第12讲正比例函数（知识解读题型完整版讲随堂检测）

第12讲正比例函数知识点1：正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.知识点2：正比例函数图像和性质正比例函数图象与性质用表格概括下：k的符号图像经过象限性质k＞0第一、三象限y随x的增大而增大k＜0第二、四象限y随x的增大而较少知识点3：待定系数法求正比例函数解析式1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——eq\a\vs4\al(设出)函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——eq\a\vs4\al(把已知条件代入y＝kx中)；(3)求——eq\a\vs4\al(解方程求未知数)k；(4)写——eq\a\vs4\al(写出正比例函数的表达式)【题型一：正比例函数的定义】【典例1】（2023春•永定区期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A． B． C．y＝x2 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：A、y＝x是正比例函数，符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝x2是二次函数，不符合题意；D、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意．故选：A．【变式11】（2023春•赣州期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y＝3x2 B． C． D．y2＝3x【答案】C【解答】解：A、y＝3x2是二次函数，不符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝是正比例函数，符合题意；D、y2＝3x不是函数，不符合题意．故选：C．【变式12】（2023春•洪江市期末）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1【答案】C【解答】解：A．y＝2x﹣1，y不是x的正比例函数，故A不符合题意；B．y＝+1，y不是x的正比例函数，故B不符合题意；C．y＝，y是x的正比例函数，故C符合题意；D．y＝2x2+1，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．故选：C．【变式13】（2023春•朝阳区校级期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A．正方形的面积S随边长x的变化而变化 B．面积为20的三角形的一边上的高h随着这边长a的变化而变化 C．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随着放水时间t（单位：min）的变化而变化【答案】C【解答】解：A、S＝x2是二次函数，故此选项不符合题意；B、h＝是反比例函数，故此选项不符合题意；C、C＝4x是正比例函数，故此选项符合题意；D、设水箱有水xL，则V＝xt，不是正比例函数，故此选项不符合题意．故选：C．【典例2】（2023春•兴隆县期末）已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】A【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|中y是x的正比例函数，∴，解得m＝1．故选：A．【变式21】（2023春•南皮县月考）若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（）A．k≠﹣1，b＝﹣2B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2【答案】D【解答】解：∵y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，∴k+1≠0，b﹣2＝0．解得k≠﹣1，b＝2．故选：D．【变式22】（2023春•永春县期末）若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．任意实数【答案】A【解答】解：∵y＝x+b是正比例函数，∴b＝0．故选：A．【变式23】（2023春•孝感期末）若函数y＝﹣2xm﹣2+n+1是正比例函数，则m+n（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得：m﹣2＝1，n+1＝0，∴m＝3，n＝﹣1，∴m+n＝3﹣1＝2，故选：B．【题型二：判断正比例函数图像所在象限】【典例3】（2023春•朔州期末）正比例函数的图象经过（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解答】解：∵正比例函数，∴该函数图象经过第一、三象限，故选：B．【变式31】（2023春•凤庆县期末）正比例函数y＝﹣3x的图象经过（）象限．A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限【答案】B【解答】解：在正比例函数y＝﹣3x中，∵k＝﹣3＜0，∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二、四象限，故选：B．【变式32】（2023春•南岗区期末）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x的图象经过（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【答案】D【解答】解：在正比例函数y＝﹣4x中，∵k＝﹣4＜0，∴正比例函数y＝﹣4x的图象经过第二、四象限，故选：D．【题型三：正比例函数的性质】【典例4】（2023春•乐陵市期末）关于函数y＝2x，下列说法错误的是（）A．它是正比例函数 B．图象经过（1，2） C．图象经过一、三象限 D．当x＞0，y＜0【答案】D【解答】解：关于函数y＝2x，A、它是正比例函数，说法正确，不合题意；B、当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意；C、图象经过一、三象限，说法正确，不合题意；D、当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意；故选：D．【变式41】（2022秋•东胜区期末）关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（）A．该函数的图象经过点（﹣3，1） B．是一次函数，但不是正比例函数 C．该函数的图象经过第一、三象限 D．随着x的增大，y反而减小【答案】D【解答】解：A、将（﹣3，1）代入解析式，得，1≠﹣9，故本选项错误；B、是一次函数，也是正比例函数，故本选项错误；C、由于函数图象过二、四象限，故本选项错误；D、由于函数图象过二、四象限，则函数值y随x的增大而减小，故本选项正确．故选：D．【变式42】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【答案】C【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，∴k＜0，∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）．故选：C．【变式43】（2022•临渭区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量的值减小1时，函数y的值增大3，则k的值为（）A． B． C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：根据题意得y+3＝k（x﹣1），即y+3＝kx﹣k，而y＝kx，所以﹣k＝3，解得k＝﹣3．故选：D．【题型四：判断正比例函数的比例系数大小】【典例5】（2022春•南城县校级月考）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx．将a，b，c按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：由图象可得，a＜0＜c＜b，故选：D．【变式51】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C【解答】解：∵y＝ax，y＝bx的图象都在第一三象限，y＝cx在第二四象限，∴a＞0，b＞0，c＜0，∵直线越陡，则|k|越大，∴b＞a＞c，故选：C．【变式52】（2023秋•太仓市期末）如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【答案】D【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D．【题型五：待定系数法求正比例函数解析式】【典例6】（2023春•鼓楼区校级期末）已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝4．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，3）在这个函数图象上，求a的值．【答案】（1）y＝2x；（2）a＝．【解答】解：（1）设y＝kx（k≠0），当x＝2，y＝4时，则4＝2k，即k＝2，y与x之间的函数关系式为：y＝2x；（2）∵点（a，3）在这个函数的图象上，∴3＝2a，∴a＝．【变式61】（2023春•荆门期末）已知y与x成正比例，且x＝﹣2时y＝4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y＝kx，∵当x＝﹣2时，y＝4，∴4＝﹣2k，k＝﹣2，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y＝﹣2x的图象上，∴﹣2a＝﹣2，∴a＝1．【变式62】（2022秋•城关区期末）已知点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y＝（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y＝（3m﹣1）x，即：1＝（3m﹣1）×，整理得：3m＝3，解得：m＝1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y＝（3m﹣1）x，即可求出，y＝（3×1﹣1）x＝2x，∴这个函数的解析式为：y＝2x．【变式63】（2022秋•江宁区校级月考）已知y＝y2﹣y1，其中y1与x成正比例，y2与x+2成正比例，当x＝﹣1时，y＝2，当x＝2时，y＝10．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x取何值时，y的值为30？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y1＝ax，y2＝b（x+2），则y＝b（x+2）﹣ax＝（b﹣a）x+2b，根据题意，得，解得．所以y与x的函数关系式为y＝（+）x+2×＝x+，即y＝x+．（2）把y＝30代入y＝x+，得30＝x+．解得x＝所以，当x＝时，y的值为30．【题型六：正比例函数的图像性质综合】【典例7】（2021春•灵山县期末）（1）小青学习了函数后，对画函数的图象很感兴趣，她作函数y＝|x|的图象过程如下（请补充完整空格的部分）：当x≥0时，得y＝x，当x＜0时，得y＝﹣x，她在坐标系中画出了如图1的图象，所以函数y＝|x|的图象由两条射线构成；同理，她用类似的方法和过程作出函数y＝|x﹣1|的图象；（2）请你在图2的坐标系中作出y＝|x﹣1|的图象；（3）学习经验拓展：根据上述的过程获得的经验，请你画出函数y＝|x﹣1|+|x|的图象．【答案】（1）射线；（2）见解析；（3）见解析．【解答】解：（1）由图可知，y＝|x|的图象是两条射线，故答案为射线；（2）如图2，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝1；取点（1，0）、（0，1）、（2，1）描点画图；（3）如图3，当x＝1时，y＝1；当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝3；取点（1，1）、（0，1）、（2，3）、（﹣1，3）描点画图．【变式7】（2022秋•大兴区校级期末）探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．（1）下表见y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣10123…y…3m10123…直接写出m的值是2．（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：图象关于y轴对称．【答案】（1）2．（2）见解答过程．（3）图象关于y轴对称．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2|＝2，∴m＝2，故答案为：2．（2）如图：（3）由图象可知，图象关于y轴对称．故答案为：图象关于y轴对称．1．（2023春•东城区校级期中）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：A选项，y＝2x是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意；B选项，不是整式，故该选项错误，不符合题意；C选项，x的指数是2，属于二次函数，故该选项错误，不符合题意；D选项，y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意．故选：A．2．（2023春•信都区期末）正比例函数y＝x的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵＞0，∴正比例函数y＝x的图象经过第一、三象限，且靠近x轴，故选：A．3．（2023•凤凰县模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、不是正比例函数图象，故此选项错误；B、是正比例函数图象，故此选项正确；C、不是正比例函数图象，故此选项错误；D、不是正比例函数图象，故此选项错误；故选：B．4．（2023春•灵宝市期末）已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．以上都有可能【答案】B【解答】解：∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小．又∵x1＞x2，∴y1＜y2．故选：B．5．（2023春•南宁期末）一次函数y＝2x的图象经过的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限【答案】A【解答】解：一次函数y＝2x为正比例函数，k＝2＞0，故图象经过坐标原点和一、三象限，故选：A．6．（2023春•廊坊期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）A．当x＝3时，y＝1 B．它的图象是一条过原点的直线 C．y随x的增大而减小 D．它的图象经过第二、四象限【答案】B【解答】解：A、当x＝3时，y＝9，故本选项错误；B、∵直线y＝3x是正比例函数，∴它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C、∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；D、∵直线y＝3x是正比例函数，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一三象限，故本选项错误．故选：B．7．（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围是（）A．k＞3 B．k＜3 C．k＜﹣3 D．k＜0【答案】B【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，∴k﹣3＜0，解得k＜3．故选：B．8．（2022•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过点（2，﹣3），则这个图象一定也经过点（）A．（﹣3，2） B．（，﹣1） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【答案】C【解答】解：∵正比例函数y＝kx经过点（2，﹣3），∴﹣3＝2k，解得k＝﹣；∴正比例函数的解析式是y＝﹣x；A、∵当x＝﹣3时，y≠2，∴点（﹣3，2）不在该函数图象上；故本选项错误；B、∵当x＝时，y≠﹣1，∴点（，﹣1）不在该函数图象上；故本选项错误；C、∵当x＝时，y＝﹣1，∴点（，﹣1）在该函数图象上；故本选项正确；D、∵当x＝﹣时，y≠1，∴点（﹣，1）不在该函数图象上；故本选项错误．故选：C．9．（2021•芦淞区模拟）已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0【答案】A【解答】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则m﹣1＜0，即m＜1．故选：A．10．（2019•武功县一模）对于正比例函数y＝﹣2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A． B． C．2 D．﹣2【答案】D【解答】解：令x＝a，则y＝﹣2a；令x＝a+1，则y＝﹣2（a+1）＝﹣2a﹣2，所以y减少2；故选：D．11．（2023春•寻乌县期末）若函数y＝3xm﹣2是正比例函数，则m的值是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵函数y＝3xm﹣2是正比例函数，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，则m的值是：3．故答案为：3．12．（2022春•青山区期末）已知函数y＝2x+m﹣1是正比例函数，则m＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为：1．13．（2023•范县一模）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式y＝﹣2x、y＝﹣3x等．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵正比例函数的一般形式为y＝kx，并且y随x的增大而减小，∴答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x等．14．（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为或﹣．【答案】或﹣．【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大，∴当x＝2时，y＝3，∴2k＝3，解得k＝；当k＜0时，函数y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y＝3，∴﹣2k＝3，解得k＝﹣．∴k的值为或﹣，故答案为或﹣．15．（2022秋•宁波期末）已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2时，求y的值．【答案】（1）y＝﹣3x．（2）﹣6．【解答】解（1）设y＝kx（k≠0），把x＝﹣1，y＝3代入y＝kx，得k＝﹣3，所以y＝﹣3x．（2）把x＝2代入y＝﹣3x，得y＝﹣3×2＝﹣6．16．（2023春•陵城区校级月考）已知y﹣2与