1.3 集合的基本运算（第一课时 补集）-2024-2025学年高一数学人教版

第1章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算（补集）

人教A版2019必修第一册情景导入一日在庙里静坐,老和尚问小和尚:“如果你前进是死,后退是亡,那你怎么办?”小和尚说:“我从旁边绕过去.”问题:若将老和尚设定的运动方向作为元素,构成一个集合C={前进,后退},则怎样描述集合A={前进}与B={后退}的关系?集合A={前进}与B={后退}互补.没有公共元素.温故知新并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}交集由组成的集合，称为集合A与B的交集，记作(读作“A交B”)A∩B={x|x∈A且x∈B}

ABAB概念讲解思考：观察下列三个集合:集合S与集合A、B之间有什么关系？S={x|x是高一年级的同学},A={x|x是高一年级参加军训的同学},B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}.通过观察可以发现，集合A,B与集合S之间具有一种关系：S=A∪B由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B.概念讲解全集如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.定义思考：全集一定包含任何元素吗?提示:不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可.概念讲解补集

对于一个集合A

，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集．记作：СUA定义文字语言符号语言图形语言性

质

AСUAU

概念讲解例1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB.解：U={1，2，3，4，5，6，7，8}

CUA={4，5，6，7，8}CUB={1，2，7，8}概念讲解例2．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，СU（A∪B）解：根据三角形的分类可知A∩B＝⌀，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，СU（A∪B）＝{x|x是直角三角形}概念讲解方法总结

补集的求解步骤及方法(1)步骤:①确定全集,在进行补集的简单运算时,应首先明确全集;②紧扣定义求解补集.(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集的性质求解.概念讲解练习1：已知全集U,A={1,3,5,7},CUA={2,4,6},CUB={1,4,6},求集合B

解：因为A={1,3,5,7},CUA={2,4,6},

所以U={1,2,3,4,5,6,7}.

又因为CUB={1,4,6},

所以B={2,3,5,7}.概念讲解

概念讲解1.已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是

.

分析：先求出∁RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.解:∵B={x|1<x<2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.概念讲解2.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.(1)若(∁RA)∪B≠R,求a的取值范围;(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.分析：本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.概念讲解解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x<0,或x>2}.设(∁RA)∪B=R,如图所示.∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<-1,或a>0}.(2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀,∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即{a|a<-1,或a>0}.概念讲解方法总结(1)运用补集思想求参数范围的方法:①否定已知条件考虑反面问题;②求解反面问题对应的参数范围;③将反面问题对应的参数范围取补集.(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.情景导入

已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？

事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．

应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．概念讲解思考1：观察以下几个例子，类比实数的加法运算，找出下面两个集合是否可以“相加”呢？(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6}(2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}通过观察可以发现，集合A,B与集合C之间具有一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.概念讲解并集一般地，由所有属于集合A或B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，定义文字语言符号语言图形语言AB说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．A∪B=B∪A;A∪A=

;A∪⌀=

;A⊆B⇔A∪B=B.AA性

质A∪B={x|x∈A,或x∈B}概念讲解例1.设集合A={4，5，6，8}，集合B={3，5，7，8},求A∪B。解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}注意：因为集合中的元素具有“互异性”，因此相同元素在并集中只出现一次。练习：设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(

)A．{0}

B．{0,2}

C．{－2,0}

D．{－2,0,2}

概念讲解例2.设A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3},求A∪B.解：A∪B={x|-1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3}={x|-1＜x＜3}。-1。1。2。30练习：已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(

)A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}

概念讲解思考2：观察以下几个集合，集合A,B与集合C之间有什么关系？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝（2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，

B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝，

C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．通过观察可以发现，集合A,B与集合C之间具有一种关系：集合C是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的.概念讲解交集一般地，由所有属于集合A且B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，定义文字语言符号语言图形语言A∩B=B∩A;A∩A=

;A∩⌀=

;A⊆B⇔A∩B=AA性

质A∩B={x|x∈A,且x∈B}AB⌀概念讲解

练习：设集合M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则M∩N=(

).A.{0,1}

B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}B概念讲解

概念讲解练习：已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=(

).A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x>5}C将集合A,B在数轴上标出,如图所示,由图可知A∩B={x|2<x<3},故选C概念讲解1.已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.分析:A∪B=A等价于B⊆A,分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.借助于数轴,列出关于m的不等式组,解不等式组得到m的取值范围.概念讲解解:∵A∪B=A,∴B⊆A.∵A={x|0≤x≤4}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>1-m,解得m>0.当B≠⌀时,用数轴表示集合A和B,如图所示,综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.概念讲解2.已知集合A={x|2a≤x≤