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文档简介
2023-2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷考生注意:1.考试时间90分钟2.全卷共分三道大题,总分120分3请在答题卡上作答,在试卷上作答无效一、选择题(每小题3分,满分30分)1.下列根式是最简二次根式的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当二次根式满足:①被开方数不含开的尽方的数或式;②根号内面没有分母.即为最简二次根式,由此即可求解.【详解】解:A选项:,不是最简二次根式,故该选项不符合题意;B选项:,不是最简二次根式,故该选项不符合题意;C选项:,不是最简二次根式,故该选项不符合题意;D选项:,是最简二次根式,故该选项符合题意;故选:D.【点睛】此题考查最简二次根式,解题关键在于掌握最简二次根式的性质.2.下列各式中,运算正确的是()A.=﹣2 B.+= C.×=4 D.2﹣【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质对A进行判断;根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断.【详解】解:A、=2,故原题计算错误;B、+=+2=3,故原题计算错误;C、==4,故原题计算正确;D、2和不能合并,故原题计算错误;故选:C【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质,熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解题关键.3.下列条件中,不能判定四边形为平行四边形的是()A., B.C. D.,【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质.根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可.【详解】解:A、由,,不能判定四边形是平行四边形,故选项A符合题意;B、,,四边形是平行四边形,故选项B不符合题意;C、,,四边形是平行四边形,故选项C不符合题意;D、由,,四边形是平行四边形,故选项D不符合题意;故选:A.4.下列命题的逆命题是真命题的是()A.对顶角相等 B.等边三角形是锐角三角形C.矩形的对角线相等 D.平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】【分析】本题考查命题,涉及逆命题、命题真假的判断,由对顶角判定、等边三角形判定、矩形的判定及平行四边形的判定逐项验证即可得到答案,熟记相关几何判定及逆命题的写法是解决问题的关键.【详解】解:A、对顶角相等的逆命题是:相等的两个角是对顶角,是假命题,不符合题题意;B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是:锐角三角形是等边三角形,是假命题,不符合题题意;C、矩形的对角线相等的逆命题是:对角线相等的四边形是矩形,是假命题,不符合题题意;D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是:对角线相互平分的四边形是平行四边形,是真命题,符合题题意;故选:D.5.如图:在中,平分,平分,且交于M,若,则等于()A.75 B.100 C.120 D.125【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义,等腰三角形的判定以及勾股定理的运用等知识点,根据角平分线的定义推出为直角三角形,然后根据勾股定理即可求得,进而可求出的值,解题的关键是首先证明出为直角三角形.【详解】∵平分,平分,∴,,即,∴为直角三角形,又∵,平分,平分,∴,,∴,,由勾股定理可知.故选:B.6.如图,在矩形中,点的坐标是,则的长是()A.3 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识,熟练掌握矩形的性质是解题的关键.连接,过作轴于,由矩形的性质得,再由点的坐标得,,然后由勾股定理求出的长,即可解决问题.【详解】解:如图,连接,过作轴于,四边形是矩形,,点的坐标是,,,,,故选:C7.已知,且,化简二次根式的结果是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式化简与性质,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键,根据二次根式被开方数是非负数,以及,可得,再化简即可,【详解】解:有意义,且,,故选:A8.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为()A.8 B.8 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.【详解】解:如图,连接OB,∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF,∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,∴∠BAC=∠ABO,又∵∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°,∴∠FCA=30°,∴∠FBC=30°,∵FC=2,∴BC=2,∴AC=2BC=4,∴AB===6,故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,(2)作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.9.如图,在中,于点,于点,是的中点,连接,设,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°,根据直角三角形的性质得到AF=DF,BF=EF,根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF,∠EFB=∠BEF,于是得到结论.【详解】解:∵AE⊥BC于点E,BD⊥AC于点D;∴∠ADB=∠BEA=90°,∵点F是AB的中点,∴AF=DF,BF=EF,∴∠DAF=∠ADF,∠EBF=∠BEF,∴∠AFD=180°-2∠CAB,∠BFE=180°-2∠ABC,∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2(∠CAB+∠CBA)-180°=2(180°-y°)-180°=180°-2y°,∴,故选A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,正确的识别图形是解题的关键.10.如图,平行四边形的对角线,相交于点O,平分,分别交,于点E,P,连接,,,则下列结论:①;②;③;④;⑤,正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得:,则,由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得:是等边三角形,由外角的性质和等腰三角形的性质得:,最后由平行线的性质可作判断;②先根据三角形中位线定理得:,,根据勾股定理计算,的长,即可求的长;③因为,根据平行四边形的面积公式可作判断;④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断;⑤由求解,再进一步可得答案.【详解】解:①∵平分,∴,∵四边形是平行四边形,∴,,∴,∴,∴,∴是等边三角形,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∵,∴,故①正确;②∵,,∴,,∴,∴,∵四边形是平行四边形,∴,∵,∴,∴,∴,故②正确;③由②知:,∴,故③正确;④由②知:是的中位线,∴,∵,∴,故④正确;⑤∵四边形是平行四边形,∴,∴,∵,∴,故⑤错误;本题正确的有:①②③④,共4个,故选:C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算;熟练掌握平行四边形的性质,证明是等边三角形是解决问题的关键,并熟练掌握同高三角形面积的关系.二、填空题(每小题3分,共30分)11.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是______.【答案】且##且【解析】【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0,分式的分母不为0,进行求解即可.【详解】解:由题意,得:,∴且;∴x的取值范围是且;故答案为:且.【点睛】本题考查代数式有意义.熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0,分式的分母不为0,是解题的关键.12.如图,已知四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O,,添加一个条件______,使四边形ABCD为平行四边形(填一个即可).【答案】AD=BC(答案不唯一)【解析】【分析】由条件可得,然后根据平行四边形的判定添加条件即可.【详解】解:∵,∴,∵AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.故答案为:AD=BC(答案不唯一).【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定,关键是熟练掌握平行四边形的判定定理.13.已知的三边长分别为、、,且、、满足,则的形状是________三角形.【答案】直角【解析】【分析】已知等式前三项利用完全平方公式变形,利用非负数的性质求出a,b,c的值,利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形ABC为直角三角形.【详解】解:∵,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,∴△ABC为直角三角形.故答案为直角.【点睛】此题考查了配方法的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.14.计算:_____________.【答案】##【解析】【分析】利用分数的性质和平方差公式,分子分母同时乘以即可.【详解】解:,故答案为:.【点睛】本题主要考查分母有理化,掌握分数的性质和平方差公式进行分母有理化是解题的关键.15.如图,在矩形中,,动点P满足,则点P到A、B两点距离之和的最小值为________.【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质,轴对称的性质,勾股定理.明确线段和最小的情况是解题的关键.如图,作于,则,由,可得,即在距离为2的直线上运动,如图,作关于直线的对称点,连接,,由轴对称的性质可得,,,由,可知当三点共线时,最小,为,根据勾股定理求即可.【详解】解:如图,作于,∴,∵,∴,解得,,∴在距离为2的直线上运动,如图,作关于直线的对称点,连接,,由轴对称的性质可得,,,∴,∴当三点共线时,最小,为,由勾股定理得,,故答案为:.16.如图,每个小正方形的边长为1,在中,点D为AB的中点,则线段CD的长为________【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC,再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.【详解】解:根据勾股定理,,,,∵,∴△ABC是直角三角形,∵点D为AB的中点,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理,勾股定理逆定理的应用,判断出△ABC是直角三角形是解题的关键.17.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a∶b=2∶3,c=,则a=_____.【答案】或【解析】【分析】分两种情况:当∠C=90°或∠B=90°时,设a=2x,b=3x,运用勾股定理求出x的值即可得到答案.【详解】分两种情形:情形1,当∠C=90°时,设a=2x,b=3x,∵,∴解得,,∴;情形2,当∠B=90°时,设a=2x,b=3x,∵,∴解得,,∴;故答案为:或.【点睛】本题考查勾股定理的运用,关键是找到斜边,直角边,根据勾股定理求解.18.如图,在四边形中,,,M为中点,动点P从点B出发沿向终点C运动,连接,取中点N,连接,则线段的最小值为________.【答案】【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、垂线段最短,过点D作于E,根据垂线段最短得到点P与点E重合时,最小,根据含角的直角三角形的性质求出,根据三角形中位线定理计算,得到答案.【详解】解:过点D作于E,则当点P与点E重合时,最小,在中,,则,∵M为中点,N是中点,∴,∴线段的最小值为,故答案为:.19.在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=,则▱ABCD的周长等于_____.【答案】20或12##12或20【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于E,连接AC,如图1,勾股定理求出EC,BE的长,得到BC即可求出的周长;如图2,过点A作AE⊥BC,交BC的延长线于E,连接AC,勾股定理求出EC,BE的长,得到BC即可求出的周长.【详解】解:过点A作AE⊥BC于E,连接AC,如图1,∵在▱ABCD中,AE=4,AB=5,AC=,∴,,∴BC=2+3=5,∴的周长=2(AB+BC)=20;如图2,过点A作AE⊥BC,交BC的延长线于E,连接AC,∵在▱ABCD中,AE=4,AB=5,AC=,∴,,∴BC=BE-EC=3-2=1,∴的周长=2(AB+BC)=12;故答案为:20或12.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,勾股定理,正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键,注意应根据平行四边形的形状分类讨论.20.在矩形中,点G在边上,,边BC上有一点H,将矩形沿边折叠,点C和D的对应点分别是和,若点A、和三个点恰好在同一条直线上时,的长为______.【答案】7或1##1或7【解析】【分析】分两种情况,分别画出图形,再根据勾股定理和线段的和差线即可解答.【详解】解:①如图:当点A、和共线时,∵将矩形沿边折叠,点C和D的对应点分别是和,∴,,∴,在中,,∴;②如图:当点A、和共线时,∵将矩形沿边折叠,点C和D的对应点分别是和,∴,,∴,在中,,∴.综上,的长为7或1.【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识点,根据题意、准确的画出图形是解题的关键.三、解答题(满分60分)21.计算(1);(2);(3)先化简,再求值:,其中.【答案】(1)-4(2)(3),【解析】【分析】(1)由二次根式乘法运算先展开,再利用二次根式性质化简,最后运用二次根式加减运算求解即可得到答案;(2)由二次根式除法运算、完全平方差公式先计算,再由二次根式加减运算求解即可得到答案;(3)先计算括号内的异分母分式加法,再因式分解,利用分式乘法运算法则化简后代值求解即可得到答案.【小问1详解】解:;【小问2详解】解:;【小问3详解】解:,当时,原式.【点睛】本题考查二次根式混合运算及分式化简求值,涉及二次根式加减乘除运算、二次根式性质、完全平方差公式、分式混合运算等知识,熟记二次根式混合运算及分式化简求值是解决问题的关键.22.已知平形四边形中,于,于.(1)如图1,求证:四边形为矩形.(2)如图2,连接分别交于两点,请直接写出图中的所有平行四边形.【答案】(1)见解析(2)四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质及垂直的定义即可得出,再根据四个角为直角的四边形为矩形即可得证;(2)根据平行四边形的判定及性质即可判定所有的平行四边形.【小问1详解】证明:四边形ABCD为平行四边形于,于四边形为矩形【小问2详解】由(1)可知:四边形AECF矩形,在平行四边形ABCD中,四边形FDEB是平行四边形四边形MFNE是平行四边形由(1)及题意可知:四边形ABCD、AECF为平行四边形图中所有的平行四边形为:四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE.【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定定理,熟练掌握性质定理是解题的关键.23.矩形中,,E为边的中点,P为边上的点,且是腰长为5的等腰三角形,请你画出图形,直接写出线段长.【答案】画图见解析,或5或【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的定义,化为最简二次根式,等知识点,正确作图并掌握分类讨论思想是解答本题的关键.首先计算出的长,再分三种情况:①如图1,时;②如图2,时;③如图3,且为钝角三角形时分别计算出的长即可.【详解】解:∵,E为边的中点,∴,∵四边形是矩形,∴,①如图1,时,过点P作于F,则,,根据勾股定理,,∴;∴;②如图2,当时,此时,③如图3,且为钝角三角形时,过点P作于F,根据勾股定理:,∴,∴;综上所述,的长为或5或.如图,在平行四边形中,.分别以、为边向外作和,使,延长交边于点H,点H在E、C两点之间,连结、.24.(1)求证:.25.(2)当时,求的度数.【答案】24.证明见解析;25.【解析】【分析】(1)由四边形是平行四边形,可得,,,又由,,,即可证得,,,则可证得结论;(2)由,可得,又由,,即可求得,继而求得答案.【24题详解】证明:∵四边形是平行四边形,∴,,,∵,,,∴,,,在和中,,∴,【25题详解】∵,∴∵,∴,∴.【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.注意证得,,是关键.26.综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.实践操作:如图1,在矩形纸片ABCD中,.第一步:如图2,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.第二步:如图3,再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM.同时,得到了线段BN.解决问题(1)在图3中,EN与AB的关系是________.________cm.(2)在图3中,连接AN,试判断的形状,并给予证明.拓展应用(3)已知,在矩形ABCD中,,,点P在边AD上,将沿着BP折叠,若点A的对应点恰落在矩形ABCD的对称轴上,则________cm.【答案】(1)EN垂直平分AB,;(2)△ABN为等边三角形,证明见解析;(3)4cm或cm.【解析】【分析】(1)由折叠的性质和勾股定理可求解;(2)由折叠的性质可得AB=BN,由线段中垂线的性质可得AN=BN,可得结论;(3)根据点A的对应点恰落在矩形ABCD的对称轴,分两种情况讨论,由折叠的性质和勾股定理可求解.【小问1详解】解:∵对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,∴AE=BE=2cm,AB⊥EF,∴EN垂直平分AB,由折叠可得:cm,∴在Rt△BEN中,(cm);故答案为:EN垂直平分AB,
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