初中数学试题大全（八十一）图形的旋转难题

81初中数学组卷：图形的旋转难题

一.选择题（共10小题）

1.如图，。是正aABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转

中心逆时针旋转60。得到线段80',下列结论：①△BCTA可以由△BOC绕点B逆

时针旋转60。得到；②点。与0,的距离为4；③NAOB=150。；@S四边形AOBO=6+3«；

⑤SMOC+SMOB=6+2^.其中正确的结论是（）

二

B-------------------------C

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

2.如图，△ABC,AEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点,

‘直冬线AG、FC相交于。点M.当4EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）

F

A.2-73B.后1C.&D.V3-1

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,点D为AB的中点，若直角

MDN绕点D旋转，分别交AC于点E,交BC于点F,则下列说法正确的有（）

①AE=CF；②EC+CF=M；③DE=DF；④若^ECF的面积为一个定值，则EF的长

也是一个定值.

月LNx

CB

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

4.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0,3）,ZAOB=90°,ZB=30°.将

△AOB绕点。顺时针旋转一定角度后得到△AOB，，并且点A恰好好落到线段AB

上，则点ZV的坐标为（）

A.B.(-X2&)

5.如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3,则PC所能

达到的最大值为（

A.75B.7I3C.5D.6

6.如图，将4ABC绕顶点A顺时针旋转60。后，得至U△ABe,且C为BC的中点,

则CD：DB'=（）

7.一个机器人从Ao点出发朝正东方向走了2米到达Ai点，记为第1次行走；

接着，在Ai处沿逆时针方向旋转60。后向前走2米到达A2点，记为第2次行走;

再在A2处沿逆时针方向旋转60。后向前走2米到达A3点，记为第3次行走；依

此类推，若点Ao的坐标是（1,0）,则该机器人第2012次行走后的坐标是（）

A.（0,73）B.（3,0）C.（1,273）D.（4,我）

8.如图，正方形ABCD的边长是3cm,一个边长为1cm的小正方形沿着正方形

ABCD的边AB玲BC玲CDfDA玲AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起

始位置时，它的方向是（）

9.如图，把一个斜边长为2且含有30。角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时

针旋转90。到aAiBiC,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是（）

10.等边三角形绕它的一个顶点旋转90。后与原来的等边三角形组成一个新的图

形，那么这个新的图形（）

A.是轴对称图形，但不是中心对称图形

B.是中心对称图形，但不是轴对称图形

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

二.填空题（共10小题）

11.如图，在Rt^ABC中，NABC=90。，AB=BC=&,将^ABC绕点C逆时针旋转

60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是

Xf

c

N

B^------------\

12.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将aABC绕点B顺

时针旋转60。，得到ABDE,连接DC交AB于点F,则4ACF与4BDF的周长之和

为cm.

13.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30。后得到正方形BEFG,EF与AD相

交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为声，则AK=.

14.如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接

EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.则在点E运动过程中，

15.如图,4ABC绕点A顺时针旋转45。得到△ABC,若NBAC=90。，AB=AC飞历,

则图中阴影部分的面积等于

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4遍，AD=10.连接BD,NDBC的角平分线BE

交DC于点E,现把aBCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的aBCE为△BCE.当射

线BE，和射线BU都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若4BFD为等腰三角

形，则线段DG长为.

17.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到正方形ABCD,

则图中阴影部分的面积为.

Dr

18.如图，在^ABC中，ZA=70°,AC=BC,以点B为旋转中心把^ABC按顺时针

旋转a度，得到△A，BU,点ZV恰好落在AC上，连接CU,则NACC=.

Cf

19.如图，AAOB中，ZAOB=90°,AO=3,BO=6,4AOB绕顶点。逆时针旋转

到△A'OB，处，此时线段AB与B0的交点E为B0的中点，则线段B乍的长度

20.如图，在ZXABC中,AB=2,BC=3.6,ZB=60",将^ABC绕点A按顺时针旋

转一定角度得到aADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长

为.

三.解答题（共10小题）

21.已知，在△ABC中，AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕

点A按顺时针方向旋转角0,直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合）,

△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN,连接CN.

（1）当NBAC=NMBN=90°时，

①如图a,当0=45。时，NANC的度数为；

②如图b,当6W45。时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c,当NBAC=NMBNW90。时，请直接写出NANC与NBAC之间的数量

关系，不必证明.

22.(1)如图1,在AABC中，BA=BC,D,E是AC边上的两点，且满足NDBE=L

2

ZABC(O°<ZCBE<Z1T\BC).以点B为旋转中心，将ABEC按逆时针旋转NABC,

2

得到ABETk(点C与点A重合，点E到点E，处)连接DE\

求证：DE'=DE.

(2)如图2,在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,D,E是AC边上的两点，且满

足NDBE=L/ABC(0°<ZCBE<45").

2

23.已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5,AD="_,AE1BD,垂足是E.点F

3

（2）若将4ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B

沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出

相应的m的值.

（3）如图②，将4ABF绕点B顺时针旋转一个角a（00<a<180°）,记旋转中的

△ABF为△ABF,在旋转过程中，设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线

BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使ADPCi为等腰三角形？若存在，求

出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.

24.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFJ_BD交BC于F,

连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.

（1）求证:EG=CG；

（2）将图①中aBEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取DF中点G,连接

EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请

说明理由；

（3）将图①中aBEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，

问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.

图①图②图⑤

25.如图1,在RtZ\ABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的

中点，连接DE,将aEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

（1）问题发现

①当a=0°时，❷；②当a=180°时，必

BDBD

（2）拓展探究

试判断：当(TWa＜360。时，岖的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

BD

(3)问题解决

当△£口(：旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

26.在平面直角坐标系中，0为原点，点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F

分别为OA,OB的中点.若正方形。EDF绕点。顺时针旋转，得正方形OE'DF,

记旋转角为a.

(I)如图①，当a=90。时，求AE',BFZ的长；

(II)如图②，当a=135°时，求证AE'=BF',且AE」BF'；

(DI)若直线AE，与直线BF相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结

果即可).

27.如图1,点。是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到

点E,使。G=2OD,0E=20C,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,

DE.

(1)求证：DE1AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转a角(0。＜。＜360。)

得到正方形OEFG,如图2.

①在旋转过程中，当NOAG，是直角时，求a的度数；

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF长的最大值和此时a的度数,

直接写出结果不必说明理由.

图2

28.如图1,在4ABC中，ZA=36°,AB=AC,ZABC的平分线BE交AC于E.

(1)求证：AE=BC；

(2)如图(2),过点E作EF〃BC交AB于F,将aAEF绕点A逆时针旋转角a

(0°<a<144°)得到△AE'F',连结CE',BF',求证：CE'=BF'；

(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE，〃AB?若存在，求出相应的旋转角a；

若不存在，请说明理由.

29.如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点0按顺时针方向旋转角a((TVa

<45°),得到正方形OAiBiCi.设边BiCi与0C的延长线交于点M,边BiAi与0B

交于点N,边BiAi与0A的延长线交于点E,连接MN.

(1)求证：△OCiMgZ\OAiE；

(2)试说明：△OMN的边MN上的高为定值；

(3)4MNBi的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，

请给予证明，并求出p的值.

30.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD

与边长为2&的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与

AG在同一直线上.

(1)小明发现DG_LBE,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG

上时，请你帮他求出此时BE的长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE

将相交，交点为H,写出aGHE与aBHD面积之和的最大值，并简要说明理由.

81初中数学组卷：图形的旋转难题

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2012・十堰）如图，。是正^ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO

以点B为旋转中心逆时针旋转60。得到线段B。，，下列结论：①△BCTA可以由△

BOC绕点B逆时针旋转60。得到；②点。与。'的距离为4；③NAOB=150。；@S

四边形AOBO，=6+3仃；⑤SAAOC+SAAOB=6+&年.其中正确的结论是（）

。二,

B---------------------------C

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【分析】证明△BO'A之△BOC,又NOBO'=60°,所以△BO'A可以由△BOC绕点B

逆时针旋转60。得到，故结论①正确；

由△0B。，是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO,中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，故△AOO,是直角三角形；进

而求得NAOB=150。，故结论③正确；

S、,=SMOO，+SMBO，=6+4向，故结论④错误；

四边形A3B0

如图②，将aAOB绕点A逆时针旋转60。，使得AB与AC重合，点O旋转至0"

点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将SAAOC+SAAOB转化为SMOO"+S

△A00”，计算可得结论⑤正确.

【解答】解：由题意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60°,/.Z1=Z3,

又•.•OB=O，B,AB=BC,

.,.△BO'A^ABOC,又,.•/OBO‘=6O°,

.•.△BO，A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到，

故结论①正确；

如图①，连接00，，

•.•0B=0'B,且NOBO'=60°,

.•.△OB。，是等边三角形，

00z=0B=4.

故结论②正确；

VABO'A^ABOC,.•.O'A=5.

在△A。。，中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数,

，△AO。，是直角三角形，NAOO，=90。，

AZAOB=ZAOO,+ZBOO,=90o+60°=150°,

故结论③正确；

S=SAAOO，+SAOBO'=-X3X4+X^-X42=6+4^/3，

四边形给B024

故结论④错误；

如图②所示，将AAOB绕点A逆时针旋转60。，使得AB与AC重合，点0旋转至

0"点.

易知△A0。”是边长为3的等边三角形，△C00”是边长为3、4、5的直角三角形,

贝SAAOC+SMOB=S四边形AOCO"=SACOO"+SAAOO"=LX3X4+

2

故结论⑤正确.

综上所述，正确的结论为：①②③⑤.

故选:A.

BC

图②

图①

【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质.利用勾股定理

的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点.在

判定结论⑤时，将^AOB向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓

展应用.

2.（2015•武汉）如图，AABC,AEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边

BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M.当4EFG绕点D旋转时，线段BM长

【分析】取AC的中点0,连接AD、DG、BO、OM,如图，易证△DAGs^DCF,

则有NDAG=NDCF,从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可

得BOWBM+OM,即BM'BO-OM,当M在线段B0与该圆的交点处时，线段

BM最小，只需求出B。、0M的值，就可解决问题.

【解答】解：AC的中点0,连接AD、DG、BO、0M,如图.

'.•△ABC,AEFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点,

/.AD±BC,GD±EF,DA=DG,DC=DF,

/.ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,里国

DCDF

/.△DAG^ADCF,

AZDAG=ZDCF.

:.A、D、C、M四点共圆.

根据两点之间线段最短可得：BOWBM+OM,即BM2B0-0M,

当M在线段B0与该圆的交点处时，线段BM最小，

止匕时，BO=VBC2-0C2=V22-12=^0M

则BM=BO-0M=V3-1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的

判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点

M的运动轨迹是解决本题的关键.

3.（2011•老河口市模拟）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,点D

为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E,交BC于点F,则下

列说法正确的有（）

①AE=CF；②EC+CF=4A/^；③DE=DF；④若aECF的面积为一个定值，则EF的长

也是一个定值.

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

【分析】①如果连接CD,可证△ADEgACDF,得出AE=CF；

②由①知，EC+CF=EC+AE=AC,而AC为等腰直角4ABC的直角边，由于斜边AB=8,

由勾股定理可求出AC=BC=4&；

③由①知DE=DF；

©VAECF的面积=LXCEXCF,如果这是一个定值，则CE-CF是一个定值，又

2

EC+CF=4&,从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定

值.

【解答】解：①连接CD.

•.•在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,点D为AB的中点，

ACD1AB,CD=AD=DB,

在aADE与4CDF中，ZA=DCF=45°,AD=CD,NADE=NCDF,

/.△ADE^ACDF,

/.AE=CF.说法正确;

②•.,在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,

AC=BC=4-\/2-

由①知AE=CF,

，EC+CF=EC+AE=AC=4&.说法正确；

③由①知AADE之ACDF,

，DE=DF.说法正确；

④•..△ECF的面积=LXCEXCF,如果这是一个定值，则CE・CF是一个定值，

2

又•.•EC+CF=啦,

可唯一确定EC与EF的值，

再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确.

故选D.

【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及方程的思

想，有一定难度.

4.（2012•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0,3）,Z

AOB=90°,ZB=30°.将^AOB绕点0顺时针旋转一定角度后得到△A，OB，，并且

点A恰好好落到线段AB上，则点/V的坐标为()

（_3_,2^.B•食，与C.（一事|）小-喙,2)

22

【分析】解直角三角形求出A0=畲，NBAO=60。，再根据旋转只改变图形的位置

不改变图形的形状与大小可得AO=AO,然后判断出△AOA是等边三角形，过点

A，作A，CJ_AO于点C,然后解直角三角形求出A，C,0C,再根据点A，在第二象限

写出点的坐标即可.

【解答】解：•••点B的坐标为(0,3),

，B0=3,

VZAOB=90°,ZB=30°,

AAO=BO*tan30°=3XJ3,ZBAO=90°-30°=60°,

3

•.•△A9B，是由△ABC旋转得到，点A，在AB上，

.•.A'O=AO,

.'.△AOA，是等边三角形，

Z.NAOA'=60。，

过点A作ArC±AO于点C,

则人（=人6皿60。=我又冬OC=A'Ocos60°=我X手喙,

•.•点A在第二象限，

.•.点A'（-返，旦）.

22

【点评】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，主要利用了解直角三角形的知识,

等边三角形的判定与性质，判定出△AOA，是等边三角形是解题的关键.

5.（2011•鄂州校级模拟）如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分

别为2、3,则PC所能达到的最大值为（

A.遥B.V13c-5D.6

【分析】把PA绕点A逆时针旋转60。，得AD,则DA=PA,连CD,DP,CP,由

△ABC为等边三角形ABC,得至UNDAC=NBAP,AC=AB,于是有二4DAC义^PAB,

则DC=PB,所以PCWDP+DC,即可得到PC所能达到的最大值.

【解答】解：把PA绕点A逆时针旋转60。，得AD,则DA=PA,连CD,DP,CP,

如图，

VAABC为等边三角形ABC,

/.ZBAC=60°,AC=AB

/.ZDAC=ZBAP,

/.△DAC^APAB,

/.DC=PB,

而PB=3,PA=2,

.*.DC=3,

•.,PCWDP+DC,

，PCW5,

所以PC所能达到的最大值为5.

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心

的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了等边三角

形的性质和三角形全等的判定与性质.

6.（2006•绵阳）如图，将AABC绕顶点A顺时针旋转60。后，得到△ABC,且C

为BC的中点，则C，D：DB，=（）

BC1C

A.1：2B.1：272C.1：V3D.1：3

【分析】旋转60。后，AC=AU,旋转角NUAC=60。，可证△ACU为等边三角形；再

根据BU=CU=AC,证明△BUD为30。的直角三角形，寻找线段UD与DB，之间的

数量关系.

【解答】解：根据旋转的性质可知:AC=AC,NACB=NC=60。，

,旋转角是60。，即NUAC=60。，

...△ACU为等边三角形，

，BC'=CC'=AC,

.,.ZB=ZC,AB=30°,

二NBDC'=NC'AB+NAC'B'=90°,

即B'C'_LAB,

，BC'=2C'D,

，BC=B'C'=4C'D,

/.CD：DBS3.故选D.

【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一

对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.

7.（2012•晋江市校级模拟）一个机器人从Ao点出发朝正东方向走了2米到达

Ai点，记为第1次行走；接着，在Ai处沿逆时针方向旋转60。后向前走2米到达

A2点，记为第2次行走；再在A2处沿逆时针方向旋转60。后向前走2米到达A3

点，记为第3次行走；依此类推，若点Ao的坐标是（1,0）,则该机器人第2012

次行走后的坐标是（）

A.（0,V3）B.（3,0）C.（1,2A/3）D.（4,我）

【分析】先判断出旋转6次所走过的路线正好是正六边形，然后用2012除以6,

根据余数是停留在处，然后过点作于点然后求出、

2,A2A2B_LAOAIB,AiBA2B

的长度，再根据点Ao的坐标是（1,0）解答即可.

【解答】解：根据题意，每次都是逆时针旋转60。，

360°+60°=6,

所以，旋转6次所走过的路线正好是正六边形，

V20124-6=335...2,

.•.第2012次行走后与第2次行走到达的点相同，在点A2处,

过点作A2B_LAOAI于点B,

•••每次前走2米，

乂匹«,

AIB=AIA2«COS60°=2xl.=l,A2B=AiA2«sin60°=2X

22

•••点Ao的坐标是（1,0）,

，点的横坐标为

A21+2+1=4,

点A2的坐标为（4,«）,

即第2012次行走后的坐标是（4,b）.

故选D.

4A.B

【点评】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据题意判断出每旋转6次所走

过的路线正好是正六边形，然后求出第2012次行走后的点与点A2重合是解题的

关键.

8.（2014•白云区三模）如图，正方形ABCD的边长是3cm,一个边长为1cm的

小正方形沿着正方形ABCD的边AB玲BC玲CD玲DA玲AB连续地翻转，那么这个小

正方形第一次回到起始位置时，它的方向是（）

【分析】由正方形ABCD的边长是3cm,小正方形的边长为1cm,则小正方形在

正方形ABCD每条边上翻转两次，每个直角处翻转一次，小正方形共翻转12次

回到原来的位置，即可得到它的方向.

【解答】解：•••正方形ABCD的边长是3cm,小正方形的边长为1cm,

...小正方形在正方形ABCD每条边上翻转两次，每个直角处翻转一次，小正方形

翻转12次回到原来的位置，

,它的方向为B选项所指的方向.

故选B.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线

段相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了正方形的性质.

9.（2012•佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30。角的直角三角板ABC绕直

角顶点C顺时针旋转90。到△AiBiC,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面

积是（）

【分析】根据直角三角形的性质求出BC、AC的长度，设点B扫过的路线与AB

的交点为D,连接CD,可以证明ABCD是等边三角形，然后求出点D是AB的中

点，所以^ACD的面积等于^ABC的面积的一半，然后根据^ABC扫过的面积=s

fflff5ACAl+SJWBCD+S,'ACD,然后根据扇形的面积公式与三角形的面积公式列式计算即

可得解.

【解答】解:在^ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,

，BC=1AB=1,ZB=90°-ZBAC=60°,

2

・20=、福2-8,2=愿，

SAABC=LXBCXAC=返，

22

设点B扫过的路线与AB的交点为D,连接CD,

VBC=DC,

.二△BCD是等边三角形，

.*.BD=CD=1,

...点D是AB的中点，

SAACD=-^SAABC=—X

2224

••AABC扫过的面积二S扇形ACAI+S扇形BCD+S/\ACD，

=90义兀乂（«）2+60义兀><12+返,

3603604

464

必+返.

124

故选：D.

【点评】此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的性质，注

意掌握旋转前后图形的对应关系，利用数形结合思想把扫过的面积分成两个扇形

的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点.

10.（2016•丹东模拟）等边三角形绕它的一个顶点旋转90。后与原来的等边三角

形组成一个新的图形，那么这个新的图形（）

A.是轴对称图形，但不是中心对称图形

B.是中心对称图形，但不是轴对称图形

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：等边三角形绕它的一个顶点旋转90。后与原来的等边三角形组成一

个新的图形，

沿着一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形；

找不到一点把图形绕该点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，故不

是中心对称图形.

故选A.

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形

完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点，就叫做中心对称点.

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图

形.这条直线叫做对称轴.

二.填空题（共10小题）

11.（2015•福州）如图,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=BC=&,将Z\ABC绕点

C逆时针旋转60。，得到△MNC,连接BM,则BM的长是叵1.

M

DA

【分析】如图，连接AM,由题意得：CA=CM,ZACM=60°,得到△ACM为等边

三角形根据AB=BC,CM=AM,得出BM垂直平分AC,于是求出BO=1AC=1,

2

0M=CM・sin6(T=y,最终得到答案BM=BO+OM=1+J^.

【解答】解：如图，连接AM,

由题意得：CA=CM,ZACM=60°,

.".△ACM为等边三角形，

，AM=CM,ZMAC=ZMCA=ZAMC=60°；

VZABC=90°,AB=BC=&,

AC=2=CM=2,

VAB=BC,CM=AM,

ABM垂直平分AC,

ABO=17\C=1,OM=CM・sin60°=历

2

BM=BO+OM=l+"\/^,

故答案为：1+愿.

【点评】本题考查了图形的变换-旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的

判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键.

12.（2015•吉林）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将4

ABC绕点B顺时针旋转60°,得到aBDE,连接DC交AB于点F,则Z\ACF与Z\BDF

的周长之和为42cm.

【分析】根据将4ABC绕点B顺时针旋转60°,得到aBDE,可得△ABCgZ\BDE,

ZCBD=60°,BD=BC=12cm,从而得到aBCD为等边三角形，得到CD=BC=CD=12cm,

在RtAACB中，利用勾股定理得到AB=13,所以4ACF与4BDF的周长之和

=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD,即可解答.

【解答】解：•••将aABC绕点B顺时针旋转60。，得到ABDE,

.,.△ABC^ABDE,ZCBD=60°,

/.BD=BC=12cm,

...△BCD为等边三角形，

/.CD=BC=CD=12cm,

2222=13

在Rt^ACB中，AB=7AC+BC=75+12J

△ACF^ABDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42

(cm),

故答案为:42.

【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到相等的边.

13.(2015・沈阳)如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30。后得到正方形BEFG,

EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD边长为则AK=

273-3.

【分析】连接BH,由正方形的性质得出NBAH=NABC=NBEH=NF=90。，由旋转

的性质得：AB=EB,ZCBE=30°,得出NABE=60°,由HL证明Rt4ABHgRtZ\EBH,

得出/ABH=/EBH=L/ABE=30°,AH=EH,由三角函数求出AH,得出EH、FH,

2

再求出KH=2FH,即可求出AK.

【解答】解：连接BH,如图所示：

,/四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，

二NBAH=NABC=NBEH=NF=90°,

由旋转的性质得：AB=EB,ZCBE=30°,

/.ZABE=60°,

在RtAABH和RtAEBH中，

[BH二BH,

lAB=EB，

RtAABH^ARtAEBH（HL）,

...NABH=NEBH=L/ABE=30。，AH=EH,

2_

AH=AB・tanNABH=、/§X2^1,

3

，EH=1,

AFH=V3-1,

在Rt^FKH中，NFKH=30°,

/.KH=2FH=2（V3-1），

，AK=KH-AH=2（遥-1）-1=2b-3；

故答案为：2a-3.

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三

角函数；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的

关键.

14.（2015・莆田模拟）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上

的一个动点，连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.则在

点E运动过程中，DF的最小值是1.5.

【分析】取AC的中点G,连接EG,根据等边三角形的性质可得CD=CG,再求出

ZDCF=ZGCE,根据旋转的性质可得CE=CF,然后利用“边角边"证明4DCF和4

GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG,然后根据垂线段最短可得

EGJ_AD时最短，再根据/CAD=30。求解即可.

【解答】解：如图，取AC的中点G,连接EG,

•••旋转角为60。，

.,.ZECD+ZDCF=60°,

又ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

/.ZDCF=ZGCE,

VAD是等边4ABC的对称轴，

.♦.CDJBC,

2

；.CD=CG,

又YCE旋转到CF,

；.CE=CF,

在4DCF和4GCE中，

"CE=CF

<NDCF=/GCE，

,CD=CG

.".△DCF^AGCE(SAS),

，DF=EG,

根据垂线段最短，EGLAD时，EG最短，即DF最短，

止匕时ZCAD=J_X60°=30°,AG=1T\C=LX6=3,

222

.•.EG』G="3=1.5,

22

.•.DF=1.5.

故答案为：15

A

5

F

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

15.（2014•广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45。得到△ABC,若NBAC=90。,

AB=AC=&,则图中阴影部分的面积等于_叵」.

【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=1BC=1,

2

,,

AF=FC=sin45°AC=2Z2AC=i,进而求出阴影部分的面积.

2

【解答】解：:△ABC绕点A顺时针旋转45°得至UZSABC,ZBAC=90",AB=AC=&,

，BC=2,ZC=ZB=ZCAC'=ZC'=45°,

/.AD±BC,B'C'_LAB,

,,

/.AD=1BC=1,AF=FC=sin45°AC=2Z2AC-=i,

22

2

，图中阴影部分的面积等于：SAAFC-SADEC=^X1X1-Lx(a-1)=^~1.

22

故答案为：V2-1-

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出

AD,AF,DU的长是解题关键.

16.（2015・重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4遍，AD=10.连接BD,ZDBC

的角平分线BE交DC于点E,现把4BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的ABCE

为△BCE.当射线BE，和射线BU都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.常X

BFD为等腰三角形，则线段DG长为_丝_.

【分析】根据角平分线的性质，寻找等角，等角对等边，构造相似三角形，利用

对应线段成比例，即可得答案.

【解答】解：在Rt^ABD中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=7

在RtAABF中，由勾股定理，得：

BF2=（4加）2+（10-BF）2,

解得BF=il

AF=10-

55

过G作GH〃BF,交BD于H,

/.ZFBD=ZGHD,NBGH=NFBG,

VFB=FD,

，NFBD=NFDB,

/.ZFDB=ZGHD,

，GH=GD,

：NFBG=NEBCJ/DBCJ/ADBJ/FBD,

222

又；NFBG=NBGH,NFBG=NGBH,

；.BH=GH,

设DG=GH=BH=x,则FG=FD-GD=ii-x,HD=14-x,

5

49

•FD_BDin5_14

GD-HDx-14-x

解得x=il

17

故答案为：箜.

17

【点评】本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定

义是解题关键.

17.（2015•徐州模拟）如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°,

得到正方形ABCD，，则图中阴影部分的面积为.

-3一

ADr

【分析】设BC与CD交于点E.由于阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB'ED，又

因为S正方形ABCD=1，所以关键是求S四边形AB，ED.为此，连接AE.根据HL易证^AB'E

^^ADE,得出NB，AE=/DAE=30。.在直角AADE中，由正切的定义得出DE=AD*tan

NDAE=返.再利用三角形的面积公式求出S四边彩AB'ED=2S/、ADE・

3

【解答】解：设BC与CD交于点E,连接AE.

在aAB'E与4ADE中，NAB'E=NADE=90°,

(AE=AE

,lAB7=AD?

.'.△AB^^AADE(HL),

/.ZB,AE=ZDAE.

•.,NBAB'=30°,ZBAD=90°,

.•.NB'AE=NDAE=30°,

，DE=AD・tanNDAE=返.

3_

•'•S四边;BAB'ED=2SAADE=2XLX1又^~=^-.

233__

阴影部分的面积=5MfgABCD-S四边形ABTD=1-.

33

D'

【点评】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形

的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度.

18.(2015•梧州)如图，在Z\ABC中,ZA=70°,AC=BC,以点B为旋转中心把△

ABC按顺时针旋转a度，得到△A，BU,点A恰好落在AC上，连接CU,则NACU=

【分析】由NA=70°,AC=BC,可知NACB=40°,根据旋转的性质，AB=BA',BC=BC',

ZCBC,=Za=40°,NBCC'=70°,于是NACC'=NACB+NBCC=110°.

【解答】解：VZA=70°,AC=BC,

/.ZBCA=40o,

根据旋转的性质,AB=BA',BC=BC',

/.Za=180°-2X70°=40°,

VZZCBC,=Za=40°,

，NBCC'=70°,

NACC'=NACB+NBCC'=110°；

故答案为：110。.

【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后的

图形对应边相等、旋转角相等是解决问题的关键.

19.（2013•鄂州）如图,Z^AOB中，ZAOB=90°,A0=3,B0=6,△AOB绕顶点0

逆时针旋转到△A9B，处，此时线段AB与B0的交点E为B。的中点，则线段B，E

的长度为运.

【分析】利用勾股定理列式求出AB,根据旋转的性质可得A0=A，0,AB=AB,再

求出0E,从而得到OE=A9,过点0作OF，A，B^-F,利用三角形的面积求出OF,

利用勾股定理列式求出EF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得A，E=2EF,然

后根据B，E=AB-AE代入数据计算即可得解.

【解答】解：VZAOB=90°,A0=3,B0=6,

AB=7A02+B02=V32+62=3^

VAAOB绕顶点0逆时针旋转到OB，处，

，A0=A'0=3,A'B'=AB=3代，

•.•点E为B。的中点，

，OE=1BO=LX6=3,

22

.•.OE=A'O,

过点0作OF_LAB于F,

SNOB4X3代・0F=/3X6,

解得OF=0ZE,

.•.A'E=2EF=2X_^叵®G（等腰三角形三线合一）,

55

B'E=A'B'-A'E=3娓-6区.9但

55

故答案为：里

【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，

以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小

是解题的关键.

20.（2013•铁岭）如图，在^ABC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60°,将^ABC绕点A

按顺时针旋转一定角度得到aADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则

CD的长为1.6.

【分析】由将aABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到aADE,当点B的对应点

D恰好落在BC边上，可得AD=AB,又由NB=60。，可证得aABD是等边三角形，

继而可得BD=AB=2,则可求得答案.

【解答】解：由旋转的性质可得：AD=AB,

VZB=60°,

.'.△ABD是等边三角形，

，BD=AB,

VAB=2,BC=3.6,

.\CD=BC-BD=3.6-2=1.6.

故答案为：1.6.

【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质.此题比较简单，

注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.

三.解答题（共10小题）

21.（2012•本溪）已知，在aABC中，AB=AC.过A点的直线a从与边AC重合

的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角0,直线a交BC边于点P（点P不与点B、

点C重合），ABMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN,

连接CN.

（1）当NBAC=NMBN=90°时，

①如图a,当8=45。时，NANC的度数为45。；

②如图b,当6#45。时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c,当NBAC=NMBNf90。时，请直接写出NANC与NBAC之间的数量

关系，不必证明.

【分析】（1）①证明四边形ABNC是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角

线即可求解；

②根据等腰直角三角形的性质可得NBNP=NACB,然后证明aRNP和4ACP相似,

根据相似三角形对应边成比例可得里旦L再根据两边对应成比例夹角相等可

APPC

得4ABP和aCNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得NANC=NABC,从

而得解;

（2）根据等腰三角形的两底角相等求出NBNP=/ACB,然后证明ARNP和AACP

相似，根据相似三角形对应边成比例可得巴里，再根据两边对应成比例夹角

APPC

相等可得4ABP和4CNP相似，然后根据相似三角形对应角相等可得NANC=N

ABC,然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.

【解答】解:（1）®VZBAC=90°,0=45°,

AAP1BC,BP=CP（等腰三角形三线合一），

，AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

XVZMBN=90°,BM=BN,

，AP=PN（等腰三角形三线合一）,

.•.AP=PN=BP=PC,且ANLBC,

，四边形ABNC是正方形，

,ZANC=45°；

②连接CN,当6W45。时，①中的结论不发生变化.

理由如下：VZBAC=ZMBN=90°,AB=AC,BM=BN,

ZABC=ZACB=ZBNP=45°,

XVZBPN=ZAPC,

.,.△BNP^AACP,

•♦•BP_一PN,

APPC

XVNAPB=NCPN,

.,.△ABP^ACNP,

，ZANC=ZABC=45°；

(2)ZANC=90°-iZBAC.