考研数学（数学二）模拟试卷2（共218题）

考研数学（数学二）模拟试卷2（共9套）（共218题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)＝∫0sinχsint2dt，g(χ)＝χ3＋χ4，当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()。A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为B．2、设f(χ)满足：＝0，χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ且f(χ)二阶连续可导，则()．A、χ＝0为f(χ)的极小值点B、χ＝0为f(χ)的极大值点C、χ＝0不是f(χ)的极值点D、(0，f(0))是y＝f(χ)的拐点标准答案：A知识点解析：由＝0得f(0)＝0，f′(0)＝0．当z≠0时，由χf〞(χ)－χ2f′2(χ)＝1－e-2χ得，f〞(χ)＝χf′2(χ)＋，再由f(χ)二阶连续可导得f〞(0)＝＝2＞0，故χ＝0为f(χ)的极小值点，选A．3、设f(χ)＝，则f(χ)有()．A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点，一个跳跃间断点D、一个可去间断点，一个无穷间断点标准答案：C知识点解析：显然χ＝0，χ＝1为f(χ)的间断点．由f(0＋0)＝f(0－0)＝0，得χ＝0为f(χ)的可去间断点；由f(1－0)≠f(1＋0)，得χ＝1为f(χ)的跳跃间断点，故选C．4、设f(χ，y)＝则f(χ，y)在(0，0)处()．A、不连续B、连续但不可偏导C、可偏导但不可微D、可微分标准答案：C知识点解析：当(χ，y)≠(0，0)时，0≤｜f(χ，y)｜＝｜χ｜.≤｜χ｜，由迫敛定理得f(χ，y)＝0＝f(0，0)，从而f(χ，y)在(0，0)处连续，选项A不对；由＝0得f′χ(0，0)＝0，由＝0得f′y(0，0)＝0，B项不对；令ρ＝，因为不存在，所以f(χ，y)在(0，0)处不可微分，选项D不对，故选C．5、考虑二元函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处的下面四条性质：①连续②可微③f′χ(χ0，y0)与f′y(χ0，y0)存在④f′χ(χ，y)与f′y(χ，y)连续若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：若f(χ，y)一阶连续可偏导，则f(χ，y)在(χ0，y0)处可微，若f(χ，y)在(χ0，y0)处可微，则f(χ，y)在(χ0，y0)处连续，故选B．6、设y＝y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为y(0)＝0，y′(0)＝1，所以由y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ得y〞(0)＝2，从而＝1，故选B．7、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A2～B2，则A～BB、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C、若A，B的特征值相同，则A～BD、若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化标准答案：D知识点解析：由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩阵P1，使得P1-1AP1＝B，即A＝P1BP1-1；因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2，使得P2-1AP2＝，即A＝P2P2-1，于是有P1BP1-1＝P2P2-1，或P2-1P1BP1-1P2＝，取P＝P1-1P2，则P-1BP＝，即B可相似对角化．故选D二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设，则a＝_______，b＝_______．标准答案：a＝1，b＝－2知识点解析：由，即a＝b＋3；由，即a＝－b－1；解得a＝1，b＝－2．9、曲线在t＝0对应点处的法线方程为_______．标准答案：y＝知识点解析：当t＝0时，χ＝3，y＝1，，而＝0，将t＝0代入得＝e，于是切线的斜率为，于是法线为y＝1＝(χ－3)，即法线方程为y＝．10、设y＝y(χ)由＝χ＋1－y确定，则＝_______．标准答案：知识点解析：由得＝χ＋1－y．取χ＝0代入得＝1－y，解得y＝1．＝χ＋1－y两边对χ求导得，从而；两边再对χ求导得，从而．11、＝_______．标准答案：f(χ，y)dχ知识点解析：二重积分的积分区域为D＝{(χ，y)｜1－y≤χ≤1＋y2，0≤y≤1}，则12、微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ满足＝1的特解为_______．标准答案：y＝－3eχ＋3e2χ－2χeχ知识点解析：特征方程为λ2－3λ＋2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝2，y〞－3y′＋2y＝0的通解为y＝C1eχ＋C2e2χ．令原方程的特解为y0(χ)＝Aχeχ，代入原方程为A＝－2，原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e2χ－2χeχ由＝1得y(0)＝0，y′(0)＝1，代入通解得C1＝－3，C2＝3，特解为y＝－3eχ＋3e2χ－2χχ．13、已知三阶方阵A，B满足关系式E＋B＝AB，的三个特征值分别为3，－3，0，则｜B-1＋2E｜＝_______．标准答案：－8知识点解析：因为A的特征值为3，－3，0，所以A－E的特征值为2，－4，－1，从而A－E可逆，由E＋B＝AB得(A－E)B＝E，即B与A－E互为逆阵，则B的特征值为，－1，B-1的特征值为2，－4，－1，从而B-1＋2E的特征值为4，－2，1，于是｜B-1＋2E｜＝－8．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设f(χ)二阶可导，且f(0)＝0，令g(χ)＝(Ⅰ)确定a的取值，使得g(χ)为连续函数；(Ⅱ)求g′(χ)并讨论函数g′(χ)的连续性．标准答案：(Ⅰ)＝f′(0)，当a＝f′(0)时，g(χ)在χ＝0处连续．(Ⅱ)当χ≠0时，g′(χ)＝，当χ＝0时，所以g′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析15、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0≤a＜b≤)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得标准答案：令g(χ)＝－cosχ，g′(χ)＝sinχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得(盘，6)，使得；令h(χ)＝sinχ，h′(χ)＝cosχ≠0(a＜χ＜b)，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得．知识点解析：暂无解析16、设f(χ)连续且f(0)＝0，f′(0)＝2，求极限．标准答案：由∫0χf(χ－t)dt＝－∫0χf(χ－t)d(χ－t)＝－∫χ0f(u)du＝∫0χf(u)du再由得∫0χf(χ－t)dt～χ2，知识点解析：暂无解析17、计算积分χ2y2dχdy，其中D是由直线y＝2，y＝0，χ＝－2及曲线χ＝－了所围成的区域．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜－2≤χ≤0，0≤y≤2}，D2＝{(χ，y)｜－≤χ≤0，0≤y≤2}，知识点解析：暂无解析18、过点P(0，－)作抛物线y＝的切线，该切线与抛物线及χ轴围成的平面区域为D，求该区域分别绕χ轴和y轴旋转而成的体积．标准答案：设切点为(a，)，由，解得a＝3，则切线方程为y＋(χ－0)，即y＝(χ－1)．知识点解析：暂无解析19、求z＝χ2－2y2＋2χ＋4在区域χ2＋4y2≤4上的最小值和最大值．标准答案：当χ2＋4y2＜4时，由，且z(－1，0)＝3；当χ2＋4y2＝4时，令(0≤t≤2π)，则z＝4cos2t一2sin2t＋4cost＋4＝6cos2t＋4cost＋2＝，当cos＝－时，zmin＝；当cost＝1时，zmax＝12，故z＝χ2－2y2＋2χ＋4在χ2＋4y2≤4上的最小值为，最大值为12．知识点解析：暂无解析20、设曲线y＝y(χ)过(0，0)点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在X轴上，已知MP的中点在抛物线2y2＝χ上，求此曲线的方程．标准答案：设M(χ，y)，则法线方程为Y－y＝－(X－χ)．令Y＝0得X＝yy′＋χ，于是P点坐标为(yy′＋χ，0)．MP的中点坐标为，它位于给定的抛物线上，于是有方程y2＝yy′＋2χ，即－2y2＝－4χ，所以y2e-2χ＝2χe-2χ＋e-2χ＋C由y(0)＝0得C＝－1，所求曲线方程为y2＝1＋2χ－e2χ．知识点解析：暂无解析21、设A是三阶实对称矩阵，存在可逆矩阵P＝，使得P-1AP＝，又α＝且A*α＝μα．(Ⅰ)求常数a，b的值及μ．(Ⅱ)求｜A*＋3E｜．标准答案：(Ⅰ)A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1，令显然Aα1＝α1，Aα2＝2α2，Aα3＝－α3，即α1，α2，α3为分别属于λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－1的特征向量，因为A是实对称矩阵，所以解得a＝，b＝－2．A*的特征值为＝2，由α3＝－α得α是矩阵A的属于特征值λ3＝－1的特征向量，从而α是A*的属于特征值2的特征向量，即μ＝2．(Ⅱ)A*＋3E的特征值为1，2，5，则｜A*＋3E｜＝10．知识点解析：暂无解析22、设A为三阶实对称矩阵，且存在正交矩阵Q＝，使得QTAQ＝，又令B＝A2＋2E，求矩阵B．标准答案：由QTAQ＝得A的特征值为λ1＝2，λ2＝－1，λ3＝1，且λ1＝2对应的特征向量为考ξ1＝．由AT＝A得BT＝(A2＋2E)T＝(A2)T＋2E＝A2＋2E＝B，即B为实对称矩阵．显然B的特征值为λ1＝6，λ2＝λ3＝3，且B相应于特征值λ1＝6的特征向量为ξ1＝．设B的相应于λ2＝λ3＝3的特征向量为ξ＝，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以ξ1Tξ＝0，即χ1＋χ2＋χ3＝0，于是B的相应于特征值λ2＝λ3＝3的线性无关的特征向量为ξ2＝．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则()A、f(x)在x=0处连续，但未必可导。B、f(x)在x=0处极限存在，但未必连续。C、f(x)在x=0处可导，且f’(x)=a。D、以上结论均不正确。标准答案：D知识点解析：在求解本题时，考生需要将f(x)在x=0处的左、右导数f－’(0)，f+’(0)和f’(x)在x=0处的左、右极限区分开来。由只能得出但不能保证f(x)在x=0处可导、连续、极限存在。故本题选D。2、设则A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：方法一：函数z=f(x，y)关于y求偏导得将点(0，1)代入上式得方法二：将x=0代入函数z=f(x，y)，得z=f(0，y)=2y，于是故本题选B。3、曲线的渐近线条数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：因为所以x=0是曲线的1条垂直渐近线。因为所以曲线不存在水平渐近线。设曲线的斜渐近线为y=kx+b，则所以y=x+1是曲线的1条斜渐近线；又因为所以y=－x－1是曲线的1条斜渐近线。综上，曲线一共有3条渐近线。故本题选D。4、设f(x)是(－∞，+∞)上的连续偶函数，且|f(x)|≤m，则是(－∞，+∞)上的()A、有界奇函数。B、有界偶函数。C、无界奇函数。D、无界偶函数。标准答案：B知识点解析：首先讨论函数F(x)的奇偶性：对任意的x∈(－∞，+∞)，有令t=－u，得所以F(x)是(－∞，+∞)上的偶函数。其次讨论函数F(－x)的有界性：因为F(x)是(－∞，+∞)上的偶函数，所以我们可以只讨论x≥0时，函数F(x)的有界性。由于所以F(x)是(－∞，+∞)上的有界函数。故本题选B。5、设在[1，2]上f"(x)＞0，则f’(1)，f’(2)，f(2)－f(1)或f(1)－f(2)的大小关系为()A、f’(2)＞f’(1)＞f(2)-f(1)。B、f’(2)＞f(2)-f(1)＞f’(1)。C、f((1)-f(2)＞f’(2)＞f’(1)。D、f’(2)＞f(1)-f(2)＞f’(1)。标准答案：B知识点解析：由已知f"(x)＞0，x∈[1，2]，可得函数f’(x)在区间[1，2]上单调递增。由拉格朗日中值定理得f(2)-f(1)=f’(ξ)，ξ∈(1，2)。因此f’(1)＜f’(ξ)＜f’(2)，即有f’(1)＜f(2)-f(1)＜f’(2)。故本题选B。6、曲线y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)与x轴所围成的图形的面积可表示为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当0≤x≤π，2π≤x≤3π时，y=(x2+1)sinx≥0；当π≤x≤2π时，y=(x2+1)sinx≤0。所以曲线y=(x2+1)sinx(0≤x≤3π)与x轴所围成的图形的面积为故本题选D。7、设n阶方阵A，B，C满足关系式ABC=E，其中E为n阶单位阵，则必有()A、ACB=E。B、BAC=E。C、CAB=E。D、CBA=E。标准答案：C知识点解析：由ABC=E可知A(BC)=E或(AB)C=E，因此矩阵A与矩阵BC、矩阵AB与矩阵C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E。故本题选C。8、若三阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1，2，－2，B*是矩阵B的伴随矩阵，则行列式A、8B、－8C、1D、－1标准答案：B知识点解析：由矩阵A的特征值为1，2，－2及|A|=|AT|得，|AT|=－4。因为相似矩阵有相同的特征值，所以矩阵B的特征值为1，2，－2，则|B|=－4。所以故本题选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线的渐近线为________________。标准答案：x=0和知识点解析：曲线的可能间断点为x=0，则所以x=0为曲线的垂直渐近线。因为所以为曲线的斜渐近线。又因为所以曲线无水平渐近线。10、与曲线(y－2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)的切线垂直的直线方程为______________。标准答案：知识点解析：曲线方程(y－2)2=x对x求导得2(y－2))y’=1，即当y=3时，即曲线在(1，3)处的法线斜率为－2。因为所求直线与曲线在点(1，3)的法线平行，所以直线斜率为解得则所求直线方程与曲线的切点为因此所求直线方程为即11、已知凹曲线y=f(x)在曲线上的任意一点(x，f(x))处的曲率为且f(0)=0,f’(0)=0，则f(x)=______________。标准答案：知识点解析：根据曲率公式因为函数y=f(x)为凹曲线，所以f"(x)＞0，则有微分方程令f’(x)=p，则解微分方程可得12、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(xy，y)，则标准答案：f1’+xyf11"+yf12"知识点解析：因为所以13、设函数f(x，y)连续，则交换积分次序标准答案：知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D，如右图阴影部分所示，则有交换积分次序14、设A是一个n阶矩阵，且A2－2A－8E=O，则r(4E－A)+r(2E+A)=___________。标准答案：n知识点解析：已知A2-2A－8E=O，所以(4E－A)(2E+A)=O。根据矩阵秩的性质可知r(4E－A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E－A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E－A)+r(2E+A)=n。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、求极限标准答案：对极限式先通分，然后再利用麦克劳林公式展开得知识点解析：暂无解析16、证明不等式3x＜tanx+2sinx，标准答案：设则有f’(x)=sec2x+2cosx－3，f"(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec3x－1)，由于当时，sinx＞0，sec3x－1＞0，所以f"(x)＞0，所以函数f’(x)=sec2x+2cosx－3为增函数，且f’(0)=0，因此当时，f’(x)＞0，所以f(x)=tanx+2sinx－3x为增函数，f(x)=tanx+2sinx－3x＞f(0)=0，即有知识点解析：暂无解析17、设函数z=x(x，y)具有二阶连续导数，变量代换u=ax+y，v=x+by把方程化为求ab。标准答案：对函数z=z(x，y)求偏导数得所以由题意得解得所以ab=－1。知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x=1是f(x)的极值点，且证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0。标准答案：由于x=1是f(x)的极值点，所以f’(1)=0。因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在使得即有又因为f(x)在上连续，在内可导，所以由罗尔定理可知，存在使得f’(ζ)=0。再由f’(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)内可导，且f’(ζ)=f’(1)=0可知，存在ξ∈(ζ，1)(0，1)，使得f"(ξ)=0。知识点解析：暂无解析19、求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。标准答案：由于所给的区域D是闭区域，故先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)|x2+y2＜1)的极值，这属于无条件极值，解线性方程组所以x=0，y=0。在(0，0)点，有fxx"=2＞0，fxy"=1，fyy"=2，所以fxx"fyy"－(fxy")2＞0，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。然后考虑函数f(x，y)在区域D边界{(x，y)|x2+y2=1)的极值，这属于条件极值，构造如下的拉格朗日函数L(x，y，λ)=x2+xy+y2－λ(x2+y2－1)，对上式求偏导得如下方程组将上述方程组化简得4λ2－8λ+3=0．解得当时，x=－y，当时，x=y，因为连续函数在闭区间上必可取得最大值和最小值，所以f(x，y)在边界上的最大值为最小值为综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为最小值为0。知识点解析：暂无解析20、计算二重积分其中D是由直线y=1、曲线y=x2(x≥0)以及y轴所围成的区域。标准答案：二重积分的积分区域D如下图阴影部分所示。其中，被积函数xe－(1－x2)2适合先y后x的积分次序，被积函数xe－y2适合先x后y的积分次序，则令t=1－x2，则同理可得因此知识点解析：暂无解析21、设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：方法一：y(x)=e－2xf(x，x)对x求导得y’=－2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=－2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=－2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，因为f’u(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，因此y’=－2y+x2e－2x，即y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得其中C为任意常数。方法二：由y(x)=e－2xf(x，x)得f(x，x)=e2xy(x)，因为fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，即将其代入f(x，x)=e2xy(x)有[e2xy(x)]’=x2，即2e2xy(x)+e2xy’(x)=x2，化简得y’(x)+2y(x)=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析22、设X是三阶矩阵。求当a为何值时，方程AX－B=BX无解；当a为何值时，方程AX－B=BX有解，有解时，求出全部解。标准答案：由题意得，矩阵方程为(A－B)X=B，且将矩阵B和X写成分块矩阵(按列分)的形式，则B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，所以矩阵方程为(A－B)X=(A－B)(x1，x2，x3)=(β1，β2，β3)，则有(A－B)xi=βi，i=1，2，3。对增广矩阵(A－B，B)作初等行变换当a=3时，r(A－B)=2，r(A－B，B)=3，则r(A－B)＜r(A－B，B)，此时方程AX—B=BX无解。当a≠3时，r(A－B)=r(A－B，B)=3，此时方程AX－B=BX有唯一解。(A－B)x1=β1的解为(A－B)x2=β2的解为(A－B)x3=β3的解为综上，方程AX－B=BX的解为知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。23、求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；标准答案：由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b，所以b=－1。由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而所以a=－1。由(A－λE)x=0得，特征值为λ1=λ2=2，λ3=－1，对应的特征向量分别为α1=(1，0，－1)T，α2=(0，1，－1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化得再将β1，β2，α3单位化得则正交变换矩阵知识点解析：暂无解析24、求f在xTx=3下的最大值。标准答案：二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+2y22－y32。条件xTx=3等价于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此时f=2y12+2y22－y32=6－3y32的最大值为6，所以f在xTx－3下的最大值为6。知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数f(x)=的可去间断点个数为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因为f(0－0)≠f(0+0)，所以x=0为跳跃间断点；因为f(2－0)=0，f(2+0)=－∞，所以x=2为第二类间断点；故f(x)有两个可去间断点，应选(C)．2、设f(x)满足：=0，xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x且f(x)二阶连续可导，则()．A、x=0为f(x)的极小值点B、x=0为f(x)的极大值点C、x=0不是f(x)的极值点D、(0，f(0))是y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由=0得f(0)=0，f’(0)=0．当x≠0时，由xf"(x)－x2f’2(x)=1－e－2x得f"(x)=xf’2(x)+再由f(x)二阶连续可导得故x=0为f(x)的极小值点，选(A)．3、设f(x)连续，且f(0)=0，f’(0)=3，D={(x，y)｜x2+y2≤t2，t＞0}，且～atb(t→0+)，则()．A、a=1，b=3B、a=π，b=3C、a=1，b=2D、a=π，b=2标准答案：B知识点解析：4、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、不连续B、连续但不可偏导C、可偏导但不可微D、可微分标准答案：C知识点解析：当(x，y)≠(0，0)时，0≤｜f(x，y)｜=≤｜x｜，由迫敛定理得=0=f(0，0)，从而f(x，y)在(0，0)处连续，(A)不对；5、考虑二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处的下面四条性质：①连续②可微③f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)存在④f’x(x，y)与f’y(x，y)连续若用“P=>Q”表示可由性质P推出性质Q，则有()．A、②=>③=>①B、④=>②=>①C、②=>④=>①D、④=>③=>②标准答案：B知识点解析：若f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)在(x0，y0)处可微，若f(x，y)在(x0，y0)处可微，则f(x，y)在(x0，y0)处连续，选(B)．6、设y=y(x)是微分方程y"+(x－1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为y(0)=0，y’(0)=1，所以由y"+(x－1)y’+x2y=ex得y"(0)=2，7、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A2～B2，则A～BB、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C、若A，B的特征值相同，则A～BD、若A～B，且A可相似对角化，则B可相似对角化标准答案：D知识点解析：由A～B得A，B的特征值相同，设为λ1，λ2，…，λn，且存在可逆矩阵P1，使得P1－1AP1=B，即A=P1BP1－1；因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2，使得P2－1AP2=8、设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、设r(A)=r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零B、设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值C、设A为对称矩阵，A2=2A，r(A)=r，则A有r个特征值为2，其余全为零D、设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同标准答案：C知识点解析：取A=，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)=2，(A)不对；设A=，显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；选(C)．事实上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)=r得A的特征值中有r个2，其余全部为零．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、极限=________．标准答案：知识点解析：10、设f(x)=exsin2x，则f(4)(0)=________．标准答案：-24知识点解析：11、=________．标准答案：知识点解析：12、y=y(x)由确定，则=________．标准答案：2(e－2－e－1)知识点解析：13、若f(x)=2nx(1－x)n，记Mn=，则=________．标准答案：知识点解析：令f’(x)=2n(1－x)n－2n2x(1－x)n－1=0，得x=，由f(0)=f(1)=0，14、设A=，且ABAT=E+2BAT，则B=________．标准答案：知识点解析：由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)－1AT+2BAT，因为AT可逆，所以AB=(AT)－1+2B或B=(A－2E)－1(AT)－1=[AT(A－2E)]－1，解得B=三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．标准答案：令φ(x)=[∫0xf(t)dt]2－∫0xf3(t)dt，φ(0)=0，φ’(x)=2f(x)∫0xf(t)dt－f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt－f2(x)]．再令h(x)=2∫0xf(t)dt－f2(x)，h(0)=0，h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]．由f(0)=0，0＜f’(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，则h’(x)=2f(x)[1－f’(x)]＞0(0＜x≤1)，于是φ(1)＞0，即[∫01f(x)dx]2＞∫01f3(x)dx．知识点解析：暂无解析16、设抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)，其中a＜0，确定a，b，c，使抛物线与x轴所围成的面积最小．标准答案：由抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2－a，c=0．因为a＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，x2=＞0．令S’(a)=0得a=－4，从而b=6，故a=－4，b=6，C=0．知识点解析：暂无解析17、设f(u)二阶连续可导，z=f(exsiny)，且=e2xz+e3xsiny，求f(x)．标准答案：由=e2xz+e3xsiny得e2xf"(exsiny)=e2xz+e3xsiny，或f"－f=exsiny，于是有f"(x)－f(x)=x．显然f(x)=C1e－x+C2ex－x．知识点解析：暂无解析18、设L：+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与曲线所围成面积的最小值．标准答案：首先求切线与坐标轴围成的面积．设M(x，y)∈L，过点M的L的切线方程+yY=1．令Y=0，得x=，切线与X轴的交点为P(，0)；令X=0，得Y=，切线与y轴交点为Q(0，)，切线与椭圆围成的图形面积为S(x，y)=其次求最优解．设F(x，y，λ)=xy+λ(+y2－1)，知识点解析：暂无解析19、已知微分方程=(y－x)z，作变换u=x2+y2，v=，w=lnz－(x+y)，其中w=w(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于w，u，v的微分方程的形式．标准答案：w=lnz－(x+y)两边关于x求偏导得w=lnz－(x+y)两边关于y求偏导得知识点解析：暂无解析20、计算二重积分，其中区域D是由直线x=－2，y=0，y=2及曲线x=所围成的平面区域．标准答案：设曲线x=与y轴围成的平面区域为D0，知识点解析：暂无解析21、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状．若它在进入大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多长时间?标准答案：设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，知识点解析：暂无解析22、设，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．标准答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即当a=1，b=2，c=－2时，矩阵方程有解，知识点解析：暂无解析23、设A为三阶实对称矩阵，若存在三阶正交矩阵Q=，使得二次型XTAX－y12+2y22+by32(b＞0)，且｜A*｜=16．(Ⅰ)求常数a，b；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(Ⅰ)A的特征值为λ1=－1，λ2=2，λ3=b，因为不同特征值对应的特征向量正交，所以a=－1．｜A｜=－2b，由｜A*｜=｜A｜2得b=2．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数则x=0是f(x)的()A、振荡间断点。B、跳跃间断点。C、可去间断点。D、无穷间断点。标准答案：B知识点解析：由已知得，当x＞0时，当x＜0时，因为函数f(x)在x=0点的左、右极限存在但不相等，所以x=0为f(x)的跳跃间断点。故本题选B。2、设f(x)有一个原函数则A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意可得所以故本题选A。3、若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内()A、有极值点，无零点。B、无极值点，有零点。C、有极值点，有零点。D、无极值点，无零点。标准答案：B知识点解析：由已知得f(x)为凸函数，因此f"(x)＜0。对曲率圆x2+y2=2关于x求导得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲线在点(1，1)处的曲率为所以f"(1)=－2。在闭区间[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以在区间(1，2)内无极值点。由拉格朗日中值定理知，在区间(1，2)内至少存在一点ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因为f(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零点定理知，在区间(1，2)内至少有函数f(x)的一个零点。故本题选B。4、设则F(x)在x=0处()A、极限存在但不连续。B、连续但不可导。C、可导。D、可导性与a值有关。标准答案：D知识点解析：当x≤0时，当x＞0时，因为所以F(x)在x=0处连续。而所以F(x)在x=0处的可导性与a值有关。故本题选D。5、已知当x→时，arcsinx－arctanax与bx[x－ln(1+x)]是等价无穷小，则ab=()A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：根据等价无穷小的定义有所以则a=1，b=1，因此ab=1。故本题选B。6、方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y"－3y’+2y=0对应的特征方程为λ2－3λ+2=0．特征根为λ1=1，λ2=2，则方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故本题选D。7、向量组α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，－1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的一个极大线性无关组是()A、α1，α2，α5。B、α1，α3，α5。C、α2，α3，α4。D、α3，α4，α5。标准答案：C知识点解析：对α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵作初等行变换可见r(α1，α2，α3，α4，α5)=3。由上述矩阵可知，三个非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4为向量组的一个极大无关组。选项中无此答案，现结合选项来看，由于上述矩阵的第3列和第5列成比例，所以α3，α5线性相关，即同时包含α3，α5的选项错误，故排除B、D。又因为上述矩阵的第3行的非零元只有1个，且在第4列，所以α4必在极大无关组中，故本题选C。实际上，对于C项，上述矩阵对应的三阶子式所以α2，α3，α4是向量组的一个极大线性无关组。8、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A与B相似，则下列命题中正确的个数为()①AB与BA相似；②A2与B2相似；③AT与BT相似；④A－1与B－1相似。A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，则有A2与B2相似，AT与BT相似，A－1与B-1相似。又因为A可逆，所以A－1(AB)A=BA，即AB与BA相似。故本题选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)为可导的偶函数，且满足则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))的切线方程为___________。标准答案：y=4(x+1)知识点解析：因为所以即因为f(x)为偶函数，所以f(－1)=0。根据可得所以f’(1)=－4。因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，则f’(1)=-f’(－1)=－4，即f’(－1)=4，因此所求切线方程为y=4(x+1)。10、设则f(x)的不可导点为___________。标准答案：x=3知识点解析：函数可化为显然函数在x=3处不可导。11、设则标准答案：知识点解析：因为所以12、函数f(x，y)=ax2+bxy2+2y在点(1，－1)取得极值，则ab=___________。标准答案：知识点解析：函数f(x，y)=ax2+bxy2+y分别对x，y求偏导，得因为函数f(x，y)=ax2+bxy2+2y在点(1，－1)取得极值，所以则因此13、标准答案：知识点解析：本题先对y积分较困难，而先对x积分可以应用凑微分法，因此先交换积分次序得求解上述积分得14、设α1=(2，1，1)T，α2=(－1，2，7)T，α3=(1，－1，－4)T，若β1=(1，2，t+1)2可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(t，1，0)2不可以由α1，α2，α3线性表示，则t=__________。标准答案：4知识点解析：根据题意，β1可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解；β2不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解。由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即所以当t=4时，方程组x1α1+x2α2+3α3=β1有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故t=4。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、求不定积分标准答案：令则所以又因为所以知识点解析：暂无解析16、计算二重积分其中D是由x轴、y轴与曲线围成的区域，a＞0，b＞0。标准答案：积分区域如图中阴影部分所示。因此令则x=a(1－t)2，dx=－2a(1－t)dt，所以知识点解析：暂无解析17、设函数y=y(x)由参数方程确定，求函数y=y(x)的极值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。标准答案：因为令得t=±1。当t=1时，当t=－1时，x=－1，y=1。令得t=0，此时，列表如下由上表可知，函数y=y(x)的极大值为y(－1)=1，极小值为曲线y=y(x)的凹区间为凸区间为曲线y=y(x)的拐点为知识点解析：暂无解析18、对任意的x，y有用变量代换将f(x，y)变换成g(u，v)，试求满足的常数a，b。标准答案：由题意得因为(f1’)2+(f2’)2=4，所以(f2’)2=4－(f1’)2，则有(a+b)(v2－u2)(f1’)2+2uv(a+b)f1’f2’+4au2－4bv2=u2+v2。因此(a+b)=0，4a=1，4b=－1，所以知识点解析：暂无解析19、设函数数列{xn}满足证明存在，并求此极限。标准答案：令则x=1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。因此x=1是f(x)唯一的最小值点，且f(x)≥f(1)=1，从而有所以因此xn＜xn+1且0＜xn＜e，即数列{xn}单调递增且有界。由单调收敛定理知，极限存在。令则而所以由上述f(x)的性质可知知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式20、求导数f’(x)；标准答案：由题意得上式两边同时对x求导得(x+1)f"(x)=－(x+2)f’(x)，即有上式两边同时积分得ln|f’(x)|=－x－ln(x+1)+C1，所以令x=0，则又因为f(0)=1，所以f’(0)=－1，将其代入f’(x)的表达式得，C=－1，因此知识点解析：暂无解析21、证明当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。标准答案：方法一：由上题中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，f’(x)在[0，+∞)上单调递减，又因为f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)－e－x，则φ(0)=0，当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)在[0，+∞)上单调递增。因而φ(x)≥φ(0)=0，即f(x)≥e－x。综上所述，当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1恒成立。方法二：因为将f’(x)代入得当x≥0时，所以e－x≤f(x)≤1。知识点解析：暂无解析已知函数y=f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明：22、存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1－ξ；标准答案：令F(x)=f(x)－1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=－1＜0，F(1)=1＞0，故由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1－ξ。知识点解析：暂无解析23、在(0，1)内存在两个不同的点η，ζ，使得f’(η)f’(ζ)=1。标准答案：在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，则存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得于是知识点解析：暂无解析已知A，B是三阶非零矩阵，且β1=(0，1，－1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。24、求a，b的值；标准答案：由B≠O，且β1，β2，β3是齐次线性方程组Bx=0的三个解向量可知，向量组β1，β2，β3必线性相关，则有解得a=36。由Ax=β3有解可知，线性方程组Ax=β3的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等变换得所以b=－4，a=3b=－12。知识点解析：暂无解析25、求Bx=0的通解。标准答案：因为B≠O，所以r(B)≥1，则3－r(B)≤2。又因为β1，β2是Bx=0的两个线性无关的解向量，故3－r(B)≥2，故r(B)=1，所以β1，β2是Bx=0的一个基础解系，于是Bx=0的通解为x=k1β1+k2β2，其中k1，k2为任意常数。知识点解析：暂无解析设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=－2α1－4α3，Aα2=α1+2α2+α3，Aα3=α1+3α3。26、求矩阵A的特征值；标准答案：由已知得记P1=(α1，α2，α3)，则有AP1=P1B。由于α1，α2，α3线性无关，则矩阵P1。可逆，所以P1－1AP1=B，因此矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B的特征值为2，2，－1，故矩阵A的特征值为2，2，－1。知识点解析：暂无解析27、求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。标准答案：由(B－2E)x=0可得，矩阵B对应于特征值λ=2的特征向量为β1=(0，1，－1)T，β2=(1，O，4)T；由(B+E)x=0可得，矩阵B对应于特征值λ=－1的特征向量为β3=(1，0，1)T。令则所以即当时，有知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(u)为u的连续函数，并设f(0)=a>0，又设平面区域σt={(x，y)||x|+|y|≤t，t≥0}，Ф(t)=f(x2+y2)dxdy．则Ф(t)在t=0处的右导数Ф+(0)=()A、a．B、2πa．C、πa．D、0．标准答案：D知识点解析：令Dt={(x，y)|x2+y2≤t2)，于是由于f(u)连续且f(0)=a>0，所以存在T>0，当0＜t2＜T时，此外，关于3块区域，显然有此外显然有Ф(0)=0．于是有令t→0+取极限，右边由夹逼定理有即Фˊ+(0)=0．2、微分方程y″－2yˊ+y=ex的特解形式为()A、y*=Aex(A≠0)．B、y*=(A+Bx)ex(B≠0)．C、y*=(A+Bx+Cx2)ex(C≠0)．D、y*=(A+Bx+Cx2+Dx3)ex(D≠0)．标准答案：C知识点解析：因为方程右边ex指数上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A≠0)，即C中C≠0的形式．故应选C．3、设f(x)在x=a处可导，则|f(x)|在x=a处不可导的充分必要条件是()A、f(a)=0，fˊ(a)=0．B、f(a)=0，fˊ(a)≠0．C、f(a)≠0，fˊ(a)=0．D、f(a)≠0，fˊ(a)≠0．标准答案：B知识点解析：若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，当x∈U(a)时，若f(a)>0，则|f(x)|=f(x)；若f(a)<0，则|(x)|=－f(x)．总之，若f(a)≠0，|f(x)|在x=a处总可导．若f(a)=0，则从而知其中x→a+时取“+”，x→a时取“－”，所以f(a)=0时，|f(x)|在x=a处可导的充要条件为|fˊ(a)|=0，即fˊ(a)=0．所以当且仅当f(a)=0，fˊ(a)≠0时，|f(x)|在x=a处不可导．选B．4、(－∞，+∞)内零点的个数为()A、0．B、1．C、2．D、无穷多．标准答案：C知识点解析：f(x)为偶函数，f(0)<0，，所以在区间内至少有1个零点，当x>0时，所以在区间(0，+∞)内f(x)至多有1个零点，故在区间(0，+∞)内f(x)有且仅有1个零点，所以在区间(－∞，+∞)内f(x)有且仅有2个零点．选C．5、考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在[a，b]上可积；③f(x))在[a，b]上可导；④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P=>Q表示由性质P可推出性质Q，则有()A、①=>②=>③．B、③=>①=>④．C、①=>②=>④．D、④=>①=>③．标准答案：B知识点解析：因可导必连续．连续函数必存在原函数，故B正确．A是不正确的．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=|x|在[－1，1]上可积，且∫－11|x|dx=2∫01xdx=1，但|x|在x=0处不可导．C是不正确的．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如在[－1，1]上可积，且∫－11f(x)dx=∫－10(－1)dx+∫011dx=－x|－10+x01=－1+1=0．但f(x)在[－1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=|x|+C的形式，而此函数在x=0处不可导，在区间[－1，1]上它没有做原函数的“资格”．D是不正确的．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：它存在原函数可以验证Fˊ(x)=f(x)，但f(x)在x=0处并不连续，即存在原函数可以不连续．6、设当x>0时，f(x)连续且严格单调递增，F(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt，则F(x)在x>0时()A、没有驻点．B、有唯一驻点且为极大值点．C、有唯一驻点且为极小值点．D、有唯一驻点但不是极值点．标准答案：A知识点解析：F(x)=∫0x(2t－x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt－x∫0xf(t)dt，Fˊ(x)=2xf(x)－xf(x)－∫0xf(t)dt=xf(x)－∫0xf(t)dt=∫0x[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)严格单调增加，可知当t∈(0，x)时，f(x)>f(t)，故当x>0时，Fˊ(x)=∫0x[f(x)－f(t)]dt>0，也即F(x)在x>0时没有驻点．故应选A．7、设A，B均是4阶方阵，且r(A)=3，A*，B*是矩阵A，B的伴随矩阵，则矩阵方程A*X=B*一定有解的充要条件是()A、r(B)≤1．B、r(B)≤2．C、r(B)≤3．D、r(B)≤4．标准答案：B知识点解析：由题设条件知，r(A)=3，则r(A*)=1．而当r(B*)=1时，有可能r(A*┊B*)=2．如则r(A*)≠r(A*┊B*)=>A*X=B*无解．故r(B*)=0，此时r(B)≤2，有r(A*)=r(A*┊B*)=1〈=〉A*X=B*有解．8、设．则存在初等矩阵使得B=()A、P1P2A．B、P2P1A．C、AP1P2．D、AP2P1．标准答案：A知识点解析：B是上三角阵，应作初等行变换将A中下三角元素a21=－1，a32=2消为0，故故选A．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设ak=∫01x2(1－x)kdx，则______．标准答案：知识点解析：10、设常数a>0．由方程组确定的满足y(a)=a，z(a)=a的函数组为y=y(x)，z=z(x)，则yˊ(a)=______，zˊ(a)=______．标准答案：－1，0知识点解析：方程两边对x求导，得yz+xyˊz+xyzˊ=0及x+yyˊ=azˊ．将(x，y，z)=(a，a，a)代入得yˊ(a)+zˊ(a)=－1，yˊ(a)－zˊ(a)=－1．解得yˊ(a)=－1，zˊ(a)=0．11、设f(u)在u=1的某邻域内有定义且f(1)=0，______．标准答案：知识点解析：式中(*)表示等价无穷小替换．12、______．标准答案：知识点解析：积分区域如图所示，并用极坐标表示，得13、微分方程yy″+(yˊ)2=yyˊ满足初始条件y|x=0=1，yˊ|x=0=的特解是______．标准答案：知识点解析：此为缺x的可降阶二阶方程．令方程yy″+(yˊ)2=yyˊ化为分解成p=0与不满足初始条件．解第二个方程，此为p关于y的一阶线性微分方程，变形为再将y|x=0=1代入，得C2=0．故解得．14、设n维(n≥3)向量组α1，α2，α3线性无关，若向量组lα1－α1，mα3－2α2，α1－3α3线性相关，则m，l应满足条件______．标准答案：lm=6知识点解析：α1，α2，α3线性无关〈=〉r(α1，α2，α3)=3．lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3线性相关〈=〉r(lα2－α1，mα3－2α2，α1－3α3)≤2〈=〉r(C)≤2〈=〉|C|=lm－6=0〈=〉lm=6．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设，常数a>0，b>0，a≠b．求二重积分I=[(x－1)2+(2y+3)2]dσ．标准答案：其中知识点解析：暂无解析16、已知f(u)有二阶连续导数，且在x>0时满足．求z的表达式．标准答案：由整理得(1+u2)f″+2ufˊ=0，其中，f中的自变量为u，解上述方程，得其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在区间(0，+∞)上连续，且严格单调增加．试求证：在区间(0，+∞)上也严格单调增加．标准答案：对第1个积分作变量代换，令则不论哪种情形，总有Fˊ(x)>0(当x>0且x≠1)．此外易知Fˊ(1)=0．所以当0＜x＜+∞时，F(x)严格单调增加．知识点解析：暂无解析18、设平面区域D用极坐标表示为D={(r，θ)|cosθ≤r≤cosθ，sinθ≤r≤sinθ}．求二重积分标准答案：如图所示D为阴影部分，为清楚起见，4个圆只画出有关的4个半圆．D关于直线y=x对称，被积函数也关于y=x对称．交点A，B，C的直角坐标分别为则知识点解析：暂无解析19、设0＜x＜1，证明：标准答案：等价于证明当0＜x＜1时，经计算，F(1)=0，又从而知，当0＜x＜1时，φ(x)＜0，即有F″(x)＜0．因Fˊ(1)=0，所以当0＜x＜1时，Fˊ(x)>0．又因F(1)=0，所以当0＜x＜时，F(x)＜0．证毕．知识点解析：暂无解析20、设三角形三边的长分别为a，b，c，此三角形的面积为S．求此三角形内的点到三边距离乘积的最大值，并求出这三个相应的距离．标准答案：设P为三角形内的任意一点，该点到边长分别为a，b，c的边的距离分别为x，y，z，由三角形的面积公式有求f=xyz在约束条件ax+by+cz－2S=0下的最大值，令W=xyz+λ(ax+by+cz－2S)，由拉格朗日乘数法，令解得唯一驻点为．显然，当P位于三角形的边界上时，f=0，为最小值；当P位于三角形内部时，f存在最大值，由于驻点唯一，故当知识点解析：暂无解析设f(x)在闭区间[a，b]上连续，常数k>0．并设φ(x)=∫xbf(t)dt－k∫axf(t)dt，证明：21、存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0；标准答案：由题设易知φ(a)=∫abf(t)dt，φ(b)=－k∫abf(t)dt，φ(a)φ(b)=－k[∫abf(t)dt]2≤0．如果∫ab=0，则φ(a)φ(b)=0．取ξ=a或ξ=b，使φ(ξ)=0．如果∫abf(t)dt≠0，则φ(a)φ(b)<0，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0．综上，存在ξ∈[a，b]使φ(ξ)=0．知识点解析：暂无解析22、若增设条件f(x)≠0，则(I)中的ξ是唯一的，并且必定有ξ∈(a，b)．标准答案：若增设条件f(x)≠0，则φˊ(x)=－f(x)－kf(x)=－(k+1)f(x)≠0．由于f(x)连续且f(x)≠0，所以f(x)>0或者f(x)<0，所以φ(x)在[a，b]上严格单调，则φ(x)至多有一个零点，又由上一题知φ(a)φ(b)<0，则上一题中的ξ是唯一的．且ξ∈(a，b)．知识点解析：暂无解析23、设方程组有通解k1ξ1+k2ξ2=k1(1，2，1，－1)T+k2(0，－1，－3，2)T．方程组有通解λ1η1+λ2η2=λ1(2，－1，－6，1)T+λ2(－1，2，4，a+8)T．已知方程组有非零解，试确定参数α的值，并求该非零解．标准答案：方程组(***)有非零解，即方程组(*)，方程组(**)有非零公共解，设为β，则β属于方程组(*)的通解，也属于方程组(**)的通解，即β=k1ξ1+k2ξ2=λ1η1+λ2η2，其中k1，k2不全为零，且λ1，λ2不全为零．得k1ξ1+k2ξ2－λ1η1－λ2η2，(*ˊ)(*ˊ)式有非零解〈=〉r(ξ1，ξ2，－η1，－η2)<4．对(ξ1，ξ2，－η1，－η2)作初等行变换，故当a=－8时，方程组(***)有非零解．当a=－8时，方程组(*ˊ)的系数矩阵经初等行变换化为方程组(*ˊ)的非零公共解为其中k是任意非零常数．知识点解析：暂无解析A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3．24、问ξ1+ξ2是否是A的特征向量?说明理由；标准答案：ξ1+ξ2仍是A的对应于λ1=λ2=2的特征向量．因已知Aξ1=2ξ1，Aξ2=2ξ2，故A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=2ξ1+2ξ2=2(ξ1+ξ2)．知识点解析：暂无解析25、ξ2+ξ3是否是A的特征向量?说明理由；标准答案：ξ2+ξ3不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有A(ξ2+ξ3)=μ(ξ2+ξ3)，得2ξ2－2ξ3－μξ2－μξ3=(2－μ)ξ2－(2+μ)ξ3=0，因2－μ和2+μ不同时为零，故ξ2，ξ3线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故ξ2，ξ3不是A的特征向量．知识点解析：暂无解析26、证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．标准答案：因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ2=4．对应的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E，从而对任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意三维非零向量β都是A2的对应于μ=4的特征向量．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f"(x)在x=0处连续，且=1，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)非f(x)的极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=1得f"(0)=0，由极限保号性可知，存在1＞δ＞0，当｜x｜＜δ时，＞0．当x∈(－δ，0)时，因为ln(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，因为ln(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))为y=f(x)的拐点，选(C)．2、设y=x3+3ax2+3bx+c在x=－1处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则()．A、a=1，b=－1，c=3B、a=0，b=－1，c=3C、a=－1，b=1，c=3D、a=1，b=1，c=3标准答案：B知识点解析：y’=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，则有解得a=0，b=－1，c=3，选(B)．3、设z=xy+，其中F为可微函数，则为()．A、z－xyB、z+xyC、z－2xyD、z+2xy标准答案：B知识点解析：由得=xy+xF－yF’+xy+yF’=2xy+xF=2xy+z－xy=z+xy，选(B)．4、设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在D上连续，在D内可偏导且满足=－z，若f(x，y)在D内没有零点，则f(x，y)在D上()．A、最大值和最小值只能在边界上取到B、最大值和最小值只能在区域内部取到C、有最小值无最大值D、有最大值无最小值标准答案：A知识点解析：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上一定取到最大值与最小值，不妨设f(x，y)在D上的最大值M在D内的点(x0，y0)处取到，即f(x0，y0)=M≠0，此时，这与=－z≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x，y)在D上的最小值优不可能在D内取到，选(A)．5、曲线y=x2与y=所围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x，则该微分方程为()．A、y’’’－y"－y’+y=0B、y’’’+y"－y’－y=0C、y’’’+2y"－y’－2y=0D、y’’’－2y"－y’+2y=0标准答案：A知识点解析：因为y1=ex，y2=2xex，y3=3e－x为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为λ1=λ2=1，λ3=－1，其对应的特征方程为(λ－1)2(λ+1)=0，即λ3－λ2－λ+1=0，则微分方程为y’’’－y"－y’+y=0，选(A)．7、设四阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1－α2+α3，则r(A*)为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由α1，α2，α3线性无关，α4=2α1－α2+α3得向量组的秩为3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，选(B)．8、设三阶矩阵A的特征值为－1，－1，3，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α1+α2，α1－α2，2α3)，则P－1A*P=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：｜A｜=3，A*的特征值为－3，－3，1，显然α1，α2，α3也为A*的线性无关的特征向量，且2α1+α2，α1－α2，2α3为A*的线性无关的特征向量，故应选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、过曲线y=(x≥0)上的一点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面区域的面积为，所围区域绕x轴旋转一周而成的体积为________．标准答案：知识点解析：设切点为A(a，)，切线方程为切线与x轴的交点为(－2a，0)，所求的面积为所求体积为10、f(x)=x4ln(1－x)，当n＞4时，f(n)(0)=________．标准答案：知识点解析：设f(x)=f(0)+f’(0)x+…++…，再由麦克劳林公式的唯一性得11、已知函数z=u(x，y)eax+by，且=0，若z=z(x，y)满足方程+z=0，则a=_______，b=________．标准答案：a=1，b=1知识点解析：12、=________．标准答案：知识点解析：13、=________．标准答案：知识点解析：14、设则B*A=________．标准答案：知识点解析：因为B=AE12(2)E13，所以｜B｜=｜A｜.｜E12(2)｜.｜E13｜=－3，又因为B*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算极限标准答案：当x→0时，，则知识点解析：暂无解析16、设u=f(x+y，x－y，z)由z=∫x+zy+zp(t)dt确定z为x，y的函数，又f连续可偏导，p可导，且p(y+z)－p(x+z)－1≠0，求标准答案：将u=f(x+y，x－y，z)及z=∫x+zy+zp(t)dt两边对x求偏导得知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，2]上二阶可导，且f"(x)＜0，f’(0)=1，f’(2)=－1，f(0)=f(2)=1．证明：2≤∫02f(x)dx≤3．标准答案：首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)=f(2)=1为最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，从而∫02f(x)dx≥2．因为f"(x)＜0，所以有所以∫02f(x)dx=∫01f(x)dx+∫12f(x)dx≤∫01(1+x)dx+∫12(3－x)dx=3．知识点解析：暂无解析18、设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S=S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?标准答案：(Ⅰ)设另一个切点为(x0，x02)，则抛物线y=x2的两条切线分别为L1：y=2ax－a2，L2：y=2x0x－x02．因为L1⊥L2，所以x0=，两条切线L1，L2的交点为x1=，y1=ax0，L1，L2及抛物线y=x2所围成的面积为知识点解析：暂无解析19、计算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．标准答案：由已知条件得y(0)=0，y’(0)=0，P(x，y)处的切线为Y－y=y’(X－x)，令X=0，则Y=y－xy’，A的坐标为(0，y－xy’)，两边对x求导整理得1+y’2=2(x+1)y’y"．积分得ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即1+p2=C1(x+1)，再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为知识点解析：暂无解析21、设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．(Ⅰ)求曲线y=y(x)的表达式；(Ⅱ)求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；(Ⅲ)计算积分∫0+∞y(x)dx．标准答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程为2λ2+λ－1=0，特征值为λ1=－1，λ2=，则微分方程2y"+y’－y=0的通解为令非齐次线性微分方程2y"+y’－y=(4－6x)e－x的特解为y0(x)=x(ax+b)e－x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y0(x)=x2e－x，原方程的通解为由初始条件y(0)=y’(0)=0得C1=C2=0，故y=x2e－x．(Ⅱ)曲线y=x2e－x到x轴的距离为d=x2e－x，令d’=2xe－x－x2e－x=x(2－x)e－x=0，得x=2．当x∈(0，2)时，d’＞0；当x＞2时，d’＜0，则x=2为d=x2e－x的最大值点，最大距离为d(2)=(Ⅲ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=2．知识点解析：暂无解析22、设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3．(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)=2；(Ⅱ)求常数a，b的值及通解．标准答案：(Ⅰ)令r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2．α1－α2，α1－α3为对应的齐次线性方程组的两个解．令k1(α1－α2)+k2(α1－α3)=0，即(k1+k2)α1－k1α2－k2α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，所以k1=k2=0，即α1－α2，α1－α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)=2．知识点解析：暂无解析23、(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．(Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P－1AP=B．标准答案：(Ⅰ)设A，B的特征值为λ1，λ2，…，λn，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得于是P1－1AP1=P2－1BP2，或(P1P2－1)－1A(P1P2－1)=B，令P=P1P2－1，则P－1AP=B，即矩阵A，B相似．A的属于λ1=－1的线性无关特征向量为A的属于特征值λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=x0的某邻域内