统考版高考数学一轮复习第二章2.9函数模型及其应用课时作业理含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业12函数模型及其应用〖基础达标〗一、选择题1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A．v＝eq\f(1,100)·exB．v＝100lnxC．v＝x100D．v＝100×2x2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件3．〖2021·广西钦州综合能力测试〗一种放射性物质每经过一年就有eq\f(3,4)的质量发生衰变，剩余质量为原来的eq\f(1,4).若要使该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(取整数)()A．3B．4C．5D．64．〖2021·广州市综合检测〗如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油二、填空题6．许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．7．要制作一个容积为16m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．三、解答题9．〖2021·济南一中月考〗响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋eq\f(100,x)－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数〖解析〗式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？10．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的围墙长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．〖能力挑战〗11．〖2021·四川绵阳一诊〗某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845)()A．y＝0.25xB．y＝1.002xC．y＝log7x＋1D．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,10)－1))12．〖2021·河南安阳模拟〗5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%13．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小评价在〖a，b〗这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在〖t1，t2〗这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在〖0，t1〗，〖t1，t2〗，〖t2，t3〗这三段时间中，在〖0，t1〗的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．课时作业121．〖解析〗只有v＝eq\f(1,100)·ex和v＝100×2x是指数函数，并且e>2，所以v＝eq\f(1,100)·ex的增大速度最快，故选A.〖答案〗A2．〖解析〗设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.〖答案〗B3．〖解析〗设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的eq\f(1,4)，两年后剩余质量为原来的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2，依此类推，得到n年后剩余质量是原来的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n，根据题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n≤eq\f(1,100)⇒n>3.故至少需要4年．故选B项．〖答案〗B4．〖解析〗水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.〖答案〗B5．〖解析〗根据题图知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．〖答案〗D6．〖解析〗令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．〖答案〗eq\f(1,4)a27．〖解析〗设长方体容器底面矩形的长、宽分别为xm，ym，则y＝eq\f(16,x)，所以容器的总造价为z＝2(x＋y)×1×10＋20xy＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16，由基本不等式得，z＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))＋320＝480，当且仅当x＝y＝4，即底面是边长为4m的正方形时，总造价最低．〖答案〗4808．〖解析〗当t＝0.5时，y＝2，所以2＝，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.〖答案〗10249．〖解析〗(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得当0<x<8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq\f(1,3)x2＋4x－2，当x≥8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).故P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)当0<x<8时，P(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．10．〖解析〗(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知得xa＝360，得a＝eq\f(360,x).∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>2)．(2)∵x>2，∴225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800.∴y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.当且仅当225x＝eq\f(3602,x)时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．11．〖解析〗由题意得，当10<x≤1000时，符合公司要求的函数模型应满足：①为增函数；②y≤5；③y≤25%x.选项D明显不满足条件①，所以D不符合题意；选项A、B、C均满足条件①，但当x>20时，A选项不满足条件②，所以A不符合题意；当x＝1000时，有y＝1.0021000≈7.37>5，不符合条件②，所以B不符合题意；而对于选项C，当10<x≤1000时，有ymax＝log71000＋1＝3log710＋1＝eq\f(3,lg7)＋1≈4.550<5，且log7x＋1≤25%x恒成立，所以满足条件②③，故选项C符合题意，故选C.〖答案〗C12．〖解析〗将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，C大约增加了eq\f(Wlog21＋2000－Wlog21＋1000,Wlog21＋1000)＝eq\f(log22001－log21001,log21001)≈eq\f(10.967－9.967,9.967)≈10%，故选A.〖答案〗A13．〖解析〗由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在〖t1，t2〗这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在〖0，t1〗，〖t1，t2〗，〖t2，t3〗这三段时间中，在〖0，t1〗的污水治理能力明显低于〖t1，t2〗时的，故④错误．〖答案〗①②③课时作业12函数模型及其应用〖基础达标〗一、选择题1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A．v＝eq\f(1,100)·exB．v＝100lnxC．v＝x100D．v＝100×2x2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A．8元/件B．10元/件C．12元/件D．14元/件3．〖2021·广西钦州综合能力测试〗一种放射性物质每经过一年就有eq\f(3,4)的质量发生衰变，剩余质量为原来的eq\f(1,4).若要使该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(取整数)()A．3B．4C．5D．64．〖2021·广州市综合检测〗如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油二、填空题6．许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．7．要制作一个容积为16m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．8．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．三、解答题9．〖2021·济南一中月考〗响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋eq\f(100,x)－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数〖解析〗式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？10．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的围墙长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．〖能力挑战〗11．〖2021·四川绵阳一诊〗某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845)()A．y＝0.25xB．y＝1.002xC．y＝log7x＋1D．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,10)－1))12．〖2021·河南安阳模拟〗5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%13．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－eq\f(fb－fa,b－a)的大小评价在〖a，b〗这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在〖t1，t2〗这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在〖0，t1〗，〖t1，t2〗，〖t2，t3〗这三段时间中，在〖0，t1〗的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．课时作业121．〖解析〗只有v＝eq\f(1,100)·ex和v＝100×2x是指数函数，并且e>2，所以v＝eq\f(1,100)·ex的增大速度最快，故选A.〖答案〗A2．〖解析〗设单价为6＋x，日均销售量为100－10x，则日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0<x<10)．∴当x＝4时，ymax＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.〖答案〗B3．〖解析〗设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的eq\f(1,4)，两年后剩余质量为原来的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2，依此类推，得到n年后剩余质量是原来的eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n，根据题意，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n≤eq\f(1,100)⇒n>3.故至少需要4年．故选B项．〖答案〗B4．〖解析〗水位由高变低，排除C、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.〖答案〗B5．〖解析〗根据题图知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．〖答案〗D6．〖解析〗令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))2＋eq\f(1,4)a2.所以当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值．〖答案〗eq\f(1,4)a27．〖解析〗设长方体容器底面矩形的长、宽分别为xm，ym，则y＝eq\f(16,x)，所以容器的总造价为z＝2(x＋y)×1×10＋20xy＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16，由基本不等式得，z＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))＋20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))＋320＝480，当且仅当x＝y＝4，即底面是边长为4m的正方形时，总造价最低．〖答案〗4808．〖解析〗当t＝0.5时，y＝2，所以2＝，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.〖答案〗10249．〖解析〗(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得当0<x<8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq\f(1,3)x2＋4x－2，当x≥8时，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).故P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)当0<x<8时，P(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P