考研数学（数学二）模拟试卷1（共218题）

考研数学（数学二）模拟试卷1（共9套）（共218题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则f(x)有()A、两条斜渐近线。B、两条水平渐近线。C、一条斜渐近线，无水平渐近线。D、一条水平渐近线，一条斜渐近线。标准答案：D知识点解析：函数f(x)无间断点，所以不存在垂直渐近线。当x→∞时，所以y=0为函数f(x)的一条水平渐近线。又因为所以y=2x为函数f(x)的一条斜渐近线。故本题选D。2、设函数f(x)具有连续的导函数，则()A、若f(x)是偶函数，则对任意的实数a，必为奇函数。B、若f(x)是周期函数，则必为周期函数。C、若f’(x)是奇函数，则必为奇函数。D、若f’(x)是偶函数，则必为偶函数。标准答案：C知识点解析：由函数f(x)具有连续的导函数，可知f’(x)连续。若f’(x)是奇函数，则f(x)必为偶函数。令易知F(0)=0，则为奇函数。故本题选C。3、设函数y=f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(=)=0是F(x)在x=0可导的()A、充分必要条件。B、充分非必要条件。C、必要非充分条件。D、既非充分也非必要条件。标准答案：A知识点解析：充分性：因为f(0)=0，所以即F(x)在x=0可导。必要性：设函数F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0可导，则F’(0－0)=F’(0+0)。又因为F’(0－0)=f’(0)-f(0)，F’(0+0)=f’(0)+f(0)，即f(0)=－f(0)，所以f(0)=0。故本题选A。4、设数列{xn}与{yn}满足则下列结论正确的是()A、若{xn}发散，则{yn}必发散。B、若{xn}无界，则{yn}必无界。C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小。标准答案：D知识点解析：因为取xn=n，yn=0，则可排除A、B；取xn=0，yn=n，则可排除C。故本题选D。5、函数在x=0处()A、不连续但偏导数存在。B、偏导数不存在但连续。C、可微但偏导数不连续。D、偏导数连续。标准答案：C知识点解析：因为所以函数f(x，y)在点(0，0)连续。因为所以函数f(x，y)在点(0，0)对戈的偏导数存在。同理可证函数f(x，y)在点(0，0)对y的偏导数存在。所以函数f(x，y)在点(0，0)的偏导数存在。因为所以函数f(x，y)在点(0，0)可微。因为令y=kx，则上述极限不存在，所以函数fx’(x，y)在点(0，0)不连续。故本题选C。6、设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=－1处取得增量△x=－0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)=()A、－1B、0．1C、1D、0．5标准答案：D知识点解析：由微分的定义可知，函数f(x)在点x0的增量△y的线性主部即为函数f(x)在该点的微分所以有0．1=y’(－1)·△x=－0．1·y’(－1)，即有y’(－1)=－1。同时所以f’(1)=0．5。故本题选D。7、设A是m×n矩阵，B是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵C=AB的秩为r1，则()A、r=r1。B、r＞r1。C、r＜r1。D、r与r1的关系依B而定。标准答案：A知识点解析：C=AB=EAB，其中E为m阶单位矩阵，因为E与B均可逆，所以由矩阵等价的充分必要条件知C与A等价。由矩阵等价的性质知r=r1。故本题选A。8、设2n阶行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，则D=()A、2na2B、na2C、a2D、0标准答案：D知识点解析：不妨设D=det(aij)，且aij=a(i=1，2，…，2n)，余子式Mij=a(i=1，2，…，2n)，其对应的代数余子式Aij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)。由题意，行列式按第j列展开，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，因为Aij=(－1)i+jMij=(－1)i+ja(i=1，2，…，2n)，所以这2n个代数余子式中有n个等于a，n个等于－a，从而行列式的值为0。故本题选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知则y’=_______________。标准答案：知识点解析：等式两边同时取对数，则有等式两边分别对x求导，得整理得10、曲线在对应点处的法线斜率为___________。标准答案：知识点解析：因为即曲线在对应点处的切线斜率为又因为切线和法线的斜率互为负倒数，故曲线在对应点处的法线斜率为11、标准答案：－4π知识点解析：令则有12、设函数z=f(u)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分标准答案：4(dx+dy)知识点解析：由题干可知，函数z=f(x2+y2)的全微分为dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，所以13、设z=xf(u)+g(u)，且f(u)及g(u)具有二阶连续导数，则标准答案：0知识点解析：对复合函数求偏导得因此14、设A=(x1，x2，x3)是三阶矩阵，且|A|=5，若B=(x1+2x2+3x3，x2－3x3，2x2+x3)，则|B|=____________。标准答案：35知识点解析：方法一：由行列式的性质可得|B|=|x1+2x2+3x3，x2－3x3，2x2+x3|=|x1+3x2，x2－3x3，7x3|=7|x1+3x2，x2，x3|=7|x1，x2，x3|=35。方法二：由分块矩阵的乘法公式可得因此三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)已知函数记15、求a的值；标准答案：当x→0时，sinx～x，则即a=1。知识点解析：暂无解析16、若x→0时，f(x)一a与xk为同阶无穷小，求常数k的值。标准答案：当x→0时，有又因为当x→0时，所以由题设知，当x→0时，f(x)－a与xk为同阶无穷小，所以k=1。知识点解析：暂无解析设函数f(x)在(－∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上f(x)=x(x2－4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数。17、写出f(x)在[_2，2]上的表达式；标准答案：当-2≤x－0时，0≤x+2－2，则有f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)2－4]=kx(x+2)(x+4)，所以f(x)在[-2，2]上的表达式为知识点解析：暂无解析18、问k为何值时，f(x)在x=0处可导。标准答案：根据已知f(0)=0。若f(x)在x=0处可导，则f+’(0)=f－’(0)，即－4=8k，则知识点解析：暂无解析19、求函数的单调区间和极值，以及该函数图形的渐近线。标准答案：由已知得令y’=0，得驻点x1=0，x2=－1。列表如下由上表可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，+∞)，单调递减区间为(－1，0)；为极小值，为极大值。由于所以此函数没有水平渐近线；同理，此函数也没有垂直渐近线。因此，令综上可知，函数图形的渐近线为y=a1x+b1=eπ(x－2)及y=a2x+b2=x－2，共2条。知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，证明：标准答案：由分部积分法得移项并整理得知识点解析：暂无解析21、求曲线x3－xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。标准答案：构造函数L(x，y)=x2+y2+λ(x3－xy+y3－1)，且令得唯一驻点x=1，y=1，即M1(1，1)。考虑边界上的点，M2(0，1)，M3(1，0)，距离函数在三点的取值分别为f(0，1)，f(1，0)=1，由此可知最长距离为最短距离为1。知识点解析：暂无解析22、设D={(x，y)|(x－1)2+(y－1)2=2)，计算二重积分标准答案：其中同理同时所以知识点解析：暂无解析23、利用代换将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。标准答案：方法一：由得y’=u’secx+usecxtanx．y"=u"secx+2u’secxtanc+usecxtan2x+usec3x，代入原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex，得u"+4u=ex。(1)先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=+2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x，其中C1，C2为任意常数。再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u*(x)=Aex，代入(1)式，得(Aex)"+4(Aex)=Aex+4Aex=ex，则因此所以(1)式的通解为其中C1，C2为任意常数。因此，原方程的通解为方法二：由得u=ycosx，于是u’=y’cosx－ysinx，u"=y"cosx－2y’sinx－ycosx，于是原方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化为u"+4u=ex(以下求解过程同方法一)。知识点解析：暂无解析已知是矩阵的一个特征向量。24、求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；标准答案：设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(λ－AE)p=0，即从而有方程组解得a=0，b=3，且特征向量p所对应的特征值λ=2。知识点解析：暂无解析25、问A能否相似对角化，并说明理由。标准答案：A的特征多项式为所以A的特征值为λ1=1，λ2=λ3=2。对应单根λ1=1，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可相似对角化的充分必要条件为对应重根λ2=λ3=2有2个线性无关的特征向量，即方程(A－2E)x=0有2个线性无关的解，则系数矩阵A-2E的秩r(A－2E)=1。故r(A－2E)=1，所以矩阵A可相似对角化。知识点解析：暂无解析设二次型为f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3。26、用可逆线性变换化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵；标准答案：用配方法将二次型化为标准形f=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+5x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2+x32。令即得f的标准形为f=y12+y22+y32，所用可逆线性变换为x=cy，其中知识点解析：暂无解析27、证明二次型的对应矩阵A为正定矩阵，并求可逆矩阵U，使得A=UTU。标准答案：由上题得，二次型的标准形为f=y12+y22+y32，其系数全为正，所以二次型正定，即二次型的对应矩阵A为正定矩阵。方法一：由上题知其中方法二：由题干得，二次型f=xTAx的对应矩阵为由上题知，f=xTAx=yTCTACy=yTy，所以CTAC=E，A=(C－1)TC－1=UTU，其中U=C－1。故知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设当x→0时，F(x)=∫0xnf(t)dt与xk为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k=()A、mn+n．B、n+m．C、m+n．D、mn+n－1．标准答案：A知识点解析：当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x→0时，f(x)～Axm，从而，f(xn)～Axm．于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故k=mn+n．2、设φ(x)在x=a的某邻域内有定义，f(x)=|x－a|φ(x)．则“φ(x)在x=a处连续”是“f(x)在x=a处可导”的()A、必要条件而非充分条件．B、充分条件而非必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：D知识点解析：下面举两个例子说明应选D．①设φ(x)在x=0处连续，但f(x)=|x|φ(x)在x=0处不可导的例子如下：取φ(x)≡1，但f(x)=|x|在x=0处不可导．②设φ(x)在x=0的某邻域内有定义，但在x=0处不连续，而f(x)=|x|φ(x)在x=0处却可导的例子如下：设φ(x)在x=0处不连续，但=－∞＜x＜+∞．所以f(x)在x=0处可导，fˊ(0)=1．3、sin(x2+y2)dy=()A、(cos2－1)．B、(－cos2+1)．C、(cos2+1)．D、(－cos2－1)．标准答案：B知识点解析：积分区域D的边界曲线为y=|x|与，其交点为(1，1)与(－1，1)．化为极坐标：4、设f(x)在x=0处存在二阶导数，且f(0)=0，fˊ(0)=0，f″(0)≠0．则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：先作积分变量代换，令x－t=u，则由二阶导数定义，5、设下述命题成立的是()A、f(x)在[－1，1]上存在原函数．B、gˊ(0)存在．C、g(x)在[－1，1]上存在原函数．D、F(x)=∫－1xf(t)dt在x=0处可导．标准答案：C知识点解析：A不正确．f(x)在点x=0处具有跳跃间断点．函数在某点具有跳跃间断点．那么往包含此点的区间上．该函数必不存在原函数．B不正确．按定义容易知道gˊ(0)不存存．C正确．g(x)为[－1，1]上的连续函数，故存在原函数．D不正确．可以具体计算出F(x)，容易看Fˊ－(0)=0．Fˊ+(0)=0．故Fˊ(0)不存在．6、设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z=z(x，y)由方程所确定．又设题中出现的分母不为零，则()A、0．B、z．C、D、1．标准答案：B知识点解析：由题意，得7、设ξ1(1，－2，3，2)T，ξ2(2，0，5，－2)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则下列向量中是齐次线性方程组Ax=0的解向量的是()A、α1=(1，－3，3，3)T．B、α2=(0，0，5，－2)T．C、α3=(－1，－6，－1，10)T．D、α4=(1，6，1，0)T．标准答案：C知识点解析：已知Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，则αi，i=1，2，3，4是Ax=0的解向量〈=〉αi可由ξ1，ξ2线性表出〈=〉非齐次线性方程组ξ1y1+ξ2y2=αi有解．逐个判别αi较麻烦，合在一起作初等行变换进行判别较方便．显然因r(ξ1，ξ2)=r(ξ1，ξ2|α3)=2，ξ1y1+ξ2y2=α3有解，故α1，α2，α3是Ax=0的解向量．8、设α=(1，2，3)T，β1=(0，1，1)T，β2=(－3，2，0)T，β3=(－2，1，1)T，β4=(－3，0，1)T，记Ai=αβiT，i=1，2，3，4．则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()A、A1．B、A2．C、A3．D、A4．标准答案：D知识点解析：因Ai=αβiT≠O，r(Ai)=r(αβiT)≤r(α)=1，i=1，2，3，4．故λ=0至少是3阶方阵Ai(i=1，2，3，4)的二重特征值．则Ai(i=1，2，3，4)的第3个特征值分别是故知A4的特征值λ1=λ2=λ3=0，是三重特征值，但A4≠O，故A4不能相似于对角矩阵．应选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=______．标准答案：知识点解析：10、椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面s的面积=______．标准答案：知识点解析：11、曲线r=a(1+cosθ)(常数a>0)在点处的曲率k=______．标准答案：知识点解析：将极坐标方程r=a(1+cosθ)化成参数式：于是有代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得12、在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n(n为正整数)的最大值记为M(n)，则=______．标准答案：e－1知识点解析：f(x)=nx(1－x)n，fˊ(x)=n(1－x)n－n2x(1－x)n－1=n(1－x)n－1(1－x－nx)．令fˊ(x)=0，得由于f(0)=f(1)=0，f(x)>0(x∈(0，1))．在区间(0，1)内求得唯一驻点所以f(x1)为最大值．所以13、设函数f与g可微，z=f[xy，g(xy)+1nx]，则______．标准答案：fˊ2知识点解析：由14、设二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3－x32－2ax3x4+(a－1)2x42的规范形为y12+y22－y32；则参数a=______．标准答案：知识点解析：f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ=0，故该二次型的对应矩阵A有|A|=0．因故应有a=．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、(1)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使(2)求出(1)中η关于x的具体函数表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时，函数η(x)的值域．标准答案：(1)令由拉格朗日中值定理有f(z+1)－f(x)=fˊ(ξ)(x+1－x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(2)由上所以η(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加．又所以η(x)的值域为．知识点解析：暂无解析16、设函数y(x)在区间[1，+∞)上具有一阶连续导数，且满足y(1)=及x2yˊ(x)+∫1x(2t+4)yˊ(t)dt+2∫1xy(t)dt=，求y(x)．标准答案：由分部积分∫1x(2t+4)yˊ(t)dt=(2t+4)y(t)|1x－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)－6y(1)－2∫1xy(t)dt=(2x+4)y(x)+1－2∫1xy(t)dt．则原方程化简为由一阶线性微分方程通解公式，得通解再由初始条件故所求的特解为知识点解析：暂无解析17、设f(x，y)=max{，1)，D={(x，y||x|≤y≤1}．求f(x，y)dσ．标准答案：如图所不，将D分成三块．中间一块为D3，左右两块分别记为D1与D2，则知识点解析：暂无解析设n为正整数，f(x)=xn+x－1．18、证明对于给定的n，f(x)在区间(0，+∞)内存在唯一的零点xn；标准答案：当x∈(0，+∞)时，fˊ(x)=nxn－1+1>0，所以在区间(o，+∞)内f(x)至多只有一个零点，又f(0)=－1<0，f(1)=1>0，所以f(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，记为xn，且xn∈(0，1)，此时f(xn)=0．知识点解析：暂无解析19、对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．标准答案：下面证数列{xn}单调增加．由xn+1n+1+xn+1－1=0与xnn+xn－1=0两式相减，得xn+1n+1－xnn+(xn－1－xn)=0．但因0＜xn－1＜1，所以xn+1n＞xn+1n·xn+1=xn－1n－1，于是有0=xn+1n+1－xnn+(xn+1－xn)n+1n－xnn+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1)+(xn+1－xn)=(xn+1－xn)(xn+1n－1+xn+2n－2xn+…+xnn－1+1)．上式第2个括号内为正，所以xn+1－xn＞0，即数列{xn}严格单调增加且有上界1，所以用反证法，如果0＜a＜1，将1－xn=xn＜an两边令x→∞取极限，得1－a≤0，解得a≥1，与反证法的假设矛盾，所以a=1．证毕．知识点解析：暂无解析20、设f(u)具有连续的一阶导数，且当x>0，y>0时，，求z的表达式．标准答案：记于是上式成为常微分方程其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=∫－11|x－t|f(t)dt，x∈[－1，1]．21、若f(x)为偶函数，证明F(x)也是偶函数；标准答案：因在区间[－1，1]上f(x)为连续的偶函数．则所以F(x)也是偶函数．知识点解析：暂无解析22、若f(x)>0(－1≤x≤1)，证明曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．标准答案：F(x)=∫－1x(x－t)f(t)dt+∫x1(t－x)f(t)dt=x∫－1xf(t)dt－∫－1xtf(t)dt+∫x1tf(t)dt－x∫x1f(t)dtFˊ(x)=∫－1xf(t)dt+xf(x)－xf(x)－xf(x)－∫x1f(t)dt+xf(x)=∫－1xf(t)dt－∫x1f(t)dt，F″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0．所以曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．知识点解析：暂无解析23、(1)计算∫0nπ|sint|dt，其中n为正整数；(2)求∫0nπ|sint|dt．标准答案：(1)(2)设n≤x＜n+1，有nπ≤xπ＜(n+1)π．于是当x→∞时，n→∞，由夹逼定理得知识点解析：暂无解析设A3×3=(α1，α2，α3)，方程组Ax=β有通解kξ+η=k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，其中k是任意常数．证明：24、方程组(α1，α2)x=β有唯一解，并求该解；标准答案：由题设条件(α1，α2，α3)x=β有通解k(1，2，－3)T+(2，－1，1)T，知r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，(*)α1+2α2－3α3=0．(**)β=(k+2)α1+(2k－1)α2+(－3k+1)α3．(***)由(**)式得α3=(α1+2α2)，知α1，α2线性无关(若α1，α2线性相关，又α3=(α1+2α2)，得r(α1，α2，α3)=1．这和(*)式矛盾)．由(*)式知α1，α2是向量组α1，α2，α3及α1，α2，α3，β的极大线性无关组，从而有r(α1，α2)=r(α1，α2，β)=2，方程组(α1，α2)x=β有唯一解．由(***)式取α3的系数－3k+1=0，即取，即(α1，α2)x=β的唯一解为．知识点解析：暂无解析25、方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，并求其通解．标准答案：因r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β)=2，故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β有无穷多解，且其通解形式为k1ξ1+k2ξ2+η*，其中ξ1，ξ2为对应的齐次方程组的基础解系η*为方程组的特解，k1，k2为任意常数．由(**)式在(***)式中取k=0，有故方程组(α1+α2+α3+β，α1，α2，α3)x=β的通解为k1ξ1+k2ξ2+η*=k1ξ1+k2(η1－η2)+η1=k1(0，1，2，－3)T+k2(－1，3，0，2)T+(0，2，－1，1)T，其中k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析设，X是2阶矩阵．26、求满足AX－XA=O的所有X；标准答案：设系数矩阵解得x4=K，x3=3L，x2=2L，x1=K－3L．故其中K，L为任意常数．知识点解析：暂无解析27、问AX－XA=E是否有解?其中E是2阶单位矩阵，说明理由．标准答案：由上一题易知tr(AX)=tr(XA)．故tr(AX－XA)=tr(AX)－tr(XA)=0≠tr(E)=2故方程组AX－XA=E无解．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则f{f[f(x)]}=()A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为|f(x)|≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f[f(x)]}=f(1)=1。故本题选B。2、设f(x)可导，f(0)=0，f’(0)=2，则当x→0时，F(x)是g(x)的()A、低阶无穷小。B、高阶无穷小。C、等价无穷小。D、同阶但非等价无穷小。标准答案：D知识点解析：因为当x→0时，所以故本题选D。3、设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=()A、ln3－1。B、－ln3－1。C、ln2－1。D、－ln2－1。标准答案：D知识点解析：函数h(x)=e1+g(x)对x求导，得h’(x)=e1+g(x)·g’(x)。在上述等式中令x=1，则有1=h’(1)=e1+g(1)·g’(1)=2e1+g(1)，所以g(1)=－ln2－1。故本题选D。4、设f(x)为可导函数，且f’(x)严格单调递增，则在(a，b]内()A、有极大值。B、有极小值。C、单调递减。D、单调递增。标准答案：D知识点解析：由导数运算法则及拉格朗日中值定理得其中a＜ξ＜x≤b。因为f’(x)严格单调递增，所以f’(x)－f’(ξ)＞0，从而F’(x)＞0，即F(x)在(a，b]内单调递增。故本题选D。5、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：用极坐标表示曲线的弧长公式，有故本题选A。6、设函数z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且f2’≠0，则A、xB、zC、－xD、－z标准答案：B知识点解析：对方程两边求全微分可得所以因此则有故本题选B。7、设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是()A、(A+E)2(A－E)=(A－E)(A+E)2。B、(A+E)－1(A－E)：(A－E)(A+E)－1。C、(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T。D、(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。标准答案：C知识点解析：由A与E可交换得，A+E与A－E可交换，进而可得(A+E)2(A－E)=(A+E)(A－E)(A+E)=(A－E)(A+E)2，所以(A+E)2与A－E可交换，故A项成立。由A+E与A－E可交换得，(A－E)(A+E)=(A+E)(A－E)。在等式两边同时左、右乘(A+E)－1得，(A+E)－1(A－E)=(A－E)(A+E)－1；在等式两边同时左、右乘(A－E)－1得，(A+E)(A－E)－1=(A－E)－1(A+E)，再在所得等式两边同时乘|A－E|得，(A+E)(A－E)*=(A－E)*(A+E)。故B、D两项成立。事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A－E)=(A－E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如因此ATA≠AAT。故本题选C。8、设矩阵矩阵B满足AB+B+A+2E=O，则|B+E|=()A、－12B、－24C、D、标准答案：D知识点解析：用因式分解法化简矩阵方程，使其出现B+E的因式，则有AB+B+A+2E=A(B+E)+(B+E)+E=(A+E)(B+E)+E=D，所以(A+E)(B+E)=－E，对上式两边取行列式，由行列式的乘法公式可得|A+E||B+E|=1，所以又因为所以故本题选D。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、标准答案：知识点解析：所求极限为和式极限的形式，则可利用夹逼准则进行求解。其中由夹逼准则可知10、已知则f’(2)=___________。标准答案：知识点解析：所以11、交换积分次序标准答案：知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D，如下图阴影部分所示，则有交换积分次序12、曲线绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的面积为___________。标准答案：知识点解析：由旋转曲面的面积计算公式可得13、实对称矩阵A与矩阵合同，则二次型xTAx的规范形为___________。标准答案：y12+y22－y32知识点解析：矩阵A与矩阵B合同，说明二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数。矩阵B的特征多项式为所以矩阵B的特征值为1，1，－2，则二次型xTBx的正惯性指数为2，负惯性指数为1。故二次型xTAx的规范形为y12+y22－y32。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、求极限标准答案：由麦克劳林展开式得所以知识点解析：暂无解析15、求函数f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的极值。标准答案：解如下方程组求得驻点坐标为又因为fxx"(x，y)=4e2x(x+y2+2y+1)，fxy"(x，y)=4e2x(y+1)，fyy"(x，y)=2e2x，所以因为A＞0，且AC—B2=4e2＞0，所以函数在点处取得极小值，极小值为知识点解析：暂无解析16、证明：(I)若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0。标准答案：(I)设M和m分别为连续函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，即m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。根据定积分的性质，有根据连续函数的介值定理得，至少存在一点η∈[a，b]，使得即有(Ⅱ)由(I)的结论可知，至少存在一点η∈[2，3]，使得又因为所以η∈(2，3]。对函数φ(x)在[1，2]，[2，1，7]上分别应用拉格朗日中值定理，并结合φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)得在[ξ1，ξ2]上对导函数φ’(x)应用拉格朗日中值定理，得知识点解析：暂无解析17、设V(t)是曲线在x∈[0，t]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积，求常数c使得标准答案：曲线在x∈[0，t]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为所以因为即所以c=1(因为c＞0，所以c=－1不合题意)。知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D为平面区域{(x，y)|x2+y2≤2x，x≥1}。标准答案：二重积分的积分区域D如下图阴影部分所示。由于积分区域关于x轴对称，且被积函数是关于y的奇函数，所以选用极坐标求二重积分，令x=rcosθ，y=rsinθ，则知识点解析：暂无解析设奇函数f(x)在[－1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1。证明：19、存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；标准答案：令F(x)=f(x)－x，则F’(x)=f’(x)－1，且F(0)=f(0)=0，f(1)=f(1)－1=0，由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。知识点解析：暂无解析20、存在η∈(－1，1)，使得f"(η)+f’(η)=1。标准答案：令G(x)=ex[f’(x)－1]，由(I)知，存在ξ∈(0，1)，使得G(ξ)=0。又因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，则G(－ξ)=0，因此存在η∈(－ξ，ξ)(－1，1)，使得G’(η)=0，即e2[f’(η)－1]+eηf"(η)=0，则有f"(η)+f’(η)=1。知识点解析：暂无解析21、设其中f(u)具有二阶连续导数，f(0)=f’(0)=0，且求f(u)。标准答案：因为所以同理将上述结果代入方程得则有f"(u)－f(u)=u。求解上述二阶微分方程可得其通解为f(u)=C1e－u+C2eu－u，其一阶导数为f’(u)=－C1e-u+C2eu－1，将f(0)=f’(0)=0代入上述两式得故知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3。22、求二次型矩阵的所有特征值；标准答案：二次型的对应矩阵为则其特征方程为则所有特征值为λ1=a，λ2=a+1，λ3=a－2。知识点解析：暂无解析23、若二次型的规范形为y12+y22，求实数a的值。标准答案：若二次型的规范形为y12+y22，说明二次型有两个特征值为正数，一个特征值为0。又因为a－2≤a≤a+1，所以a－2=0，即a=2。知识点解析：暂无解析设四元齐次线性方程组(1)为另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为α1=(2，－1，a+2，1)T，α2=(－1，2，4，a+8)T。24、求方程组(1)的一个基础解系；标准答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有则n－r(A)=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取x3，x4为自由变量，则其基础解系为β1=(5，－3，1，0)T，β2=(－3，2，0，1)T。知识点解析：暂无解析25、当a为何值时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，并求出所有非零公共解。标准答案：设η是方程组(1)与方程组(2)的非零公共解，则η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2与l1，l2均是不全为0的常数。由k1β1+k2β2－l1α1－l2α2=0，得齐次线性方程组对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，则有当a≠－1时，方程组(3)的系数矩阵为则方程组(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，则η=0，不合题意。当a=－1时，方程组(3)的系数矩阵为解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2，于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。因此当a=－1时，方程组(1)与方程组(2)有非零公共解，且公共解为l1(2，－1，1，1)T+l2(－1，2，4，7)T，其中l1，l2为任意常数，且l1，l2不同时为0。知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtant2dt，则χ→0时f(χ)是g(χ)的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、同阶而非等价无穷小．D、等价无穷小．标准答案：B知识点解析：这是考察如下的型极限，由洛必达法则与等价无穷小因子替换得其中用了下面的等价无穷小因子替换：χ→0时ln(1＋sin2χ2)～sin2χ2～χ4，tan(1－cosχ)2～(1－cosχ)2～．故应选B．2、设f(χ)是以3为周期的可导的奇函数，且f′(－1)＝1，则I＝＝A、－4．B、4．C、D、标准答案：C知识点解析：注意f′(χ)也以3为周期且为偶函数，f′(－1)＝f′(2)＝f′(－2)，利用导数可求得极限故应选C．3、设f(χ)＝，F(χ)＝∫0χ(t)dt，则F(χ)在[0，2]上A、有界，不可积．B、可积，有间断点．C、连续，有不可导点．D、可导．标准答案：C知识点解析：不必求出F(χ)．这里f(χ)在[0，2]上有界，除χ＝1外连续，χ＝1是f(χ)的跳跃间断点．由可积性的充分条件f(χ)在[0，2]上可积，再由基本定理F(χ)在[0，2]上连续．故A，B不对．进一步考察F(χ)的可导性．当χ≠1时F′(χ)＝f(χ)，又χ＝1是f(χ)的跳跃间断点，则F(χ)在点χ＝1处不可导．故应选C．4、设，则A、I2＞1＞I1．B、I2＞I1＞1．C、1＞I2＞I1．D、1＞I1＞I2．标准答案：B知识点解析：将1也写成区间[0，]上的一个定积分1＝从而为比较I1，I2，1的大小，只要比较的大小．由于当χ＞0时，χ＞sinχ，，所以I2＝＝I1．再比较当0＜χ＜，的大小即sinχ与χ的大小．由下图可知于是，I2＞I1＞1．故选B．5、设f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数且满足f(0)＞0，f′(0)＝0，g(0)＝0，则函数u(χ，y)＝f(χ)∫1yg(t)dt在点(0，0)处取极小值的一个充分条件是A、f〞(0)＞0，g′(χ)＜0(0≤χ≤1)．B、f〞(0)＜0，g′(χ)＞0(0≤χ≤1)．C、f〞(0)＞0，g′(χ)＞0(0≤χ≤1)．D、f〞(0)＜0，g′(χ)＜0(0≤χ≤1)．标准答案：B知识点解析：利用极值点的充分判别法．由u＝f(χ)∫1yg(t)dy得若g′(χ)＞0(0≤χ≤1)g(χ)在[0，1]g(χ)＞g(0)＝0(0＜χ≤1)∫10g(t)dt＜0，又f〞(0)＜0时AC－B2＞0．因此(0，0)是u(χ，y)的极小值点．故选B．6、已知累次积分，I＝f(rcosθ，rsinθ)rdr,其中a＞0为常数，则I可写成A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oχy直角坐标系下的累次积分的问题．先将I表示成I＝f(χ，y)dσ．由D的极坐标表示，0≤r≤acosθ，即r2＝χ2＋y2≤arcosθ＝aχ，可知D：，如下图．若是先y后χ的积分顺序，则D：0≤χ≤a，，于是I＝f(χ，y)dy．故应选C．7、设A是5×4矩阵，r(A)＝4，则下列命题中错误的为A、Aχ＝0只有零解．B、AATχ＝0有非零解．C、对任何5维向量β，Aχ＝β都有解．D、对任何4维向量β，ATχ＝β都有无穷多解．标准答案：C知识点解析：选项A对，因为r(A)＝未知数个数4．选项B对，因为AAT是5阶矩阵，而r(AAT)＜5．选项C错，因为存在5维向量β不可用A的列向量组表示，使得AX＝β无解．选项D对，因为r(AT)＝方程个数4，对任何4维向量β，r(AT｜β)不会大于4．8、设A＝，则下列矩阵中与A合同但不相似的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：首先可排除A，因为r(A)＝2，而A矩阵的秩为1，所以它与A不合同．两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样．(即正，负数的个数对应相等．)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同．因此应该从计算特征值下手．求出｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)，A的特征值为0，－3，3．显然(C)中矩阵的特征值也是0，－3，3，因此它和A相似，可排除．剩下选项B、D两个矩阵中，只要看一个．D中矩阵的特征值容易求出，为0，－1，1，因此它和A合同而不相似．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、数列极限I＝n2[arctan(n＋1)－arctann]＝_______．标准答案：1知识点解析：属∞.0型的数列极限，转化为型的函数极限后再用洛必达法则，即有故原数列极限的值为1．10、微分方程(3y－2χ)dy＝ydχ的通解是_______．标准答案：χy2－y3＝C，其中C是任意常数．知识点解析：题设的方程是齐次微分方程，令y＝χu或χ＝yu，可把方程化为关于χ，u或y，u的可分离变量的方程求解．方程又可改写成＝3的形式，这是以χ为未知函数，以y为自变量的一阶线性微分方程．令χ＝yu，代入方程后整理化简并积分可得＝0，ln｜y3(u－1)｜＝C1．去对数即得通解y3(u－1)＝Cy2(χ－y)＝C，其中C是任意常数．11、曲线y＝的斜渐近线方程为_______．标准答案：y＝±χ知识点解析：因此斜渐近线方程为y＝±χ．12、设f(χ)＝(1＋χ＋χ2)esinχ，则f〞(0)＝_______．标准答案：5知识点解析：f(χ)＝u(χ)v(χ)，u(χ)＝1＋χ＋χ2，则u(0)＝1，u′(0)＝1，u〞(0)＝2v(χ)＝esinχ，v(0)＝1，v′(0)＝cosχesinχ｜χ＝0＝1，v〞(0)＝(－sinχesinχ＋esinχcos2χ)｜χ＝0＝1又f′(χ)＝u′(χ)v(χ)＋u(χ)v′(χ)f〞(χ)＝u〞(χ)v(χ)＋2u′(χ)v′(χ)＋u(χ)v〞(χ)于是f〞(0)＝2×1＋2×1×1＋1×1＝5．13、设动点P(χ，y)在曲线9y＝4χ2上运动，且坐标轴的单位长是1cm．如果P点横坐标的速率是30cm／s，则当P点经过点(3，4)时，从原点到P点间距离r的变化率是_______．标准答案：82(cm／s)知识点解析：这是相关变化率的问题．χ，y以及原点到P点的距离r＝都是时间t的函数，已知9y＝4χ2，χ＝3，y＝4，＝30，求在等式9y＝4χ2和r＝两边对t求导，得用χ＝3，y＝4，dχ＝30代入以上两式，即可解出＝82(cm／s)．14、已知α1＝(1，2，－1)T，α2＝(1，－3，2)T，α3＝(4，11，－6)T．矩阵A满足Aα1＝(0，2)T，Aα2＝(5，2)T，Aα3＝(－3，7)T，则A＝_______．标准答案：知识点解析：用条件可建立一个关于A的矩阵方程：用初等变换法解此矩阵方程：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(χ)在χ＝0的某邻域内有定义，且满足＝0，求极限．标准答案：令g(χ)＝，则g(χ)＝0．为求出，我们先导出与g(χ)的关系．由知识点解析：暂无解析16、设D是曲线y＝2χ－χ2与χ轴围成的平面图形，直线y＝kχ把D分成为D1和D2两部分(如图)，满足D1的面积S1与D2的面积S2之比S1：S2＝1：7．(Ⅰ)求常数k的值及直线y＝kχ与曲线y＝2χ－χ2的交点．(Ⅱ)求平面图形D1的周长以及D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：(Ⅰ)由方程组，可解得直线y＝kχ与曲线y，＝2χ－χ2有两个交点(0，0)和(2－k，k(2－k))，其中0＜k＜2．于是S1＝∫02-k(2χ－χ2－kχ)dχ＝(2－k)3．又S1＋S2＝∫02(2χ－χ2)dχ＝，由题设S1：S2：1：7，知于是k＝1，相应的交点是(1，1)．(Ⅱ)注意这时D1的边界由y＝χ上0≤χ≤1的线段与曲线y＝2χ－χ2上0≤χ≤1的弧构成，从而D1的周长于是D1绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V＝知识点解析：暂无解析17、设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，，且(Ⅰ)求f(χ)；(Ⅱ)定义数列χn＝∫0nπf(t)dt，证明数列{χn}收敛．标准答案：(Ⅰ)题设中等式左端的极限为1∞型，先转化成由导数的定义及复合函数求导法得积分得lnf(χ)＝＝lnsin2χ－lnχ2＋C1，即f(χ)＝，χ∈(0，＋∞)．由得C＝1．因此f(χ)＝．(Ⅱ)χn＝记F(χ)＝在(0，＋∞)χn＝F(nπ)是单调上升的．又于是χn有界．因此{χn}单调有界，{χn}必收敛．知识点解析：暂无解析18、计算二重积分[cosχ2siny2＋sin(χ＋y)]dσ，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2，常数a＞0}．标准答案：[cosχ2siny2＋sin(χ＋y)]dσ＝cosχ2siny2dσ＋sin(χ＋y)dσ，将D中的χ与y交换，所以I1cosχ2siny2dσ中，将被积函数中的χ与y交换，该积分的值亦不变．于是有由于sinχ是χ的奇函数，siny是y的奇函数，且D既对称于y轴，又对称于χ轴，所以知识点解析：暂无解析19、设z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0确定的函数，(Ⅰ)求z＝z(χ，y)一阶偏导数与驻点；(Ⅱ)求z＝z(χ，y)的极值点和极值．标准答案：(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18χdχ－54(ydχ＋χdy)＋180ydy－6zdy－6ydz一2zdz＝0，即(18χ－54y)dχ＋(180y－54χ－6z)dy－(6y＋2z)dz＝0．从而为求隐函数z＝z(χ，y)的驻点，应解方程组②可化简为χ＝3y，由③可得z＝30y－9χ＝3y，代入①可解得两个驻点χ＝3，y＝1，z＝3与z＝－3，y＝－1，z＝－3．(Ⅱ)z＝z(χ，y)的极值点必是它的驻点．为判定z＝z(χ，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z＝z(χ，y)在这两点的二阶偏导数．注意，在驻点P＝(3，1，3)，Q＝(－3，－1，－3)处，＝0由(3y＋z)＝9χ－27则在驻点P，Q处再由(3y＋z)=＝90y－27χ－3z在驻点P，Q处(3y＋z)＝90．于是可得出在P点处3y＋z＝6，因AC－B2＝＞0，且A＝＞0，故在点(3，1)处z＝z(χ，y)取得极小值z(3，1)＝3．在Q点处3y＋z＝－6．因AC－B2＝＞0，且A＝－＜0，故在点(－3，－1)处z＝z(χ，y)取得极大值z(－3，－1)＝－3．知识点解析：暂无解析20、设χOy平面第一象限中有曲线г：y＝y(χ)，过点A(0，－1)，y′(χ)＞0．又M(χ，y)为г上任意一点，满足：弧段的长度与点M处г的切线在χ轴上的截距之差为－1．(Ⅰ)导出y＝y(χ)满足的积分、微分方程；(Ⅱ)导出y(χ)满足的微分方程和初始条件；(Ⅲ)求曲线г的表达式．标准答案：(Ⅰ)先求出г在点M(χ，y)处的切线方程Y－y(χ)＝y′(χ)(X－χ)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y＝0，得χ轴上的截距又弧段的长度为，按题意得这是y(χ)满足的积分、微分方程．(Ⅱ)两边对χ求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及①式中令χ＝0得y(0)＝－1，y′(0)＝1．因此得y(χ)满足的二阶微分方程的初值问题问题①与②是等价的．(Ⅲ)下面求解②．这是不显含χ的二阶方程，作变换P＝y′，并以y为自变量得由y＝－1时将上面两式相减再积分得χ＝＋C，其中C＝．则③就是所求曲线г的表达式．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内具有二阶导数，且f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝2．求证：至少存在一点ξ∈(0，2)使得f〞(ξ)＝－4．标准答案：转化为证明某函数的二阶导数在(0，2)零点．设g〞(χ)＝－4．令F(χ)＝f(χ)－g(χ)则ξ∈(0，2)，使f〞(ξ)＝－4F〞(ξ)＝0．注意g(χ)＝－2χ2＋c1χ＋c2，于是F(0)＝f(0)－g(0)＝－c2F(1)＝f(1)－g(1)＝4－c1－c2F(2)＝f(2)－g(2)＝8－2c1－c2为使F(0)＝F(1)＝F(2)，取c1＝4，c2＝0，F(χ)＝f(χ)－g(χ)＝f(χ)－(－2χ2×4χ)满足F(0)＝F(1)＝F(2)＝0．由于函数F(χ)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，因而可在区间[0，1]与[1，2]上分别对函数F(χ)应用罗尔定理，从而知分别存在η1∈(0，1)与η2∈(1，2)使得F′(η1)＝F′(η2)＝0，由题设知F′(χ)在区间[η1，η2]上也满足罗尔定理的条件，再在区间[η1，η2]上对导函数F′(χ)应用罗尔定理，又知存在ξ∈(η1，η2)(0，2)使得F〞(ξ)＝f〞(ξ)－g〞(ξ)＝0，f〞(ξ)＝gξ(ξ)＝－4成立．知识点解析：暂无解析22、设4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Aχ＝β的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T，c任意．记B＝(α3，α2，α1，β－α4)．求方程组Bχ＝α1－α2的通解．标准答案：首先从AX＝β的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，－2，4，0)T可得到下列讯息：①Aχ＝0的基础解系包含1个解，即4－r(A)＝1，得r(A)＝3．即r(α1，α2，α3，α4)＝3．②(1，2，2，1)T是Aχ＝β解，即α1＋2α2＋2α3＋α4＝β．③(1，－2，4，0)T是Aχ＝0解，即α1－2α2＋4α3＝0．α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，α3)＝2．显然B(0，－1，1，0)T＝α1－α2，即(0，－1，1，0)T是Bχ＝α1－α2的一个解．由②，B＝(α1，α2，α1，β－α4)＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)，于是r(B)＝r(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)＝r(α1，α2，α3)＝2．则Bχ＝0的基础解系包含解的个数为4－r(B)＝2个．α1－2α2＋4α4＝0说明(4，－2，1，0)T是Bχ＝0的解；又从B＝(α3，α2，α1，α1＋2α2＋2α3)容易得到B(－2，－2，－1，1)T＝0，说明(－2，－2，－1，1)T也是Bχ＝0的解．于是(4，－2，1，0)T和(－2，－2，－1，1)T构成Bχ＝0的基础解系．Bχ＝α1－α2的通解为：(0，－1，1，0)T＋c1(4，－2，1，0)T＋c2(－2，－2，－1，1)T，c1，c2任意．知识点解析：暂无解析23、设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．①求二次型χTAχ的规范形．②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．标准答案：①由于A2＝E，A的特征值λ应满足λ2＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，从而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n－k，χTAχ的规范形为y12＋y22＋…＋yk2－yk+12－…－yn2．②B是实对称矩阵．由A2＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值为5(k重)和1(n－k重)都是正数．因此B是正定矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)二阶连续可导，g(χ)连续，且f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(χ－t)dt，＝－2，则()．A、f(0)为f(χ)的极大值B、f(0)为f(χ)的极小值C、(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D、f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点标准答案：C知识点解析：显然f′(0)＝0，＝－2得g(0)＝0，g′(0)＝－2．由∫0χg(χ－t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(u)du．故(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，选C．2、当χ＞0时，f(lnχ)＝，则∫-22χf′(χ)dχ为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由f(lnχ)＝得f(χ)＝，故选C．3、设z＝z(χ，y)由F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0确定，其中函数F连续可偏导且af′1－cf′2≠0，则＝()．A、aB、bC、cD、a＋b＋c标准答案：B知识点解析：F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对χ求偏导得＝0，解得；F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对y求偏导得，故，因此选B．4、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，其导函数的图形如图所示，则f(χ)有()．A、一个极小值点和两个极大值点B、两个极小值点和一个极大值点C、两个极小值点和两个极大值点D、三个极小值点和一个极大值点标准答案：C知识点解析：设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0．所以点A为f(χ)的极大值点，同理可知点B与C都是f(χ)的极小值点．关键是点0处，在它左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0，而f(χ)在点O连续，所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ＝0处f(χ)是否可导，见极值第一充分条件)，选C．5、设D为y＝χ，χ＝0，y＝1所围成区域，则arctanydχdy＝()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：因此选B．6、设函数u＝f(χz，yz，χ)的所有二阶偏导数都连续，则＝()．A、0B、χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C、z2f〞12＋zf〞32D、χzf〞11＋yzf〞22标准答案：C知识点解析：因此选C．7、设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则()．A、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关C、若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关D、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关标准答案：D知识点解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量组线性无关，A项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关，B项不对；若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，C项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，故选D．8、设n阶方阵A的n个特征值全为0，则()．A、A＝OB、A只有一个线性无关的特征向量C、A不能与对角阵相似D、当A与对角阵相似时，A＝O标准答案：D知识点解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝，于是A＝O，选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝_______．标准答案：知识点解析：10、设y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同，其中f(χ)可导，则＝_______．标准答案：知识点解析：由y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同得f(0)＝0，f′(0)＝2．由∫0χf(χ－t)dt∫0χf(u)du11、＝_______．标准答案：10π知识点解析：12、由方程χ＋2y＋z－2＝0所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，1，2)处的全微分dz＝_______．标准答案：dχ－2dy知识点解析：χ＋2y+z－2＝0两边对χ求偏导得1＋＝0，则，z＋2y＋z－2＝0两边对y求偏导得2＋＝0，则＝－2，于是dz＝dχ－2dy．13、设函数y＝y(χ)在(0，＋∞)上满足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，则y(χ)＝_______．标准答案：χ(1－cosχ)知识点解析：由可微的定义，函数y＝y(χ)在(0，＋∞)内可微，且y′＝＋χsinχ或y′－＝χsinχ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y＝＝(－cosχ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ)．14、设矩阵A＝不可对角化，则a＝_______．标准答案：0或4知识点解析：由｜λE－A｜＝＝λ(λ－a)(λ－4)＝0，得λ1＝0，λ2＝，λ3＝4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a＝0或a＝4．当a＝0时，由r(OE－A)＝r(A)＝2得λ1＝λ2＝0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a＝0合题意；当a＝4时，4E－A＝，由r(4E－A)＝2得λ2＝λ3＝4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a＝4合题意．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、计算极限．标准答案：当χ→0时，1－，则知识点解析：暂无解析16、设u＝f(χ＋y，χ－y，z)由χ＝∫χ+zy+zP(t)dt确定z为χ，y的函数，又f连续可偏导，P可导，且p(y＋χ)－p(χ＋z)＝1≠0，求．标准答案：将u＝f(χ＋y，χ－y，z)及z＝∫χ+zy+zp(t)dt两边对χ求偏导得知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[0，2]上二阶可导，且f〞(χ)＜0，f′(0)＝1，f′(2)＝－1，f(0)＝f(2)＝1．证明：2≤∫02f(χ)dχ≤3．标准答案：首先f〞(χ)＜0，所以f(χ)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)＝f(2)＝1为最小值，故f(χ)≥1(χ∈[0，2])，从而∫02(χ)dχ≥0．因为f〞(χ)＜0，所以有所以∫02f(χ)dχ＝∫01f(χ)dχ＋∫12f(χ)dχ≤∫01(1＋χ)dχ＋∫(3－χ)dχ＝3．知识点解析：暂无解析18、设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S＝S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?标准答案：(Ⅰ)设另一个切点为(χ0，χ02)，则抛物线y＝χ2的两条切线分别为L1：y＝2aχ－a2，L2：y＝2χ0χ－χ02．因为L1⊥L2，所以χ0＝－，两条切线L1，L2的交点为χ1＝，y1＝aχ0，L1，L2及抛物线y＝χ2。所围成的面积为(Ⅱ)S′(a)＝＝0，得a＝．因为当a∈(0，)时，S′(a)＜0，当a＞时，S′(a)＞0，所以当a＝时，面积S(a)取最小值．知识点解析：暂无解析19、设曲线y＝y(χ)位于第一卦限且在原点处的切线与χ轴相切，P(χ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2，求曲线y＝y(χ)．标准答案：由已知条件得y(0)＝0，y′(0)＝0，l1＝∫0χdχ；P(χ，y)处的切线为y－y＝y′(X－χ)，令X＝0，则Y＝y－χy′，A的坐标为(0，y－χy′)，l2＝，由χ(3l1＋2)＝2(χ＋1)l2得两边对χ求导整理得1＋y′2＝2(χ＋1)y′y〞．令y′＝p，y〞＝，代入得1＋p2－2(χ＋1)p，变量分离得，积分得ln(1＋P2)＝ln(χ＋1)＋lnC1，即1＋P2＝C1(χ＋1)，由初始条件得C1＝1，即p＝±，从而y＝＋C2，再由y(0)＝0得C2＝0，故所求的曲线为y2＝χ3．知识点解析：暂无解析20、设曲线y＝y(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于χ轴．(Ⅰ)求曲线y＝y(χ)的表达式；(Ⅱ)求曲线y＝y(χ)到χ轴的最大距离；(Ⅲ)计算积分∫0＋∞y(χ)dχ．标准答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程为2λ2＋λ－1—0，特征值为λ1＝－1，λ2＝，则微分方程2y〞＋y′－y＝0的通解为y＝C1e-χ＋C2．令非齐次线性微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解为y0(χ)＝χ(aχ＋b)e-χ，代入原方程得a＝1，b＝0，故原方程的特解为y0(χ)＝χ2e-χ，原方程的通解为y＝C1e-χ＋C2＋χe-χ，由初始条件y(0)＝y′(0)＝0得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ．(Ⅱ)曲线y＝χ2e-χ到χ轴的距离为d＝χ2e-χ，令d′＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0，得χ＝2．当χ∈(0，2)时，d′＞0；当χ＞2时，d′＜0，则χ＝2为d＝χ2e-χ的最大值点，最大距离为d(2)＝．(Ⅲ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝2．知识点解析：暂无解析21、设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3．(Ⅰ)证明系数矩阵的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常数a，b的值及通解．标准答案：(Ⅰ)令r(A)＝r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2．α1－α2，α1－α3为对应的齐次线性方程组的两个解．令k1(α1－α2)＋k2(α1－α3)＝0，即(k1＋k2)α1－k1α2－k2α3＝0．因为α1，α2，α3线性无关，所以k1＝k2＝0，即α1－α2，α1－α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2．因为r(A)＝r()＝2，所以解得a＝2，b＝－3，于是通解为X＝知识点解析：暂无解析22、设f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3＝XTAX，其中AT＝A．又B且AB＝O．求正交矩阵Q，使得XTAX在正交变换X＝QY下化为标准二次型．标准答案：A＝，由AB＝O得B的列为AX＝0的解，令，由Aα1＝0α1，Aα2＝0α2得λ1＝λ2＝0为A的特征值，α1，α2为λ1＝λ2＝0对应的线性无关的特征向量．又由λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝6得λ3＝4，令α3＝为λ3＝4对应的特征向量，由AT＝A得λ3＝4对应的线性无关的特征向量为α3＝．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝，g(χ)在χ＝0连续且满足g(χ)＝1＋2χ＋o(χ)(χ→0)．又F(χ)＝f[g(χ)]，则F′(0)＝A、4e．B、4．C、2D、2e．标准答案：A知识点解析：先求g′(0)．由g(χ)在χ＝0连续及g(χ)＝1＋2χ＋0(χ)(χ→0)由复合函数求导法及变限积分求导法故应选A．2、下列反常积分中收敛的是A、①②．B、①③．C、②④．D、③④．标准答案：B知识点解析：找出其中两个收敛的．③收敛．因此选B．3、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且分别在(－∞，0)与(0，＋∞)上二次可导，其导函数f′(χ)的图像如图(1)所示，则f(χ)在(－∞，＋∞)有A、一个极大值点与两个拐点．B、一个极小值点与两个拐点．C、一个极大值点，一个极小值点与两个拐点．D、一个极大值点，一个极小值点与三个拐点．标准答案：D知识点解析：设a，b，c，d各点如图(2)所示，由题设可得下表：(注意，表中对应于χ＝χ0处注有“拐点”是指对应的(χ0，f(χ0))为曲线y＝f(χ)的一个拐点．)这表明函数f(χ)有一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论D正确．4、微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可设为_______．A、Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B、A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C、B1cos2χ＋B2sin22χ．D、B1cos4χ＋B2sin4χ．标准答案：A知识点解析：方程右端的非齐次项f(χ)＝2cos2χ＝1＋cos4χ，相应齐次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(χ)＝1，有形式为y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项f2(χ)＝cos4χ，有形式为y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．应选A．5、设D是由直线χ＝0，y＝0，χ＋y＝1在第一象限所围成的平面区域，则J＝＝_______．A、e＋1．B、e－1．C、D、标准答案：D知识点解析：选用极坐标变换．D的极坐标表示：于是因此选D．6、设函数F(χ，y)在(χ0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(χ0，y0)＝F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)＞0，F〞χχ(χ0，y0)＜0．由方程F(χ，y)＝0在χ0的某邻域确定的隐函数y＝y(χ)，它有连续的二阶导数，且y(χ0)＝y0，则A、y(χ)以χ＝χ0为极大值点．B、y(χ)以χ＝χ0为极小值点．C、y(χ)在χ＝χ0不取极值．D、χ0，y(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．标准答案：B知识点解析：按隐函数求导法，y′(χ)满足令χ＝χ0，相应地y＝y0由F′χ(χ0，y0)＝0，F′y(χ0，y0)≠0得y′(χ0)＝0．将上式再对χ求导并注意y＝y(χ)即得再令χ＝χ0，相应地y＝y0，y′(χ0)＝0得因此χ＝χ0是y＝y(χ)的极小值点．故选B．7、设η1，η2，η3为3个n维向量，AX＝0是n元齐次方程组。则()正确．A、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．B、如果η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且r(A)＝n－3，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．C、如果η1，η2，η3等价于AX＝0的一个基础解系．则它也是AX＝0的基础解系．D、如果r(A)＝n－3，并且AX＝0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX＝0的一个基础解系．标准答案：D知识点解析：选项A缺少n－r(A)＝3的条件．选项B缺少η1，η2，η3线性无关的条件．选项C例如η1，η2是基础解系η1＋η2＝η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．要说明选项D的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX＝0的解，并且线性无关．方法如下：设α1，α2，α3是AX＝0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)＝3，则r(η1，η2，η3＝r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)＝r(α1，α2，α3)＝3，于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX＝0的解．8、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：选项A矩阵的3个特征值两两不同，选项D是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵．选项C矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3＞3－C矩阵的秩．因此C不相似于对角矩阵．选项B矩阵的秩也为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2＝3－B矩阵的秩．因此相似于对角