华师大版八年级数学上册教案：14.1 勾股定理 第四课时 反证法

PAGE第14章《勾股定理》教案————第2页共20页课题：14.1勾股定理第四课时反证法＆.教学目标：1.知道什么是反证法，了解用反证法证题的步骤。2.会用反证法证不易直接证法证明的简单问题。3.通过利用反证法推证命题，体会逆向思维，培养学生的逆向思维能力及思考问题的全面性。＆.教学重点、难点：重点：反证法推证命题的步骤。难点：反证法的逻辑推理过程。＆.教学过程：一、情景导入古时候有一个卖矛和盾的商人，卖矛的时候说他的矛是世界上最锐利的矛，什么样的盾都能戳破；卖盾的时候说他的盾是世界上最坚固的盾，什么样的矛都戳不破。于是，就有人问他：“假设你说的都是真的，那么用你的矛戳你的盾，会如何呢？”这个商人无言以对。提出疑问的人用的是一种什么样的逻辑方法呢？本节我们学习逻辑推理的另一种方法——反证法。二、探究新知我们知道：在中，若，，，且，则.问题：在中，若，，，且，请问结论成立吗？为什么？解析：如果我们从条件出发证明结论是很困难的，我们可采用下面的方法证明：假设，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且，这与已知条件矛盾.假设不成立，从而说明原结论成立。这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。＆.反证法的定义：首先假设结论的反面成力，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，说明假设不成立，从而得到原结论正确，像这样的证明方法叫做反证法。探究1：通过例题，你能归纳出反证法证明的一般步骤吗？步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的；（2）从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；（3）由矛盾判定假设不正确，从而得出原结论正确。∵∴（等式的基本性质）探究2：反证法适合证明哪几类问题？可以证明以下几类问题：（1）结论以否定的形式出现的命题；（2）以“至多”“至少”或者“不多于”等形式陈述的命题；（3）关于“唯一性”或者“存在性”结论的命题；（4）某一系统的起始命题。思考：运用反证法需要注意什么问题？归纳：反证法需要注意的问题有：（1）反证法否定的是结论，而不是已知条件；（2）周密考查原命题结论的反面，如果不只是一种情况，必须把各种情况列举出来并逐一否定后，才能证明原命题结论正确；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。三、讲解例题，巩固新知§.例1、求证：两条直线相交只有一个交点。已知：两条相交直线、.求证：与只有一个交点.解析：想从已知条件“两条相交直线、”出发，经过推理，得出结论“它们只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法。证明：假设与不止一个交点，不妨假设有两个交点、.∵两点确定一条直线，即经过点和的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立∴两条直线相交只有一个交点。归纳：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾.反证法的首要一步要找到结论的反面，如果第一步错误，后面所给予的前提都不成立。同步练习：写出下列各结论的反面：（1）是实数；（2）大于；（3）小于；（4）两条直线平行§.例2、已知：有、、三条直线，且，求证：证明：假设与不平行，则可设它们的交点为.那么过点就有两条直线、与直线平行这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立.故§.例3、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于.已知：求证：中至少有一个内角小于或等于.证明：假设中没有一个内角小于或等于即，，∴这与三角形内角和为矛盾，假设不成立。∴中至少有一个内角小于或等于.归纳：“至少有一个”包括一个和一个以上，它的反面是“没有”，要特别引起大家的重视。§.例4、用反证法证明：等腰三角形的底角必定为锐角。已知：在中，.求证：、为锐角.解析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论。证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：第一种情况：两个底角是直角；由则这与三角形的内角和定理矛盾∴这个假设不成立.第二种情况：两个底角是钝角.由，则这与三角形的内角和定理矛盾∴“两个底角是钝角”这个假设不成立.故原命题正确。注意：本例中“是锐角（小于）”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解。§.例5、已知：如图，中，、两点分别在、上.图1CDEABA图1CDEABA证明：假设、互相平分.连结∴四边形是平行四边形∴（平行四边形的对边互相平行）这与、相交于点矛盾.故假设错误，即、不能互相平分.§.例6、已知：如图，中，，.求证：.证明：假设P图2CABA在P图2CABA（已知），（公共边），（已知）∴（）∴（全等三角形的对应角相等）这与已知条件矛盾，假设不成立.∴四、巩固练习教材练习五、课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.理解掌握反证法是证明问题的又一方法，它体现了逆向思维方式，当一个命题的证明从正面很难解决时，我们应该有用反证法解决问题的意识。2.掌握用反证法证明的一般思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论。3.用反证法证题时，需注意以下事项：（1）周密考查原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。六、课外作业1.教材习题2.补充题：Ⅰ.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？Ⅱ.求证：在同一平面上，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交。Ⅲ.三角形内角中至多有一个角是钝角。Ⅲ.请举出几个反证法的生活案例。参考案例：（1）路边苦李王戎岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾，说明李子是甜的这个假设是错的，所以，李子是苦的.（2）古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开