考研数学（数学三）模拟试卷5（共215题）

考研数学（数学三）模拟试卷5（共9套）（共215题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)是以3为周期的可导函数，且f’(一1)=1，则A、一4B、4C、D、标准答案：C知识点解析：注意f’(x)也以3为周期，f’(一1)=f’(2)，利用导数可求得极限故应选(C)．2、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数y=f’(x)的曲线如图所示，则f(x)有A、两个极小值点，一个极大值点，三个拐点．B、一个极小值点，一个极大值点，两个拐点．C、一个极小值点，一个极大值点，三个拐点．D、一个极小值点，两个极大值点，三个拐点．标准答案：C知识点解析：由图可知，f’(x)有两个零点：x1＜0，x2＞0，且在x1两侧f’(x)由正变为负，即f(x)先增后减，于是x1为极大值点；类似分析可知x2为极小值点．x=0为f’(x)不存在的点(第二类间断点)，在x=0两侧均有f’(x)＜0，因此x=0不是极值点．但在x=0两侧f’(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．另外，除x=0点外，考察f’(x)的增减性，还有两个点x3，x4，使f’(x)在它们的两侧改变增减性．因此这两个点也是曲线y=f(x)的拐点．综合上述分析，应选(C)．3、曲线的拐点的个数为A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：D知识点解析：4、下列级数中属于条件收敛的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)，(B)，(C)不是条件收敛．由5、a=一5是齐次方程组有非零解的A、充分必要条件．B、充分条件，但不是必要条件．C、必要条件，但不是充分条件．D、既不是必要条件又不是充分条件．标准答案：B知识点解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0．=(a+5)(a一3)．于是a=一5是(I)有非零解的充分条件，但不是必要条件．6、n维向量α=(1／2，0…．，0，1／2)T，A=E一4ααT，β=(1，1…，1)T，则Aβ的长度为A、B、C、n．D、n2．标准答案：B知识点解析：Aβ=(E一4ααT)β=β一4α(αTβ)=β一4α=(一1，1，…，1，一1)T，7、设X，Y为随机变量，P{XY≤0}=,P{max(X,Y)＞0}=则P{min(X，Y}≤0}=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：故应选(D)．8、设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：而(A)，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、n为给定的自然数，极限标准答案：知识点解析：此极限是1∞型未定式．其中大括号内的极限是型未定式，由洛必达法则，有10、设f(x)=x2eax在(0，+∞)内有最大值1，则a=_______．标准答案：知识点解析：因为f(x)在(0，+∞)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在f(x)的驻点处取得．由f’(x)=2xeax+ax2eax=0知为f(x)在(0，+∞)内唯一的驻点，故11、反常积分标准答案：知识点解析：12、设平面区域D={(x，y)|x3≤y≤1，一1≤x≤1}，f(x)是定义在[一a，a](a≥1)上的任意连续函数，则[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dxdy=_______．标准答案：0．知识点解析：令F(x)=(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)则F(一x)=(一x+1)f(一x)+(一x一1)f(x)=一[(x一1)f(一x)+(x+1)f(x)]=一F(x)即F(x)为奇函数[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dxdy=∫-11[(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)]dx2ydy=∫-11(1一x6)F(x)dx=0其中1一x6为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零．13、已知，则A-1=______．标准答案：知识点解析：14、设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则Emin(X，Y)=_______．标准答案：知识点解析：min{X，Y}=由题设X，Y独立，则有Z=X—Y—N(0，2σ2)，于是三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直，(I)求L1与L2交点的横坐标x1；(Ⅱ)求L1,L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)；(Ⅲ)问a＞0取何值时S(a)取最小值．标准答案：(I)抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线为L1：y=a2+2a(x一a)，即y=2ax—a2．另一点(b，b2)处的切线为L2：y=b2+2b(x一b)，即y=2bx—b2．它们的交点(x1，y1)满足(Ⅱ)L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知，x1—b=a一x1(Ⅲ)求导解最值问题．由知识点解析：暂无解析16、(I)求积分f(t)=(一∞＜t＜+∞)．(Ⅱ)证明f(t)在(一∞，+∞)连续，在t=0不可导．标准答案：(Ⅱ)t≠0时f(t)与初等函数相同，故连续．又故f(t)在t=0也连续．因此f(t)在(一∞，+∞)连续．知识点解析：暂无解析17、设某企业生产一种产品，其成本C(Q)=-16Q2+100Q+1000，平均收益=a一(a＞0，0＜b＜24)，当边际收益MR=44，需求价格弹性Ep=时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数a与b的值．标准答案：收益函数R(Q)=当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即MR=MC．又MR=R’=a一bQ，于是44=C’(Q)=2Q2—32Q+100，即Q2一16Q+28=0．解得Q1=14，Q2=2．故当Q=14时，企业利润取极大值．当Q=2时，得b=38，不满足0＜b＜24的条件，故舍去．所以当产量Q=14时，企业利润取极大值，也是最大值．知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D是由x2+y2=1的上半圆与x2+y2=2y的下半圆围成的区域．标准答案：因区域D关于y轴对称为偶函数．对D1，D2引入极坐标知识点解析：暂无解析19、设数列{an}，{bn}满足(n=1，2，3，…)，求证：(I)若an＞0，则bn＞0；(Ⅱ)若an＞0(n=1，2，3，…)，标准答案：(I)由an＞0证bn＞0证明数列不等式转化为证明函数不等式ex＞1+x，(x＞0)．令f(x)=ex一(1+x)，则f’(x)=ex一1＞0(x＞0)．又由f(x)在[0，+∞)连续f(x)在[0，+∞)单调上升f(x)＞f(0)=0(x＞0)ex＞1+x(x＞0)一an＞1，即bn＞0．知识点解析：暂无解析20、设α1=(1，3，5，一1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，一1，7)T．①若α1，α2，α3线性相关，求a．②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．标准答案：①α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3．得a=一3．②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组的非零解，解此方程组：解得α4=c(19，一6，0，1)T，c≠0．③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用αα1，α2，α3，α4线性表示．由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示．用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4=c1α1+c2α2+c3α3，则(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4,α3)=0．得α4=0，与α4是非零向量矛盾．知识点解析：暂无解析21、已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α．①求xTAx的表达式．②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．标准答案：①设则条件Aα=2α即得2a一b=2，a一c=4，b+2c=一2，解出a=b=2，c=一2．此二次型为4x1x2+4x1x3—4x2x3．②先求A特征值于是A的特征值就是2，2，一4．再求单位正交特征向量组属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解．得(A一2E)x=0的同解方程组：x1一x2一x3=0．显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，一1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化：属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．求出β3=(1，一1，一1)T是一个解，单位化：则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4．作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4．作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22—4y32．知识点解析：暂无解析22、设甲袋中有9个白球，1个黑球；乙袋中有10个白球．每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放人另一袋中，试求：(I)这样的交换进行了3次，黑球仍在甲袋中的概率p3；(Ⅱ)这样的交换进行了n次，黑球仍在甲袋中的概率pn；标准答案：(I)不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是0．1，且各次试验相互独立．三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是3次取球中黑球被取到0次或2次的概率，因此所求概率为p3=C30(0．1)0×(0．9)3+C32(0．1)2×0．9=0．756．(Ⅱ)根据(I)的分析，当交换了n次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含0．1的偶次幂项的和，故所求概率为知识点解析：暂无解析23、设二维连续型随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中D={(x，y)|0≤y≤x≤2一y}．试求：(I)X+Y的概率密度；(Ⅱ)X的边缘概率密度；(Ⅲ)P{Y≤0．2|X=1．5}．标准答案：(I)如图，区域D即△AOB的面积SD=1，因此(X，Y)的概率密度为X+Y的分布函数记为F(z)，则当z＜0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0≤z＜2时，于是X+Y的概率密度f(z)为或者直接用随机变量和的卷积公式求X+Y的概率密度．由于f(x，z一x)只有在0≤z—x≤x≤2一(z一x)时才不为0，即只有当≤x≤z≤2时．(Ⅲ)当X=1．5时fX(1．5)=0．5，条件密度故P{Y≤0．2|X=1．5}=∫00.2fY|X(y|1．5)dy=∫00.22dy=0．4．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设，则f(x)有()．A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点，一个跳跃间断点D、一个可去间断点，一个无穷间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0，x=1为f(x)的间断点．2、设为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：选C．3、设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导，且f’(x0)=f’’(x0)=0，f’’’(x0)＞0，则下列结论正确的是()．A、x=x0为f(x)的极大点B、x=x0为f(x)的极小点C、(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点D、(x0，f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜X—x0｜＜δ时，当x∈(x0－δ，x0)时，f’’(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f’’(x)＞0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．4、设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且AB=0，则r(B)=().A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由B为非零矩阵得r(A)＜n，从而r(A*)=0或r(A*)=1，因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1，于是r(A)=n一1．又由AB=0得r(A)+r(B)≤n，从而r(B)≤1，再由B为非零矩阵得r(B)≥1，故r(B)=1，选B．5、设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=0且r(B)=2，则｜A+4E｜=().A、8B、16C、2D、0标准答案：B知识点解析：令B=(α1,α2,α3)，由AB+2B=0得Aαi=一2αi(i=1，2，3)，由r(B)=2得λ=一2至少为A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3=0，故λ1=λ2=一2，λ3=0，A+4E的特征值为λ1=λ2=2，λ3=4，故｜A+4E｜=16，应选B．6、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为则k为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：得k=6，选C．7、已知E(X)=1，E(X2)=3，用切比雪夫不等式估计P{一1＜X＜4}≥a，则a的最大值为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、曲线在t=0对应点处的法线方程为_________．标准答案：知识点解析：9、差分方程yx+1一3yx=2.3x的通解为_________．标准答案：y(x)=A3x+2x3x-1知识点解析：齐次差分方程yx+1一3yx=0的通解为y=A3x，设差分方程yx+1一3yx=2.3x的特解为y0(x)=Cx3x，将y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3yx=2.3x得，故原差分方程的通解为y(x)=A3x+2x3x-1．10、设f可微，f1’(3，2)=2，f2’(3，2)=3，则dz｜(2,1)=_________．标准答案：7dx一8dy知识点解析：11、微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足的特解为_________．标准答案：y=一3ex+3e2x一2xex知识点解析：特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，y’’一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解为y0(x)一Axex，代入原方程为A=一2，原方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex由，得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3，C2=3，特解为y=一3eX+3e2X一2xeX．12、已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，一3，0，则｜B-1+2E｜=_________．标准答案：一8知识点解析：因为A的特征值为3，一3，0，所以A—E的特征值为2，一4，一1，从而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B-E，即B与A—E互为逆阵，则B的特征值为的特征值为2，一4，一1，从而B一1+2E的特征值为4，一2，1，于是｜B一1+2E｜=一8．13、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令U=X—Xi，V=X—Xi(i≠j)，则ρLN=________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)14、令x=cost(0＜t＜π)将方程(1－x2)y’’一xy’+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的解．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以f(x)在[0，1]上取到最小值和最大值，又因为f(0)=f(1)=0，且f(x)在[0，1]上的最小值为一1，所以存在c∈(0，1)，使得f(C)=一1，f’(C)=0，由泰勒公式得知识点解析：暂无解析16、求二重积，其中D={(x，y)｜0≤y≤1-x，0≤x≤1}．标准答案：如图(1)，在区域D内作圆x2+y2=x，将区域D分为D1，D2，则知识点解析：暂无解析17、某企业生产某种商品的成本函数为C=a+bQ+cQ2，收入函数为R=lQ一sQ2，其中常数a，b，c，l，s都是正常数，Q为销售量，求：(I)当每件商品的征税额为t时，该企业获得最大利润时的销售量；(Ⅱ)当企业利润最大时，t为何值时征税收益最大．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛区域与和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析设A为m×n矩阵，且．19、证明方程组AX=b有且仅有n一r+1个线性无关解；标准答案：令ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的基础解系，η0为AX=b的特解，显然β0=η0，β1=ξ1+η0，…，βn-r=ξn-r+η0为AX=b的一组解，令k0β0+k1β知识点解析：暂无解析20、若[*]有三个线性无关解，求a，b及方程组的通解．标准答案：令则化为AX=β．因为Ax=β有三个非零解，所以AX=0有两个非零解，故4一r(A)≥2，r(A)≤2，又因为r(A)≥2，所以r(A)=r(A)=2．知识点解析：暂无解析21、)设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩阵合同于(I)求常数a；(II)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设随机变量X~U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数fZ(z)．标准答案：X，Y的边缘密度分别为知识点解析：暂无解析23、设总体X的密度函数为其中θ＞一1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．(I)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量．标准答案：(Ⅱ)记样本观察值为x1，x2，…，xn，似然函数为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设图形（a），（b），（c）如下：从定性上看，若函数f（x）在[0，1]内可导，则y=f（x），y=∫0xf（t）dt与y=f’（x）的图形分别是A、(a)，(b)，(c)．B、(a)，(c)，(b)．C、(b)，(a)，(c)．D、(c)，(a)，(h)．标准答案：C知识点解析：以(a)或(b)或(c)为y=f(x)的图形，从∫0xf(t)dt及f’(x)的几何意义来看其它两个图形是否分别是y=∫0xf(t）dt和y=f’（x）的图形．若(a)是y=f(x)的图形，则f(x)在[0，1]单调上升且f）＞0（x∈[0，1]）f’（x）≥0，∫0xf(t）dt＞0(x∈(0，1])．但(c)中x轴下方有图像，故(a)不是y=f(x）的图形，于是(A)，(B)均不正确．若(b)是y=f(x)的图形，则f(x)有唯一最大值点x0∈(0，1)，f(x）在[0，x0]单调上升，在[x0，1]单调下降，且f(x)＞0(x∈(0，1))，故f(t)dt＞0且单调上升(x∈[0，1])，f’（x）≥0（x∈（0，x0）），f’（x0）=0，f’（x）≤0（x∈（x0，1））．因此(C)是正确的．若(C)是y=f(x)的图形，则f(x)在[0，1]单调下降，于是f’（x）≤0．因此(D)不正确，故应选(C)．2、设y=y（x）是由方程y2+xy+x2+x=0所确定的满足y（—1）=1的隐函数，则A、1．B、2．C、一2．D、一1．标准答案：D知识点解析：由y(x)所满足的隐函数方程知函数y=y(x)在x=—1的邻域内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得y(x)的一、二阶导函数y’（x）与y"(x)分别满足2yy’+xy’+y+2x+1=0，2yy"+xy"+2(y’)2+2y’+2=0，在以上二式中分别令x=—1并利用y（—1）=1可知y’（—1）=0，y"（—1）=—2．再利用洛必达法则即可得到故应选(D)．3、设f（x）是区间上的正值连续函数，且K=∫01f（arctanx）dx．若把I，J，K按其积分值从小到大的次序排列起来，则正确的次序是A、I，J，KB、J，K，IC、K，I，JD、J，I，K．标准答案：D知识点解析：用换元法化为同一区间上的定积分比较大小，为此在由f(x)＞0且当x∈时0＜cosx＜1．故在区间从而积分值J＜I＜K，故应选(D)．4、设函数f（r）当r＞0时具有二阶连续导数，令，则当x，y，z与t不全为零时A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、设A是5×4矩阵，r（A）=4，则下列命题中错误的为A、AX=0只有零解．B、AATX=0有非零解．C、对任何5维向量β，AX=β都有解．D、对任何4维向量β，ATX=β都有无穷多解．标准答案：C知识点解析：(A)对，因为r(A)=未知数个数4．(B)对，因为AAT是5阶矩阵。而r(AAT)＜5．(C)错，因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示，使得AX=β无解．(D)对，因为r(AT)=方程个数4，对任何4维向量β，r(AT|β)不会大于4.6、设则下列矩阵中与A合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：首先可排除(A)．因为τ(A)=2，而(A)矩阵的秩为1，所以它与A不合同．两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样．(即正．负数的个数对应相等．)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同．因此应该从计算特征值下手．求出|λE—A|=A(λ+3)(λ一3)，A的特征值为0．一3，3．显然(C)中矩阵的特征值也是0，一3，3，因此它和A相似，可排除．剩下(B)(D)两个矩阵中，只要看一个．(D)中矩阵的特征值容易求出，为0，一1．1，因此它和A合同而不相似．(也可计算出(B)中矩阵的特征值为0．1，4，因此E和A不合同．)7、在区间（—1，1）上任意投一质点，以X表示该质点的坐标，设该质点落在（—1，1）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则A、X与|X|相关，且相关系数|ρ|=1．B、X与|X|相关，但|ρ|＜1．C、X与|X|不相关，且也不独立．D、X与|X|相互独立．标准答案：C知识点解析：依题设，X在[一1．1]上服从均匀分布．其概率密度为故cov(X，|X|)=0，从而ρ=0，X与|X|不相关．于是可排除(A)与(B)．对于任意实数a（0＜a＜1），有P{X＜a}=P{|X|＜a}=a．又P{X＜a，|X|＜a}=P{|X|＜a}=a，从而P{X＜a}P{|X|＜a}≠P{X＜a，|X|＜a}，即a≠a（0＜a＜1）．所以x与|X|不独立，故应选(C)．8、设总体X的方差存在，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S2，则EX2，的矩估计量是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据矩估计量的定义来选择正确的选项．由于EX2=DX+（EX2，而DX与EX的矩估计量分别是所以EX2的矩估计量为故选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、n为给定的自然数，极限标准答案：知识点解析：此极限是1∞型未定式．其中大括号内的极限是型未定式，由洛必达法则，有10、设f（x）=x2eax在（0，+∞）内有最大值1，则a=________．标准答案：知识点解析：因为f(x)在(0，+∞)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在f(x)的驻点处取得，由f’（x）=2xeax+ax2eax=0知x=为f(x)在(0，+∞)内唯一的驻点，故11、反常积分∫03标准答案：知识点解析：12、设平面区域D={（x，y）}x3≤y≤1，—1≤x≤1}，f（x）是定义在[—a，a]（a≥1）上的任意连续函数，则2y[（a+1）f（x）+（a—1）f（—x）]dxdy=________．标准答案：0．知识点解析：令F(x)=(x+1)f(x)+(x—1)f(—x)则F(—x)=(—x+1)f(—x)+(—x—1)f(x)=一[(x—1)f(—x)+(x+1)f(x)]=一F（x）即F（x）为奇函数[（x+1）f(x）+（x一1）f(一x）]dxdy=∫—1’[（x+1）f(x）+（x一1）f(一x）]dx∫x312ydy=∫—11(1—x6)F（x）dx=0其中1—x6为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零．13、已知，则A—1=________．标准答案：知识点解析：14、设二维随机变量（X，y）服从正态分布N（μ，μ；σ2，σ2；0），则Emin（X，Y）=________．标准答案：知识点解析：由题设X，Y独立，则有Z=X—Y-N(0，2σ2)，于是三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设F（x）=∫01（1—t）ln（1+xt）dt（x＞—1），求F’（x）（x＞—1，x≠0）并讨论F’（x）在（—1，+∞）上的连续性．标准答案：先将F(x)转化为变限积分，令s=xt，则下面讨论F’（x）的连续性．因ln(1+s)，sln(1+s)当s＞—1时连续，于是由②式及变限积分的连续性与连续性运算法则知当x＞—1且x≠0时F’（x）连续，余下只需再求F’(0)并考察F’（x）在点x=0处的连续性．注意F(0)=0，且从而F(x)在点x=0处连续，又于是F’(0)==F’(0)，F’（x）在点x=0处连续．这就证明了F’（x）在（—1，+∞）上连续．知识点解析：暂无解析16、（Ⅰ）设f（x）=求∫f（x）dx；标准答案：(Ⅰ)用拼接法．知识点解析：暂无解析17、过原点作曲线y=的切线L，该切线与曲线y=及y轴围成平面图形D．（Ⅰ）求切线L的方程．（Ⅱ）求D绕y轴旋转一周所得旋转体体积y．标准答案：(Ⅰ)设切线的切点为（x0，y0），则切线的斜率为y’（x0）=，所以切线L的方程为y=y0+(x—x0)其中y0=因L过(0，0)点，把x=0，y=0代入上述方程得即x0=2，y0=e因此所求切线L的方程为(Ⅱ)平面图形D如右图．取积分变量为y．设y=ex，y=e，)，轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V1，它是锥体，V1=（x∈[0，2]）即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V2，则V=V1—V2，V2=π∫1ef(2lny)2dy=4π[yln2y|∫1ey．2lny．]=4π[e—2∫1elydy]=4π[e—2ylny|1e+2∫1edy]=4π[e—2e+2(e—1)]=4π(e—2)因此V=V1—V2=8π一知识点解析：暂无解析18、设积分区域D={（x，y）|x2+y2≤x+y}，计算二重积分（x2+xy+y2）dσ．标准答案：由于x2+y2≤x+y可改写为则可把区域D表示为D={（u，υ）|u2+υ2≤}，而且因为D1关于u=0或υ=0都对称，而uυ，分别是关于u或关于υ的奇函数，故在D1中作极坐标变换，即令u=rcosθ，υ=rsinθ，就有综合即知（x2+xy+y2）dσ=知识点解析：暂无解析19、求证f（x）=πx（1—x）cosπx—（1—2x）sinπx＞0当x∈时成立．标准答案：注意f(x）在上连续，且f(0）==0．先求f’（x）=一π2x(1一x)sinπx+π(1—2x)cosπx一π(1—2x)cosπx+2sinπx=[2一π2x(1—x)]sinπx其中g(x)=2—π2x（1—x）．显然，f’（x）的正负号取决于g（x）的正负号，用单调性方法判断g（x）的符号．由于g’（x）=一π2(1—2x)＜0故g（x）在单调下降，又因g(0)=2，从而存在唯一的x0∈使g（x0）=0．又由从而f(x)＞f(0)=0（0＜x≤x0），故f(x)＞0知识点解析：暂无解析20、①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维列向量组，记矩阵A=（α1，α2，…，αs），B=（β1，β2，…，βt）证明：存在矩阵C，使得AC=B的充分必要条件是r（α1，α2，…，αs；β1，β2，…，βt）=r（α1，α2，…，αs）．已知矩阵方程AX=B有解，求a，b．并求它的一个解．标准答案：①根据向量组秩的性质，r(α1，α2，…，αs;β1，β2，…，βt)=r(α1，α2，…，αs)β1，β2，…，βt可以用α1，α2，…，αs线性表示．如果矩阵C使得AC=B，记C的(i，j)位元素为cij，则βj=c1jα1+c2jα2+…+csjαs，j=1，2，…，s.从而β1，β2，…，βt可以用α1，α2，…，αs线性表示．反之，如果β1，β2，…，βt可以用α1，α2，…，αs，线性表示，设βj=c1jα1+c2jα2+…+csjαs，j=1，2，…，s．记C的(i，j)位元素为cij的s×t的矩阵，则由矩阵乘法的定义，AC=B知识点解析：暂无解析21、已知判断A与B是否相似？要说明理由．标准答案：关于两个矩阵相似的有关性质是：相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，则特征值相同是相似的充分必要条件．因此本题应该从计算特征值下手．=(λ+1)(λ2—2λ—3)=(λ+1)2(λ—3)A的特征值为—1，—1，3．=（λ一3）(λ2+2λ+1)=（λ一3）(λ+1)2．B的特征值也是—1，—1，3．再看3它们是否相似于对角矩阵．只用看对于2重特征值—1有没有两个线性无关的特征向量，也就是看r(A+层)和r(B+E)是否为1．r(A+E)=1，因此A有属于特征值—1的两个线性无关的特征向量，A相似于对角矩阵．r(B+E)=2，因此B没有两个属于特征值—1的线性无关的特征向量，B不相似于对角矩阵．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的密度函数为f（x），方差DX=4，而随机变量y的密度函数为2f（—2y），且X与Y的相关系数ρXY=，记Z=X+2Y．（Ⅰ）求EZ，DZ；（Ⅱ）用切比雪夫不等式估计概率P{|Z|≥4}．标准答案：(Ⅰ)EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=∫—∞+∞xf(x)dx+2∫—∞+∞y．2f(—2y)dy=∫—∞+∞xf（x）dx+∫—∞+∞（一2y）f(一2y)d（一2y）∫—∞+∞xf（x）dx+tf(t)dt=0，由此可知，EZ=0，EY=EX．又DY=EY2一(EY)2，而EY2=∫—∞+∞y2．2f(一2y)dy=∫—∞+∞（一2y）2f(一2y）d（一2y）所以DY=EY2一(EY)2=DZ=D(X+2Y)=DX+4DY+4cov(X，Y)=DX+4DY+(Ⅱ)由切比雪夫不等式P{|Z|≥4}=P{|Z—EZ|≥4}≤知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为f（x）=—∞＜x＜+∞．λ＞0是未知参数．（Ⅰ）求λ的矩估计量（Ⅱ）求λ的最大似然估计量标准答案：由1=∫—∞+∞f（x）dx=a∫—∞+∞(Ⅰ)由于X的一阶矩EX=∫—∞+∞xf（x）dx=故考虑X的二阶矩EX2=∫—∞+∞x2f（x）dx=∫—∞+∞=λ2Γ(3)=2λ2．而样本的二阶矩为Xi2，所以λ的矩估计量为(Ⅱ)似然函数为L（x1，2，…，xn；λ）=取对数有知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知当x→0时，f(x)=arcsinx－arctanax与g(x)=bx[x－ln(1+x)]是等价无穷小，则()A、a=b=1。B、a=1，b=2。C、a=2，b=1。D、a=b≠1。标准答案：A知识点解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a=0，，则有a=1，b=1。故选(A)。2、设f(x)=+x，则f(x)有()A、两条斜渐近线。B、一条水平渐近线，一条斜渐近线。C、两条水平渐近线。D、一条斜渐近线，没有水平渐近线。标准答案：B知识点解析：函数f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。水平渐近线：在x→－∞方向，所以y=0为函数f(x)的一条水平渐近线。斜渐近线：所以y=2x为函数f(x)的一条斜渐近线。故选(B)。3、设f(x)是连续且单调递增的奇函数，设F(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则F(x)是()A、单调递增的奇函数。B、单调递减的奇函数。C、单调递增的偶函数。D、单调递减的偶函数。标准答案：B知识点解析：令x－u=t，则F(x)=∫0x(x－2t)f(t)dt，F(－x)=∫0－x(－x－2t)f(t)dt，令t=－u，F(－x)=－∫0x(－x+2u)f(－u)du=∫0x(x－2u)f(－u)du。因f(x)是奇函数，f(x)=－f(－x)，F(－x)=－∫0x(x－2u)f(u)du，则有F(x)=－F(－x)为奇函数。F’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，由积分中值定理可得∫0xf(t)dt=f(ξ)x，ξ介于0到x之间，F’(x)=f(ξ)x－xf(x)=[f(ξ)－f(x)]x，因为f(x)单调递增，当x＞0时，ξ∈[0，x]，f(ξ)－f(x)＜0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减；当x＜0时，ξ∈[x，0]，f(ξ)－f(x)＞0，所以F’(x)＜0，F(x)单调递减。所以F(x)是单调递减的奇函数。4、已知函数f(x，y)满足=0，则下列结论中不正确的是()A、f(x，y)在(0，0)点可微。B、f’x(0，0)=－2。C、f’y(0，0)=1。D、f’x(0，0)和f’y(0，0)不一定都存在。标准答案：D知识点解析：根据多元函数可微的定义，其中A=f’x(x，y)，B=f’y(x，y)，那么有通过观察f(x，y)在(0，0)点可微，f’x(0，0)=－2，f’y(0，0)=1，故选择(D)。5、设，则矩阵A和B()A、合同且相似。B、合同不相似。C、相似不合同。D、既不相似，也不合同。标准答案：B知识点解析：因为所以A的特征值为0，1，4。两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同；两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。故选(B)。6、设A，B均为3阶非零矩阵，满足AB=O，其中B=，则()A、若a=2，则r(A)=1。B、若a≠2，则r(A)=2。C、若a=－1，则r(A)=1。D、若a≠－1，则r(A)=2。标准答案：A知识点解析：因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3。当a=2时，r(B)=2，所以r(A)≤3－r(B)=1；另一方面，A为3阶非零矩阵，所以r(A)≥1，从而r(A)=1。故选(A)。7、已知(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，则随机变量X+Y与X－Y必()A、相互独立且同分布。B、相互独立但不同分布。C、不相互独立但同分布。D、不相互独立也不同分布。标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布N(0，0；σ2，σ2；ρ)，所以他们的线性组合也是正态分布，X+Y～N(0，2σ2+2ρσ2)，X－Y～N(0，2σ2－2ρσ2)，故分布不同。而Cov(X+Y，X－Y)=0，则X+Y，X－Y不相关，因为(X+Y，X－Y)仍是二维正态分布，所以不相关与独立等价。8、设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)，其中X服从正态分布N(0，1)，且Y=X，若F(a，b)=，则()A、a=b=0。B、a=0，b＞0。C、a＞0，b=0。D、min{a，b}=0。标准答案：D知识点解析：由题可得从而P{X≤min{a，b}}=，即min{a，b}=0。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=_________。标准答案：知识点解析：该题极限形式为和式极限，则可使用夹逼定理进行计算。两边取极限可得，由夹逼定理可知，原极限为。10、设f(x)=xsin2x，则f(2017)(0)=_________。标准答案：－220152017知识点解析：f(x)=xsin2x=求2017次导数为0，对于，根据莱布尼茨公式可得11、二阶常系数非齐次线性微分方程y"－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=_________。标准答案：ex(C1cos2x+C2sin2x)+，C1，C2为任意常数知识点解析：该方程的齐次方程所对应的特征方程为λ2－2λ+5=0，解得特征根为λ=1±2i，可知齐次方程的通解为ex(C1cos2x+C2sin2x)。该方程的非齐次项根据叠加原理此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得．根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为)，y1*=Cex，代入方程(1)解得C=，故y1*=；方程(2)的特解可设为y2*=xex(Acos2x+Bsin2x)，12、差分方程yx+1－2yx=x2的通解为_________。标准答案：C2x－x2－2x－3，C∈R知识点解析：齐次方程yx+1－2yx=0的通解为C2x，C∈R。设非齐次方程的特解为yx*=ax2+bx+c，则a(x+1)2+b(x+1)+c－2(ax2+bx+c)=x2，整理可得－ax2+(2a－b)x+a+b－c=x2，解得a=－1，b=－2，c=－3。可知差分方程的通解为C2x－x2－2x－3，C∈R。13、设A为三阶非零矩阵，已知A的各行元素和为0，且AB=0，其中B=，则Ax=0的通解为_________。标准答案：k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2为任意常数知识点解析：因为AB=O，所以显然有A(1，2，3)T=0；另一方面，因为A的各行元素和为0，所以A(1，1，1)T=0。又因为A为三阶非零矩阵，所以Ax=0的基础解系的线性无关的解向量至多有两个，所以Ax=0的通解为k1(1，2，3)T+k2(1，1，1)T，k1，k2为任意常数。14、设随机变量X1，X2相互独立，X1服从正态分布N(μ，σ2)，X2的分布律为P{X2=1}=P{X2=－1}=，则X1X2的分布函数间断点个数为_________。标准答案：0知识点解析：分布函数的间断点即概率不为0的点，令Y=X1X2∈(－∞，+∞)，由于X1，X2相互独立。则P{Y=a}=P{X2=1，X1=a}+P{X2=－1，X1=－a}=P{X2=1}P{X1=a}+P{X2=－1}P{X1=－a}=0。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－∫0x－πtf(x－t)dt，求f(x)。标准答案：令s=x－t，得f(x)=(x－π)2－∫πx(x－s)f(s)ds，即f(x)=(x－π)2－x∫πxf(s)ds+∫πxsf(s)ds，(1)现需要把它转换成微分方程问题。(1)式两边求导得f’(x)=2(x－π)－∫πxf(s)ds，(2)又(1)式中令x=π得f(π)=0。再对(2)式求导得f"(x)+f(x)=2。在(2)式中令x=π得f’(π)=0。于是问题转化为初值问题其中y=f(x)。这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为y=C1cosx+C2sinx+2。y=f(x)=2cosx+2。知识点解析：暂无解析16、计算二重积分，其中D是由直线x=－2，y=0，y=2以及曲线x=所围成的平面图形。标准答案：在直角坐标系下化为累次积分计算，选取先对x积分再对y积分的顺序。题中所给区域如图2所示：知识点解析：暂无解析17、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0。证明：(Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2f(ξ)；(Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得f’(η)=－3f(η)g’(η)。标准答案：(Ⅰ)令φ(x)=e－2xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，根据罗尔定理，存在一点ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－2x[f’(x)－2f(x)]且e－2x≠0，所以f’(ξ)=2f(ξ)。(Ⅱ)令h(x)=f(x)e3g(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以h(a)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在一点η∈(a，b)，使得h’(η)=0，而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0，所以f’(η)=－3f(η)g’(η)。知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域与和函数，并求的和。标准答案：由=｜x｜3，当｜x｜＜1时，幂级数收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散；当x=1时，幂级数收敛：当x=－1时，幂级数发散。因此该幂级数的收敛域为(－1，1]。知识点解析：暂无解析19、假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q=12000－80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需要纳税2元。试求使销售利润最大时的商品单价和最大利润额。标准答案：以L表示销售利润额，则L(p)=(12000－80p)(p－2)－(25000+50Q)=－80p2+16160p－649000，L’(p)=－160p+16160，令L’(p)=0；得p=101。由于L"｜p=101=－160＜0，可见，p=101时，L有极大值，也是最大值(因为p=101是唯一驻点)。最大利润额L｜p=101=167080(元)。知识点解析：暂无解析20、设线性方程组已知(1，－1，1，－1)T是该方程组的一个解，试求：(Ⅰ)方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(Ⅱ)该方程组满足x2=x3的全部解。标准答案：将(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ=μ。对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得r(A)==3＜4，故方程组有无穷多解，且ξ0=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为η=(－2，1，－1，2)T，故方程组的全部解为k为任意常数。当λ=时，有r(A)==2＜4，故方程组有无穷多解，且ξ0=为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为η1=(1，－3，1，0)T，η2=(－1，－2，0，2)T，故方程组的全部解为k1，k2为任意常数。其中k2为任意常数。知识点解析：暂无解析21、设二次型(x1，x2，x3)=4x22－3x32+2ax1x2－4x1x+3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22+by32，求：(Ⅰ)参数a，b的值；(Ⅱ)正交变换矩阵Q。标准答案：(Ⅰ)二次型矩阵为A=，由二次型的标准形f=y12+6y22+6y32，可知该二次型矩阵的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=b，根据特征值的和与乘积的性质可得方程组知识点解析：暂无解析22、设随机变量Y服从参数为λ=1的泊松分布，随机变量Xk=k=0，1。试求：(Ⅰ)X0和X1的联合分布律；(Ⅱ)E(X0－X1)；(Ⅲ)Cov(X0，X1)。标准答案：(Ⅰ)P{X0=0，X1=0}=P{Y≤0，Y≤1}=P{Y=0}=e－1，P{X0=1，X1=0}=P{Y＞0，Y≤1}=P{Y=1}=e－1，P{X0=0，X1=1}=P{Y≤0，Y＞1}=0，P{X0=1，X1=1}=P{Y＞0，Y＞1}=P{Y＞1}=1－P{Y=0}－P{Y=1}=1－2e－1。所以X0和X1的联合分布律为：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，X0和X1的边缘分布律为：所以，E(X0－X1)=E(X0)－E(X1)=(1－e－1)－(1－2e－1)=e－1。(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的计算结果，X0X1的分布律为：Cov(X0，X1)=E(X0X1)－E(X0)E(X1)=1－2e－1－(1－e－1)(1－2e－1)=e－1－2e－2。知识点解析：暂无解析23、设总体X的概率密度为f(x；θ)=X1，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求。标准答案：(Ⅰ)E(X)=∫－∞+∞xf(x)dx=得θ的矩估计量知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f（x）是以3为周期的可导函数，且f’（—1）=1，则A、一4．B、4．C、D、标准答案：C知识点解析：注意f’（x）也以3为周期，f’（—1）=f’(2)，利用导数可求得极限故应选(C)．2、设函数f（x）在（一∞，+∞）内连续，其导函数y=f’（x）的曲线如图所示，则f（x）有A、两个极小值点，一个极大值点，三个拐点．B、一个极小值点，一个极大值点，两个拐点．C、一个极小值点，一个极大值点，三个拐点．D、一个极小值点，两个极大值点，三个拐点．标准答案：C知识点解析：由图可知，f’（x）有两个零点：x1＜0，x2＞0，且在x1两侧f’(x)由正变为负，即f（x）先增后减，于是x1为极大值点；类似分析可知x2为极小值点．x=0为f’(x)不存在的点（第二类间断点），在x=0两侧均有f’(x)＜0，因此x=0不是极值点，但在x=0两侧f’(x)由减函数变为增函数，由此可断定(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．另外，除x=0点外，考察f’(x)的增减性，还有两个点x3，x4，使f’(x)在它们的两侧改变增减性，因此这两个点也是曲线y=f(x)的拐点，综合上述分析，应选(C)．3、曲线的拐点的个数为A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：D知识点解析：y=(x3—3x)，先求出y’与y"．y’=（x3—3x）(x2—1)，y"=（x3—3x）．3(x2一1)2+2x(x3—3x)=—2(x3—3x)[（x2一1）2一x（x3—3x）]=—2(x3—3x)（x2+1）=—2x（x2—3）（x2+1），由在（一∞，+∞）连续，y"不存在的点只有x=0，x=，而y"=0的点不存在，且在x=两侧y"变号，x=0两侧）y"也变号均为y=的拐点，再无其他拐点．因此，应选(D)．4、下列级数中属于条件收敛的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)，(B)，(C)不是条件收敛．由5、a=—5是齐次方程组有非零解的A、充分必要条件．B、充分条件，但不是必要条件．C、必要条件，但不是充分条件．D、既不是必要条件又不是充分条件．标准答案：B知识点解析：根据克拉姆法则，当齐次方程组的系数矩阵是方阵时，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0．于是a=—5是(Ⅰ)有非零解的充分条件，但不是必要条件．6、n维向量α=1／2．0，…，0，1／2）T，A=E—4ααT，β=（1，1，…，I）T，则Aβ的长度为A、B、C、n．D、n2．标准答案：B知识点解析：Aβ=(E—4ααT)β=β—4α(αTβ)=β—4α=（—1，1，…，1，—1）T，7、设X，Y为随机变量，P{XY≤0}=，P{nlax（Y，Y）＞0}=，则P；min（X，Y）≤0}=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：故应选(D)．8、设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于可知X～N(—3，2)，(X+3)～N(0，1)，而(A)，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、与曲线（y—2）2=x相切，且与曲线在点（1，3）处的切线垂直，则此直线方程为________．标准答案：知识点解析：对曲线方程求导，2（y—2）y’=1，故当y=3时，y’=，即曲线在点(1，3)处的法线斜率为—2，由y’=代入曲线方程，有x=所以切点坐标为故直线方程为10、将抛物线y=x2—x与x轴及直线x=c（c＞1）所围成平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积Vx等于弦op（p为抛物线与直线x=c的交点）绕x轴旋转所得锥体的体积V锥，则c的值为________．标准答案：知识点解析：图形如右图所示．x=π∫0cy2dx=π∫0c（x2—x）2dx=π∫0c（x4—2x3+x2）dx11、设f（x）=则f（x）=________．标准答案：知识点解析：12、二阶微分方程y"+y=10e2x满足条件y（0）=0，y’（0）=1的特解是y=________．标准答案：2e2x—2cosx—3sinx，知识点解析：本题中微分方程的特征方程是λ2+1=0，特征根是λ=i与λ=一i，由方程的右端项10e2x即知可设方程具有形式为y*=Ae2x的特解，从而方程通解的形式为y=C1cosx+C2sinx+Ae2x．计算可得y"=—C1cosx—C2sinx+4Ae2x．把y与y"代入方程就有y"+y=SAe2x．令5A=10即A=2即得方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+2e2x．分别令y(0)=C1+2=0与y’(0)=C2+4=1又可确定常数C1=—2，C2=—3．故所求的特解是y=2e2x一2cosx—3sinx．13、已知的任意两个特征向量都线性相关，则a=________．标准答案：—2．知识点解析：因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明A的三个特征值都相等，即A有一个3重特征值λ．3λ=tr(A)=3，于是λ=1．有|λE—A|=（λ—1）3．=λ+1+a(a+λ+2)+(λ—1)(λ2—2λ—8—5a)=a2+λ(a+1)+2a+1+(λ—1)(λ2—2λ+1—9—5a)=(λ—1)3+λ(a+1)+a2+2a+1—(λ—1)(5a+9)=(λ—1)3—(8+4a)λ+a2+7a+10．则8+4a=0并且a2+7a+10=0，得a=一2．14、一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合格品的概率pi=（i=1，2，3）．则三个零件中合格品零件的期望值为________．标准答案：知识点解析：以Ai表示第i个零件合格，i=1，2，3，Ai相互独立，于是有以X表示3个零件中合格品的个数，则P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设b为常数．（Ⅰ）求曲线L:y=的斜渐近线l的方程；（Ⅱ）设L与l从x=1延伸到x→∞之间的图形的面积A为有限值，求b及A的值．标准答案：所以斜渐近线方程为y=2x—4．如果2b+15+1≠0，即如果b≠—8，无论b＞—8还是b＜—8，均有Int(t+2)2b+15=∞，从而与A为有限值矛盾．当b=—8时有故此时所求的面积知识点解析：暂无解析16、设函数f（x）在x=1的某邻域内连续，且有（Ⅰ）求f（1）及（Ⅱ）求f’（1），若又设f"（1）存在，求f"（1）．标准答案：又在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小因子替换：当x→0时，In[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析17、求（x，y，z）=2x+2v—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由=2知f(x，y，z）在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=2x+2y—z2+5+λ（x2+y2+z2—2），解方程组由①，②知x=y，由③知z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④知x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，④也得x=y=—1，z=0．因此得驻点P1（—1，—1，0）与P2(1，1，0)．计算得知f(P1）=1，f(P2）=9．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为9，最小值为1．知识点解析：暂无解析18、设曲线y=y（x）上任意一点的切线在y轴上的截距与法线在x轴上的截距之比为3，求y（x）．标准答案：1）先求截距并列方程，曲线y=y(x)在点(x，y(z))处的切线方程是Y—y(x)=y’（x）（X—x）令X=0，得y轴上截距y=y(x)—xy’（x）相应的法线方程是令Y=0，得x轴上截距X=x+y(x)y’（x）2)求解方程．知识点解析：暂无解析19、设f（x）在[a，b]上连续且单调增加．试证：标准答案：要证xf(x)dx≥∫abf（x）dx，即要证由积分中值定理*，存在由f(x）单调增加，f(ξ2）≥f(ξ1），故I≥0，得证．知识点解析：改写不等式，即要证分别在区间上应用积分中值定理即可得证．20、已知四元齐次方程组的解都满足方程式（Ⅱ）x1+x2+x3=0．①求a的值．②求方程组（Ⅰ）的通解．标准答案：①条件即(Ⅰ)和(Ⅱ)的联立方程组和(Ⅰ)同解，也就是矩阵的秩相等，对B用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第4行改变上面3行，以保证化得阶梯形矩阵的上面3行是由A变来的．显然a=0时r(A)=1，r(B)=2，因此a≠0．因为a≠0，所以r(A)=3．要使得r(B)=3，a=1/2．得(Ⅰ)的通解：c（—1，—1，2，2）T，c任意．知识点解析：暂无解析21、已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=—α1—3α2—3α3．Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=—2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量，③求A*—6E的秩．标准答案：①记P=（α1，α2，α3），因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵．AP=（Aα1，Aα2，Aα3）=（一α1—3α2—3α3，4α1+4α2+α3，—2α1+3α3）=（α1，α2，α3）（此处用了矩阵分解）记则AP=PB，即P—1AP=B，A与B相似，特征值一样．求B的特征多项式得A的特征值为1，2，3．②先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量．（如果Bη=λη，则P—1APη=λη，即A(Pη)=A(Pη)．)对于特征值1：B的属于特征值1的特征向量（即（B—E）x=0的非零解）为c(1，1，1)T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c（α1+α2+α3）T，c≠0．对于特征值2：B的属于特征值2的特征向量（即（B—2E）x=0的非零解）为c(2，3，3)T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c（2α1+3α2+3α3）T，c≠0．对于特征值3：B的属于特征值3的特征向量（即（B—3E）x=0的非零解）为c(1，3，4)T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c（α1+3α2+4α3）T，c≠0．③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*—6E的特征值为0，—3．—4．于是A*—6Er(A*—6E)=2．知识点解析：暂无解析22、设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为A的泊松分布，且每一顾客购买A类商品的概率为p．假定各顾客是否购买A类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买A类商品的人数Y的概率分布及Y的期望EY．标准答案：由题设知，P{X=m}=e—λ，m=0，1，2，…；λ＞0．购买A类商品的人数Y，在进入超市的人数X=m的条件下服从二项分布B(m，P)，即P{Y=k|X=m}=Cmkpkqm—k，k=0，1，2，…，m；q=1—p．由全概率公式有又因为当m＜k时，P|Y：k|X=m}=0，所以由此可知，Y服从参数为λp的泊松分布，故层Y=λp．知识点解析：暂无解析23、历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了12000次，正面出现6019次，现在我们若重复他的试验，试求：（Ⅰ）抛掷12000次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差的概率；（Ⅱ）要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于20％，现在我们应最多试验多少次？标准答案：(Ⅰ)设X表示试验中正面出现的次数，则X～B(12000，0．5)，且EX=np=6000．DX=npq=3000．由于n=12000相当大，因此近似服从正态分布N(0，1)，于是(Ⅱ)设至多试验n次，Y为n次中正面出现的次数，显然Y～B(n，0．5)，EY=0．5n，，DY=0．25n，于是故最多试验6232次即可．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则f(x)在x=0处A、不连续．B、连续但不可导．C、可导但f’(0)≠0．D、可导且f’(0)=0．标准答案：B知识点解析：显然f(0)=0．因故f(x)在x=0处连续．又可见f(x)在x=0处不可导．2、设函数y=y(x)由参数方程确定，则在x的变化区间(0，1)内A、函数y(x)单调减小，曲线y=y(x)是凹的．B、函数y(x)单调减小，曲线y=y(x)是凸的．C、函数y(x)单调增加，曲线y=y(x)是凹的．D、函数y(x)单调增加，曲线y=y(x)是凸的．标准答案：A知识点解析：故在区间(0，1)内，函数y(x)单调减小，曲线y=y(x)是凹的．3、累次积分等于A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由题设所给极坐标累次积分可画出积分区域D如图所示，其边界曲线分别为(x+1)2+y2=1，y=一x，于是4、设数列{un}，{vn}满足其中m，M是大于零的常数，vn≠0(n=1，2，…)，考虑以下命题：①若级数发散，则必发散；②若级数收敛，则必收敛；③级数同时收敛或发散；④当级数必收敛，且其和必介于m与M之间，其中正确的个数是A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：由题设条件*]可知un与vn同号，不妨设un＞0，vn＞0，于是有mvn＜un，un＜Mvn根据正项级数比较判别法可知，若级数必发散．从而级数发散；若级数收敛，则级数必收敛，从而级数也收敛．同样，若级数收敛，则收敛；若级数发散，从而级数发散，可见①，②，③正确．当级数得，mvn＜un＜Mvn(不妨设un，vu＞0)，进而得由于级数必收敛，故④也正确．5、设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，且m＞n，若AB=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有A、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．B、矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．C、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．D、矩阵A的行向量组线性相关，矩阵B的列向量组线性相关．标准答案：A知识点解析：显然r(AB)=n．由矩阵“越乘秩越小"性质及矩阵秩的定义可知n=r(AB)≤r(A)≤min{m，n}，n=r(AB)≤r(B)≤min{m，n}，又m>n,故min{m，n)=n，从而可得r(An×m)=n＜m，r(Bm×n)=n＜m，即矩阵A的列向量组线性相关，矩阵B的行向量组线性相关．6、设A是任一n阶可逆矩阵(n≥3)，k为常数，且k≠0，±1，则(kA-1)*等于A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：因矩阵A可逆，故由A*=｜A｜A-1可得7、设A，B为随机事件，且．考虑下列式子①P(A+B)=P(A)；②P(AB)=P(B)；③P(B—A)=P(B)一P(A)；④P(B｜A)=P(B)，其中正确的个数为A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：B知识点解析：可见①，②正确，③不正确．又由条件概率可得故④不正确．8、设X1，X2，…，Xn，是取自二项总体的简单随机样本，是其样本均值，则A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：e一2．知识点解析：因x→0时，arcsinx～x，故10、以y=C1cosx+C2sinx+e2x(其中C1，C2为任意常数)为通解的二阶线性常系数非齐次微分方程是_________．标准答案：y’’+y=5e2x．知识点解析：由所给通解可看出对应齐次方程的特征根为±i，从而得齐次方程为y’’+y=0，令y’’+y=f(x)，将通解中的非齐次方程的特解y=e2x代入，可得f(x)=5e2x，于是所求的微分方程为y’’+y=5e2x．11、设z=f(xy，x2一y2)，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数，则=__________。标准答案：fu’－bxyfuu’’一(2y2一2x2)fuv’’一4xyfvv’’知识点解析：12、曲线y=ex与该曲线过原点的切线及y轴所围成的平面图形绕．y轴旋转一周所得的旋转体的体积为__________．标准答案：知识点解析：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y—y0=ex0(x—x0)．因切线过原点，且y0=ex0，可求得x0=1，y0=e．故切线方程为y=ex，于是所求旋转体的体积为13、设3阶矩阵A与B相似，λ=1，λ=一2是矩阵A的两个特征值，且矩阵B的行列式｜B｜=1，则行列式｜A*+E｜=________．标准答案：一1．知识点解析：因A与B相似，故A与B有相同的特征值，且行列式的值相等，从而有进而可得A*+E的特征值为，即14、在区间[0，π]上随机取两个数X与Y，则概率P{cos(X+Y)＜0)=__________．标准答案：知识点解析：因二维随机变量(X，Y)服从区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}上的均匀分布，如图所示．当时(图中阴影部分)，有cos(X+Y)＜0，故三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、设曲线L2：y=1一x2(0≤x≤1)，x轴和y轴所围区域被曲线L2：y=kx2分成面积相等的两部分，其中常数k＞0．(I)试求k的值；(Ⅱ)求(I)中k的值对应的曲线L2与曲线L1及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析17、试利用变量代换x=cost将微分方程化为关于y，t的方程，并求原方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析18、某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和q2；需求函数分别为q1=24—0．2p1，q2=10一0．05p1，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?并求最大利润．标准答案：总收入函数为R=p1q1+p2q2=24p1一0．2p12+10p2—0．05p22，总利润函数为L=R一C=(p1q1+p2q2)一[35+40(q1+q2)]=32p1—0．2p12+12p2一0．05p22一1395．因驻点唯一，且由问题的实际意义可知最大利润存在，故当p1=80，p2=120时，厂家所获得的总利润最大，其最大值为Lmax(80，120)=605．知识点解析：暂无解析19、将函数展开成x的幂级数，并求数项级数的和．标准答案：知识点解析：暂无解析设有非齐次线性方程组已知3阶矩阵B的列向量均为此方程组的解向量，且r(B)=2．20、求参数k的值及方程组的通解；标准答案：由题设可知β1，β2，β3均为Ax=b的解．又r(B)=2，即r(β1，β2，β3)=2，不妨设β1，β2线性无关，于是β1一β2≠0是方程组Ax=0的解，即齐次方程组Ax=0有非零解，故知识点解析：暂无解析21、若A为此线性方程组的系数矩阵，求(AB)n．标准答案：由题设条件可知，Aβ1=b，Aβ2=b，Aβ3=b，将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得(Aβ1，Aβ2，Aβ3)=(b，b，b)．即A(β1，β2，β3)=(b，b，b)．从而有其中α=