新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）19 等差数列中Sn的最值问题（含解析）

素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、等差数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，那么它的通项公式是SKIPIF1<0．2.等差数列的前SKIPIF1<0项和公式设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．注：数列SKIPIF1<0是等差数列⇔SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）．二、等差数列的前n项和的最值1.公差SKIPIF1<0为递增等差数列，SKIPIF1<0有最小值；公差SKIPIF1<0为递减等差数列，SKIPIF1<0有最大值；公差SKIPIF1<0为常数列．2.在等差数列SKIPIF1<0中（1）若SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的项数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的项数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．即若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有最大值（所有正项或非负项之和）；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有最小值（所有负项或非正项之和）．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和．已知SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等差数列；(2)若SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）依题意可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，作差即可得到SKIPIF1<0，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通项公式与前SKIPIF1<0项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.则当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出SKIPIF1<0的最小值，适用于可以求出SKIPIF1<0的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·四川泸州·统考三模）记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知求得公差SKIPIF1<0，得等差数列前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，结合二次函数知识得最小值．【详解】设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故选：A．2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0取得最大值时n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由等差数列的通项公式、前SKIPIF1<0项和公式列方程组求得SKIPIF1<0和公差SKIPIF1<0，写出前SKIPIF1<0项和，由二次函数性质得结论．【详解】等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值．故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则不正确的（

）A．数列SKIPIF1<0单调递减 B．数列SKIPIF1<0没有最小值C．数列{SKIPIF1<0}单调递减 D．数列{SKIPIF1<0}有最大值【答案】C【分析】根据等差数列的公差SKIPIF1<0即可判断AB,根据SKIPIF1<0的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD.【详解】由于公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递减，故A正确，由于SKIPIF1<0为无穷的递减等差数列，所以B正确，由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为开口向下关于SKIPIF1<0的二次函数，且对称轴为SKIPIF1<0，由于对称轴SKIPIF1<0与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有最大值，故C错误，D正确，故选：C4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最大值时SKIPIF1<0的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】利用等差数列的性质得出SKIPIF1<0即可求解.【详解】SKIPIF1<0等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0.故选：A.5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由已知结合等差数列的性质和前SKIPIF1<0项和公式，可推得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而得解．【详解】因为等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为等差数列，得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是其前n项和，且SKIPIF1<0，则下列结论不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最大值【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可判断B；由SKIPIF1<0，分析可判断A；由SKIPIF1<0可判断C；由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可判断D.【详解】根据题意，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，依次分析选项：SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，故A正确；而C选项，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0，显然C选项是错误的.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最大值，故D正确；故选：C7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且公差SKIPIF1<0，则其前SKIPIF1<0项和取得最大值时SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意判断出SKIPIF1<0，即可得到答案.【详解】由等差数列的公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和取得最大值时SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：B8．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】C【分析】通过分析得数列SKIPIF1<0为递减的等差数列，根据SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0有最大值，为SKIPIF1<0.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0为递减的等差数列，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0.故选：C.9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，公差为d，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列四个命题正确个数为（

）①SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最小值

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最小值A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而确定SKIPIF1<0，即可逐项判断得答案.【详解】等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故②正确；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故③正确；于是可得等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其为递增数列，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为SKIPIF1<0.故选：C.10．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0是递增的整数数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．25 B．22 C．24 D．23【答案】D【分析】数列SKIPIF1<0是递增的整数数列，SKIPIF1<0要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得SKIPIF1<0是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前SKIPIF1<0项和公式即可求解.【详解】数列SKIPIF1<0是递增的整数数列，SKIPIF1<0要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数.假设递增的幅度为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不满足题意.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足，所以SKIPIF1<0的最大值为23.故选：D.11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0结合等差数列的前n项和公式可知数列SKIPIF1<0为递增的等差数列，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出，SKIPIF1<0有最小值，且最小值为SKIPIF1<0.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为递增的等差数列.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0有最小值，且最小值为SKIPIF1<0.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列SKIPIF1<0中，前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0中最大的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，从而判断结果．【详解】∵等差数列前n项和SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为递减数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大．故选：B．13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列SKIPIF1<0的公比为q，前n项的积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最大值时，n等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】设SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列，后由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得答案.【详解】设SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0，因等比数列SKIPIF1<0各项为正，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等差数列.SKIPIF1<0，又由题可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0为递减等差数列.则数列SKIPIF1<0前7项为正数，则当SKIPIF1<0取得最大值时，n等于7.故选：B14．（2023·全国·高三专题练习）等差数列SKIPIF1<0的首项为正数，其前n项和为SKIPIF1<0.现有下列命题，其中是假命题的有（

）A．若SKIPIF1<0有最大值，则数列SKIPIF1<0的公差小于0B．若SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为18C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项【答案】B【分析】由SKIPIF1<0有最大值可判断A；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可判断BC；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可判断D.【详解】对于选项A，∵SKIPIF1<0有最大值，∴等差数列SKIPIF1<0一定有负数项，∴等差数列SKIPIF1<0为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；对于选项B，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的最大的n为17，故选项B错误；对于选项C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故选项C正确；对于选项D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0中的最小项是第9项，故选项D正确.故选：B.15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列SKIPIF1<0，定义SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的“优值”．现已知数列SKIPIF1<0的“优值”SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】B【分析】A选项，根据条件得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0；利用等差数列求和公式及分组求和得到SKIPIF1<0；先得到SKIPIF1<0，解不等式，得到SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；并利用等差数列求和公式求出最小值.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时也成立，SKIPIF1<0，A正确；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0或9时，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，CD正确．故选：B16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，则SKIPIF1<0的值为（

）A．12或13 B．11或12C．10或11 D．9或10【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由此可设函数SKIPIF1<0，利用其导数推得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而推得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合等差数列的单调性即可求得答案.【详解】由等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增,故SKIPIF1<0,从而有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立;同理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立,又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故等差数列SKIPIF1<0是单调递减数列，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以这里的关键是利用SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题17．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大值 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最小值【答案】ACD【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到SKIPIF1<0，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确、B错误；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递减，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值，即SKIPIF1<0，故C正确；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0单调递增，此时SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，故D正确；故选：ACD18．（2023春·河南·高三阶段练习）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值 D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值【答案】BC【分析】根据等差数列的性质可得SKIPIF1<0，即可结合选项判断.【详解】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值.故BC正确，AD错误.故选：BC19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0为定值 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大C．若SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为负值的n值有3个 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根据题意利用等差数列前n项和公式，可判断A；利用SKIPIF1<0结合SKIPIF1<0，解得公差，判断数列的单调性，可判断B；求得等差数列前n项和公式，解不等式可判断C；求出数列公差和首项，即可求得SKIPIF1<0，判断D.【详解】由数列SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差数列性质得SKIPIF1<0为定值，选项A正确．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是递减数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，选项B错误．当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为负值的SKIPIF1<0值有2个，选项C错误．当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0公差为d，即SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，选项D正确．故选：AD20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．数列SKIPIF1<0是递减数列 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即可判断AB；结合等差数列前n项求和公式与等差数列的性质即可判断CD.【详解】A：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为递减数列，故A正确；B：由选项A的分析可知，SKIPIF1<0，故B正确；C：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0是递减数列，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C正确；D：SKIPIF1<0，故D错误；故选：ABC.21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】先由数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0再由等差数列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可.【详解】对于A,SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为递减的等差数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故A正确，对于B,SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为递减的等差数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故B错，对于C,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，故C正确，对于D,SKIPIF1<0故D正确.故选：ACD22．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据题意得SKIPIF1<0，再分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；故ACD满足题意.故选：ACD23．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列选项中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的最大值C．存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0 D．存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】设数列公差为d，根据已知条件SKIPIF1<0和SKIPIF1<0判断公差正负，求出SKIPIF1<0和d关系，逐项验证即可.【详解】设等差数列SKIPIF1<0公差为d，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴d＜0，故数列SKIPIF1<0为减数列，故A正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的最大值，故B错误；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.三、填空题24．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0最小值时，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】求出SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的范围即可得答案.【详解】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0最小值时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.25．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判断.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为递增的等差数列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<026．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前n项和，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，写出一个符合条件的数列SKIPIF1<0的通项公式，an=.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【分析】根据题意，找一个符合题意的等差数列即可得到正确答案.【详解】由题意，我们可以取一个等差数列：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值.所以SKIPIF1<0符合题意.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）27．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，现有下列4个命题：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大；④若SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为11．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【分析】①由题意可以推出SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，判断①错误；②由题意可得SKIPIF1<0，判断出②正确；③由题意可得SKIPIF1<0，判断出③正确；④由题意可得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，判断出④正确．【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，即不能推出SKIPIF1<0，故①错误；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故②正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中SKIPIF1<0最大，故③正确；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为首项为正数，则公差小于0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值为11，故④正确．故答案为：②③④．28．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意，用首项SKIPIF1<0表示公差SKIPIF1<0，代入前SKIPIF1<0项和公式，化简得到SKIPIF1<0为关于SKIPIF1<0开口向下的二次函数，进而求出其最大值时对应的SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简后可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由二次函数性质可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．故答案为：SKIPIF1<0.29．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0是等差数列{SKIPIF1<0}的前n项和，若仅当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取到最小值，且SKIPIF1<0，则满足S