黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023－2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷考生注意：1．考试时间90分钟2．全卷共分三道大题，总分120分3请在答题卡上作答，在试卷上作答无效一、选择题（每小题3分，满分30分）1.下列根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．【详解】解：A选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；D选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；故选:D．【点睛】此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质．2.下列各式中，运算正确的是（）A.＝﹣2 B.+＝ C.×＝4 D.2﹣【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【详解】解：A、＝2，故原题计算错误；B、+＝+2＝3，故原题计算错误；C、＝＝4，故原题计算正确；D、2和不能合并，故原题计算错误；故选：C【点睛】此题主要考查了二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解题关键．3.下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（）A.， B.C. D.，【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项A符合题意；B、，，四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；C、，，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；D、由，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：A．4.下列命题的逆命题是真命题的是（）A.对顶角相等 B.等边三角形是锐角三角形C.矩形的对角线相等 D.平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】【分析】本题考查命题，涉及逆命题、命题真假的判断，由对顶角判定、等边三角形判定、矩形的判定及平行四边形的判定逐项验证即可得到答案，熟记相关几何判定及逆命题的写法是解决问题的关键．【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，是假命题，不符合题题意；B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是：锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题题意；C、矩形的对角线相等的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，不符合题题意；D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是：对角线相互平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题题意；故选：D．5.如图：在中，平分，平分，且交于M，若，则等于（）A.75 B.100 C.120 D.125【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定以及勾股定理的运用等知识点，根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值，解题的关键是首先证明出为直角三角形．【详解】∵平分，平分，∴，，即，∴为直角三角形，又∵，平分，平分，∴，，∴，，由勾股定理可知．故选：B．6.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（）A.3 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．【详解】解：如图，连接，过作轴于，四边形是矩形，，点的坐标是，，，，，故选：C7.已知，且，化简二次根式的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键，根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可，【详解】解：有意义，且，，故选：A8.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A.8 B.8 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【详解】解：如图，连接OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC，即2∠BAC+∠BAC=90°，解得∠BAC=30°，∴∠FCA=30°，∴∠FBC=30°，∵FC=2，∴BC=2，∴AC=2BC=4，∴AB=＝＝6，故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．9.如图，在中，于点，于点，是的中点，连接，设，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF，BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到结论．【详解】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；∴∠ADB=∠BEA=90°，∵点F是AB的中点，∴AF=DF，BF=EF，∴∠DAF=∠ADF，∠EBF=∠BEF，∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，∴x°=180°-∠AFD-∠BFE=2（∠CAB+∠CBA）-180°=2（180°-y°）-180°=180°-2y°，∴，故选A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．10.如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由求解，再进一步可得答案．【详解】解：①∵平分，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确；②∵，，∴，，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；③由②知：，∴，故③正确；④由②知：是的中位线，∴，∵，∴，故④正确；⑤∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，故⑤错误；本题正确的有：①②③④，共4个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．二、填空题（每小题3分，共30分）11.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】且##且【解析】【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴且；∴x的取值范围是且；故答案为：且．【点睛】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．12.如图，已知四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，，添加一个条件______，使四边形ABCD为平行四边形（填一个即可）．【答案】AD＝BC（答案不唯一）【解析】【分析】由条件可得，然后根据平行四边形的判定添加条件即可．【详解】解：∵，∴，∵AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．13.已知的三边长分别为、、，且、、满足，则的形状是________三角形．【答案】直角【解析】【分析】已知等式前三项利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形ABC为直角三角形．【详解】解：∵,∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形．故答案为直角.【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14.计算：_____________．【答案】##【解析】【分析】利用分数的性质和平方差公式，分子分母同时乘以即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分母有理化，掌握分数的性质和平方差公式进行分母有理化是解题的关键．15.如图，在矩形中，，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和的最小值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．明确线段和最小的情况是解题的关键．如图，作于，则，由，可得，即在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，由，可知当三点共线时，最小，为，根据勾股定理求即可．【详解】解：如图，作于，∴，∵，∴，解得，，∴在距离为2的直线上运动，如图，作关于直线的对称点，连接，，由轴对称的性质可得，，，∴，∴当三点共线时，最小，为，由勾股定理得，，故答案为：．16.如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：根据勾股定理，，，，∵，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．17.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a∶b=2∶3，c=，则a=_____.【答案】或【解析】【分析】分两种情况：当∠C=90°或∠B=90°时，设a=2x,b=3x，运用勾股定理求出x的值即可得到答案.【详解】分两种情形：情形1，当∠C=90°时，设a=2x，b=3x，∵，∴解得，，∴；情形2，当∠B=90°时，设a=2x,b=3x，∵，∴解得，，∴；故答案为：或.【点睛】本题考查勾股定理的运用，关键是找到斜边，直角边，根据勾股定理求解．18.如图，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，取中点N，连接，则线段的最小值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，过点D作于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，根据含角的直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【详解】解：过点D作于E，则当点P与点E重合时，最小，在中，，则，∵M为中点，N是中点，∴，∴线段的最小值为，故答案为：．19.在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝，则▱ABCD的周长等于_____．【答案】20或12##12或20【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长；如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，勾股定理求出EC，BE的长，得到BC即可求出的周长．【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，连接AC，如图1，∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=2+3=5，∴的周长=2（AB+BC）=20；如图2，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接AC，∵在▱ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=BE-EC=3-2=1，∴的周长=2（AB+BC）=12；故答案为：20或12．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键，注意应根据平行四边形的形状分类讨论．20.在矩形中，点G在边上，，边BC上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为______．【答案】7或1##1或7【解析】【分析】分两种情况，分别画出图形，再根据勾股定理和线段的和差线即可解答．【详解】解：①如图：当点A、和共线时，∵将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，∴，，∴，在中，，∴；②如图：当点A、和共线时，∵将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，∴，，∴，在中，，∴．综上，的长为7或1．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识点，根据题意、准确的画出图形是解题的关键．三、解答题（满分60分）21.计算（1）；（2）；（3）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）－4（2）（3），【解析】【分析】（1）由二次根式乘法运算先展开，再利用二次根式性质化简，最后运用二次根式加减运算求解即可得到答案；（2）由二次根式除法运算、完全平方差公式先计算，再由二次根式加减运算求解即可得到答案；（3）先计算括号内的异分母分式加法，再因式分解，利用分式乘法运算法则化简后代值求解即可得到答案．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查二次根式混合运算及分式化简求值，涉及二次根式加减乘除运算、二次根式性质、完全平方差公式、分式混合运算等知识，熟记二次根式混合运算及分式化简求值是解决问题的关键．22.已知平形四边形中，于，于．（1）如图1，求证：四边形为矩形．（2）如图2，连接分别交于两点，请直接写出图中的所有平行四边形．【答案】（1）见解析（2）四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及垂直的定义即可得出，再根据四个角为直角的四边形为矩形即可得证；（2）根据平行四边形的判定及性质即可判定所有的平行四边形．【小问1详解】证明：四边形ABCD为平行四边形于，于四边形为矩形【小问2详解】由（1）可知：四边形AECF矩形，在平行四边形ABCD中，四边形FDEB是平行四边形四边形MFNE是平行四边形由（1）及题意可知：四边形ABCD、AECF为平行四边形图中所有的平行四边形为：四边形FDEB、四边形ABCD、四边形AECF、四边形MFNE．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、矩形的判定定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．23.矩形中，，E为边的中点，P为边上的点，且是腰长为5的等腰三角形，请你画出图形，直接写出线段长．【答案】画图见解析，或5或【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的定义，化为最简二次根式，等知识点，正确作图并掌握分类讨论思想是解答本题的关键．首先计算出的长，再分三种情况：①如图1，时；②如图2，时；③如图3，且为钝角三角形时分别计算出的长即可．【详解】解：∵，E为边的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，①如图1，时，过点P作于F，则，，根据勾股定理，，∴；∴；②如图2，当时，此时，③如图3，且为钝角三角形时，过点P作于F，根据勾股定理：，∴，∴；综上所述，的长为或5或．如图，在平行四边形中，．分别以、为边向外作和，使，延长交边于点H，点H在E、C两点之间，连结、．24.（1）求证：．25.（2）当时，求的度数．【答案】24.证明见解析；25.【解析】【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，，又由，，，即可证得，，，则可证得结论；（2）由，可得，又由，，即可求得，继而求得答案．【24题详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，，，∴，，，在和中，，∴，【25题详解】∵，∴∵，∴，∴．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得，，是关键．26.综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．实践操作：如图1，在矩形纸片ABCD中，．第一步：如图2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．解决问题（1）在图3中，EN与AB的关系是________．________cm．（2）在图3中，连接AN，试判断的形状，并给予证明．拓展应用（3）已知，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，将沿着BP折叠，若点A的对应点恰落在矩形ABCD的对称轴上，则________cm．【答案】（1）EN垂直平分AB，；（2）△ABN为等边三角形，证明见解析；（3）4cm或cm．【解析】【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解；（2）由折叠的性质可得AB=BN，由线段中垂线的性质可得AN=BN，可得结论；（3）根据点A的对应点恰落在矩形ABCD的对称轴，分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．【小问1详解】解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴AE=BE=2cm，AB⊥EF，∴EN垂直平分AB，由折叠可得：cm，∴在Rt△BEN中，（cm）；故答案为：EN垂直平分AB，