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第1页(共33页)2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上.1.下列方程为一元二次方程的是()A.ax2﹣bx+c=0(a、b、c为常数) B.x(x+3)=x2﹣1C.x(x﹣2)=3 D.2.圆是轴对称图形,它的对称轴有()A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条3.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.可能有实数根,也可能没有C.有两个相等的实数根 D.没有实数根4.⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与圆A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定5.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,此三角形外接圆的半径为()A.10 B.6 C.4 D.6.如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=50°,则∠OCD的度数是()A.40° B.45° C.50° D.60°7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是()A.(1+x)2= B.(1+x)2= C.1+2x= D.1+2x=8.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上.9.一元二次方程x2=2x的根是.10.已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为4cm,那么直线l与⊙O的位置关系是11.在圆内接四边形ABCD中,∠B=2∠D,则∠B=.12.半径为2的圆的内接正六边形的边长为.13.直径为12cm的⊙O中,弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是14.现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:3★5=32﹣3×3+5,若x★2=6,则实数x的值是15.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为.16.如图,AB是⊙O的弦,AB=4,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是.17.若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为18.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P在以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB,则△PAB面积的最大值是.三、解答题:本大题共10小题,共96分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤.19.解下列方程(1)x2+6x=0;(2)x2﹣5x+3=0(用配方法解)20.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为421.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.22.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,∠ACD=120°.(1)求证:AC=CD;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.23.如图,线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为;(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过区域的面积为;(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片,将它围成一个圆锥的侧面,则该圆锥底面圆的半径长为.24.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?25.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D,点E为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若∠BAC=30°,DE=3,求AD的长.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=﹣,x1x2=.这一结论称为一元二次方程根与系数关系,它的应用很多,请完成下列各题:(1)应用一:用来检验解方程是否正确.本卷第19题中的第(2)题是:解方程x2﹣5x+3=0检验:先求x1+x2=,x1x2=.再将你解出的两根相加、相乘,即可判断解得的根是否正确.(本小题完成填空即可)(2)应用二:用来求一些代数式的值.①已知:x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根,求(x1﹣1)(x2﹣1)值;②若m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根,求代数式m2+5m+n27.(1)【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.例如:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数,若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC=°.(2)【问题解决】如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°,求∠BAC的数.小刚同学认为用添加辅助圆的方法,可以使问题快速解决,他是这样思考的:△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心,BD长为半径的圆;△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心,BD长为半径的圆.这样A、B、C、D四点在同一个圆上,进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数,请运用小刚的思路解决这个问题.(3)【问题拓展】如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD是BC边上的高,且BD=6,CD=2,求AD的长.28.如图甲,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O的半径为2个单位长度,点P为直线y=﹣x+8上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,且PC⊥PD.(1)试说明四边形OCPD的形状(要有证明过程);(2)求点P的坐标;(3)若直线y=﹣x+8沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=﹣x+b,此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1:3,请直接写出b的值;(4)若将⊙O沿x轴向右平移(圆心O始终保持在x轴上),试写出当⊙O与直线y=﹣x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围.(直接写出答案)
2016-2017学年江苏省盐城市盐都区九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上.1.下列方程为一元二次方程的是()A.ax2﹣bx+c=0(a、b、c为常数) B.x(x+3)=x2﹣1C.x(x﹣2)=3 D.【考点】一元二次方程的定义.【分析】一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【解答】解:A、缺少a≠0,不是一元二次方程;B、整理后为3x+1=0,不是一元二次方程;C、整理后为x2﹣2x﹣3=0,是一元二次方程;D、含有分式,不是一元二次方程.故选:C.2.圆是轴对称图形,它的对称轴有()A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条【考点】生活中的轴对称现象.【分析】根据圆的性质:沿经过圆心的任何一条直线对折,圆的两部分都能重合,即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴,据此即可判断.【解答】解:圆的对称轴是经过圆心的直线,有无数条.故选D.3.关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣1=0(其中a为常数)的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.可能有实数根,也可能没有C.有两个相等的实数根 D.没有实数根【考点】根的判别式.【分析】先计算△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a2+4,由于4a2≥0,则【解答】解:△=(﹣2a)2﹣4×(﹣1)=4a∵4a2∴4a2+4>0,即∴方程有两个不相等的实数根.故选A.4.⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与圆A.点A在圆上 B.点A在圆内 C.点A在圆外 D.无法确定【考点】点与圆的位置关系.【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.【解答】解:∵⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离为3即点A到圆心O的距离小于圆的半径,∴点A在⊙O内.故选B.5.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,此三角形外接圆的半径为()A.10 B.6 C.4 D.5【考点】三角形的外接圆与外心;勾股定理的逆定理.【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形,斜边长为10,然后利用直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解.【解答】解:∵62+82=102,∴△ABC为直角三角形,斜边长为10,∴△ABC的外接圆的直径为10,∴此三角形外接圆的半径为5.故选D.6.如图,△ABC内接于⊙O,OD⊥BC于D,∠A=50°,则∠OCD的度数是()A.40° B.45° C.50° D.60°【考点】圆周角定理;垂径定理.【分析】首先连接OB,由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠BOC的度数,又由OB=OC,根据等边对等角的性质,即可求得∠OCD的度数.【解答】解:连接OB,∵∠A=50°,∴∠BOC=2∠A=100°,∵OB=OC,∴∠OCD=∠OBC==40°.故选:A.7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价.若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是()A.(1+x)2= B.(1+x)2= C.1+2x= D.1+2x=【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%,再从90%的基础上涨到原来的价格,且涨幅只能≤10%,所以至少要经过两天的上涨才可以.设平均每天涨x,每天相对于前一天就上涨到1+x.【解答】解:设平均每天涨x.则90%(1+x)2=1,即(1+x)2=,故选B.8.木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()A. B. C. D.【考点】轨迹;直角三角形斜边上的中线.【分析】先连接OP,易知OP是Rt△AOB斜边上的中线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得OP=AB,由于木杆不管如何滑动,长度都不变,那么OP就是一个定值,那么P点就在以O为圆心的圆弧上.【解答】解:如右图,连接OP,由于OP是Rt△AOB斜边上的中线,所以OP=AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,也就是OP是一个定值,点P就在以O为圆心的圆弧上,那么中点P下落的路线是一段弧线.故选D.二、填空题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,不需写出解答过程,请将答案直接写在答题卡相应位置上.9.一元二次方程x2=2x的根是x1=0,x2=2.【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】先移项,再提公因式,使每一个因式为0,从而得出答案.【解答】解:移项,得x2﹣2x=0,提公因式得,x(x﹣2)=0,x=0或x﹣2=0,∴x1=0,x2=2.故答案为:x1=0,x2=2.10.已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为4cm,那么直线l与⊙O的位置关系是【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意得出d<r,根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可.【解答】解:∴⊙O的半径为5cm,如果圆心O到直线l的距离为4∴4<5,即d<r,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故答案为:相交.11.在圆内接四边形ABCD中,∠B=2∠D,则∠B=120°.【考点】圆内接四边形的性质.【分析】根据圆内接四边形对角互补,直接求出即可.【解答】解:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,又∵∠B=2∠D,∴∠D=×180°=120°;故答案为:120°.12.半径为2的圆的内接正六边形的边长为2.【考点】正多边形和圆.【分析】不妨设⊙O的内接正六边形为ABCDEF,连接OA、OB,则可证明△OAB为等边三角形,可求得边长.【解答】解:如图,⊙O的内接正六边形为ABCDEF,连接OA、OB,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠AOB==60°,∴△AOB为等边三角形,∴AB=OA=2,故答案为:2.13.直径为12cm的⊙O中,弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是【考点】圆周角定理.【分析】连接OA、OB,如图,先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°,则利用圆周角定理得到∠ACB=∠AOB=30°,再利用圆内接四边形的性质得到∠AC′B=150°,从而得到弦AB所对的圆周角.【解答】解:连接OA、OB,如图,∵OA=OB=AB,∴△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°,∴∠AC′B=180°﹣∠ACB=150°,即弦AB所对的圆周角为30°或150°.故答案为30°或150°.14.现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:3★5=32﹣3×3+5,若x★2=6,则实数x的值是﹣1或4【考点】解一元二次方程-因式分解法.【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程,求出一元二次方程的解即可得到x的值.【解答】解:根据题中的新定义将x★2=6变形得:x2﹣3x+2=6,即x2﹣3x﹣4=0,因式分解得:(x﹣4)(x+1)=0,解得:x1=4,x2=﹣1,则实数x的值是﹣1或4.故答案为:﹣1或415.如图,一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,点D对应的刻度是58°,则∠ACD的度数为61°.【考点】圆周角定理.【分析】首先连接OD,由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,可得点A,B,C,D共圆,又由点D对应的刻度是58°,利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数,继而求得答案.【解答】解:连接OD,∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,∴点A,B,C,D共圆,∵点D对应的刻度是58°,∴∠BOD=58°,∴∠BCD=∠BOD=29°,∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°.故答案为:61°.16.如图,AB是⊙O的弦,AB=4,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是2.【考点】三角形中位线定理;等腰直角三角形;圆周角定理.【分析】根据中位线定理得到MN的最大时,AC最大,当AC最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值.【解答】解:∵点M,N分别是AB,BC的中点,∴MN=AC,∴当AC取得最大值时,MN就取得最大值,当AC时直径时,最大,如图,∵∠ACB=∠D=45°,AB=4,∴AD=4,∴MN=AD=2,故答案为:2.17.若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为x=﹣2【考点】一元二次方程的解.【分析】把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c【解答】解:当把x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0能得出4a﹣2b+c即方程一定有一个根为x=﹣2,故答案为:x=﹣2.18.如图,已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点,P在以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上一动点,连结PA、PB,则△PAB面积的最大值是.【考点】一次函数综合题.【分析】过点C作CD⊥AB于D,延长DP交⊙C于另一点P′,此时△P′AB的面积最大,将x=0、y=0代入y=x﹣3中求出与之相对应的y、x的值,进而可得出点A、B的坐标,由∠ABO=∠CBD、∠AOB=∠CDB=90°即可证出△AOB∽△CDB,再根据相似三角形的性质求出CD的长度,将其+1即可得出DP′的长度,利用三角形的面积公式即可求出△PAB面积的最大值.【解答】解:过点C作CD⊥AB于D,延长DP交⊙C于另一点P′,此时△P′AB的面积最大,如图所示.当x=0时,y=﹣3,∴点B(0,﹣3);当y=x﹣3=0时,x=4,∴点A(4,0).∵点C(0,1),∴BC=1﹣(﹣3)=4,AO=4,BO=3,AB==5.∵∠ABO=∠CBD,∠AOB=∠CDB=90°,∴△AOB∽△CDB,∴,∴CD==,∴DP′=CD+CP′=+1=.∴S△P′AB=AB•P′D=×5×=.故答案为:.三、解答题:本大题共10小题,共96分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤.19.解下列方程(1)x2+6x=0;(2)x2﹣5x+3=0(用配方法解)【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.【分析】(1)因式分解法求解可得;(2)配方法求解可得.【解答】解:(1)∵x(x+6)=0,∴x=0或x+6=0,解得:x=0或x=﹣6;(2)x2﹣5x=﹣3,x2﹣5x+=﹣3+,即(x﹣)2=,∴x﹣=±,即x1=,x2=.20.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4【考点】垂径定理的应用;勾股定理.【分析】如图所示,根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm,然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解.【解答】解:(1)先作弦AB的垂直平分线;在弧AB上任取一点C连接AC,作弦AC的垂直平分线,两线交点作为圆心O,OA作为半径,画圆即为所求图形.(2)过O作OE⊥AB于D,交弧AB于E,连接OB.∵OE⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知,ED=4设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2∴(x﹣4)2+82=x2解得x=10.即这个圆形截面的半径为10cm21.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.【考点】根的判别式;一元二次方程的解;根与系数的关系.【分析】(1)关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b2﹣4ac>0.即可得到关于a的不等式,从而求得a(2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出a的值和方程的另一根.【解答】解:(1)∵b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4解得:a<3.∴a的取值范围是a<3;(2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:,解得:,则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.22.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,∠ACD=120°.(1)求证:AC=CD;(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.【考点】切线的性质;扇形面积的计算.【分析】(1)连接OC,由切线的性质可求得∠A=∠D,可证得结论;(2)在Rt△OCD中可求得OD,CD,可求得△OCD的面积和扇形BOC的面积,再利用面积差可求得阴影部分面积.【解答】(1)证明:如图,连接OC,∵CD切⊙O于点C,∴∠OCD=90°,∴∠OCA=∠OAC=30°,∠ADC=30°,∴∠A=∠D,∴AC=CD;(2)解:由(1)知∠OCD=90°,∠ADC=30°,∠COD=60°,∴OD=2OC=4,CD=2,∴S△OCD=CD•OC=×2×2=2,S扇形BOC==,∴S阴影=S△OCD﹣S扇形BOC=2﹣.23.如图,线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上,现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC.(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径;(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(﹣2,﹣1),则点C的坐标为(5,0);(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过区域的面积为;(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片,将它围成一个圆锥的侧面,则该圆锥底面圆的半径长为.【考点】作图-旋转变换;扇形面积的计算;圆锥的计算.【分析】(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)直接建立坐标系得出答案;(3)直接利用扇形面积公式求法进而得出答案;(4)直接利用弧长等于圆锥的底面周长进而得出答案.【解答】解:(1)如图所示:点B经过的路径为弧BC;(2)如图所示:点C的坐标为:(5,0);故答案为:(5,0);(3)线段AB在旋转到线段AC的过程中,线段AB扫过区域的面积为:=;故答案为:;(4)设该圆锥底面圆的半径长为r,由题意可得:==π,则2πr=π,解得:r=.故答案为:.24.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?【考点】一元二次方程的应用.【分析】根据一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,表示出每件服装的单价,进而得出等式方程求出即可.【解答】解:设购买了x件这种服装且多于10件,根据题意得出:[80﹣2(x﹣10)]x=1200,解得:x1=20,x2=30,当x=20时,80﹣2(20﹣10)=60元>50元,符合题意;当x=30时,80﹣2(30﹣10)=40元<50元,不合题意,舍去;答:她购买了20件这种服装.25.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D,点E为BC的中点,连接DE.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若∠BAC=30°,DE=3,求AD的长.【考点】切线的判定.【分析】(1)如图,作辅助线;根据题意结合图形,证明∠ODE=90°,即可解决问题.(2)首先求出BC=6,进而求出BD的值;运用直角三角形的性质求出AD的值,即可解决问题.【解答】(1)证明:连接OD、BD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠CDB=90°;又∵点E为BC的中点,∴BE=DE,∴∠BDE=∠EBD;∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA;又∵∠OAD+∠OBD=90°,∠EBD+∠OBD=90°,∴∠OAD=∠EBD,即∠ODA=∠BDE;∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°,又∵点D在⊙O上,∴DE是圆⊙O的切线.(2)解:由(1)知BC=2DE=6,又∵∠CBD=∠BAC=30°,∴CD=3,BD=3∴AB=6;由勾股定理得:AD=9.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=﹣,x1x2=.这一结论称为一元二次方程根与系数关系,它的应用很多,请完成下列各题:(1)应用一:用来检验解方程是否正确.本卷第19题中的第(2)题是:解方程x2﹣5x+3=0检验:先求x1+x2=5,x1x2=3.再将你解出的两根相加、相乘,即可判断解得的根是否正确.(本小题完成填空即可)(2)应用二:用来求一些代数式的值.①已知:x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根,求(x1﹣1)(x2﹣1)值;②若m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根,求代数式m2+5m+n【考点】根与系数的关系.【分析】(1)根据根与系数的关系即可得出x1+x2=5、x1x2=3,此题得解;(2)①根据根与系数的关系可得出x1+x2=4、x1x2=2,将(x1﹣1)(x2﹣1)展开代入数值即可得出结论;②根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出m+n=﹣4、mn=﹣2016、m2+4m=2016,将其代入m2+5m+【解答】解:(1)根据题意,得:x1+x2=﹣=5,x1x2==3.故答案为:5;3.(2)①∵x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两个实数根,∴x1+x2=﹣=4,x1x2==2,∴(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=2﹣4+1=﹣1;②∵m、n是方程x2+4x﹣2016=0的两个实数根,∴m+n=﹣4,mn=﹣2016,m2+4m∴m2+5m+n=m2+4m+(m+n)=2016+(27.(1)【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.例如:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数,若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC=45°.(2)【问题解决】如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°,求∠BAC的数.小刚同学认为用添加辅助圆的方法,可以使问题快速解决,他是这样思考的:△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心,BD长为半径的圆;△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心,BD长为半径的圆.这样A、B、C、D四点在同一个圆上,进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数,请运用小刚的思路解决这个问题.(3)【问题拓展】如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD是BC边上的高,且BD=6,CD=2,求AD的长.【考点】圆的综合题.【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解.(2)由A、B、C、D共圆,得出∠BDC=∠BAC,(3)如图3,作△ABC的外接圆,过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA、OB、OC.利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形,结合该三角形的性质求得DE=OF=2;在等腰Rt△BOE中,利用勾股定理得到OE=DF=4;则在Rt△AOF中,易得AF=2,故AD=2+4.【解答】解:(1)如图1,∵AB=AC,AD=AC,∴以点A为圆心,点B、C、D必在⊙A上,∵∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,∴∠BDC=∠BAC=45°,故答案是:45;(2)如图2,取BD的中点O,连接AO、CO.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴点A、B、C、D共圆,∴∠BDC=∠BAC,∵∠BDC=25°,∴∠BAC=25°,(3)如图3,作△ABC的外接圆,过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA、OB、OC.∵∠BAC=45°,∴∠BOC=90°.在Rt△BOC中,BC=6+2=8,∴BO=CO=4.∵OE⊥BC,O为圆心,∴BE=BC=4,∴DE=OF=2.在Rt△BOE中,BO=4,BE=4,∴OE=DF=4.在Rt△AOF中,AO=4,OF=2,∴AF=2,∴AD=2+4.28.如图甲,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O的半径为2个单位长度,点P为直线y=﹣x+8上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,且PC⊥PD.(1)试说明四边形OCPD的形状(要有证明过程);(2)求点P的坐标;(3)若直线y=﹣x+8沿x轴向左平移
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