新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题（含解析）

素养拓展37圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、圆锥曲线中的存在性问题1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．一般步骤为：①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,②用待定系数法设出,③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．【一般策略】求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.二、圆锥曲线中的探索性性问题1.对于要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知双曲线E：SKIPIF1<0与直线l：SKIPIF1<0相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得SKIPIF1<0，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由韦达定理，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立消去k，得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0的范围得出SKIPIF1<0的范围，即可得出答案；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则SKIPIF1<0，结合弦长公式列式得SKIPIF1<0，即可化简代入得出SKIPIF1<0，即可解出答案.【详解】（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线l与双曲线E的方程，得SKIPIF1<0，消去y，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由韦达定理，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去k，得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以，点M的轨迹方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）双曲线E的渐近线方程为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．若A，B为线段CD的两个三等分点，则SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．【典例2】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,动点SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）请说明SKIPIF1<0是什么曲线,并写出它的方程；（2）设不过原点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系,并证明你的结论．【解析】（1）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则因为SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,即动点SKIPIF1<0表示以点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为左、右焦点,长轴长为4,焦距为SKIPIF1<0的椭圆,其轨迹的方程为SKIPIF1<0；（2）可以判断出SKIPIF1<0,下面进行证明：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由方程组SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0①,方程①的判别式为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由①得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,由方程组SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0【题型训练-刷模拟】1.存在性问题一、解答题1．双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在直线SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，若存在，求SKIPIF1<0的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0.【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；（2）利用点差法计算即可.【详解】（1）令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由题意可知双曲线的焦点SKIPIF1<0到渐近线的距离SKIPIF1<0，所以双曲线的标准方程为：SKIPIF1<0；（2）假设存在，由题意知：该直线的斜率存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立直线与双曲线方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有两个交点，满足条件，所以存在直线SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0.2．已知椭圆方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线倾斜角为SKIPIF1<0，原点到该直线的距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)对于SKIPIF1<0，是否存在实数k，使得直线SKIPIF1<0分别交椭圆于点P，Q，且SKIPIF1<0，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)满足条件的k不存在，理由见解析【分析】（1）根据斜率定义得到SKIPIF1<0，求出过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，设PQ的中点为M，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由斜率关系得到方程，求出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经过检验，均不合要求.【详解】（1）因为过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线倾斜角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，故原点到该直线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆的方程是SKIPIF1<0．（2）记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设PQ的中点为M，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均使方程没有两相异实根，∴满足条件的k不存在．3．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左焦点、左顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0（不与x轴重合）交椭圆SKIPIF1<0于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；(3)是否存在直线SKIPIF1<0，使得点B在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)不存在，理由见详解【分析】（1）根据题意可得SKIPIF1<0，进而可求SKIPIF1<0和椭圆标准方程；（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△SKIPIF1<0的面积可分割成两个小三角形，其底皆为SKIPIF1<0；（3）存在性问题，一般从计算出发，即垂直关系结合椭圆方程交点求出B点坐标：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而由椭圆范围知这样的B点不存在．【详解】（1）由左焦点SKIPIF1<0、左顶点SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.（3）若点B在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以不存在直线SKIPIF1<0，点B在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上.4．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0轴的直线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，过点SKIPIF1<0作曲线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，在平面内是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，请求出定点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在定点SKIPIF1<0【分析】（1）由相关点代入法求轨迹方程即可；（2）先由特殊位置确定定点在SKIPIF1<0轴上，设定点，由相切求出切点满足的关系式，再由垂直的坐标条件求解.【详解】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，知SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0轴的直线方程为：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0不重合，故SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0

（2）由（1）知曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，当点SKIPIF1<0在特殊位置SKIPIF1<0时，两个切点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，故要使得SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上．

故设SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，所以切线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是一元二次方程SKIPIF1<0的根，由韦达定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立．

5．在直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于M，N两点．(1)若M，N的横坐标分别为SKIPIF1<0，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有SKIPIF1<0?说明理由．【答案】(1)答案见详解(2)存在，理由见详解【分析】（1）根据抛物线C的方程，求出点M、N的坐标，进而求相应的直线方程；（2）设点PSKIPIF1<0为符合题意的点，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式计算直线PM和直线PN的斜率之和为0，求出SKIPIF1<0的值，即可解决该问题．【详解】（1）由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；可得线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，线段MN的中垂线所在的直线的斜率SKIPIF1<0线段MN的中垂线所在的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）存在符合题意的点SKIPIF1<0，理由如下：设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0为符合题意的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

联立方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不恒为0，可知当且仅当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的倾斜角互补，故SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0符合题意．6．如图，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点SKIPIF1<0，直线AN过点SKIPIF1<0

(1)记A，B的纵坐标分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)记直线AN，BM的斜率分别为SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在说明理由【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）设出直线SKIPIF1<0的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，从而求得正确答案.（2）先求得SKIPIF1<0，然后由SKIPIF1<0求得正确答案.【详解】（1）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，同（1）可求得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0.7．已知椭圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，斜率不为零的直线SKIPIF1<0过右焦点SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0点坐标，如果不存在，说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）由椭圆上的点和离心率，求椭圆SKIPIF1<0的方程；

（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0点坐标.【详解】（1）因为椭圆过点SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，

所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0（2）假设在SKIPIF1<0轴上存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，

设直线L的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

（*）

，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0

代入（*），得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0轴上存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.

另解：①当SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（*），由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入（*）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0轴上存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.

②当SKIPIF1<0斜率不存在时，显然SKIPIF1<0综上所述：在SKIPIF1<0轴上存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.8．已知离心率为SKIPIF1<0的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F1，F2为左右焦点，M为椭圆上的点，且SKIPIF1<0．直线l过椭圆外一点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，满足SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得SKIPIF1<0成立，若存在，求出点SKIPIF1<0对应的直线l的斜率；否则说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）由椭圆定义得出SKIPIF1<0，再应用离心率得出椭圆方程即可；（2）设直线l方程为SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0与椭圆方程可得韦达定理，再结合向量共线计算唯一性可得.【详解】（1）由题可设椭圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为：SKIPIF1<0．（2）设直线l方程为SKIPIF1<0（斜率必存在），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0①，联立SKIPIF1<0与椭圆方程可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，代入②得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而点A、B在x轴上方，所以对于任意一个SKIPIF1<0，存在唯一的SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，故满足题意的直线l有且只有一条．例如，SKIPIF1<0时：

9．已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且上顶点与右顶点的距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；点SKIPIF1<0【分析】（1）根据上顶点与右顶点距离和椭圆所过点可构造方程组求得SKIPIF1<0，进而得到椭圆方程；（2）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不重合时，假设直线方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据SKIPIF1<0可构造方程求得SKIPIF1<0点坐标；当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时，验证所求SKIPIF1<0点坐标满足条件；综合两种情况可得结论.【详解】（1）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0上顶点与右顶点的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；两式联立可解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不重合时，设其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，

设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴重合时，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0左右顶点，若SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0显然成立；综上所述：SKIPIF1<0轴上存在点SKIPIF1<0满足题意．10．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，使得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，该直线方程为SKIPIF1<0【分析】（1）设椭圆上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表达出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，结合离心率得到SKIPIF1<0，求出椭圆方程；（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果．【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，设椭圆右焦点坐标为SKIPIF1<0，设椭圆上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故椭圆上的点到又焦点的最小距离是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）假设存在过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，使得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以存在过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，使得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，且该直线方程为SKIPIF1<0．11．已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左顶点，SKIPIF1<0的离心率为2.设过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，其中SKIPIF1<0在第一象限.

(1)求SKIPIF1<0的标准方程；(2)是否存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；否则，说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）根据离心率，以及SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即可求得曲线SKIPIF1<0方程；（2）求得直线SKIPIF1<0不存在斜率时满足的SKIPIF1<0，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线SKIPIF1<0斜率之间的关系，结合点SKIPIF1<0的坐标满足曲线SKIPIF1<0方程，求解即可.【详解】（1）由题可得SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，对曲线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故可得SKIPIF1<0，则存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；当直线SKIPIF1<0斜率存在时，不妨设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，则一定有：SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；又点SKIPIF1<0的坐标满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故假设成立，存在实数常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立；综上所述，存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立.12．已知动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离与动点SKIPIF1<0到定直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0．(1)求点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)对SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上是否始终存在两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称？若存在，求实数SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理即可得解；（2）当SKIPIF1<0时，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，即可得解.【详解】（1）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）假设曲线SKIPIF1<0上始终存在两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，当SKIPIF1<0时，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．易知当SKIPIF1<0时，曲线SKIPIF1<0上存在两点，关于直线SKIPIF1<0对称．所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．13．已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（异于坐标原点SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点．(2)已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的右侧，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，SKIPIF1<0【分析】（1）将点SKIPIF1<0代入抛物线方程求出SKIPIF1<0，直线与抛物线联立方程组，由SKIPIF1<0，利用向量数量积和韦达定理，求出SKIPIF1<0，可得直线所过定点.（2）设两条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【详解】（1）证明：将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．（2）联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．

因为直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右侧，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以满足条件的SKIPIF1<0存在，SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．14．已知椭圆SKIPIF1<0的焦距为2，且经过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为SKIPIF1<0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在；点SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意，得到SKIPIF1<0，再由椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，联立方程组，求得SKIPIF1<0，即可求解.（2）设直线l的方程为SKIPIF1<0，联立方程组，得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，列出方程，求得SKIPIF1<0，即可求解．【详解】（1）解：由椭圆SKIPIF1<0的焦距为2，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令SKIPIF1<0，由椭圆右焦点SKIPIF1<0，故可设直线l的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设存在点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，其倾斜角互补，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0