃是线段力〃上一点，点户

是的延长线上一点，若OP=OC,则下列结论：①Z4PO+ZDCO=30°；②Z4PO=ZDCO：③APOC

是等边三角形；④A8=OA+AP.其中正确的是（）

A.①®@B.①②③C.②③④D.①②③④

8、如图，等题直角4中，OA=OB,过点力作ADJ.04,若线段OA上一点C满足

NCDB=ZOBD，则NCBD的度数为（）

A.42°B.43°C.45°D.63。

9、卜列命题是真命题的是（）

A.等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

B.一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度

C.有两个角是60°的三角形是等边三角形

D.在△力比中，ZA=ZB=2ZC,则△/优为直角三角形

10、一副三角板如图放置，点力在妒的延长线上，ZD=ZBAC=90°,N£=30°,ZC=45°,若

BC//DA,则N4断的度数为（）

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，四边形A6C£＞中，AD//BC,连接B。，8。平分NABC,£是直线上一点，A8=8,

DE=2,则4E的长为______.

2、如图，4408=42。，。为。8上的定点，P、2分别为OA、08上两个动点，当CP+PQ的值最小

时，NOCP的度数为_____.

p.

3、如图，△中，AB1AC,AD_LBC于〃，ZB=3O°,则%0c:5郎以

4、如图，在4中，皿为况边上的中线，CEtAB于点、邑力。与应交于点尸，连接BF.若BF

平分448C,EF=2,BC=8,则〃的面积为

5、如图,在4中，AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点D,△48。的周长为13cm,

AE=4.5cm,贝lj△的周长cm.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点力在y轴上，点氏，在尸轴上，（一4,0）,

=30°.

(1)求线段力C的长；

(2)点产从。点出发沿射线。以每秒2个单位长度的速度运动，过点力作1，点厂在y

轴的左侧，=，过点尸作1轴，垂足为匕设点尸的运动时间为2秒，请用含［的

式子表示"的长；

(3)在(2)的条件下，直线加交y轴于点儿(4、20,当=时，求1的值，并求出点

户的坐标.

备用图

2、已知N"份120°，点46分别在砒OQ上,OAVOB,连接力6,在43上方作等边△力成；点〃

是加延长线上一点，且AB=AD,连接4?

(1)补全图形；

(2)连接M求证：/COQ乙COQ：

(3)连接切，CD交OP于点、F,请你写出一个N加6的值,使小如■比'一定成立，并证明

备用图

3、在平面直角坐标系中，A(a,0),B(/>,0),C(c,0),aWO且&b,。满足条件(+产+

(1)直接写出△月比的形状;

(2)点〃为射线比'上一动点，£'为射线C。上一点，且Na氏120」，NAg6V

①如图1,当点£与点。重合时，求力。的长；

②如图2,当点〃运动到线段3C上且上28，求点〃的坐标；

4、数学课上，老师正在讲尺规作图专题，发现湘琪同学在走神，便叫她上黑板，完成如下尺规作

图：己知直线/及直线，外一点巴要过点尸作直线/的平行线.由于走神只记得用尺规作图法作线

段垂直平分线的湘琪同学，灵机一动，用尺规完成了如下作图步骤：

①在直线/上取一点4连接印;②作为的垂直平分线分别交直线),P4于点B,0；

③以。为圆心，加长为半径画弧，交直线MV于另一点。；④连接直线AQ

则直线图即为所求.请根据湘琪同学的作图方法，回答下列问题：

(1)湘琪同学通过尺规作图构造的相等的线段有：OB=_____,OP=

(2)证明：PQ//1.

5、如图，4ABe中,乙48c=45°,尸是高月〃和高比'的交点，AC=下,BD=2.求线段所的长度.

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论.

【详解】

解：①从=。2一/即/+/=/,是直角三角形，故①符合题意;

②•・•/1+N班N0180°,/俏N4-/8,

・•・/4力-N於180°,即N4=90°,

，△力阳是直角三角形，故②符合题意：

③丁a:/?:c=-J：L

345

、n_k,kk

设声彳，b=—,c=—,

345

•••△4坑?不是直角三角形，故③不合题意;

®VZA:ZB:ZC=3:4:5,

：.ZC=-^--Xl80°=75°,故不是直角三角形；故④不合题意.

3+4+5

综上，符合题意的有①②，共2个，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三

角形；②如果一个三角形的三边a,b,c满足4+斤=/,那么这个三角形是直角三角形.

2、C

【分析】

根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即

可.

【详解】

解：A、・・・52+92*122,・••该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；

B、・・・72+12?W132,・♦・该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；

C、・・・302+402=5()2,.,•该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；

D、・・・32+42金62,・••该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三带形，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定

最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

3、D

【分析】

根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

【详解】

解：A、52+122=132,故A不符合题意.

B、6+82=10，故B不符合题意.

C、92+122=15\故C不符合题意.

D、32+42^62,故D符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题主要是考查了勾股定理的逆定理，熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形，是解决本

题的关键.

4、A

【分析】

过点尸作用〃■力。于〃由角平分线的性质可得小畛3cm,然后利用三角形面积公式求解即可.

【详解】

解：如图所示，过点夕作切于〃

YCP平■分乙ACB,N庐90°,PDYAC

・•・》/登3cm,

2

S-CP=AC-PD=15cm,

故选A.

A

D

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，三角形面枳，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关

键.

5、C

【分析】

等腰三角形两边的长为3和7,具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论.

【详解】

解：①当腰是3,底边是7时，3+3V7,不满足三角形的三边关系，因此舍去.

②当底边是3,腰长是7时，3+7>7,能构成三角形，则其周长=3+7-7=17.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分

类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键.

6、A

【分析】

比较较小的两边的平方和是否等于较长边的平方来判定即可.

【详解】

解：A、12+2?=（布能构造直角三角形，故符合题意；

B、8,+9,10"不能构造直角三角形，故不符合题意；

C、（6）2+（2百）2工（形儿不能构造直角三角形，故不符合题意；

D、（6尸+（4）2=（右）2,不能构造直角三角形，故不符合题意；

故选：A.

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理，三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形，

熟练运用这个定理是解题关键.

7、A

【分析】

例用等边对等角得：ZAPO=ZABO,2DC0=4DB0,则NAP8NDCO=NAB仇NDBO=NABD,据此

即可求解；②因为点。是线段月〃上一点，所以切不一定是/力切的角平分线，可作判断；③证明

NPOC=60°且OP=OC,即可证得△/个是等边三角形；④证明必丝△匹，贝出得力。=

AE^CE=A(AAP.

【详解】

解：①如图1,连接如，

•:AB=AC,ADLBQ

:・BD=CD,^BAD=\ZBAC=\X120°=60°,

：.OB=OC,ZABC=90°-NBAD=300

•：OP=OC,

：.OB=OC=OP,

:"APO=/ABO,ADCO=ZDBO,

:/AP伊/DCO=/ABd/DBO=/ABD=3G,故①正确;

②由①知：ZAPO=AABO,4DCO=/DBO,

・・•点。是线段力〃上一点,

/.N/阳与N〃阳不一定相等，

则与NZT。不一定相等，故②不正确;

③*：/APC+/DCR4PBe=\8¥,

・•・/力户小NM』150°,

,:ZAP小/DCO=30°,

：.ZOP&ZOCP=120°,

：.ZPOC=180°-QNOP仔/OCP)=60°,

♦：OP=OC,

七是等边三角形，故③正确；

④如图2,在力。上截取熊=为，

图2

•・•/月£=180°-/BAC=60°,

・・・△/1%是等边三角形，

・•・/陶=/力比=60°,PE=PA,

:"APe/OPE=6C,

Y/OPE+4CPE=/CPO=价,

:・/APO=/CPE,

♦：OP=CP,

在40必和△。叨中,

PA=PE

«NAPO=/CPE,

OP=CP

・•・△烟g△鹿（必S）,

：.AO=CE.

：.AC=AE^CE=AO^APf

：.AB=AO^AP,故④正确；

正确的结论有：①③④，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知

识，正确作出辅助线是解决问题的关键.

8、C

【分析】

过点8作交AO的延长线于E,BF上CD于F,由“A4S”可证,可得

BE=BF=BOtZEBD=NFBD,由“"可证肋ABCF府/CO,可得NOBC=NCBF,即可求解.

【详解】

解：如图，过点3作班;_LAD,交AD的延长线于E,8FJ_C0于产,

•.•ADJLAO,BDA.AO,

:.ADI/BO,

..ZEDB=NDBO,

又4CDB=4)BD,

:.^EDB=ZBDCf

•.•440=45。，DAA.AO,

.•.4MB=440=45°,

又•：BE上AD,BOVAOy

BE=BO,

在拉尼D和M")中，

ZE=ZBFD=90°

NBDE=/BDF,

BD=BD

:.^BED^^FD(AAS),

:.BE=BF=BO,NEBD=/FBD,

在Rt^BCF和RiABCO中，

BF=BO

BC=BC'

：•Rl^BC/*^=Rt^RCO,

:"OBC=/CBF,

ZE+NE4O+ZAQB+NQ8E=360。，

/.ZOBE=90°,

J.Z.EBD+ZDBF+"BC+ZCBO=9(尸，

..ZDBC=45°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅

助线构造全等三角形是本题的关键.

9、C

【分析】

分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判

断.

【详解】

A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错

误；

B.三角形的内角和为180°,故此选项错误；

C.有两个角是60°,则第三个角为180。-60。-60。=60。，所以三角形是等边三角形，故此选项正确：

D.设NC=x,则ZA=NB=2x,故2x+2x+x=180°,解得x=36。，所以Z4=N8=72。，ZC=36°,

此三角形不是直角三角形，故此选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键.

10、A

【分析】

先求出N周决60°,乙仍R45°,由BC〃AD,得到N夕注/砸之0°,蛆"AB六/FBG

【详解】

解：•：/D=/BAC=90°,NQ30°,NC=45°,

・•・/9氏60“,N微；45"，

9

：BC//ADt

:・/EFD=/FBO600,

AB24FBJ4ABg30,

故选A.

【点睛】

本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键.

二、填空题

1、6或10

【分析】

先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD,再根据点E在。的左边和右边分别求解即可；

【详解】

丁班）平分NABC,

:.ZABD=/CBD,

VAD//BC,

：.^ADB=ZCBD,

:,ZABD:ZADB,

・•・△4?。是等腰三角形，

：.AB=AD,

当点£在线段49上时，

VA5=8,DE=2,

：.AE=AD-DE=S-2=6,

当点后在线段49延长线上时，

VA5=8,DE=2,

/.AE=A£>+DE=8+2=10；

故答案是：6或10.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出｛3=力〃是解题的关键.

2、6°

【分析】

作点C关于直线OA的对称点C',连接CC',交OA于点D,过点C作CM_L03,交04于点N,根

据CP+PQ="+PQNC。，且当C0_L8。时最小，所以当CP+PQ的值最小时，当点P与点N重

合，点。与点M重合时，此时NOCP等于/OCN,进而根据直角三角形的两锐角互余，以及角度的

和差关系求得NOCN即可

【详解】

解：如图，作点C关于直线OA的对称点C',连接CC,交。A于点。，过点C'作CMJ.O8,交。A

于点N,

A

MQcB

CP=CP,

：.CP+PQ=CP+PQ>CQf且当CQ_LBO时最小，

所以当CP+PQ的值最小时，当点尸与点N重合，点。与点“重合时，此时NOCP等于NOCN,

•••CC±OA

又ZAO8=42。

ZDCN+ZCWD=90°,ZAOC+KONM=90°,ZONM=ZCNA

^CCM=ZAOB=42°

"DCO=90°-ZAOC=48°

根据对称性可得ZNCD=NDCD=4不

^NCO=4DCM-ZDCM=48°-42°=6°

.•.当CP+PQ的值最小时，NOC尸的度数为6。

故答案为：6°

【点睛】

本题考查了根据轴对称求最短线段和，垂线段最短，直角三角形的，根据题意作出图形是解题的关

键.

3、1：3

【分析】

利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比.

【详解】

VABLAC,AD±BCfN8=30°

：.ZB=ZDAC=30°

・・・MAG4O中，AC=2CD

油AA8C中，BC=2AC

：.8c=48

:.BD=3CD

**•S^DC'SABDA=CD:BD=1:3

故答案为：1:3.

【点睛】

本题考查30°直角三角形的性质，两次使用30度角所对的直角边是斜边的一半时解题的关键.

4、4

【分析】

过夕作R；_L&于G,根据角平分线的性质求得&X炉2,再根据三角形一边上的中线将三角形面积平

分求解即可.

【详解】

解：过b作咫_L比于G

•・•郎平分乙ABC,FGLBC,CE1ABBPEFVAB,

：.FG=EF=2t

•:AD为AABC的5c边上的中线，

・•・&；为△势。的ZT边上在中线，又除8,

x

S4a后；ISA/IWF—x-BC•FG=-~~X8X2=4>

22222

故答案为：4.

【点睛】

本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定

理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键.

5、22

【分析】

根据“AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D”可知应是］。的垂直平分线，利用中垂线的性质可

得DC=DA,由△ABO的周长为48+即力介13cm,可知AB+BC=12,再求力研华4.5+4.5=9cm,从而

可以得到△力比'的周长.

【详解】

解：•・•〃£、是力。的垂直平分线，

:・DA=DC,A拄CE=4.5cm

•.AC=AE^CB=4.5+4.5=9cm,

VAABD的周长为AB^BD^AD-AB^BD^DC-A&rBO13cm,

J△力比'的周长为：力班“4>13+9=22cm.

故答案为22.

A

E

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质，知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，将△力放

的周长转化为力加欧是解题的关键.

三、解答题

1、(1)8,(2)见解析，(3)(-2百-6,2百+6)或(百-3,6+3)；

【分析】

(1)根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出勿长，即可求力。长；

(2)作尸于G,证△加注△*G,得出斯=AG,用含方的式子表示月G的长即可；

(3)作川_L仍于M证RtZXZO也RtZU得出N8KO=NACO=30°,求出心的长即可求I的

值，求出内尸、61V的长即可求坐标.

【详解】

解：⑴V5(-4,0),OA=OBf

・•・04=08=4,

VZACO=30°,NAO8=90°,

J/IC=204=8；

(2)作RLLOl于G,当点尸在线段。上时，CP-2t,力片8-2£,

VAF±AP,FELy

:.ZAEF=ZPGA=ZFAP=90°,

:./LEAF+ZE4G=ZPAG+ZAPG=9D°，

：.ZEAF=ZAPG,

VAF=APf

•••△力/年△为G,

:,EF=AG,

VNACO=30°,

ZC4O=60°,

/.ZAPG=30°,

:.EF=AG=^AP=^(8-2t)=4-ti

当点尸在线段。延长线上时，Ck2t,AP=2t-8,

同理可得△力,△为G,

(3)作PN10B于N,

如图，VBK=AC,OA=OB,ZAOB=ZAOC=90°,

:.NBKO=ZACO=30°,OK=OC=46，AK=OK-OC=4y/3-4

VNC4O="4K=60°,

・・・NAPK=NBPC=90。，

・•・AP=-AK=-(4>/3-4)=26-2,

22

此时，点尸在线段。延长线上，

/.2/-8=2>/3-2,

"百+3；

VBC=OB+OC=46+4,

/.BP=-BC=2x/3+2,

2

•:PN10B,

'：ZKBO=ZOAC=6QPt

:•NBPN=3小,

：.BN=-BP=y/3+\,

2

：・ON=OB-BN=3-也,

9

：CP=AP+AC=2yf3+6t

；・NP=LPC=6+3,

2

点〃的坐标为(6-3,V3+3)

如图，同理可知Rt△仇"丝Rt△小吃

ZG4O=Z/<4Ar=60o,

♦：OA=OB,

・•.N0W=NO84=45°,

：.ZABP=ZBAP=15°,

：.PA=PB,

・•・NA尸8=NACO=30°,

BC=PB=4+4y/3,

AAP=4g+4,

2/-8=4百+4,

f=2&+6,

同理可得，NP=；PC=2舟6,BN总BP=2g+2,ON=OB+BN=6+2抠,

点〃的坐标为（-26-6,2>/3+6）;

综上，点户的坐标为（-2b-6,2>/3+6）或（6-3,石+3）;

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线,

通过证明三角形全等，得出线段之间的关系.

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）/的比150°,见解析

【分析】

（1）依据题意作出相应图形即可：

（2）在园上截取脂力0,连接函由等边三角形的性质得，C归CB,N力小60°

由同角的补角相等得/。3/龙区由%S证得A。。和△鹿全等，即可得证；

（3）由N为炉150°,DA=AB,得NAD小NAB庐15°,由等边三角形性质，可得NCAB=/CBA=/ACB

=60°,故氏150°,由等边对等角得N/叱N力6ZM50,由此/〃叱NZO=75°,由等角对等边

得D片DC再由N/W=120°,/BDC=30°,得NM>90。,等量代换即可得证.

【详解】

解：(1)如图所示:

(2)证明如下:

在制上截取法47,连接必

•・•△力戈?为等边三角形,

:.C归CB,NACB=60°

VZW12O0,

・・・N。祇N6W=180°

•：/CB-CB方18Q0,

:"CA9/CBE,

CA=CB

在A。。和△鹿中，NCAO=NCBE,

AO=BE

:.XCAgXCBE(2S),

：.CO=CE,4C0A=4CEB,

：・/CO田/CEB,

：・4C04/C0Q)

(3)N的庐150°,

如图：

TN的比150°,DA=AB,

：.ZADB=ZABD=15°

为等边三角形，

:・/CAB=/CBA=/ACB=6。°,

介150°,

•：AD=ACt

：.ZADOZACD=15°,

：.4DBO4DCB^5。,

：.DB=DC,

・・・N/W=120。，NBDC=3G0,

:./D吩9c

'：AD-AC.

:.DF-FC

C.DO-OC

♦：DB=D80B,

:.DmCSOB,

：.CD=OB+OC.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加

辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.

3、(1)等腰三角形，证明见解析；(2)①6；②E(0,・7).

【分析】

(1)先证明。=-"冉证明OA=O8、AC=BC,从而可得答案；

(2)①先证明△AC。是等边三角形，可得AZ)=CZ)=AC,再证明AZ)=AC=3C,

再利用含30°的直角三角形的性质求解8C=6,从而可得答案；②在〃上取点R使庐勿，连接

DF,记ARCE的交点为£如图所示：证明△6ZA是等边三角形，再证明△力小△力为(力力S),可

得AC=EF,再求解放=2,C2CD=4,再求解除10-3=7,从而可得答案.

【详解】

解：(1)•••(67+Z?)2+7^3=0,

\a+b=(S

\1

]c-3=0

「，\a--b

解得:|c=3

二A(-b,0),B(6,0),C(3,0),

OA=OB,而OCJ,A8,

AC=BC,

.•4ABC是等腰三角形.

(