初中数学竞赛指导：初中几何竞赛题的解法探究

初中儿何竞赛题的解法探究

题目

在AABC中，NC=90°,ZA=60°,AC=1,点D在BC上，点E在AB上，使

得4ADE是等腰直角三角形，NADE=90°,则BE长度为()

(A)4-25/3(B)2-V3

(C)—(y/3—1)(D)A/3—1

2

一、解题关键要素

在aABC中，由/C=90°，/A=60°及AC=1,知

NB=30°,AB=2,BC=G，c

/DAC+NADC=90°.

又由NADE=90°及AD=DE,知----------

A4t4B,

ZDEA=ZDAE=45°,图1

ZADC+ZBDE=90°.

.•.NDAC=NBDE=15°.

ZADC=75°.

这里，AD=DE,LDAC=NBDE及30°和75°的角，都是解题的关键要素，是成功

解题的入口！

二、解题思路

1.利用AD=DE及NDAC=/BDE构造全等三角形

解法一如图2,作EFLCB于点F.

VAD=DE,LDAC=NBDE,

ZACD=LDFE,c

.♦.△ACD/△DFE,

AEB

图2

，EF=CD,DF=AC=1.

设CD=x,

为△BFE中，ZB=30°,

BE=2x,BF=GX,

，AE=2—x.

VCD+DF+BF=BC,

X+1+\/3X=,解得x=2—V3,

.,.BE=4-2>/3.

解法二延长AC到点E使AF=DB,连结DF.

VAD=DE,ZDAC=ZBDE,

AAADF^ADEB,

，DF=EB,ZF=ZB.

EB

设CD=x

□△CDF中，ZF=30°,

・・・DF=2x,CF=V3x,

・・.BD=1+GX,

VCD+BD=BC,

•**x+1+V3x=V3f解得x=2—V3,

・・・BE=4-2G.

2.构造含30°的直角三角形

解法三如图4,作DFLAB于点F.

在RtZSBDF中，NB=30°,

设DF=x,则BF=>AX,A3

图4

在等腰RtZ\ADE中，

AF=DF=x.

；AF+BF=AB,

；.x+百x=2,解得x=6—1,

；.BE=AB—AE=4-26.

解法四如图5,在AC取点F,连结DF,使FD=FA,

则有NFAD=NADF=15。，

AZDGC=30°.

VZACD=90°,

；.FD=2CD.

设CD=x,则FD=2x,CF=框x,

VAF+CF=AC.

2x+x=1,解得x=2一垂）.

在RtAADC中,

AD=VAC2+CD2=V6-V2,

在等腰Rt^ADE中，

AE=V2AD=2A/3-2,

.,.BE=AB-AE=4-2A/3.

3.构造底角为75°的等腰三角形

解法五如图6,延长BC到F,使CF=CB,连结AF.

VZACB=90°,

AAC1BF,，AF=AB,

.\ZFAC=ZBAC=60o,

图6

，NFAD=NFDA=75°,

，FD=FA=2.

设CD=x,则FD=6+X=2,

x—2一垂）.

.,.AD=>/AC2+CD2

.\AE=V2AD=2V3-2,

.".BE=4-2A/3.

解法六如图7,延长BC到F,连接AF,使AF=AD,

则有NF=NADC=75°.

VAC±BF,

AZFAC=LDAC=15°,

/FAD=/ABF=30°,

.♦.△ADFs/XBAF,

.AF_DF

"~BF~~AF

设AD=x,CD=y,

2x

，x2=2y,①

RtZXADC中，X2=l+y2②

由①、②，得=26一2,

.\AE=72AD=2>/3-2,

，BE=4—2月.

题目

在四边形ABCD中，BC=8,CD=12,AD=10,ZA=ZB=60°，贝AB=

图2

题中四边形ABCD虽是不规则四边形，但条件/A=NB=60°很特殊.解题的关键

是要从60°角出发去添加辅助线，把四边形ABCD通过补形或分割为常见的特殊四边形

或三角形，最重要的还要找出60°角所在直角三角形，以便快速准确解题.

一、把四边形ABCD补形

解法一补为等边三角形，

如图2,延长AD和BC,交点为E,作DFJ_BE于点F.

VZA=ZB=60°.

AZE=60°.

...△EBC是等边三角形，

，EA=EB=AB.

；.EC=ED+2.

设DE=x,

在Rtz^DFE中，ZEDF=30°,

则FE=0.5x,DF=­x；

2

在RtADFC中，

CD2=DF2+FC2.

/.122=(0.5X+2)2+(—X)2.

2

解得x=ViTT—i,

.*.AB=AE=AD+DE=9+V141.

解法二补为平行四边形.

如图3,过点A和点D作BC、AB的平行线，并延长BC,交点为E、F,作CGLFE

于点G.

四边形ABEF是平行四边形，

ZGEC=ZB=60°,

ZADF=ZBAD=60°,F-....…一小

；.AB=EF,AF=BE,\\/\

NF=/B=60°,AB

图3

；.AF=DF=AD=10.

在RtZXCGE中，

CE=BE-BC=2,ZECG=30°,

；.EG=1,CG=5

在RtADCG中，

DG=y/DC2-CG2=Jl2?一（可

-V141

.\AB=FE=FD+DE

=FD+DG-EG

=9+7141.

解法三补为矩形,

如图4,分别过点A、B作AB的垂线，与过点D所作AB的平行线交于点E和F,

作CHLEF于点H,CGLFB于点G.

四边形ABFE是矩形，

ZDAE=30°,/CBG=30°,B

图4

，BF=AE,EF=AB.

在RtADEG中,

DE=5,AE=5g；

在RtZ\BCG中，

CG=4,BG=4x/3,

;.GF=G

在矩形CGFH中，CH=FG,HF=CG；

在RtaDCH中，

DH=>JDC2-CH2=Vi4i

=ED+DH+HF

=9+714?.

二、把四边形ABCD进行分割

解法四分割成矩形和直角三角形.

如图5,过点D和C作AB的垂线，垂足为E和F,作CGLDE于点G.

在RtZ\ADE中，

AE=5,DE=5A/3；

在RtZ\CBF中，

图5

BF=4,CF=46.

在RtACDG中，

GD=DE—GE=DE—CF=46,

CG=4DC2-DG2=7141,

，AB=AE+EF+FB

=AE+CG+FB

=9+ViZT.

解法五分割成等边三角形、平行四边形及直角三角形.

如图6,过点C作CE〃AB交AD于点E,CF〃AD交AB于点F,作DGLEC于点G,

...四边形AFCE是平行四边形，

/CFB