2022年新教材高考数学一轮复习规范答题增分专项4高考中的立体几何含解析新人教版

标准答题增分专项四高考中的立体几何

1.如图,在平行四边形ABCM^P,AB=AC^,ZACM=QO°.以力。为折痕将△孔¥折起,使点〃到达点〃的

位置，且力方，物.

⑴证明：平面平面ABC;

(2)0为线段力。上一点，户为线段笈上一点,且BP=DQ^DA,求三棱锥0T即的体积.

⑴证明：由可得/的。90°,B4_L%C

又掰_L/〃，且/(%14?当，

所以46_L平面ACD.

又ABci平面ABC,

所以平面平面ABC.

(2)解：由可得DC=CM=ABA,物=3*,

又BP=DQqDA,所以BP畛近.

如图，作QEA.AC,垂足为E,那么QE\pC.由及⑴可得平面的所以在L平面ABC,QE=1.因此

三棱锥Q-APB的体积为Vo-^QE•S-B宣X1X^X3X2y/2-sin45°=1.

2.如图，〃为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,/£为底面直径,AE=AD.△/回是底面的内接正三角

形，〃为D0上T,PO将0.

O

⑴证明：序_L平面PBC\

(2)求二面角的余弦值.

⑴证明：设DO=a,由题设可得PO^a,AO^a,AB=a,PA=PB=PC当,因此P#+PR=A4,从而PALPB.

又P春+Pd=AC,故PALPC.

所以用_L平面处C

(2)解：以。为坐标原点,一＞的方向为y轴正方向，/―7为单位长,建立如下图的空间直角坐标系

Oxyz.

由题设可得点£(0,1,0),4(0,-1,0),《(0)/(0,0,§.

所以一，”,3，。)，

---=(0,-1,-).

''2

设m=(x,Kz)是平面PCE的法向量，

那么］.=

(=0,

可取2)

由⑴知,=(0,1,是平面户"的一个法向量，记—*,那么cos<h,m>］；尸?所以二

面角正汽3的余弦值为等.

3.(2021山东日照二模)如图，在三棱锥/出力中，/BCD$0°,BC=CD=\,ZACB=ZACD=9.

(1)证明:4A劭；

⑵有三个条件:①6到。；②直线〃'与平面9所成的角为45°;③二面角力-"力的余弦值为当

请你从中选择一个作为条件,求直线宽与平面/5所成角的正弦值.

⑴证明：如图，取M的中点0,连接OA,%那么OCLBD.

因为BC=DC,/ACB=/ACD=9,AC=AC,所以能

所以AB=AD,所以AOY.BD.

又因为CO=O,AO,Cg平面AOC,所以初1.平面AOC.

因为4t平面AOC,所以BDLAC.

⑵解:在CA的延长线上取点P,使得/尸宛切0。，连接PB,PD,由于OC与即是平面BCD内两条相交

直线,故RZL平面BCD.

分别以OC,OD,。所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如下图.

由得BD=®从而OB=OD=OC当,所以PB=PD=PC.

假设选①^^60°,那么△户切是等边三角形,PD=CD=PC=1,OP号,

那么用0,0,1),噌90),《0,-亨,0),

设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),

(.—>_包上-n

令x=l,那么y=z=l,所以可取n=(l,1,1).

设直线加与平面板(即平面/㈤所成的角为a,

那么sina=/cos<<,n>/~__j=〔工，=兴

IIIIlxV33

假设选②,由RZL平面BCD,得NPCO是?以即与平面颇所成的角,

所以NPCO45°,OP=O潜,

那么,0,0,¥),笔,0,0),40,f,0),《0,-0),

,V2V2V2V2cV2V2-

,-,o

TTr2

设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),

V2V2

=0,

那么《22

?+¥=。，

令x=l,那么y=z=l,所以可取n=(l,1,1).

设直线6。与平面板(即平面比沙所成的角为a,

慢+¥+。

那么sina-/cos<\n>MV6

lxV3-3

假设选③，作冏小勿垂足为四连接M

由niL平面BCD,CDCL平面BCD,得POLCD.

因为POCPM=P,PO,P3平面产酸所以平面POM,

又CMfc平面/W所以CDLOM,

所以N/W是二面角P-中斐(即二面角力-切㈤的平面角,

「V2V2

cosZPMO^,那么tanZ/W-V2,又在Rt/XG%中，OM^^X-=J

所以0P=0M・tan/PMO这=0C,

那么《o,o,亨),G，0,0),次,f,o),风),考o),

,V2V2V2V2CV2V2'

°-T

2

设平面户切的法向量是n=(x,y,z),

V2

y=0,

那么《

V2+孝=。，

2

令尸1,那么y=z=l,

所以可取n=(l,1,1).

设直线勿与平面板(即平面/切所成的角为a,

|铝+。

那么sinQ-/cos<n)/』V6

lxV3—3

4.(2021全国〃，理19)直三棱柱ABC-4BC中，侧面留归归为正方形,AB=BC畛,E,尸分别为熊和CG

的中点，。为棱44上的点,BFLAiB、.

⑴证明：即_1庞;

(2)当6防为何值时,平面团;GC与平面勿龙所成的二面角的正弦值最小?

解：：,四边形幽归归为正方形，.：A、BdBB\.

又BFLA.Bx,BBGBF=B,

.：4A_L平面BBCC.

又AB〃AM,

.：/员L平面曲iGC.\ABLBC.

又如」平面ABC,

.,.AB,BC,阳两两互相垂直.

以6为原点，掰,阳阳所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如下图.

那么点8(0,0,0),£(1,1,0),6(0,2,1),得'=(0,2,1),-“1,1,1).

设点，(九0,2)(0W2W2),那么一1,-2).

(1)证明：'■"=0+2~2=0,

•••'1；.BFLDE.

(2)：N6_L平面圈GC

.：n=(l,0,0)为平面防GC的一个法向量.

设平面加F的法向量为m=(x,y,z),

那么｛二二加4+)；=20=0,

取x%,3B么y-1+4，z=2一4.

・：m=(3,1〃，2—4)为平面如万的一个法向量.

・3

Zcos<m,n>---------=/=.

IlliJ22—2+14

设平面做GC与平面》下所成的二面角的平面角为。，那么

sin。力「cos2<,~>-Jl-22.J+14.

要使sine最小,只需,晨2；+14最大，又0W儿W2,

.:当儿与时,44最大,即sin6最小，此时B、吟.

故当8口日时,平面做GC与平面力下所成的二面角的正弦值最小.

5.图①是由矩形ADEB,RtA46C和菱形物*组成的一个平面图形,其中AB=\,BE=BFW,ZFBC=6Q°.

将其沿AB,反7折起使得BE与母'重合,连接DG,如图②.

⑴证明：图②中的A,C,G,2四点共面,且平面48aL平面BCGE-

(2)求图②中的二面角B-CG-A的大小.

⑴证明：由得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,

故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,〃四点共面.

由得ABLBE,ABLBC,故46_L平面BCGE.

又因为4fc平面ABC,所以平面相C_L平面BCGE.

(2)解:作码因垂足为〃

因为四平面BCGE,平面"%&L平面ABC,

所以加_平面ABC.

由，菱形瓜箕花的边长为2,N旗060。，可求得BH=\,EH=*.

以〃为坐标原点,*的方向为x轴的正方向,建立如下图的空间直角坐标系Hxyz,

那么点/(-I,1,0),C(l,0,0),^(2,0,V3),一=(1,0,73),-=(2,-1,0).

设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),

那么|二.=

(•=0,

即1+北=0,

(2-=0.

所以可取n=(3,6,-V3).

又平面BCGE的法向量可取为m-(0,1,0),

所以cos<h,m与一~।=与

因此二面角小CGT的大小为30°.

6.如图,三棱柱ABC-AMG的底面是正三角形，侧面微GC是矩形,M,“分别为BC,BC的中点，户为AM

上一点,过反G和P的平面交四于E,交/于F.

⑴证明-.AAJ/MN,且平面4%朋0_平面EBCF;

(2)设。为△45G的中心,假设〃平面EB1aF,且AO=AB,求直线吕£与平面4/脉所成角的正弦值.

(1)证明：因为四"分别为BC,BC的中点，所以JWCG.

又由得44〃CG,故■〃就

因为△48G是正三角形，

所以8K_L4儿

又BC1MN,故8i4_L平面A.AMN.

所以平面44AL平面EBCF.

(2)解：由得力吐鸵以〃为坐标原点，的方向为x轴正方向，施/为单位长，建立如下图的空间

直角坐标系Mxyz,那么AB2AM=43.

连接NP,那么四边形/加为平行四边形,故P吟，点、之(/40).

由⑴知平面4地kL平面ABC.作NQLAM,垂足为Q,那么做，平面ABC.设点0(a,0,0),那么

又n=(0,-1,0)是平面儿他V的一个法向量,

故sin(>V,i>j^os<h,i―1—=号.

IIIiI

所以直线6归与平面44A所成角的正弦值为唱.

7.如图,在四棱柱ABCD-A^CM中，侧棱4/_L底面ABCD,ABLAC,AB=1,AC=AA^,AD=CD/且点M

和"分别为8c和〃〃的中点.

(1)求证:"V〃平面ABCD-,

(2)求二面角〃-的正弦值；

(3)设£为棱4右上的点，假设直线鹿和平面⑦所成角的正弦值为求线段4£的长.

解:如图，以/为原点建立空间直角坐标系，由题意可得点4(0,0,0),M),1,0),C(2,0,0),27(1,-

2,0),A(0,0,2),旦(0,1,2),2(2,0,2),〃(1,-2,2).

又因为M,4分别为反。和〃。的中点,得点Ml,1),Ml,-2,1).

⑴证明：依题意,可得n=(0,0,1)为平面相切的一个法向量.一=(0,号0).

由此可得,-n-O,

又因为直线■平面ABCD,所以仞V〃平面ABCD.

(2)T=(l，-2,2),~~=(2,0,0).

设m=(xi,几zi)为平面ACa的法向量，

那么，「二=”叫2TI1=()，

(I•=0,(21=0.

不妨设为=1,可得m=(0,1,1).

设H2-(A2,y­2,Z2)为平面ACB\的法向量，

那么12*==；又一T=(o,1,2),得h2+，n2=0,

I2*=0,(N2=9

不妨设Z2=l,可得112=(0,-2,1).

因此有cos<hi,112产—―^7二二黑于是sin<hi,")金半,所以,二面角Di-AC-Bi的正弦值为一黑

Iill21I。

(3)依题意，可设下^二一「，其中^e[o,1],

那么£(0,九2),从而一，=(-1,儿+2,1).

又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由,得cos<；—=1==整理

I—'IIJ(-l)2+(+2)2+12

得八2刊4-3旬,又因为He[0,1],解得W7-2.

所以，线段4£的长为近-2.

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,ZADC=ZPAB^Qa,BC=CD^AD,£为棱加的中点,异面直线PA

与切所成的角为90°.

(1)在平面以8内找一点也使得直线CW平面哪并说明理由；

(2)假设二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面八%所成角的正弦值.

解：⑴在梯形脑切中，/6与必不平行.

如图,延长46,%相交于点平面PAB),点〃即为所求的一个点.

理由如下：

由,BC〃ED,

aBC=ED.

所以四边形8a值是平行四边形.

从而CM//EB.

又EBCL平面PBE,即平面PBE,

所以◎/〃平面PBE.

(说明:延长相至点、N,使得AP=PN,那么所找的点可以是直线仞V上任意一点)

(2)(方法一)由，CDLPA,CDLAD,PA^AD=A,

所以平面PAD.从而CDLPD.

所以/物是二面角尸的平面角，所以/物N5°.

设