考研数学（数学一）模拟试卷7（共97题）

考研数学（数学一）模拟试卷7（共4套）（共97题）考研数学（数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则x=0是f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：当x＞0时，f(x)=当x=0时，f(x)=当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0)=f(0一0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)．2、曲线的渐近线的条数为()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：C知识点解析：因为，所以曲线没有水平渐近线；由．得曲线有两条铅直渐近线；由得曲线有一条斜渐近线，选(C)．3、设f(x)=则∫f(x)dx=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：当x＜一1时，f(x)=x+C1；当x＞1时，f(x)=x+C2；4、设幂级数(2x一1)2n在x=一4处条件收敛，则级数(x+1)n在x=一3处()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：A知识点解析：因为在x=一4处条件收敛，所以收敛半径为R=当x=一3时，因为|一3+1|=2＜R=3，所以当x=一3时，级数绝对收敛，应选(A)．5、设A为三阶矩阵，令将A的第一、二两行对调，再将A的第三列的2倍加到第二列成矩阵B，则B等于()．A、P1AP2B、P1-1AP2C、P2AP1D、P1-1AP2-1标准答案：D知识点解析：即B=P1-1AP2-1，选(D)．6、设A为三阶矩阵，B=(β1，β2，β3)，β1为AX=0的解，β2不是AX=0的解，又r(AB)＜min{r(A)，r(B)}，则r(AB)=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为β2不是AX=0的解，所以AB≠O，从而r(AB)≥1；显然β1，β2不成比例，则r(B)≥2，由r(AB)＜min{r(A)，r(B)}得r(AB)＜r(A)，从而B不可逆，于是r(B)＜3，故r(B)=2．再由r(AB)＜r(B)}得r(AB)=1．选(B)．7、设X1，X2，X3，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机变量，是样本均值，记则服从自由度为n一1的t分布的随机变量为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：8、设X，Y为两个随机变量，其中E(X)=2，E(Y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相关系数为，由切比雪夫不等式得P{|X+Y一1|≤10}≥()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则P{|X+Y一1|≤10}=P{|Z—E(Z)|≤10}≥选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、过曲线(x≥0)上的一点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面区域的面积为所围区域绕x轴旋转一周而成的体积为________．标准答案：知识点解析：设切点为切线方程为切线与x轴的交点横坐标为x=一2a，所求的面积为所求体积为10、标准答案：知识点解析：交换积分次序得∫0tdx∫xtsin(xy)2dy=∫0tdy∫0ysin(xy)2dx．11、设π为过直线L：且与平面x一2y+2—3=0垂直的平面，则点M(3，-4，5)到平面π的距离为_______．标准答案：知识点解析：过直线L：的平面束为(2x一z—4)+λ(2y+3z+2)=0，即2x+2λy+(3λ—1)z+2λ—4=0，由{2，2λ，3λ—1}.{1，一2，1|=0得λ=1，从而π：x+y+z一1=0，于是12、设∑：x2+y2+z2=4，取内侧，又函数u=u(x，y，z)满足标准答案：知识点解析：13、设为三维空间的两组不同的基，令β=β1+2β2一3β3，则β在基α1，α2，α3下的坐标为______．标准答案：(一4，一2，2)知识点解析：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q，可得Q=(α1，α2，α3)-1(β1，β2，β3)β=β1+2β2—3β3=(β1，β2，β3)(1，2，一3)T=(α1，α2，α3)Q(1，2，一3)T则β在基α1，α2，α3下的坐标为(一4，一2，2)．14、设X～N(1，4)，Y～且X，Y相互独立，则P{XY+1＞X+Y}=_______．标准答案：知识点解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X一1)(Y一1)＞0}=P{X＞1，Y＞1}+P{X＜1，Y＜1}=P{X＞1}P{Y＞1}+P{X＜1}P{Y＜1}三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设g(x)二阶可导，且f(x)=(I)求常数a，使得f(x)在x=0处连续；(Ⅱ)求f’(x)，并讨论f’(x)在x=0处的连续性．标准答案：(I)当f(x)在x=0处连续时，g(0)=1，当f(x)在x=0处连续时，a=g’(0)．所以f’(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析16、设a为实数，问方程ex=ax2有几个实根?标准答案：当a=0时，方程无解；由φ’(x)=2xe-x一x2e-x=x(2一x)e-x=0得x=0或x=2．当x＜0时，φ’(x)＜0；当0＜x＜2时，φ’(x)＞0；当x＞2时，φ’(x)＜0，1)当a≤0时，方程无解；2)时，方程有两个根，分别位于(一∞，0)内及x=2；3)当时，方程有三个根，分别位于(一∞，0)，(0，2)，(2，+∞)内；4)当时，方程只有一个根，位于(一∞，0)内。知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)由x3+3x2y一2y3=2确定，求y=y(x)的极值．标准答案：x3+3x2y一2y3=2两边对x求导得3x2+6xy+3x2y’一6y2y’=0．3x2+6xy+3x2y’一6y2y’=0两边对x求导得6x+6y+12xy’+3x2y"一12yy’2一6y2y"=0，x=0时，y"(0)=一1，则x=0为极大值点，极大值为y=一1；x=一2时，y"(一2)=1，x=一2为极小值点，极小值为y=1．知识点解析：暂无解析18、设f(x)为连续函数，Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤t2，z≥0}，∑为Ω的表面，Dxy为Ω在xOy平面上的投影区域，L为Dxy的边界曲线，当t＞0时有求f(x)．标准答案：令∑1：x2+y2+z2=t2(z≥0)，∑2：z=0(x2+y2≤t2)，则所以有2πt2f(t2)+即t2f(t2)+t4=∫0trf(r2)dr，两边求导得2tf(t2)+2t3f’(t2)+4t3=tf(t2)，令t2=x得f’(x)+f(x)=一2，解得知识点解析：暂无解析19、设un(x)满足un’(x)=un(x)+(n=1，2，…)，且un(1)=的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设(I)当a，b为何值时，β不可由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)当a，b为何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，写出表达式．标准答案：(I)当a≠一6，a+2b一4≠0时，因为r(A)≠所以β不可由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)当a≠一6，a+2b—4=0时，β可由α1，α2，α3唯一线性表示，表达式为β=2α1一α2+0α3；当a=一6时，当a=一6，b≠5时，由,β可由α1，α2，α3唯一线性表示，表达式为β=6α1+1α2+2α3；当a=-6，b=5时，由,β可由α1，α2，α3线性表示，表达式为β=(2k+2)α1+(k一1)α2+kα3，其中k为任意常数．知识点解析：暂无解析21、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=且A*α=α．(I)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(I)显然A的特征值为λ1=λ2=-1，λ3=2，A*的特征值为μ1=μ2=一2，μ3=1．因为α为A*的属于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A的属于特征值λ1=λ2=一1的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以-x1一x2+x3=0，则A的属于特征值λ1=λ2=一1的线性无关的特征向量为β3=α3．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，令Y=求：(I)P{X+Y=0}：(Ⅱ)随机变量Y的分布函数；(Ⅲ)E(Y)．标准答案：(I)P{X+Y=0}=P(Y=一X}=P{|X|＞1}=1一P{X≤1}=1一(1一e-λ)=e-λ．(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，0＜X≤1}+P{Y≤y，X＞1}=P{X≤y，0＜X≤1}+P{X≥一y，X＞1}．当y＜一1时，FY(y)=P{X≥-y}=1一P{X≤一y}=eλy；当一1≤y＜0时，FY(y)=P{X＞1}=e-λ；当0≤y＜1时，FY(y)=P{0＜X≤y}+P{X＞1}=1一e-λy+e-λ；当y≥1时，FY(y)=P{0＜X≤1}+P{X＞1}=1．知识点解析：暂无解析23、设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1，2，…，n)．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1，X2，…，Xn．设E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，问k1，k2，…，kn应取何值，才能在使用估计θ时无偏，并且最小?标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设z＝f(x，y)在点O(0，0)的某邻域内有定义，向量e＋＝i，e－＝－i，与表示相应的方向导数，则与都存在是存在的()A、充分条件而非必要条件．B、必要条件而非充分条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：B知识点解析：因为有定理，，存在的必要条件．但不是充分条件，反例如下：设在点O(0，0)处，．2、＝()A、B、C、0．D、1．标准答案：B知识点解析：由于为“1∞”型，改写，则有3、设y(x)是初值问题的解，则xy＇(x)dx＝()A、－1－b＋2a．B、－1＋b－2a．C、－1－b－2a．D、－1＋b＋2a．标准答案：C知识点解析：y＂＋2y＇＋y＝e－x的通解为y＝(C1＋C2x＋Ax2)e－x，其中C1，C2为任意常数，A为某常数，而线性方程的通解为一切解．因此y＇＝[(C2－C1)＋(2A－C2)x－Ax2]e－x，可见，无论C1，C2，A是什么常数，均收敛．于是由分部积分法和题给的式子y＝ex－y＂－2y＇，可得4、设E是n阶单位矩阵，E＋A是n阶可逆矩阵，则下列关系式中不恒成立的是()A、(E－A)(E＋A)2＝(E＋A)2(E－A)．B、(E－A)(E＋A)T＝(E＋A)T(E－A)．C、(E－A)(E＋A)－1＝(E＋A)－1(E－A)．D、(E－A)(E＋A)*＝(E＋A)*(E－A)．标准答案：B知识点解析：因EA＝AE＝A，AA2＝A2A＝A3，AA－1＝A－1A＝E，AA*＝A*A＝｜A｜E，故知A和E，A2，A－1，A*乘法运算均可交换．但(E＋A)(E＋A)T≠(E＋A)T(E＋A)．例如，事实上，(E－A)(E＋A)T＝[2E－(E＋A)](E＋A)T≠(E＋A)T[2E－(E＋A)]＝(E＋A)T(E－A)．故应选(B)．对于(A)，(C)，(D)均成立．以(C)为例，有(E－A)(E＋A)－1＝[2E－(A＋E)](E＋A)－1＝2E(E＋A)－1－(A＋E)(A＋E)－1＝(E＋A)－12E－(A＋E)－1(A＋E)＝(A＋E)－1[2E－(A＋E)]＝(A＋E)－1(E－A)．同理，(A)，(D)也成立．5、下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（）A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：对于(D)，因为是上三角形矩阵，则主对角元素即是特征值，故λ1＝λ2＝1，λ3＝2．当λ1＝λ2＝1时，有r(E－D)＝2，所以(E－D)x＝0只有一个线性无关解．故D不能相似于对角矩阵，故应选(D)．对(A)，由于r(A)＝1，故Ax＝0有2个线性无关解，因此对应λ＝0有2个线性无关特征向量，故；对(B)，因为B是实对称矩阵，故B～Λ；对(C)，因为C是上三角形矩阵，有三个不同的特征值，故C～Λ．由排除法，故选(D)．6、设A，B为任意两个事件，若P(B)＞0，则下列结论正确的是()A、P(A｜A∪B)＝P(A｜B)．B、P(A｜A∪B)＜P(A｜B)．C、P(A｜A∪B)＞P(A｜B)．D、P(A｜A∪B)≥P(A｜B)．标准答案：D知识点解析：设P(A－B)＝x，P(B－A)＝y，P(AB)＝z，则P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝x，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝y，因此故选(D)．7、一盒中有N张奖券，中奖奖券张数X为随机变量，若X的数学期望为n，则从该盒中抽一张奖券为中奖奖券的概率为()A、X／NB、XN．C、n／ND、nN．标准答案：C知识点解析：记事件A＝{从该盒中抽一张奖券为中奖奖券}，由题设，有则故选(C)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)8、＝__________．标准答案：知识点解析：对于(*)式的右边第一个积分，记为I1，9、设b为常数且积分，(存在)，则b＝________，c＝__________．标准答案：知识点解析：用有理分式分解的方法．要使上式存在，充要条件是存在，但不等于零，也不等于无穷．如果A＋B＞0，则，如果A＋B＜0，则，所以A＋B＝0．以此代入式(**)，得b＝2．于是由式(**)得，故10、直线L：，在yOz平面上的投影直线l绕z轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为_________．标准答案：x2＋y2－z2＋4z－4＝0知识点解析：直线L：在yOz平面上的投影直线l的方程为y＋z＝2，即y＝2－z，它绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为，即x2＋y2＝4－4z＋z2，即如答案所示．11、设A是3阶矩阵，且每行元素之和为2，α，β是线性无关的3维列向量，满足Aα＝β，Aβ＝α，则A～∧，其中∧＝_________．标准答案：知识点解析：由题设条件A的每行元素之和为2，可知，则A有特征值λ1＝2．又由Aα＝β及Aβ＝α知A(α＋β)＝β＋α＝α＋β，A(α－β)＝β－α＝－(α－β)，因为α，β线性无关，所以α＋β≠0，α－β≠0．故A有特征值λ2＝1，λ3＝－1．A是3阶矩阵，有3个不同的特征值，故A～Λ，其中．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)12、设空间曲线，其中常数R＞0，从z轴正向朝z轴负向看去，L为逆时针转的，求空间第二型曲线积分∮Ly2dx＋x2dy＋x2dz．标准答案：法一参数法．由曲线L的第二个式子有取参数式，令，如图所示，由于L为逆时针转的，所以t从0变化到2π．代入L的第一个式子，得L的参数式为代入曲线积分表达式中，有法二用斯托克斯公式化成第一型曲面积分．取以L为边界的一个光滑曲面，就取组成L的曲面S：的法向量由斯托克斯公式，并写成第一型曲面积分形式，有由于S的法向量指向外侧，故再将上述第一型曲面积分化成二重积分，并注意到，s在平面xOy上的投影区域为Dxy＝{(x，y)｜x2＋y2≤Rx}，于是知识点解析：暂无解析13、函数(Ⅰ)将f(x)展开成(x－1)的幂级数，并求此幂级数的收敛域；(Ⅱ)在此收敛域上，该幂级数是否都收敛于f(x)?如果在某处收敛而不收敛于f(x)在该处的值，那么收敛于什么?均要求说明理由．标准答案：(Ⅰ)将函数展开成(x－1)的幂级数，为使式子简单起见，令u＝x－1，即x＝u＋1．则展开成u的幂级数．，显然，在u一±1处上式右边的幂级数收敛，所以该幂级数的收敛域为－1≤u≤1，即(x－1)的幂级数的收敛域为0≤x≤2．(Ⅱ)在x＝0处无定义，所以谈不上它与该幂级数相等，那么该幂级数在x＝0处收敛于什么呢?由于该幂级数在x＝0处是收敛的，由同济大学《高等数学(下册)》(第七版)P279性质1，和函数在x＝0处是连续的，所以，即在x＝0处收敛于．至于该幂级数的和函数在x＝2处，由于f(x)在x＝2处连续，所以即，在x＝2处收敛于f(x)在x＝2处的值，所以知识点解析：暂无解析14、eπ与πe谁大谁小，请给出结论并给予严格证明(不准用计算器)．标准答案：eπ与πe比大小，又不准用计算器，看来不好下手．这里有个e，试讨论ex与xe(这里的x＞e)，问题就有点眉目．再将它们分别取对数，比较xlne与elnx的大小．令f(x)＝xlne－elnx，则有故当x＞e时f(x)＞0，即有xlne＞elnx，ex＞xe(x＞e)．令x＝π代入，有eπ＞πe．讨论毕．【注】本题可以推广：设b＞a≥e，证明：ab＞ba．知识点解析：暂无解析15、设点M(ξ，η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ，η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．标准答案：曲面上点M(ξ，η，ζ)处的法向量为，切平面方程是化简即得．该切平面被三个坐标面截得的三角形在xOy平面上的投影区域为求I的最小值等价于求w＝ξηζ，0＜ξ＜a，0＜η＜b，0＜ζ＜c的最大值，约束条件是由拉格朗日乘数法得显然，当ξ＝a或ξ＝0时，w最小．故当点(ξ，η，ζ)＝时，w最大，I的最小值为．知识点解析：暂无解析16、(Ⅰ)设A，B均是2阶方阵，A的主对角元素之和称为A的迹，记成tr(A)．证明tr(AB)＝tr(BA)；(Ⅱ)设A，X均是2阶方阵，E是2阶单位矩阵，讨论矩阵方程AX－XA＝E是否有解，说明理由．标准答案：(Ⅰ)得证tr(AB)＝tr(BA)．(Ⅱ)法一利用(Ⅰ)的结论，因tr(AX－XA)＝tr(AX)-tr(XA)＝0≠tr(E)＝2，故AX－XA＝E无解．法二从而两式相加得0＝2是矛盾方程．故原矩阵方程无解．知识点解析：暂无解析17、(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；(Ⅱ)设A＝，求可逆矩阵D，使A＝DTD．标准答案：(Ⅰ)将f(x1，x2，x3)用配方法化为标准形，得f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋6x32－2x1x2＋2x1x3－6x2x3＝(x1－x2＋x3)2＋x22＋5x32－4x2x3＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32．得f的标准形为f(x1，x2，x3)＝y12＋y23＋y32；．所作的可逆线性变换为x＝Cy，其中C＝．二次型的规范形为y12＋y22＋y32，正惯性指数p＝3＝r(A)，故知对应矩阵A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明)．(Ⅱ)法一由题设知，A＝是f(x1，x2，x3)的对应矩阵，即f(x1，x2，x3)＝xTAX．令x＝Cy，其中C＝，得f＝xTAX＝yTCTCy＝yTEy，故CTAC＝E，A＝(C－1)TC－1＝DTD，其中D＝C－1．法二由(Ⅰ)知，f(x1，x2，x3)＝(x1－x2＋x3)2＋(x2－2x3)2＋x32；＝(x1－x2＋x3，x2－2x3，x3)知识点解析：暂无解析18、设A，B为两个随机事件，且P(A)＝1／4，P(B)＝1／6，P(A｜B)＝1／2．令，用Nij表示N次试验中事件{X＝z，Y＝y}发生的次数，x，y＝0，1，记，，下表称为两因素的“四格表”(Ⅰ)若N1·＝30，求N11的方差；(Ⅱ)若N1·，N2·，N·1，N·2都给定，则N11，N12，N22，N22中有几个随机变量?当N1·＝10，N2·＝30，N·1＝20，N·2＝20时，求EN11；(Ⅲ)若X与Y不相关，则X与Y独立吗?标准答案：(Ⅰ)N11服从二项分布B(30，p)，其中p＝P{Y＝1｜X＝1)．(Ⅱ)若N1·，N2·，N·1，N·2都给定，则N11，N12，N21，N22中只有一个随机变量．当N1·＝10，N2·＝30，N·1＝20，N·2＝20时，相当于共有40个样本，其中10个A发生，若从中随机抽取N1·＝20个，则20个中A发生的个数N11的分布列为P{N11＝k}＝(k＝0，1，…，10)，即N11服从超几何分布，则．(Ⅲ)若Cov(X，y)＝E(XY)－EXEY＝p11－p1··p·1＝0，则p11＝p1··p·1．进一步，p·1－p11＝p·1－p1··p·1p21＝(1－p1·)p·1p21＝P2··p·1，同理可得p12＝p1··P·2，p22＝p2··p·2，则X与Y独立．知识点解析：暂无解析19、设总体X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，求θ的矩估计量及最大似然估计量．标准答案：由题设，总体x的概率密度为其中θ＞0为未知参数．令，则θ的矩估计量为．设x1，x2，…，xn为样本对应的观测值，则似然函数为当xi≥θ(i＝1，2，…，n)时，L(θ)＞0，取对数，得由于，则lnL(θ)关于θ单调增加，因此当θ取x1，x2，…，xn中的最小值时，L(θ)取最大值，则θ的最大似然估计量为．知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f′(1)=a，则数列极限=()．A、0．B、a．C、2a．D、．标准答案：B知识点解析：这是已知导数求某数列的极限．若已知f′(b)=a，可求得数列极限只要其中数列xn满足xn=0．为了用条件f′(1)=a，将所求极限，改写成求导数的形式．其中因此I=f′(1)·1一f′(1)·0=a，故选项B正确.2、设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记I1=∫01f(x)dx，I2=，I3=，则它们的大小关系为A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I1＜I2．C、I2＜I1＜I3．D、I3＜I2＜I1．标准答案：B知识点解析：通过变量替换，把不同区间上两个连续函数定积分值大小的比较转化为同一个区间上两个连续函数定积分值大小的比较．因此I3＜I1＜I2，故选项B正确．3、设f′(x0)=0，f″(x0)＜0，则必定存在一个正数δ，使得A、曲线y=f(x)在(x0一δ，x0+δ)是凹的．B、曲线y=f(x)在(x0一δ，x0+δ)是凸的．C、曲线y=f(x)在(x0一δ，x0]单调减少，而在[x0，x0+δ)单调增加．D、曲线y=f(x)在(x0一δ，x0]单调增加，而在[x0，x0+δ)单调减少．标准答案：D知识点解析：f″(x0)=由极限的不等式性质，当x∈(x0-δ，x0+δ)，且x≠x0时，当x∈(x0-δ，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，x0+δ)，f′(x)<0.又f(x)在x=x0连续=>f(x)在(x0-δ，x0]单调增加，在[x0，x0+δ)单调减少．故选项D正确．4、累次积分A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：将J表示成其中D：0≤y≤1，如图所示，现改换成先y后x的积分顺序得5、设A是5×4矩阵，r（A）=4，则下列命题中错误的为A、AX=0只有零解．B、AATX=0有非零解．C、对任何5维向量β，AX=β都有解．D、对任何4维向量β，ATX=β都有无穷多解．标准答案：C知识点解析：A对，因为r(A)=未知数个数4．B对，因为AAT是5阶矩阵，而r(AAT)＜5．C错，因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示，使得AX=β无解．D对，因为r(AT)=方程个数4，对任何4维向量β，r(AT｜β)不会大于4．6、设则下列矩阵中与A合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：首先可排除A，因为r(A)=2，而A矩阵的秩为1，所以它与A不合同．两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样．(即正，负数的个数对应相等．)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同．因此应该从计算特征值下手．求出｜λE—A｜=λ(λ+3)(λ一3)，A的特征值为0，一3，3．显然(C)中矩阵的特征值也是0，一3，3，因此它和A相似，可排除．剩下(B)(D)两个矩阵中，只要看一个．(D)中矩阵的特征值容易求出，为0，一1，1，因此它和A合同而不相似．(也可计算出(B)中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和A不合同．)7、随机变量X，Y均在(0，2)上服从均匀分布．事件A={X>a}与B={Y>2a}独立，且P(A∪B)=，则a的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：从所给的选项中可知a的值都小于1，故下列各式均有意义．P(A)=P{X>a}=1一P{X≤a}=1一P(B)=P{Y>2a}=1—P{X≤2a}=1一·2a=1—a．P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(A)P(B)故选项B正确．8、设X1，X2，…，X6独立同分布．且X1～N(0，4)，Y=a(X1+2X2)2+b(2X3+3X4)2+c(3X5+4X6)2～χ2(3)，则a，b，c的值分别为A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于独立正态随机变量的和仍服从正态分布，故有X1+2X2～N(0，20)，2X3+3X4~N(0，52)，3X5+4X6～(0，100)，根据χ2分布的典型模式所以应有故选项D正确．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1，则=______．标准答案：知识点解析：由反函数求导公式得再由复合函数求导法得从而于是10、质量为M，长为l的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C，C位于AB的延长线上并与近端距离为a，已求得杆对质点C的引力，其中k为引力常数．现将质点C在杆的延长线上从距离近端r0处移至无穷远时，则引力做的功为______．标准答案：知识点解析：以AB为x轴，近端点为原点，x轴正向指向C．C的坐标为x，则杆对C的引力于是，C从r0移至无穷远时，引力做的功11、微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．标准答案：sin2x+C1cos2x+C2sin2x．知识点解析：y’’+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0．它的两个特征根为r1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x.λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，则(y*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)’’=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．将上两式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比较上式系数得A=0，B=．故原方程的通解为y=sin2x+C1cos2x+C1sin2x．12、设L为曲线：则I=∫L(x2+3y+3z)ds=______．标准答案：πa3.知识点解析：由在L上y+z=0=>I=∫L(x2+3y+3z)ds=∫Lx2ds+3∫L(y+z)ds=∫Lx2ds易写出L的参数方程：又于是I=∫02πa2cos2t·adt=a3∫02πcos2tdt=πa3.13、已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，一2，3．则(A*)*的特征值为______．标准答案：一6，12，一18．知识点解析：利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值．｜A｜=1×(一2)×3=一6，于是A*的特征值为一6，3，一2，｜A*｜=36．则(A*)*的特征值为一6，12，一18．14、掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为p，反面出现的概率为q=1一p，随机变量X为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则X的概率分布为______．标准答案：P{X=k}=pq(pk-2+qk+2)．k=2，3，…．知识点解析：易知X的取值为2，3，…．而{X=k}表示前k一1次出现的是正面而第k次出现的是反面，或前k一1次出现的是反面，而第k次出现的是反面，于是有P{X=k}=pk-1q+qk-1p=pq(pk-2+qk-2)，k=2，3，…．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．15、证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).标准答案：因为x’t=1一e-t＞0(t>0)，x’t(0)=0=>x=t+e-t在[0，+∞)单调上升，值域为[x(0)，]=[1，+∞)．=>x=t+e-t在[0，+∞)存在反函数，记为t=t(x)，它在[1，+∞)连续(单调连续函数的反函数连续)．再由连续的复合函数的连续性=>y=2t(x)+e-2t(x)y(x)在[1，+∞)连续．知识点解析：暂无解析16、证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．标准答案：由参数式求导法(t>0，即x>1)于是y=y(x)在[1，+∞)单调上升．又因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的．知识点解析：暂无解析17、求y=y(x)的渐近线．标准答案：x→∞<=>t→+∞又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有渐近线y=2x．知识点解析：暂无解析设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v1体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．18、写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：标准答案：由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是V(t)=∫0z(t)S(z)dz，其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z2+(1一z)2]．现由及z(0)=0，求z(t)．将上式两边对t求导，由复合函数求导法得这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz=v0dt，即[z2+(1一z)2]dz=(*)两边积分并注意z(0)=0，得(**)知识点解析：暂无解析19、求水表面上升速度最大时的水面高度；标准答案：求z取何值时取最大值．已求得(*)式即(若未解答题1，可对题1告知要证的结论即(**)式两边对t求导得，同样求得上式)，因此，求取最大值时z的取值归结为求f(x)=x2+(1一z)2在[0，1]上的最小值点.由=>f(x)在时在[0，1]上取最小值．故时水表面上升速度最大．知识点解析：暂无解析20、求灌满容器所需时间．标准答案：归结求容器的体积，即V=∫01S(z)dz=π∫01[z2+(1-z)2]dz=因此灌满容器所需时间为或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得知识点解析：暂无解析设z=z(x，y)是由9x2—54xy+90y2—6yz一z2+18=0确定的函数，21、求证z=z(x，y)一阶偏导数并求驻点；标准答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx一54(ydx+xdy)+180ydy一6zdy一6ydz一2zdz=0．即(18x一54y)dx+(180y一54x一6z)dy一(6y+2z)dz=0．从而为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组②可化简为x=3y，由③可得z=30y一9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1．z=3与x=一3，y=一1．z=一3．知识点解析：暂无解析22、求z=z(x，y)的极值点和极值．标准答案：z=z(x，y)的极值点必是它的驻点．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数．注意，在驻点P=(3，1，3)，Q=(一3，一1，一3)处，由(3y+z)=9x一27y=>在驻点P，Q处再由(3y+z)=90y一27x一3z=>在驻点P，Q处于是可得出在P点处3y+z=6，因AC—B2=，且，故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3．在Q点处3y+z=一6．因AC—B2=，且故在点(一3，一1)处z=z(x，y)取得极大值z(一3，—1)=一3．知识点解析：暂无解析23、证明等式并指出等式成立的区间．标准答案：将展开成x的幂级数．先求出由逐项积分得再逐项积分得逐项积分保持收敛区间不变，在x=±1处逐项积分后的级数收敛，又f(x)在x=±1连续，故展开式在[一1，1]成立．因此知识点解析：暂无解析设曲面积分其中S+为上半椭球面：(0≤z≤c)的上侧．24、求证：其中Ω是上半椭球体；标准答案：由题设S+的方程，J可简化成要将曲面积分J化为三重积分，可用高斯公式．由于S+不是封闭曲面，故要添加辅助面取法向量n向下，S+与S1+所围的区域记为Ω，它的边界取外侧，于是在Ω上用高斯公式得其中S1+上的曲面积分为零，因为S1+与zx平面及zx平面均垂直，又在S1+上z=0．知识点解析：暂无解析25、求曲面积分J．标准答案：求曲面积分J转化为求上题中的三重积分．怎样计算这个三重积分：因为Ω是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换．我们用先二(先对x，y积分)后一(后对z积分)的积分顺序求由于z∈[0，c]，与z轴垂直的平面截Ω得区域D(z)为又这个椭圆的两个半轴分别为面积是于是可以用同样方法计算但是，由坐标的轮换对称性，有J1=J2=J3．知识点解析：暂无解析设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3·26、证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．标准答案：设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关，γ=α1+α2+α3，Aγ=aα1+bα2+cα3，A2γ=a2α1+b2α2+c2α3，A3γ=a3α1+b3α2+c3α3，则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)=r(α1，α2，α3)=3，因此γ，Aγ，A2γ无关．γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关．知识点解析：暂无解析27、设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．标准答案：γ=α1+α2+α3，Aγ=α1-α2+2α3，A2γ=α1+α2+4α3，A3γ=α1-α2+8α3，B=(γ，Aγ，A2γ)=(α1，α2，α3)β=A2γ=(α1，α2，α3)则BX=β具体写出就是由于α1，α2，α3线性无关，它和同解．解此方程组得唯一解(一2，1，2)T．知识点解析：暂无解析设二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0．28、用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．标准答案：先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．)求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，一1，0)T作施密特正交化：η1=α1/∥α∥1=(1，0，1)T，η2=β2/∥β2∥=(1，一1，一1)T．求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交，即是方程组的非零解，求出α3=(1，2，一1)T是属于6的一个特征向量，单位化η3=α3／∥α3∥=(1，2，-1)T．记Q=(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵，Q-1AQ=作正交变换x=Qy，它xTAx化为标准二次型6y32．知识点解析：暂无解析29、求(A一3E)6．标准答案：A的特征值为0，0，6，则A一3E的特征值为一3，一3，3，(A一3E)6的3个特征值都是36．于是(A一3E)6~36E=>(A一3E)6=36E.知识点解析：暂无解析有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有1个红球，2个白球，2个黑球；乙袋装有2个红球，1个白球，2个黑球；丙袋装有2个红球，3个白球．现任取一袋，从中任取2个球，用X表示取到的红球数，Y表示取到的白球数，Z表示取到的黑球数，试求：30、(X，Y)的联合分布；标准答案：用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：知识点解析：暂无解析31、cov(X，Y)+cov(Y，Z)．标准答案：于是cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY—EXEY)+(EYZ—EYEZ)知识点解析：暂无解析32、设总体X的概率函数为又X1，X2，…，XN是取自总体X的简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量．标准答案：由于不能用EX的初等函数将θ表示出来，所以要再计算X的二阶矩，即解方程，可得．于是θ的矩估计量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，无穷小α=的阶数由高到底的次序为()A、α，β，γB、β，γ，αC、γ，α，βD、γ，β，α标准答案：B知识点解析：应选(B)．2、下列命题正确的是()．A、若f(x)在x0处可导，则一定存在δ＞0，在｜x一x0｜＜δ内f(x)可导B、若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在｜x—x0｜＜δ内f(x)连续C、若存在，则f(x)在x0处可导D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且标准答案：D知识点解析：令f(x)==0得f(x)在x=0处可导(也连续)．对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；令f(x)==0≠f(0)，所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有3、设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且f’(x)=lncosx+∫0xg(x一t)dt，=一2，则()．A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)．4、当x=一2时，级数的收敛半径为()．A、R=2B、R=4C、R=1D、R=标准答案：A知识点解析：5、设A为可逆矩阵，令P1=，则A—1P1100AP2—1等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P1=E23，因为Eij—1=Eij，所以Eij2=E，即P1100=E．P2=E13(4)，因为Eij—1(k)=Eij(一k)，所以P2—1=，于是A—1P1100AP2—1=P2—1，选(B)．6、设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=2，λ3=4，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，令P=(一3ξ1，2ξ2，5ξ3)，则P—1(A*+2E)P等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：A*+2E对应的特征值为μ1=10，μ2=一2，μ3=0，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则一3ξ1，2ξ2，5ξ3仍然是A*+2E的对应于特征值μ1=一2，μ2=10，μ3=0的特征向量，于是有P—1(A*+2E)P=，选(B)．7、下面4个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是()．A、X～N(5，)B、Y～U(5，7)，即区间(5，7)上的均匀分布C、Z服从指数分布f(z)=D、T服从指数分布f(t)=标准答案：B知识点解析：8、设总体X服从标准正态分布，(X1，X2，…，Xn)为总体的简单样本，，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=___________．标准答案：知识点解析：10、设函数y=y(x)由xy==___________．标准答案：一2知识点解析：x=0代入，得y=0．11、设由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz(e，0)=___________．标准答案：知识点解析：将x=e，y=0代入得z=1．x=zey+z两边求微分得dx=zey—zdy+(z+1)ey+zdz，将x=e，y=0，z=1代入得dz(e，0)=dy．12、y"一2y’一3y=e—x的通解为___________．标准答案：y=C1e—x