新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.9　空间动态问题突破培优课（原卷版）

§7.9空间动态问题突破空间动态问题，是高考常考题型，常以客观题出现．常见题型有空间位置关系判定、轨迹问题、最值问题、范围问题等．题型一空间位置关系的判定例1(1)已知P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点(不与顶点重合)，则下列结论错误的是()A．AB⊥PQB．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面CDD1C1(2)(多选)已知等边△ABC的边长为6，M，N分别为边AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′－MNCB中，下列说法正确的是()A．直线MN∥平面A′BCB．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，平面A′MN⊥平面MNCBC．在折起过程中存在某个位置使BN⊥平面A′NCD．当四棱锥A′－MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为eq\f(39π,4)思维升华解决空间位置关系的动点问题(1)应用“位置关系定理”转化．(2)建立“坐标系”计算．跟踪训练1如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是()A．三棱锥A－A1PD的体积大小与点P的位置有关B．A1P与平面ACD1相交C．平面PDB1⊥平面A1BC1D．AP⊥D1C题型二轨迹问题例2(1)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝eq\f(1,2)，则动点P的轨迹是()A．圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为________．思维升华解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法(1)几何法：根据平面的性质进行判定．(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．跟踪训练2(1)如图，斜线段AB与平面α所成的角为eq\f(π,4)，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝eq\f(π,6)，则点P的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分(2)已知动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，且PA＝r(0＜r＜eq\r(3))，记点P的轨迹长度为f(r)，则f(1)＋f(eq\r(2))＝________.题型三最值、范围问题例3(1)如图所示，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，则此时空间四面体ABCD′体积的最大值为()A.eq\f(16\r(3),27)B.eq\f(5\r(3),9)C．1D.eq\f(\r(3),4)(2)在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．思维升华在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．跟踪训练3(1)在四面体ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，则四面体ABCD体积的最大值是()A.eq\f(2\r(3),27)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(3),9)D.eq\f(\r(3),3)(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是________，最大值是________．课时精练1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为()A.eq\f(\r(2),2) B．1C．2 D.eq\r(2)2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱DD1，BB1上的动点(异于所在棱的端点)．则下列结论正确的是()A．在点F运动的过程中，直线FC1可能与AE平行B．直线AC1与EF必然异面C．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1可能在直线PQ上D．设直线AE，AF分别与平面A1B1C1D1相交于点P，Q，则点C1一定不在直线PQ上3．点P为棱长是2eq\r(5)的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为()A．πB．2πC．4πD．2eq\r(5)π4．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中正确的是()A．∠A′DB的大小不会发生变化B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大D．A′B与DE所成的角先变大后变小5．在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是()A．[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1] B．[1,3]C．[eq\r(3)－1,2] D．[1，eq\r(3)＋1]6.已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法正确的是()A．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大B．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小C．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大D．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小7．(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的是()A．若MN与平面ABCD所成的角为eq\f(π,4)，则点N的轨迹为圆B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2πC．若点N到直线BB1与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D．若D1N与AB所成的角为eq\f(π,3)，则点N的轨迹为椭圆8.如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝eq\r(2)，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接球的表面积为()A.eq\f(9π,2)B.eq\f(16π,3)C.eq\f(25π,4)D.eq\f(64π,9)9．在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直且长度均为6，定长为l(l＜4)的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动(含边界)，若线段MN的中点P的轨迹的面积为eq\