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文档简介
一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业52双曲线〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·开封市高三模拟试卷〗关于渐近线方程为x±y=0的双曲线有下述四个结论:①实轴长与虚轴长相等,②离心率是eq\r(2),③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等,④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为eq\r(2).其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①③C.①②③D.②③④2.〖2021·合肥市高三调研性检测〗已知双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(\r(2),2)x,实轴长为4,则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1B.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,8)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1C.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,8)=1D.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=13.〖2020·浙江卷〗已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3eq\r(4-x2)图象上的点,则|OP|=()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D.eq\r(10)4.〖2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试〗设双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cosα=eq\f(1,3),则C的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(7),2)D.25.〖2021·安徽安庆模拟〗点F1、F2分别是双曲线x2-eq\f(y2,8)=1的左、右焦点,直线4x-y-12=0与该双曲线交于两点P,Q,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=()A.4eq\r(2)B.4C.2eq\r(2)D.26.〖2021·唐山市高三年级摸底考试〗双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,点P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则S△OPF=()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.1D.27.〖2021·广州市高三年级阶段训练题〗已知F1,F2是双曲线C:eq\f(x2,a2)-y2=1(a>0)的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|=eq\r(2),则△ABF2的内切圆的半径为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2\r(3),3)8.〖2021·山西省八校高三联考〗已知双曲线E:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线E的一条渐近线上一点M满足|eq\o(MF,\s\up6(→))|=2b,若点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2))),则双曲线E的实轴长为()A.2eq\r(3)B.3C.4eq\r(3)D.eq\f(3,2)9.〖2021·福建省高三毕业班质量检查测试〗若双曲线上存在四点,使得以这四点为顶点的四边形是菱形,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,eq\r(2))B.(1,eq\r(3))C.(eq\r(2),+∞)D.(eq\r(3),+∞)10.〖2020·全国卷Ⅱ〗设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32二、填空题11.〖2021·武汉市高中毕业生学习质量检测〗已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点(4,1),则该双曲线的标准方程为________________.12.已知双曲线C:eq\f(x2,6)-eq\f(y2,3)=1,则C的右焦点的坐标为________;C的焦点到其渐近线的距离是________.13.〖2021·惠州市高三调研考试试题〗已知双曲线C1:eq\f(x2,4)-y2=1,双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C1与C2的离心率相同,点M在双曲线C2的一条渐近线上,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,求双曲线C2的实轴长是________.14.〖2021·安徽省示范高中名校高三联考〗双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,线段F2A垂直直线y=eq\f(b,a)x,垂足为点A,与双曲线交于点B,若eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),则该双曲线的离心率为________.〖能力挑战〗15.〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗在△ABC中,A,B分别是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,(eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,则双曲线E的离心率为()A.eq\r(5)-1B.eq\r(2)+1C.eq\f(\r(2)-1,2)D.eq\f(\r(2)+1,2)16.〖2021·河北省九校联考试题〗已知F1,F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2),+∞))C.(1,eq\r(5))D.(eq\r(5),+∞)17.〖2021·江西省名校高三教学质量检测〗已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,若△ABF2的周长为24,则当ab2取得最大值时,该双曲线的焦点到渐近线的距离为()A.1B.eq\r(2)C.2D.2eq\r(2)课时作业521.〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为y=±x,故此双曲线为等轴双曲线,即a=b,c=eq\r(2)a,则离心率e=eq\r(2),故①②均正确.过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×eq\f(b2,a)=2a,故等于实轴长,③正确.不妨取一个顶点(a,0),其到渐近线x±y=0的距离d1=eq\f(a,\r(2))=eq\f(\r(2),2)a,焦点到渐近线的距离d2=b,又a=b,所以eq\f(d1,d2)=eq\f(\r(2),2),故④错误.综上可知,正确结论的编号为①②③,故选C.〖答案〗C2.〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(\r(2),2)x,a=2,所以当焦点在x轴上时,eq\f(b,a)=eq\f(\r(2),2),所以b=eq\r(2),所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1;当焦点在y轴上时,eq\f(a,b)=eq\f(\r(2),2),所以b=2eq\r(2),所以双曲线的方程为eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1.综上所述,该双曲线的方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1,故选D.〖答案〗D3.〖解析〗由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是双曲线的右支,点P的轨迹方程为x2-eq\f(y2,3)=1(x≥1),又y=3eq\r(4-x2),所以x2=eq\f(13,4),y2=eq\f(27,4),所以|OP|=eq\r(x2+y2)=eq\r(\f(13,4)+\f(27,4))=eq\r(10),故选D.〖答案〗D4.〖解析〗∵a>b>0,∴渐近线y=eq\f(b,a)x的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,且cosα=eq\f(1,3),∴cos2eq\f(α,2)=eq\f(2,3),sin2eq\f(α,2)=eq\f(1,3),tan2eq\f(α,2)=eq\f(1,2),∴eq\f(b2,a2)=eq\f(1,2),∴eq\f(c2-a2,a2)=eq\f(1,2),∴e2=eq\f(3,2),e=eq\f(\r(6),2).故选B.〖答案〗B5.〖解析〗因为双曲线x2-eq\f(y2,8)=1的右焦点是F2(3,0),所以直线4x-y-12=0经过点F2(3,0),又知P,Q两点在右支上,于是由双曲线定义可知,|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|-|F2P|+|F1Q|-|F2Q|=2a+2a=4.故选B.〖答案〗B6.〖解析〗由题意可知F(2,0),双曲线C是等轴双曲线,所以其渐近线方程y=±x,因为点P在渐近线上,且|PO|=|PF|,所以点P(1,1)或P(1,-1),所以S△OPF=eq\f(1,2)×2×1=1,故选C.〖答案〗C7.〖解析〗由双曲线方程知b=1.由通径公式,知eq\f(2b2,a)=eq\r(2),所以a=eq\r(2),所以c=eq\r(3).由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|=2a+|AF1|,|BF2|=2a+|BF1|,所以|AF2|+|BF2|=4a+|AF1|+|BF1|=5eq\r(2).设△ABF2的内切圆半径为r,则eq\f(1,2)r·(|AF2|+|BF2|+|AB|)=eq\f(1,2)·|AB|·|F1F2|,即r·6eq\r(2)=eq\r(2)×2eq\r(3),解得r=eq\f(\r(3),3),故选B.〖答案〗B8.〖解析〗由题意得,右焦点F(c,0),由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2)))满足|eq\o(MF,\s\up6(→))|=2b,可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)-c))2+eq\f(9,4)=4b2.由渐近线y=eq\f(b,a)x过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2))),得a=eq\r(3)b,又c2=a2+b2,所以4b2=c2,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)-c))2+eq\f(9,4)=c2,所以c=eq\r(3),从而a=eq\f(3,2),故双曲线E的实轴长2a=3,故选B.〖答案〗B9.〖解析〗不妨设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),由题意可得双曲线的渐近线与x轴的夹角大于45°,即eq\f(b,a)>1,所以b2>a2,所以c2-a2=b2>a2,所以c2>2a2,所以该双曲线的离心率e=eq\f(c,a)>eq\r(2).〖答案〗C10.〖解析〗直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±eq\f(b,a)x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=eq\f(1,2)·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.〖答案〗B11.〖解析〗由x±2y=0得x2-4y2=0,设所求双曲线的方程为x2-4y2=λ,因为点(4,1)在双曲线上,所以42-4=λ,即λ=12,所以该双曲线的方程为x2-4y2=12,故该双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)-eq\f(y2,3)=1.〖答案〗eq\f(x2,12)-eq\f(y2,3)=112.〖解析〗双曲线C:eq\f(x2,6)-eq\f(y2,3)=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),\r(6))x,即y=±eq\f(1,\r(2))x,即x±eq\r(2)y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=eq\f(3,\r(3))=eq\r(3).〖答案〗(3,0)eq\r(3)13.〖解析〗解法一双曲线C1:eq\f(x2,4)-y2=1的离心率为eq\f(\r(5),2).由题意知F2(c,0),双曲线C2的一条渐近线方程为y=eq\f(b,a)x,可得|F2M|=eq\f(bc,\r(a2+b2))=b,即有|OM|=eq\r(c2-b2)=a,由S△OMF2=16,可得eq\f(1,2)ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2且离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(5),2),所以a=8,b=4,c=4eq\r(5),所以双曲线C2的实轴长为2a=16.解法二依题意,由双曲线C1与C2的离心率相同,得eq\f(b2,a2)=eq\f(1,4),即a=2b①.由双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长,得|F2M|=b,所以|OM|=eq\r(c2-b2)=a.又△OMF2的面积为16,所以eq\f(1,2)ab=16,ab=32②,由①②解得b=4,a=8,故双曲线C2的实轴长为2a=16.〖答案〗1614.〖解析〗解法一由题意知,直线F2A的方程为y=-eq\f(a,b)(x-c),与直线y=eq\f(b,a)x联立得交点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c),\f(ab,c))).又eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),所以B为线段F2A的中点,所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2+a2,2c),\f(ab,2c))),因为点B在双曲线上,所以代入双曲线方程得b2×eq\f(c2+a22,4c2)-a2×eq\f(a2b2,4c2)=a2b2,得c2=2a2,所以e=eq\f(c,a)=eq\r(2).解法二由题意可知F2A⊥OA(O为坐标原点),由于焦点到渐近线的距离为b,所以|AF2|=b,且|OF2|=c,所以|OA|=a,且cos∠OF2A=eq\f(b,c).由eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),知B为线段F2A的中点,所以|BF2|=eq\f(b,2),又点B在双曲线上,所以|BF1|-|BF2|=2a,则|BF1|=2a+eq\f(b,2).在△BF1F2中,由余弦定理|BF1|2=|F1F2|2+|BF2|2-2|F1F2||BF2|cos∠OF2A,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a+\f(b,2)))2=4c2+eq\f(b2,4)-2×2c×eq\f(b,2)×eq\f(b,c),化简得a=b,所以e=eq\r(2).〖答案〗eq\r(2)15.〖解析〗解法一不妨令C为第一象限的点,如图,作AD∥BC,CD∥AB,连接BD,由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,(eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,可得BC⊥AB,AC⊥BD,故四边形ABCD是正方形.所以C(c,2c),设双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),因为点C在双曲线E上,所以eq\f(c2,a2)-eq\f(4c2,b2)=1,又b2=c2-a2,所以c4-6a2c2+a4=0,因为e=eq\f(c,a)>1,所以e4-6e2+1=0,解得e2=3+2eq\r(2)或e2=3-2eq\r(2)(舍去),所以e=eq\r(2)+1,故选B.解法二设双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),不妨令C为第一象限的点,如图,作AD∥BC,CD∥AB,连接BD,由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,(eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,可得BC⊥AB,AC⊥BD,故四边形ABCD是正方形.所以2|OB|=|BC|,所以2c=eq\f(b2,a),因为c2=a2+b2,所以b2=c2-a2=2ac,即c2-2ac-a2=0,因为e=eq\f(c,a)>1,所以e2-2e-1=0,所以e=eq\r(2)+1,故选B.〖答案〗B16.〖解析〗双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(b,a)x.设直线PF1的方程为y=k(x+c),因为点P在双曲线的右支上,所以|k|<eq\f(b,a),F2(c,0)到直线PF1的距离d=eq\f(2|kc|,\r(k2+1))=a,解得k2=eq\f(a2,4c2-a2)=eq\f(a2,3c2+b2),根据k2<eq\f(b2,a2),得a4<3b2c2+b4,所以a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2<3b2c2,则a2-b2<3b2,即eq\f(b2,a2)>eq\f(1,4),所以e2=1+eq\f(b2,a2)>eq\f(5,4),则e>eq\f(\r(5),2),故选B.〖答案〗B17.〖解析〗由题意得,|AF1|+|BF1|=|AB|=eq\f(2b2,a)①,由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a②,|BF2|-|BF1|=2a③,由①②③,得|AF2|+|BF2|=4a+eq\f(2b2,a).因为△ABF2的周长为24,即4a+eq\f(4b2,a)=24,得b2=6a-a2,得ab2=6a2-a3.令f(a)=6a2-a3(0<a<6),则f′(a)=12a-3a2,令f′(a)=0,得a=0或a=4,所以当a∈(0,4)时f′(a)>0;当a∈(4,6)时,f′(a)<0.所以f(a)在(0,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,所以当a=4时,f(a)取得最大值,此时b2=6×4-42=8,得b=2eq\r(2).取该双曲线的焦点F2(c,0),渐近线l:bx-ay=0,则该双曲线的焦点到渐近线的距离d=eq\f(|bc|,\r(b2+-a2))=b=2eq\r(2).〖答案〗D课时作业52双曲线〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·开封市高三模拟试卷〗关于渐近线方程为x±y=0的双曲线有下述四个结论:①实轴长与虚轴长相等,②离心率是eq\r(2),③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等,④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为eq\r(2).其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①③C.①②③D.②③④2.〖2021·合肥市高三调研性检测〗已知双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(\r(2),2)x,实轴长为4,则该双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1B.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,8)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1C.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,8)=1D.eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=13.〖2020·浙江卷〗已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3eq\r(4-x2)图象上的点,则|OP|=()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D.eq\r(10)4.〖2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试〗设双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cosα=eq\f(1,3),则C的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(7),2)D.25.〖2021·安徽安庆模拟〗点F1、F2分别是双曲线x2-eq\f(y2,8)=1的左、右焦点,直线4x-y-12=0与该双曲线交于两点P,Q,则|F1P|+|F1Q|-|PQ|=()A.4eq\r(2)B.4C.2eq\r(2)D.26.〖2021·唐山市高三年级摸底考试〗双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,点P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则S△OPF=()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.1D.27.〖2021·广州市高三年级阶段训练题〗已知F1,F2是双曲线C:eq\f(x2,a2)-y2=1(a>0)的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|=eq\r(2),则△ABF2的内切圆的半径为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2\r(3),3)8.〖2021·山西省八校高三联考〗已知双曲线E:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线E的一条渐近线上一点M满足|eq\o(MF,\s\up6(→))|=2b,若点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2))),则双曲线E的实轴长为()A.2eq\r(3)B.3C.4eq\r(3)D.eq\f(3,2)9.〖2021·福建省高三毕业班质量检查测试〗若双曲线上存在四点,使得以这四点为顶点的四边形是菱形,则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,eq\r(2))B.(1,eq\r(3))C.(eq\r(2),+∞)D.(eq\r(3),+∞)10.〖2020·全国卷Ⅱ〗设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32二、填空题11.〖2021·武汉市高中毕业生学习质量检测〗已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点(4,1),则该双曲线的标准方程为________________.12.已知双曲线C:eq\f(x2,6)-eq\f(y2,3)=1,则C的右焦点的坐标为________;C的焦点到其渐近线的距离是________.13.〖2021·惠州市高三调研考试试题〗已知双曲线C1:eq\f(x2,4)-y2=1,双曲线C2:eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C1与C2的离心率相同,点M在双曲线C2的一条渐近线上,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,求双曲线C2的实轴长是________.14.〖2021·安徽省示范高中名校高三联考〗双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,线段F2A垂直直线y=eq\f(b,a)x,垂足为点A,与双曲线交于点B,若eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),则该双曲线的离心率为________.〖能力挑战〗15.〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗在△ABC中,A,B分别是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,(eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,则双曲线E的离心率为()A.eq\r(5)-1B.eq\r(2)+1C.eq\f(\r(2)-1,2)D.eq\f(\r(2)+1,2)16.〖2021·河北省九校联考试题〗已知F1,F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2),+∞))C.(1,eq\r(5))D.(eq\r(5),+∞)17.〖2021·江西省名校高三教学质量检测〗已知双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,若△ABF2的周长为24,则当ab2取得最大值时,该双曲线的焦点到渐近线的距离为()A.1B.eq\r(2)C.2D.2eq\r(2)课时作业521.〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为y=±x,故此双曲线为等轴双曲线,即a=b,c=eq\r(2)a,则离心率e=eq\r(2),故①②均正确.过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×eq\f(b2,a)=2a,故等于实轴长,③正确.不妨取一个顶点(a,0),其到渐近线x±y=0的距离d1=eq\f(a,\r(2))=eq\f(\r(2),2)a,焦点到渐近线的距离d2=b,又a=b,所以eq\f(d1,d2)=eq\f(\r(2),2),故④错误.综上可知,正确结论的编号为①②③,故选C.〖答案〗C2.〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为y=±eq\f(\r(2),2)x,a=2,所以当焦点在x轴上时,eq\f(b,a)=eq\f(\r(2),2),所以b=eq\r(2),所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1;当焦点在y轴上时,eq\f(a,b)=eq\f(\r(2),2),所以b=2eq\r(2),所以双曲线的方程为eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1.综上所述,该双曲线的方程为eq\f(x2,4)-eq\f(y2,2)=1或eq\f(y2,4)-eq\f(x2,8)=1,故选D.〖答案〗D3.〖解析〗由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是双曲线的右支,点P的轨迹方程为x2-eq\f(y2,3)=1(x≥1),又y=3eq\r(4-x2),所以x2=eq\f(13,4),y2=eq\f(27,4),所以|OP|=eq\r(x2+y2)=eq\r(\f(13,4)+\f(27,4))=eq\r(10),故选D.〖答案〗D4.〖解析〗∵a>b>0,∴渐近线y=eq\f(b,a)x的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,且cosα=eq\f(1,3),∴cos2eq\f(α,2)=eq\f(2,3),sin2eq\f(α,2)=eq\f(1,3),tan2eq\f(α,2)=eq\f(1,2),∴eq\f(b2,a2)=eq\f(1,2),∴eq\f(c2-a2,a2)=eq\f(1,2),∴e2=eq\f(3,2),e=eq\f(\r(6),2).故选B.〖答案〗B5.〖解析〗因为双曲线x2-eq\f(y2,8)=1的右焦点是F2(3,0),所以直线4x-y-12=0经过点F2(3,0),又知P,Q两点在右支上,于是由双曲线定义可知,|F1P|+|F1Q|-|PQ|=|F1P|-|F2P|+|F1Q|-|F2Q|=2a+2a=4.故选B.〖答案〗B6.〖解析〗由题意可知F(2,0),双曲线C是等轴双曲线,所以其渐近线方程y=±x,因为点P在渐近线上,且|PO|=|PF|,所以点P(1,1)或P(1,-1),所以S△OPF=eq\f(1,2)×2×1=1,故选C.〖答案〗C7.〖解析〗由双曲线方程知b=1.由通径公式,知eq\f(2b2,a)=eq\r(2),所以a=eq\r(2),所以c=eq\r(3).由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|=2a+|AF1|,|BF2|=2a+|BF1|,所以|AF2|+|BF2|=4a+|AF1|+|BF1|=5eq\r(2).设△ABF2的内切圆半径为r,则eq\f(1,2)r·(|AF2|+|BF2|+|AB|)=eq\f(1,2)·|AB|·|F1F2|,即r·6eq\r(2)=eq\r(2)×2eq\r(3),解得r=eq\f(\r(3),3),故选B.〖答案〗B8.〖解析〗由题意得,右焦点F(c,0),由点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2)))满足|eq\o(MF,\s\up6(→))|=2b,可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)-c))2+eq\f(9,4)=4b2.由渐近线y=eq\f(b,a)x过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2),\f(3,2))),得a=eq\r(3)b,又c2=a2+b2,所以4b2=c2,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)-c))2+eq\f(9,4)=c2,所以c=eq\r(3),从而a=eq\f(3,2),故双曲线E的实轴长2a=3,故选B.〖答案〗B9.〖解析〗不妨设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0),由题意可得双曲线的渐近线与x轴的夹角大于45°,即eq\f(b,a)>1,所以b2>a2,所以c2-a2=b2>a2,所以c2>2a2,所以该双曲线的离心率e=eq\f(c,a)>eq\r(2).〖答案〗C10.〖解析〗直线x=a与双曲线C的两条渐近线y=±eq\f(b,a)x分别交于D、E两点,则|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=eq\f(1,2)·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(当且仅当a=b时取等号),即cmin=4,所以双曲线的焦距2c的最小值为8,故选B.〖答案〗B11.〖解析〗由x±2y=0得x2-4y2=0,设所求双曲线的方程为x2-4y2=λ,因为点(4,1)在双曲线上,所以42-4=λ,即λ=12,所以该双曲线的方程为x2-4y2=12,故该双曲线的标准方程为eq\f(x2,12)-eq\f(y2,3)=1.〖答案〗eq\f(x2,12)-eq\f(y2,3)=112.〖解析〗双曲线C:eq\f(x2,6)-eq\f(y2,3)=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±eq\f(\r(3),\r(6))x,即y=±eq\f(1,\r(2))x,即x±eq\r(2)y=0,则C的焦点到其渐近线的距离d=eq\f(3,\r(3))=eq\r(3).〖答案〗(3,0)eq\r(3)13.〖解析〗解法一双曲线C1:eq\f(x2,4)-y2=1的离心率为eq\f(\r(5),2).由题意知F2(c,0),双曲线C2的一条渐近线方程为y=eq\f(b,a)x,可得|F2M|=eq\f(bc,\r(a2+b2))=b,即有|OM|=eq\r(c2-b2)=a,由S△OMF2=16,可得eq\f(1,2)ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2且离心率e=eq\f(c,a)=eq\f(\r(5),2),所以a=8,b=4,c=4eq\r(5),所以双曲线C2的实轴长为2a=16.解法二依题意,由双曲线C1与C2的离心率相同,得eq\f(b2,a2)=eq\f(1,4),即a=2b①.由双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长,得|F2M|=b,所以|OM|=eq\r(c2-b2)=a.又△OMF2的面积为16,所以eq\f(1,2)ab=16,ab=32②,由①②解得b=4,a=8,故双曲线C2的实轴长为2a=16.〖答案〗1614.〖解析〗解法一由题意知,直线F2A的方程为y=-eq\f(a,b)(x-c),与直线y=eq\f(b,a)x联立得交点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c),\f(ab,c))).又eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),所以B为线段F2A的中点,所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2+a2,2c),\f(ab,2c))),因为点B在双曲线上,所以代入双曲线方程得b2×eq\f(c2+a22,4c2)-a2×eq\f(a2b2,4c2)=a2b2,得c2=2a2,所以e=eq\f(c,a)=eq\r(2).解法二由题意可知F2A⊥OA(O为坐标原点),由于焦点到渐近线的距离为b,所以|AF2|=b,且|OF2|=c,所以|OA|=a,且cos∠OF2A=eq\f(b,c).由eq\o(F2B,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→)),知B为线段F2A的中点,所以|BF2|=eq\f(b,2),又点B在双曲线上,所以|BF1|-|BF2|=2a,则|BF1|=2a+eq\f(b,2).在△BF1F2中,由余弦定理|BF1|2=|F1F2|2+|BF2|2-2|F1F2||BF2
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