已知轴向力F=50kN截面宽度b=250mm

第一章轴向拉伸和压缩

主讲教师：鞠彦忠建筑工程学院13八月2024§1轴向拉伸与压缩的概念受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合变形特征：轴向伸长或缩短第二章轴向拉伸和压缩§2

内力、截面法、轴力及轴力图1、内力的概念固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力内力与变形有关内力特点：1、有限性

2、分布性

3、成对性2、轴力及其求法——截面法轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的轴线重合,用符号

ＦＮ

表示内力的正负号规则同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。拉力为正压力为负一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。例题1.1

20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN11求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力FF2F2F1122例题1.2

F2F22F课堂练习：10KN10KN6KN6KN332211FF2112333、轴力图FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.F2FF2F2F例题1.3

图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y350Fnn例题1.4

FFNy5058.6kNA=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?§3

应力.拉(压)杆内的应力应力的概念

受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.F1FnF3F2应力就是单位面积上的内力?

(工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。)F1F2ΔADFΔFQyΔFQzΔFN垂直于截面的应力称为“正应力”

与截面相切的应力称为“切应力”

应力的国际单位为N/m2（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa＝1N/mm21GPa=109Pa拉(压)杆横截面上的应力几何变形平面假设静力关系原为平面的横截面在杆变形后仍为平面σ——正应力FN——轴力A——横截面面积σ的符号与FN轴力符号相同试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正

应力.已知横截面面积A=2×103mm220KN20KN40KN40KN332211例题1.5

20kN40kN

图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，

BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，

P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的

正应力。例题1.6

FNABFNBCCdABFa试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2FDBCAaaa例题1.7

FNAB计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。

已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。20kN18kNDEC30OBA4m4m1m例题1.8

FNBC以AB杆为研究对像以CDE为研究对像FNCD实验：设一悬挂在墙上的弹簧秤，施加初拉力将其钩在不变形的凸缘上。若在弹簧的下端施加砝码，当所加砝码小于初拉力时，弹簧秤的读数将保持不变；当所加砝码大于初拉力时，则下端的钩子与凸缘脱开，弹簧秤的读数将等于所加砝码的重量。实际上，在所加砝码小于初拉力时，钩子与凸缘间的作用力将随所加砝码的重量而变化。凸缘对钩子的反作用力与砝码重量之和，即等于弹簧秤所受的初拉力。

在一刚性板的孔中装置一螺栓,旋紧螺栓使其产生预拉力F0,然后,在下面的螺母上施加外力F.假设螺栓始终处于弹性范围,且不考虑加力用的槽钢的变形.试分析加力过程中螺栓内力的变化.例题1-9

长为b、内径d=200mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试求圆环径向截面上的拉应力。bbFXFFσα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力αFFF拉(压)杆斜截面上的应力讨论：轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。F切应力互等定理圣维南原理§4拉（压）杆的变形.胡克定律`杆件在轴向拉压时：

沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形

横向尺寸也相应地发生改变——横向变形PP1、纵向变形xyCOAB△xz线应变:当杆沿长度非均匀变形时ACB△x△δx绝对变形受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形当杆沿长度均匀变形时纵向线应变

(无量纲)PP实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。胡克定律在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。

：拉抗（压）刚度当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。在计算ΔL的L长度内，FN,E,A均为常数。2、横向变形横向线应变△b=b1－b

泊松比bb1图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）例题1.9

BbeacdAae.

因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的位移δCFBCALL例题1.10

F图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.

B1C1DFCALLaB22刚杆例题1.11

1.已知ε2.已知EA图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。ααACFB12例题1.12

FNACFNAB图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移δB。例题1.13

ADFBαaL/2L/2B1§2-5拉（压）杆内的应变能应变能:

伴随着弹性变形的增减而改变的能量应变能密度:

单位体积内的应变能§6

材料在拉伸和压缩时的力学性能力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。

塑性变形又称永久变形或残余变形

塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢

脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料一、材料的拉伸和压缩试验国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)LL=10dL=5d对圆截面试样：对矩形截面试样：万能试验机二、低碳钢在拉伸时的力学性能PO△LO残余变形——

试件断裂之后保留下来的塑性变形。ΔL=L1-L0

延伸率：δ＝δ≥5％——塑性材料

δ<5％——脆性材料

截面收缩率Ψ＝

三、其他材料在拉伸时的力学性能锰钢强铝退火球墨铸铁σb是衡量脆性材料强度的唯一指标。b0.2%σεo确定的方法是:

在ε轴上取0.2％的点,对此点作平行于σ－ε曲线的直线段的直线（斜率亦为E）,与σ－ε曲线相交点对应的应力即为σ0.2

.铸铁拉伸dLbbLL/d(b):1---3四、金属材料在压缩时的力学性能国家标准规定《金属压缩试验方法》（GB7314—87)低碳钢压缩压缩时由于横截面面积不断增加，试样横截面上的应力很难达到材料的强度极限，因而不会发生颈缩和断裂。铸铁压缩铸铁拉伸塑性材料和脆性材料的主要区别：塑性材料的主要特点：塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是σs，且拉压时具有同值。脆性材料的主要特点：塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有σb。五、几种非金属材料的力学性能混凝土木材玻璃钢塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确的：（A）屈服应力提高，弹性模量降低；（B）屈服应力提高，塑性降低；（C）屈服应力不变，弹性模量不变；（D）屈服应力不变，塑性不变。正确答案是（）低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的：（A）比例极限；（B）屈服极限；（C）强度极限；（D）许用应力。正确答案是（）BB根据图示三种材料拉伸时的应力－应变曲线，得出如下四种结论，请判断哪一个是正确的：（A）强度极限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；弹性模量E（1）＞E（2）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（B）强度极限σｂ（2）

＞

σｂ（1）＞σｂ（3）；弹性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（C）强度极限σｂ（3）＝σｂ（1）＞σｂ（2）；弹性模量E（3）＞E（1）＞E（2）；延伸率δ（3）＞δ（2）＞δ（1）；（D）强度极限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；弹性模量

E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（2）＞δ（1）＞δ（3）；正确答案是（）B关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有以下结论，请判断哪一个是正确的：（A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效；（C）应力不增加，塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（D）应力不增加，塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。正确答案是（）C关于有如下四种论述，请判断哪一个是正确的：（A）弹性应变为0.2%时的应力值；（B）总应变为0.2%时的应力值；（C）塑性应变为0.2%时的应力值；（D）塑性应变为0.2时的应力值。正确答案是（）C低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，请判断哪一个是正确的：（）（A）OAB→BC→COAB；（B）OAB→BD→DOAB；（C）OAB→BAO→ODB；（D）OAB→BD→DB。正确答案是（）D关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的：（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力；（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力；（C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力；（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。正确答案是（）A§7强度条件.安全因数.许用应力1.拉压杆的强度条件强度条件强度计算的三类问题：(1)、强度校核(2)、截面设计

(3)、确定许用荷载§7强度条件.安全因数.许用应力1.拉压杆的强度条件强度条件强度计算的三类问题：(1)、强度校核(2)、截面设计

(3)、确定许用荷载圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁，抗拉许用应力＝60Mpa，抗压许用应力＝120MPa，设计横截面直径。20KN20KN30KN30KN20KN例题1.14

30KN

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）15mF5mF5m5mF例题1.15

采用等截面石柱

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）15mF例题1.15

采用三段等长度阶梯石柱

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）5mF5m5m例题1.15

采用等强度石柱A0：桥墩顶端截面的面积这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）F例题1.15

图示三角形托架，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。例题1.16

设F的作用线到A点的距离为xx取ABC杆为研究对象FNBDBD杆：§8应力集中的概念d/2d/2rDdr构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。应力集中

与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。§9

拉伸、压缩的超静定问题PP例：已知：杆1、2的抗拉压刚度相等EA，杆3横截面面积为A3，弹性模量为E3，杆3长为L.求：三杆内力解：PA/变形协调方程补充方程PA/例:图示结构,A1=A2=A3=200mm2,[

]=160MPa，P=40KN,L1=L2=L.试在下列两种情况下,校核各杆的强度。（1）三杆的材料相同，即E1=E2=E3=E（2）杆1、2为弹性杆，且E1=E2=E，杆3为刚性杆。解：变形协调方程PN1N3N2PCC/C450(1)(2)(3)安全PN1N3N2PCC/C450(1)(2)(3)变形协调方程补充方程满足强度条件C450(1)(2)(3)PC/N1N3N2PC(2)杆3为刚性杆。P例题：已知：杆长为L,横截面面积为A弹性模量为E。求：在力P作用下杆内力。解：变形协调方程补充方程总结（1）列静平衡方程（2）从变形几何方面列变形协调方程（3）利用力与变形之间的关系，列补充方程（4）联立平衡方程、补充方程，即可求未知力（5）强度、刚度的计算与静定问题相同例题:图示结构由钢杆组成,各杆横截面面积相等,[

]=160MPa.问:P=100KN时,各杆面积为多少。解：变形协调方程A/强度条件：A/ΔL=ΔLB+ΔLD=NL/EA=1.37mmΔCY=1/2(ΔLB/cos300+ΔLD/cos300)＝ΔL/2cos300＝0.79mmPABCD600060E0.8m0.4m0.4m钢丝绳的总伸长量:P606000XAAYN求C点的铅垂位移。例:已知:ABCD为刚体,钢索的E＝177Gpa,A＝76.36mm2,P=20kN。ΔLDΔLBΔCYABCDE例题20:横截面为250×250的短木柱，用四根40×40×5的等边角钢加固,并承受压力P的作用,.已知角钢的许用应力[

]钢=160MPa,弹性模量E钢=200GPa;木材的许用应力[]木=12MPa,弹性模量E木=10GPa。试求该短木柱的许可荷载[P]。由平衡方程得：由变形协调方程得：受预应力为10kN拉力的缆绳，若在C点再作用有向下的荷载15kN，缆绳不能承受压力.试求:当h=、h=时，AC、BC两段内的内力。AC/B在弹性范围内，可应用叠加原理。即多个荷载在构件内产生的内力、应力等于各荷载单独作用时产生的内力之和。CPPFNBFNA一次超静定。静力关系：变形关系：物理关系：叠加后：叠加后：DCB图示两杆均为钢杆,E=200GPa,=12.510-6/0C.两杆横截面面积均为A=10cm2.若BC杆温度降低200C,而BD杆温度不变。求两杆内应力FN1FN2一次超静定。静力关系：变形关系：物理关系：变形协调关系:习题:木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，

已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。物理关系:平衡方程:解：（1）补充方程:（2）根据角钢、木柱许用应力，确定F许可载荷查表知40mm×40mm×4mm等边角钢故

习题：已知：正方形截面组合杆，由两根截面尺寸相同、材料不同的杆1和杆2组成，二者的弹性模量为E1和E2（E1＞E2），若使杆1和杆2均匀受压，求载荷P的偏心距e。静力关系：变形关系：物理关系：解：变形协调方程例20:不计自重的刚架挂在三根平行的金属杆上,杆间距为a,横截面面积为A,弹性模量均为E,杆长为L,2杆短了

.当B点受荷载P时,求:各杆内力

补充方程

装配应力：例题21:图示:钢杆1、2、3的面积均为A=2cm2,长度L=1m，弹性模量G=200Gpa，若制造时杆3短了

=0.08cm。解：变形协调方程

123试：计算安装后1、2、3杆的内力已知：1、2、3杆长为a,3杆制造误差为

,各杆材料、横截面积相同.求:装配后各杆内应力。静力学关系：(1)(2)(4)(3)(5)ABCD变形关系：AFN1FN2FN3BFN3FN5FN4变形协调方程代入变形协调方程得：温度应力：管道通过高温蒸汽时,管道温度增加

T,当管道受热膨胀时,两端阻碍它自由伸展即有约束反力RA,RB。求：两约束反力。变形协调方程解：高温蒸汽锅炉原动机若管道材料是钢材，E=200GPa，

=1.2*10-5/C0，

T=200C0则管道内应力阶梯形杆件的两端在T1=50C时被固定，横截面面积A1=12cm2,A2=10cm2

，当温度升高至T2=250C时，求杆内产生的温度应力。已知：钢材的α＝12.5×10-6/0C.E=200GPa.静力学关系：变形关系：静力学关系：变形关系：

物理关系：

TLLAELNLTLLAELNLTTND=DDD=DD222222N111111

aa＝＝习题6:已知:杆1为钢杆,E1＝210Gpa,α1＝12.5×10-61/0C,A1=30cm2.杆2为铜杆,E2＝105Gpa,α1＝19×10-6/0C,A2=30cm2,载荷P＝50kN,若AB为刚杆且始终保持水平.试问温度升高还是降低？求温度的改变量ΔT。练习7：用相同材料的杆连接成正方形框架。受力如图，材料的许用应力[

]=120MPa。求：各杆的截面面积及a、b两点间距离的改变。例题:支架受力如图三杆材料相同,横截面面积分别为A1=100mm2,A2