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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若关于的不等式有正整数解,则实数的最小值为()A. B. C. D.2.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知复数(为虚数单位),则下列说法正确的是()A.的虚部为 B.复数在复平面内对应的点位于第三象限C.的共轭复数 D.4.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.85.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2(平方寸),则图中x的值为()A.3 B.3.4 C.3.8 D.47.某三棱锥的三视图如图所示,那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.08.设函数在上可导,其导函数为,若函数在处取得极大值,则函数的图象可能是()A. B.C. D.9.设集合,,则()A. B.C. D.10.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位11.已知函数的最大值为,若存在实数,使得对任意实数总有成立,则的最小值为()A. B. C. D.12.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,令,,若,表示不超过实数的最大整数,记数列的前项和为,则_________14.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.15.已知数列的各项均为正数,满足,.,若是等比数列,数列的通项公式_______.16.已知点是抛物线上动点,是抛物线的焦点,点的坐标为,则的最小值为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=C1C=1,M,N分别是AB,A1C的中点.(1)求证:直线MN⊥平面ACB1;(2)求点C1到平面B1MC的距离.18.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.19.(12分)在中,.(1)求的值;(2)点为边上的动点(不与点重合),设,求的取值范围.20.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右顶点分别为、,焦距为2,直线与椭圆交于两点(均异于椭圆的左、右顶点).当直线过椭圆的右焦点且垂直于轴时,四边形的面积为6.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线的斜率分别为.①若,求证:直线过定点;②若直线过椭圆的右焦点,试判断是否为定值,并说明理由.21.(12分)设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)如果对所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知数列中,,且,若数列的前n项和为,求证:.22.(10分)已知函数,函数,其中,是的一个极值点,且.(1)讨论的单调性(2)求实数和a的值(3)证明
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据题意可将转化为,令,利用导数,判断其单调性即可得到实数的最小值.【详解】因为不等式有正整数解,所以,于是转化为,显然不是不等式的解,当时,,所以可变形为.令,则,∴函数在上单调递增,在上单调递减,而,所以当时,,故,解得.故选:A.【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法,涉及到对数函数的单调性的应用,构造函数法的应用,导数的应用等,意在考查学生的转化能力,属于中档题.2.A【解析】
在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.3.D【解析】
利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为,,,所以的周期为4,故,故的虚部为2,A错误;在复平面内对应的点为,在第二象限,B错误;的共轭复数为,C错误;,D正确.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识,是一道基础题.4.D【解析】
由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.5.D【解析】
因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.6.D【解析】
根据三视图即可求得几何体表面积,即可解得未知数.【详解】由图可知,该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为,高为的圆柱组合而成.该几何体的表面积为,解得,故选:D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体,以及圆柱和长方体表面积的求解,属综合基础题.7.C【解析】
由三视图还原原几何体,借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图,其中,,为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选:C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图,属于基础题.8.B【解析】
由题意首先确定导函数的符号,然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极大值,当时,;当时,;当时,.时,,时,,当或时,;当时,.故选:【点睛】根据函数取得极大值,判断导函数在极值点附近左侧为正,右侧为负,由正负情况讨论图像可能成立的选项,是判断图像问题常见方法,有一定难度.9.D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.10.A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.11.B【解析】
根据三角函数的两角和差公式得到,进而可以得到函数的最值,区间(m,n)长度要大于等于半个周期,最终得到结果.【详解】函数则函数的最大值为2,存在实数,使得对任意实数总有成立,则区间(m,n)长度要大于等于半个周期,即故答案为:B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用,以及三角函数的图像的性质的应用,题目比较综合.12.A【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角,再结合AB可求,应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用,关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系,利用正余弦定理求解.属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.4【解析】
根据导数的运算,结合数列的通项公式的求法,求得,,,进而得到,再利用放缩法和取整函数的定义,即可求解.【详解】由题意,函数,且,,可得,,又由,可得为常数列,且,数列表示首项为4,公差为2的等差数列,所以,其中数列满足,所以,所以,又由,可得数列的前n项和为,数列的前n项和为,所以数列的前项和为,满足,所以,即,又由表示不超过实数的最大整数,所以.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了函数的导数的计算,以及等差数列的通项公式,累加法求解数列的通项公式,以及裂项法求数列的和的综合应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.14.13【解析】根据题意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件,故得到此时输出的b值为13.故答案为13.15.【解析】
利用递推关系,等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为,所以,因为是等比数列,所以数列的公比为1.又,所以当时,有.这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列,所以,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式,属于简单题目.16.【解析】
过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当和抛物线相切时,的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标,从而求得的最小值.【详解】解:由题意可得,抛物线的焦点,准线方程为,过点作垂直于准线,为垂足,则由抛物线的定义可得,则,为锐角.故当最小时,的值最小.设切点,由的导数为,则的斜率为,求得,可得,,,.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的定义,性质的简单应用,直线的斜率公式,导数的几何意义,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析.(2)【解析】
(1)连接AC1,BC1,结合中位线定理可证MN∥BC1,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1,BC1⊥B1C,即可求证直线MN⊥平面ACB1;(2)作交于点,通过等体积法,设C1到平面B1CM的距离为h,则有,结合几何关系即可求解【详解】(1)证明:连接AC1,BC1,则N∈AC1且N为AC1的中点;∵M是AB的中点.所以:MN∥BC1;∵A1A⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1A⊥AC,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1∥CC,∴AC⊥CC1,∵∠ACB=90°,BC∩CC1=C,BC⊂平面BB1C1C,CC1⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,∴AC⊥BC1;又MN∥BC1∴AC⊥MN,∵CB=C1C=1,∴四边形BB1C1C正方形,∴BC1⊥B1C,∴MN⊥B1C,而AC∩B1C=C,且AC⊂平面ACB1,CB1⊂平面ACB1,∴MN⊥平面ACB1,(2)作交于点,设C1到平面B1CM的距离为h,因为MP,所以•MP,因为CM,B1C;B1M,所以所以:CM•B1M.因为,所以,解得所以点,到平面的距离为【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离,一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直,而点到面的距离常用体积转化来求,属于中档题18.直线与圆C相切.【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系.【详解】直线为参数),转换为直角坐标方程为.圆转换为直角坐标方程为,转换为标准形式为,所以圆心到直线,的距离.直线与圆C相切.【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,直线与圆的位置关系式的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.19.(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函数关系求得,再由求解即可;(2)在中,由正弦定理可得,则,再由求解即可.【详解】解:(1)在中,,所以,所以(2)由(1)可知,所以,在中,因为,所以,因为,所以,所以.【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查正弦定理的应用.20.(1);(2)①证明见解析;②【解析】
(1)由题意焦距为2,设点,代入椭圆,解得,从而四边形的面积,由此能求出椭圆的标准方程.(2)①由题意,联立直线与椭圆的方程,得,推导出,,,,由此猜想:直线过定点,从而能证明,,三点共线,直线过定点.②由题意设,,,,直线,代入椭圆标准方程:,得,推导出,,由此推导出(定值).【详解】(1)由题意焦距为2,可设点,代入椭圆,得,解得,四边形的面积,,,椭圆的标准方程为.(2)①由题意,联立直线与椭圆的方程,得,,解得,从而,,,同理可得,,猜想:直线过定点,下证之:,,,,三点共线,直线过定点.②为定值,理由如下:由题意设,,,,直线,代入椭圆标准方程:,得,,,,(定值).【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线过定点的证明,考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法,考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题.21.(Ⅰ)函数在上单调递减,在单调递增;(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数,通过解关于导数的不等式,从而求出函数的单调区间;(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣ax,先求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性,从而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出数列是以为首项,1为公差的等差数列,,,问题转化为证明:,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.【详解】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),,当时,f′(x)<2,当时,f′(x)>2,所以函数f(x)在上单调递减,在单调递增.(Ⅱ)设,则,因为x≥2,故,(ⅰ)当a≥1时,1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)单调递减,而g(2)=2,所以对所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)当1<a<1时,2<1﹣a<1,若,则g′(x)>2,g(x)单调递增,而g(2)=2,所以当时,g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)当a≤1时,1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)单调递增,而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;综上,a的最小值为1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an•an+1,由a1=1得,an≠2,所以,数列是以为首项,1为公差的等差数列,故,,,⇔,由(Ⅱ)知a=1时,,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因为,所以,故.
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