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文档简介
经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷1(共9套)(共244题)经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、“对任意给定的ε>0,总存在正整数N,当n≥N时,恒有|xn-a|<ε/3”是数列{xn}收敛于a的().A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件标准答案:C知识点解析:对照数列极限的定义:对任意给定的ε1>0,总存在正整数N1,当n>N1时,恒有|xn-a|<ε1,则称数列{xn}收敛于a.仔细分析题设条件知命题的提法与定义相比要强些,但实质是等价的,由定义可知,对任意给定ε1>0,必定存在正整数N1,当n>N1时,总有|xn-a|ε1.取ε1=ε/3,,N1=N.故选C.2、A、等于1B、等于eC、为∞D、不存在,也不为∞标准答案:A知识点解析:令xn当n=2k-1时,故选A.3、A、1/2B、1/4C、1/8D、1/16标准答案:D知识点解析:当n→∞时,分子与分母的极限皆为∞,故选D.4、A、0B、1/2C、1D、2标准答案:C知识点解析:当x→0时,x2为无穷小量,sin1/x为有界变量,因此x2sin1/x为无穷小量.故选C.5、A、等于0B、等于4C、为∞D、不存在,也不为∞标准答案:D知识点解析:而当x→2+时,1/(x-2)→+∞,e1/(x-2)→+∞.当x→2-时,1/(x-2)→-∞,e1/(x-2)→0.可知e1/(x-2)不存在,也不为∞.故选D.6、设xn=e1/n,则当n→∞时,xn的极限().A、1/4B、为1C、为∞D、不存在,也不为∞标准答案:A知识点解析:当n→∞时,cos2/n→1,e1/n→1,sin1/n~1/n.则故选A.7、函数f(x)=在点x=-1处连续,则().A、a=e,b=eB、a=1,b=eC、a=0,b=eD、a=1-e,b=e标准答案:D知识点解析:由于(a+bx2)=a+b,ln(b+x+x2)=lnb.由于f(-1)=1,可知当a+b=lnb=1,即a=1-e,b=e时,f(x)在点x=-1处连续.故选D.8、设f(x)在点x=2处可导,且=1/3则f’(2)=().A、-1B、1C、1/3D、-1/3标准答案:B知识点解析:由题设f(x)在x=2处可导,而题中极限过程为x→1.若设u=x+1,则当x→1时,u→2,因此因此f’(2)=1.故选B.9、设f(x)=在点x=1处可导,则().A、a=e,b=0B、a=0,b=eC、a=e,b=1D、a=1,b=e标准答案:A知识点解析:由于f(x)在点x=1处可导,因此必定连续.又由于因此a+b=e.由于f(x)在点x=1连续,且当x<1时,f(x)=ex,f’(x)=ex,当x>1时,f(x)=ax+b,f’(x)=a,由于f’(1)存在,从而有f’-(1)=f’+(1),因此a=e.进而可知b=0.故选A.10、设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f’(x)g(x)-g’(x)f(x)<0,则当a<x<b时,有().A、f(x)g(b)>f(b)g(x)B、f(x)g(a)>f(a)g(x)C、f(x)g(x)>f(b)g(b)D、f(x)g(x)>f(a)g(a)标准答案:A知识点解析:f(x),g(x)都为抽象函数,可以先将选项A,B变形:A可以变形为f(x)/g(x)>f(b)/g(b);B可以变形为f(x)/g(x)>f(a)/g(a).由此可得A,B是比较f(x)/g(x)与其两个端点值的大小.而C,D是比较f(x)g(x)与其两个端点值的大小.由于题设条件不能转化为[f(x).g(x)]’,而题设f(x)>0,g(x)>0,且f’(x)g(x)-g’(x)f(x)<0,因此有从而知f(x)/g(x)在[a,b]上为单调减少函数,因此当a<x<b时,有f(x)/g(x)>f(b)/g(b),进而知f(x)g(b)>f(b)g(x).故选A.11、设f(x)=2x+3x-2,当x→0时().A、f(x)与x为等价无穷小B、f(x)与x为同阶无穷小但不等价C、f(x)为较x高阶的无穷小D、f(x)为较x低阶的无穷小标准答案:B知识点解析:由题意应考查极限,所给极限为“0/0”型,应利用洛必达法则求解.=ln2+ln3.可知当x→0时,f(x)与x为同阶无穷小,但不等价.故选B.12、设周期函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,f(x)的周期为4,=-1,则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为().A、-2B、-1C、1D、2标准答案:A知识点解析:由于f(x)在(-∞,+∞)内可导,且f(x)=f(x+4),又由于周期函数的导函数也是周期函数,且其周期与相应周期函数的周期相同,都为4.即f’(1)=f’(5).又由=-1,可得f’(1)=-2.因此知曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为f’(5)=-2.故选A.13、设y=y(x)是由方程ey=(x2+1)2-y确定的隐函数,则点x=0().A、不是y的驻点B、是y的驻点,但不是极值点C、是y的驻点,且为极小值点D、是y的驻点,且为极大值点标准答案:C知识点解析:将所给方程两端关于x求导,可得ey.y’=4x(x2+1)-y’,y’=.4x(x2+1).令y’=0,可得y的唯一驻点x=0.当x<0时,y’<0;当x>0时,y’>0.由极值的第一充分条件可知x=0为y的极小值点.故选C.14、设函数f(x)满足f"(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则().A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、f(0)不为f(x)的极值,但(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不为f(x)的极值,(0,f(0))也不为曲线y=f(x)的拐点标准答案:C知识点解析:由于f’(0)=0,f"(x)+[f’(x)]2=x,可得f"(0)=0,可知判定极值的第二充分条件失效.由题设知有f"(x)=x-[f’(x)]2,上式右端可导,表示f(x)三阶可导,且f"’(x)=1-2f’(x)f"(x),f"’(0)=1.可知:f(0)不是函数f(x)的极值,点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点.故选C.二、计算题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)15、标准答案:知识点解析:暂无解析16、标准答案:=e2/e-3=e5.知识点解析:暂无解析17、若极限(cosx-b)=5,求a,b的值.标准答案:所给问题为求极限的反问题.所给表达式为分式,分子的极限sinx.(cosx-b)=0,而表达式的极限存在,因此分母的极限应为零,即(ex-a)=1-a=0,可得a=1,原式化为=1-b=5,可得b=-4.知识点解析:暂无解析18、若f(x)=f(x)存在,求常数k的值.标准答案:由于点x=0为函数的分段点,在点x=0两侧f(x)的表达式不同,应考虑利用左极限与右极限来求解.(1+kx)1/x=ek,由于f(x),所以ek=2,即k=ln2.知识点解析:暂无解析19、设f(x)=在(-∞,+∞)内连续,求a,b的值.标准答案:当x<0时,f(x)=sinbx/x处处有定义,且为初等函数,(-∞,0)为其定义区间,因此必定连续.当x>0时,f(x)=a+kx2也为初等函数,(0,+∞)为其定义区间,也必定连续.只需考查f(x)在点x=0处的连续性.由于x=0为分段点,在x=0两侧f(x)表达式不同,应考查其左连续与右连续(或左极限、右极限,再依连续性要素判定).可知当a=b时,f(x)在点x=0处左连续.(a+如bx2)=a=f(0).可知对于a为任意值,f(x)在点x=0处右连续.综之,对于a=b取任何值,函数f(x)都在点x=0处连续,进而知f(x)在(-∞,+∞)内连续.知识点解析:暂无解析20、设f(x)=判定f(x)的定义域与连续区间,对于间断点判别其类型.标准答案:f(x)==1/x,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).在其定义域内f(x)为初等函数,其连续区间为(-∞,0)∪(0,+∞).由1/x=∞,可知点x=0为f(x)的第二类间断点.知识点解析:暂无解析21、设f(x)=x3+x+1,证明:函数f(x)至少有一个零点.标准答案:由于f(x)=x3+x+1在定义区间(-∞,+∞)内为连续函数,且f(-1)=-1<0,f(1)=3>0.由闭区间上连续函数的性质知,至少存在一点ξ∈(-1,1),使f(ξ)=0.即f(x)至少存在一个零点.知识点解析:暂无解析22、设y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定,求dy|x=0.标准答案:当x=0时,由方程ln(x2+y)=x3y+sinx可得y=1.将方程两端关于x求导,可得.(2x+y’)=3x2y+x3y’+cosx,(*)将x=0,y=1代入上式,可得y’|x=0=1,因此dy|x=0=y’|x=0dx=dx.知识点解析:暂无解析23、设x=-yy,求dy.标准答案:将所给函数两端取对数,得lnx=ylny,两端关于x求导数,得1/x=y’lny+y.1/y.y’=(1+lny)y’,因此dy=y’dx=dx.知识点解析:暂无解析24、设曲线y=x3+ax与曲线y=bx3+c相交于点(-1,0),并且在该点有公共切线,求a,b,c和公切线方程.标准答案:由于两条曲线相交于点(-1,0),因此有可得a=-1,b=c.由y=x3+ax得y’=3x2+a=3x2-1,y’|x=-1=2.由y=bx3+c得y’=3bx2,y’|x=-1=3b.由于两曲线在点(-1,0)处有公切线,因此3b=2.即b=2/3,c=2/3.此时公切线方程为y-0=2[x-(-1)],即y=2(x+1).知识点解析:暂无解析25、标准答案:本题属于“0.∞”型,应先变形为“0/0”或“∞/∞”型.此时极限为“0/0”型.设t=1/x,则知识点解析:暂无解析26、设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),讨论驻点的个数与范围.标准答案:使f’(x)=0的点为f(x)的驻点.若直接求f’(x),再判定f’(x)=0的点很复杂.由于f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),因此f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0.f(x)在[0,1],[1,2],[2,3]上满足罗尔定理,由罗尔定理可知至少有点ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),ξ3∈(2,3),满足f’(ξ1)=0,f’(ξ2)=0,f’(ξ3)=0.即f(x)有驻点ξ1,ξ2,ξ3.又由于f(x)为四次多项式,其导函数为三次多项式,三次方程至多有三个实根,综之,f(x)有且仅有三个驻点,分别位于(0,1),(1,2),(2,3)内.知识点解析:暂无解析27、设曲线y=x4-2x3+3,求曲线y的凹凸区间与拐点.标准答案:由y=x4-2x3+3,可得y’-4x3-6x2,y"=12x2-12x=12x(x-1),令y"=0,得x1=0,x2=1.当x<0时,y">0,可知曲线在(-∞,0)内为凹.当0<x<1时,y"<0,可知曲线在(-1,1)内为凸.当x>1时,y">0,可知曲线在(1,+∞)内为凹.当x=0时,y=3,且在x=0两侧y"异号,因此点(0,3)为曲线的拐点.当x=1时,y=2,在x=1两侧y"异号,因此点(1,2)也是曲线的拐点.知识点解析:暂无解析28、将长为a的铁丝截成两段,一段围成正方形,另一段围成圆,为使正方形与圆的面积之和最小,问两段铁丝的长应各为多少?标准答案:设围成圆的一段长为x,则围成正方形的一段长为a-x,正方形与圆的面积之和令S’=0,解得x=为S的唯一驻点,S"=>0,由极值第二充分条件可知,x=为S的极小值点.由于驻点唯一,且实际问题存在最小值,故当x=时,面积之和最小.即围成圆的一段长为,围成正方形的一段长为时,正方形与圆的面积之和最小.知识点解析:暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、设xn=则当n→∞时,变量xn为().A、无穷大量B、无穷小量C、有界变量D、无界变量标准答案:D知识点解析:由题设可知所以xn不是无穷大量,不是无穷小量,也不是有界变量,是无界变量,故选D.2、A、等于2/3B、等于3/2C、为∞D、不存在,也不为∞标准答案:A知识点解析:当x→4时,分子与分母的极限都为零,不能直接利用极限的商的运算法则.又由于分子与分母中都含有根式,先有理化再求极限.故选A.3、A、-1B、1C、2D、3标准答案:B知识点解析:所给极限为“∞/∞”型,不能利用极限的四则运算法则,也不能利用洛必达法则求之.通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算.故选B.4、A、-3/2B、-2/3C、2/3D、3/2标准答案:A知识点解析:当x→1时,x25x+4→0,因此故选A.5、设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限,则().A、a=2,b=0B、a=2,b=sin1C、a=1,b=0D、a=1,b=sin1标准答案:B知识点解析:需先求出f(x)+g(x)的表达式.显然点x=0,x=1为f(x)+g(x)的分段点,在分段点两侧函数表达式不同,应考虑左极限与右极限.[f(x)+g(x)]=(2e-x+b)=2+b,[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b.由于f(x)+g(x)在点x=0处有极限,因此a+b=2+b,可知a=2.[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b,[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1.由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限,因此a+b=a+sin1,可知b=sin1.故选B.6、A、a=1,b=1/2B、a=1,b=2C、a=1/2,b=1D、a=1/2,b=2标准答案:A知识点解析:由于=b,且分母的极限为零,则必定有分子的极限为零,即(a-cosx)=a-1=0,从而得a=1,因此有故选A.7、函数f(x)=,则().A、x=-1为f(x)的可去间断点,x=1为无穷间断点B、x=-1为f(x)的无穷间断点,x=1为可去间断点C、x=-1与x=1都是f(x)的可去间断点D、x=-1与x=1都是f(x)的无穷间断点标准答案:B知识点解析:当x=-1与x=1时,f(x)没有定义.这两个点是f(x)的间断点.可知x=-1为f(x)的无穷间断点,x=1为f(x)的可去间断点.故选B.8、已知函数y=f(x)在点=1处可导,且=2,则f(1)=().A、1B、2C、3D、6标准答案:D知识点解析:所给题设为导数定义的等价形式,由导数定义可知可得f’(1)=6.故选D.9、设函数f(x)在点x=0处连续,且f(x)/x=1,则下列命题不正确的是().A、f(x)=0B、f(0)=0C、f’(0)=0D、f’(0)=1标准答案:C知识点解析:已知x=0,所以必有f(x)=0.又f(x)在点x=0处连续,故f(0)=f(x)=0.于是故选C.10、若y=f(x)可导,则当△x→0时,△y-dy为△x的().A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但不等价无穷小D、等价无穷小标准答案:A知识点解析:由微分的定义可知,当△x→0时,→0,△y-dy为△x的高阶无穷小,故选A.11、若在[0,1]上f"(x)>0,则f’(1),f’(0),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是().A、f’(1)>f’(0)>f(1)f(0)B、f’(1)>f(1)-f(0)>f’(0)C、f(1)一f(0)>f’(1)>f’(0)D、f’(1)>f(0)-f(1)>f’(0)标准答案:B知识点解析:本题考查导数值的关系.题设条件为二阶导数大于零,可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解.由于在[0,1]上f"(x)>0,可知f’(x)为[0,1]上的单调增加函数,因此f’(1)>f’(0).又f"(x)在[0,1]上存在,可知f’(x)在[0,1]上连续.f(x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理,可知必定存在点ξ∈(0,1),使得f(1)-f(0)=f’(ξ),由于f’(x)在[0,1]上为单调增加函数,必有f’(1)>f’(ξ)>f’(0),即f’(1)>f(1)-f(0)>f’(0).故选B.12、设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数的图形如图1—2—1所示.则f(x)有().A、一个极小值点和两个极大值点B、两个极小值点和一个极大值点C、两个极小值点和两个极大值点D、三个极小值点和一个极大值点标准答案:A知识点解析:由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点,因此只需考虑这两类特殊点.由图1—2—1可知,导数为零的点有三个,自左至右依次记为x1,x2,x3.在这些点的两侧,f’(x)异号:当x<x1时,f’(x)>0;当x1<x<x2时,f’(x)<0.可知x1为f(x)的极大值点.当x1<x<x2时,f’(x)<0;当x2<x<0时,f’(x)>0.可知x0为f(x)的极小值点.当0<x<x3时,f’(x)>0;当x>x3时,f’(x)<0.可知x3为.f(x)的极大值点.由导函数图形知,在点x=0处f(x)不可导,但在x=0左侧f’(x)>0,在x=0右侧f’(x)>0.可知点x=0不为.f(x)的极值点.综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点.故选A.13、设y=sinx,则y’=().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:y=sinx,则y’=(x1/3)’sinx+x1/3.(sinx)’=1/3x-2/3sinx+x1/3cosx=故选D.14、已知函数f(x)连续,且f(x)/x=2,则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是().A、y=xB、y=-xC、y=2xD、y=-2x标准答案:C知识点解析:由于f(x)为连续函数,f(x)/x=2,可知f(0)=f(x)=0.因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.故选C.二、计算题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)15、求极限x[ln(x+2)-lnx].标准答案:所求极限为“0.∞”型,不能利用极限的四则运算法则.由对数性质及连续函数的性质有:=lne2=2.知识点解析:暂无解析16、求极限(3-n+4-n)1/n.标准答案:(3-n+4-n)1/n令x=(3/4)n,则(3/4)n=0,即x=0.原式=1/3(1+x)1/n=1/3[(1+x)1/x]x/n=1/3.知识点解析:暂无解析17、求极限(1+2n+3n)1/n.标准答案:由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1/3lim(1+2n+3n)1/n=1,(1+2n+3n)1/n=3.知识点解析:暂无解析18、若=0,求常数a的值.标准答案:所给表达式中,由于当x→0时sin3x/x极限存在,由极限的性质可知当x→0时,ln()1/x极限存在,且有=lnea+1=a+1.因此a+1=3,得a=2.知识点解析:暂无解析19、设当x→0时,(-1).ln(1+x2)是比xnsinx高阶的无穷小量,而xnsinx是比1-cosx高阶的无穷小量,求正整数n的值.标准答案:当x→0时,(-1).ln(1+x2)~x2.x2=x4,xnsinx~xn+1,1-cosx~x2/2.由题设可知,应有2<n+1<4,因此n=2.知识点解析:暂无解析20、设f(x)=在点x=0处连续,求a,b的值.标准答案:f(x)为分段函数,点x=0为分段点,在分段点两侧f(x)表达式不同,考查f(x)在点x=0处左连续与右连续.由于sin1/x为有界变量,当x→0时,x为无穷小量,因此xsin1/x=0.而可得f(x)=3,由f(0)=a,可知当a=3时,f(x)在点x=0处左连续.(1+bx)2/x=e2b.可知当e2b=a,即b=1/2lna时,f(x)在点x=0处右连续.综上可知,当a=3,b=1/2ln3时,f(x)在点x=0处连续.知识点解析:暂无解析21、求函数y=ln的连续区间.标准答案:首先求y=ln的定义域,应有>0,且1-x≠0,解得0<x<1.可知y=ln的定义域为(0,1),y=ln为初等函数,在其定义区间(0,1)内必定为连续函数,可知(0,1)为所求.知识点解析:暂无解析22、设y=+sinx,求y’.标准答案:先将所给函数分为两项之和,第一项为连乘除形式,应利用对数求导法,对此,令则有ln|y1|=2ln|x|-ln|1-x|+ln|2+x|-ln|2-x|,两端关于x求导,可得知识点解析:暂无解析23、设y=f(x)由方程sin(xy)+lny-x=1确定,求n[f(2/n)-e].标准答案:由于n→∞时,2/n→0,f(2/n)→f(0),先将x=0代入所给方程,可得f(0)=e.只需求f’(0).将方程两端对x求导,有cosxy.(y+xy’)+.y’-1=0.将x=0及y|x=0=e代入上式,可得y’|x=0=f’(0)=e(1-e),所以n[f(2/n)-e]=2e(1-e).知识点解析:暂无解析24、标准答案:本题是“苦0/0”型极限,但若直接用洛必达法则,求导比较麻烦.考虑到分子、分母都有,故可先设t=,然后用洛必达法则.知识点解析:暂无解析25、标准答案:当x→∞时,ln(1+)~1→x,可知所以本题是“∞-∞”型.应先做变换,令t=1→x,则知识点解析:暂无解析26、设函数y=x2+ax+b在点x=2处取得极小值3,求常数a,b的值.标准答案:由于函数y在点x=2处取得极小值3,因此有3=22+2a+b,即2a+b=-1.又y’=2x+a,y’|x=2=4+a=0,可得a=-4,进而知b=7.知识点解析:暂无解析27、当e<x1<x2时,问lnx1/x1与lnx2/x2哪个大,为什么?标准答案:由题目可知是考查函数y=lnx/x的单调性.当x>e时,y有定义,由于令y’=0得y的驻点x=e.当x>e时,y’<0,可知函数y=lnx/x单调减少.因此当e<x1<x2时,有lnx1/x1>lnx2/x2.知识点解析:暂无解析28、假设某种商品的需求量Q是单价p(单位:千元)的函数Q=120-8p.商品的固定成本为25(千元),每多生产一单位产品,成本增加5(千元).试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润.标准答案:利润等于销售收益减去总成本,所以首先求出成本函数C=C(Q).然后求L=pQ-C的最大值.已知商品固定成本为25(千元),可变成本呈线性增长.所以总成本函数C=25+5Q.总销售利润L=R-C=pQ-C=p(120-8p)-25-5(120-8p)=160p-8p2-625,L’=160-16p.令L’=0,得驻点p=10.由L"=-16<0及唯一性可知当p=10(千元)时,总销售利润最大.最大销售利润为L(10)=160×10-8×102-625=175(千元).知识点解析:暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、设对任意的x,总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且im[g(x)-φ(x)]=0,则f(x)().A、存在且为零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案:D知识点解析:注意题设条件与夹逼准则不同,夹逼准则中条件为当|x|>M时:(1)φ(x)≤f(x)≤g(x);(2)φ(x)都存在!)而本题条件为[g(x)-φ(x)]=0并不能保证φ(x)都存在.例如g(x)=符合本题条件,但f(x)不存在.而取g(x)=也符合本题条件,有f(x)=0,故选D.2、A、1/4B、1/2C、-1/2D、-1/4标准答案:D知识点解析:故选D.3、设f(x-3)=2x2+x+2,则f(x)/x2=().A、1B、2C、3D、4标准答案:B知识点解析:设t=x-3,则x=t+3,由题设可得f(t)=2(t+3)2+(t+3)+2=2t2+13t+23,即f(x)=2x2+13x+23.则故选B.4、A、0B、1C、2/3D、3标准答案:D知识点解析:当x→∞时,为无穷小量,因此故选D.5、设f(x)=f(x)存在,则().A、a=b=1B、a=b=eC、a=0,b=eD、a任意,b=e标准答案:D知识点解析:点x=0为f(x)的分段点,在分段点两侧函数表达式不同,应利用左极限与右极限判定.(1+x)1/x=e.当b=e时,f(x)存在,且f(x)=e.由于极限值与函数在该点有无定义无关,因此a可以取任意值.故选D.6、设f(x)=且f(x)在点x=0处连续,则().A、a=5/3,b=2/3B、a=5/2,b=3/2C、a=e2/3+1,b=e2/3D、a=e3/2-1,b=e3/2标准答案:D知识点解析:由于在点x=0两侧f(x)表达式不同,应分左极限、右极限来讨论.f(x)=(1+3x)1/2x=e3/2,由于f(0)=a+1,仅当a+1=e3/2=b时,即当a=e3/2-1,b=e3/2时,f(x)在点x=0处连续.故选D.7、设函数f(x)=,则().A、x=-2为f(x)的第一类间断点,x=2为f(x)的第二类间断点B、x=-2为f(x)的第二类间断点,x=2为f(x)的第一类间断点C、x=-2与x=2都为f(x)的第一类间断点D、x=-2与x=2都为f(x)的第二类间断点标准答案:C知识点解析:由f(x)在x=-2,x=2处没有定义,可知x=-2与x=2为f(x)的两个间断点.由可知x=-2与x=2都为f(x)的第一类间断点.故选C.8、已知函数f(x)在点x=0处可导,则=().A、1/2f(0)B、f’(0)C、2f’(0)D、4f’(0)标准答案:C知识点解析:所给题设条件为导数定义的等价形式,有故选C.9、设函数f(x)在点x=0处连续,且=0,则().A、f(0)=0,f’(0)=0B、f(0)=0,f’(0)=1C、f(0)=1,f’(0)=0D、f(0)=1,f’(0)=1标准答案:A知识点解析:由于又由于f(x)在点x=0处连续,从而f(0)=f(x)=0.可知应排除C,D.故选A.10、设函数f(x)可导,y=f(x3).当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0.1时,相应的函数增量△y的线性主部为0.3,则f’(-1)=().A、-1B、0.1C、1D、0.3标准答案:A知识点解析:由于当f(x)可导且△x→0时,由微分的定义知△y与dy的差为△x的高阶无穷小量,且dy为△y的线性主部,因此有△y=dy+o(△x)=y’△x+o(△x),当y=f(x3)时,有y’=3x2f’(x3),由题设有[f’(x3).3x2]|x=-1.△x=0.3,3f’(-1).(-0.1)=0.3,f’(-1)=-1,故选A.11、设f’(x0)=f"(x0)=0,f"(x0)>0,则下列选项正确的是().A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点标准答案:D知识点解析:需注意如果f"(x0)=0,则判定极值的第二充分条件失效.如果记F(x)=f’(x),由题设条件有F’(x0)=0,F"(x0)>0.由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值,即f’(x0)为f’(x)的极小值,因此A不正确,排除A.取f(x)=x3,则f’(x)=3x2,f"(x)=6x,f"’(x)=6.因此f’(0)=f"(0)=0,f"’(0)=6>0.而x=0既不为.f(x)=x3的极小值,也不为f(x)=x3的极大值,可知B,C都不正确,排除B,C.由于f"’(x0)>0,知f"(x)在点x0处连续,又f"(x0)=0,由导数定义可以验证f"(x)在x0两侧异号,从而知点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.故选D.利用泰勒公式可以证明下述命题:若f’(x0)=f"(x0)=…=f(n-1)(x0)=0,而f(n)(x0)≠0,则(1)当n为偶数时,x0为f(x)的极值点,且①当f(n)(x0)>0时,x0为f(x)的极小值点;②当f(n)(x0)<0时,x0为f(x)的极大值点.(2)当n为奇数时,x0不为f(x)的极值点.但点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.以后可以将上述结论作为定理使用.12、若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则f’(x)的零点的个数为().A、4B、3C、2D、1标准答案:B知识点解析:f’(x)的零点即为f’(x)=0的根,也就是f(x)的驻点.可以直接求f’(x),令f’(x)=0求解,但运算较复杂.注意到由f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0.在[1,2],[2,3],[3,4]上f(x)满足罗尔定理,因此必定存在ξ1∈(1,2),ξ2∈(2,3),ξ3∈(3,4),使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0,由于f(x)为四次多项式,f’(x)为三次多项式,因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根.故选B.13、设y=x3/cosx,则y’|x=π=().A、-3πB、3πC、-3π2D、3π2标准答案:C知识点解析:y=x3/cosx,则y’|x=π=-3π2.故选C.14、曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程是().A、y=-x+1B、y=x+1C、y=2x+1D、y=3x+1标准答案:B知识点解析:所给问题为由隐函数形式确定的函数曲线的切线问题,这类问题与由显函数形式确定的函数曲线切线问题相仿,只需求出导数值,代入切线方程求解即可.将所给方程两端关于x求导,可得cosxy.(xy)’+.(y-x)’=1,点(0,1)在曲线上,在点(0,1)处有y’|x=0=1,切线方程为y=x+1.故选B.对于显函数,如果y=f(x)在点x=x0处可导,则曲线y=f(x)在点x0处必定存在切线,切线斜率为f’(x0),切线方程为y-f(x0)=f’(x0)(x-x0).当f’(x0)≠0时,法线方程为y-f(x0)=(x-x0).特别当f’(x0)=0时,相应的切线方程为y=f(x0).对于隐函数,如果曲线方程y=y(x)由F(x,y)=0确定,如果(x0,y0)在曲线上,求过该点的切线方程时,只需先依隐函数求导方法求出dy/dx,再代入切线方程即可.二、计算题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)15、标准答案:所给极限为“0/0”型,不能直接利用极限的四则运算法则.由于f(x)存在,则f(x)sinx=0,当x→0时,-1~1/2f(x)sinx,因此可得f(x)=12.知识点解析:暂无解析16、标准答案:由于由极限存在准则(夹逼定理)可知知识点解析:暂无解析17、设f(x)=ansinx/an(a≠0,x≠0),讨论f(x)是否存在?若存在,求出极限.标准答案:极限过程为n→∞,式中a为参数,an的值不仅与n有关,且与a也有关,因此应对a进行讨论.当|a|<1时,an=0,由于sinx/an为有界变量,因此ansinx/an=0.当|a|=1时,ansinx/an=(±1)nsinx/(±1)n=sinx.当|a|>1时,an=∞,x/an=0,因此综上所述,得知识点解析:暂无解析18、确定变量y=在什么过程下为无穷大量.标准答案:所给表达式为分式,分母在(-∞,+∞)内皆非零,因此函数的定义域为(-∞,+∞).又由于表达式为有理式,分母为二次多项式,最高次幂数为2,分子也为多项式,最高次幂数为8/3.因此可知当x→∞时,y为无穷大量.知识点解析:暂无解析19、设f(x)=讨论f(x)在点x=0处的连续性.标准答案:由可知当f(x)=f(0),即a=1时,f(x)在点x=0处连续;当a≠1时,f(x)在点x=0处间断,点x=0为f(x)的第一类间断点.知识点解析:暂无解析20、设f(x)=求其间断点,并判别其类型.标准答案:由题设可知,当x=0时,f(x)间断.由于可知f(x)不存在.所以点x=0为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点).知识点解析:暂无解析21、设y=ln,求y’.标准答案:在求导函数时有对数运算时,先利用对数运算法则化简再求导,往往能使运算过程简化.知识点解析:暂无解析22、设y=,求dy.标准答案:先将所给函数两端取对数,有两端关于x求导,可得知识点解析:暂无解析23、设f(x)=x3+3x2-2x+1,求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程与法线方程.标准答案:点(0,1)在所给曲线y=f(x)上.y’=3x2+6x-2,y’|x=0=-2.因此曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0,法线方程为y-1=1/2(x-0),即x-2y+2=0.知识点解析:暂无解析24、标准答案:本题是“0/0”型极限,注意到当x→+∞时,ln(1+)~1/x,可得知识点解析:暂无解析25、求极限,其中n是给定的自然数.标准答案:因为=n/n=1,所以本题是“1∞”型.可以利用取对数法.知识点解析:暂无解析26、设点(-1,3)为曲线y=ax3+bx2+x的拐点,求常数a,b的值.标准答案:由点(-1,3)为曲线y的拐点,可知点(-1,3)在曲线上,因此有3=-a+b-1,即-a+b=4.(*)y’=3ax2+2bx+1,y"=6ax+2b,因此y"|x=-1=-6a+2b=0,可解得b=3a,代入(*)式可得a=2,b=6.知识点解析:暂无解析27、当a为何值时,方程x3-3x+a=0仅有两个相异的实根.标准答案:所给方程为三次方程,最多可能存在三个实根.设y=x3-3x+a,则问题转化为讨论a为何值时函数y仅有两个零点.所给函数y的定义域为(-∞,+∞).且(x3-3x+a)=-∞,(x3-3x+a)=+∞,y在(-∞,+∞)内连续,由连续函数性质可知y必定存在零点.y’=3x2-3=3(x-1)(x+1),令y’=0,可得x1=-1,x2=1为y的两个驻点.可知y(-1)=2+a为y的极大值,y(1)=-2+a为y的极小值.当y的极大值或极小值之一为零时,y仅有两个不同的零点,即当a=-2或a=2时,y仅有两个不同的零点.因此当a=-2或a=2时,方程x3-3x+a=0仅有两个相异的实根.知识点解析:暂无解析28、某糖果f生产的奶油糖每袋售价5.4元,如果每周销售量为Q(千袋)时,每周成本C=2400+4000Q+100Q2(元).设价格不变,求:(1)每周可以获利的销售量范围;(2)每周销售多少袋时,可获得最大利润.标准答案:单价p=5.4元,那么每周销售量为Q(千袋)时的收益为1000Q×5.4=5400Q.(注意单位)(1)设利润为L,L=5400Q-C=-100Q2+1400Q-2400.要想获得利润,需L>0,即-100Q2+1400Q-2400>0,得2<Q<12.即每周销售量在2000至12000袋之间,可以获利.(2)由(1)得L’=-200Q+1400.令L’=0,得唯一的驻点Q=7.又L"<0,所以在Q=7(千袋)时利润最大.即每周销售7000袋时可获得最大利润.知识点解析:暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、下列式子正确的是().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:当x→0时,x为无穷小量,sin1/x为有界变量,由于无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量,因此xsin1/x=0,可知A不正确.当x→∞时,1/x→0,因此1/xsinx=0.可知B不正确.由重要极限公式sinx/x=1,可知D不正确.当x→∞时,1/x→0,由重要极限公式可得:可知C正确,故选C.2、A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:当x→1时,分子与分母的极限皆为零,分子中含有根式,故先有理化再求极限.故选D.3、设f(x+f(x)=().A、-1B、-1/2C、1/2D、1标准答案:D知识点解析:由于故选D.4、当x→0时,etanx-esinx与xa为同阶无穷小量,则a=().A、1B、2C、3D、4标准答案:C知识点解析:由题意,知该极限应为不等于零的常数,因此a-1=2,得a=3.故选C.5、设f(x)=f(x)存在,则a=().A、4B、ln4C、0D、ln1/4标准答案:B知识点解析:点x=0为f(x)的分段点,在分段点两侧f(x)表达式不同,应分左极限、右极限来考虑.(1+ax)1/x=ea.由于=f(x)存在,ea有=4,从而a=ln4.故选B.6、函数f(x)=则x=0为f(x)的().A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、是否为连续点与a有关标准答案:D知识点解析:点x=0为f(x)的分段点,在x=0两侧f(x)的表达式不同.应考查f(x)的左极限与右极限.可知当a=4时,f(x)=4,又f(0)=4.进而可知,当a=4时,x=0为f(x)的连续点.当a≠4时,x=0为f(x)的间断点,且为第一类间断点.故选D.7、设g(x)=,则().A、x=0必是g(x)的第一类间断点B、x=0必是g(x)的第二类间断点C、x=0必是g(x)的连续点D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关标准答案:D知识点解析:所给问题为函数g(x)在点x=0处的连续性及间断点的类型判定问题.又由g(0)=0,可知:当a>1时,g(x)=g(0),此时g(x)在x=0处连续;当a=1时,g(x)=1,此时g(x)在x=0处间断,x=0为g(x)的第一类间断点;当a<1时,g(x)不存在,此时g(x)在x=0处间断,x=0为g(x)的第二类间断点.综上可知,g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.故应选D.8、已知f’(2)=-1,则=().A、1B、-1/3C、-1/2D、-1标准答案:A知识点解析:所给条件为在点x=2处导数定义的形式.但是,应该明确若f’(2)存在,则即当自变量的增量趋于零时,函数增量与自变量增量之比的极限.注意函数增量的形式:动点处函数值与定点处函数值之差.本题中函数增量是函数在两个动点处的差值,不属于导数定义的标准形式,也不属于导数定义的等价形式,因此应考虑将其变形,化为导数定义的等价形式,由于f(x)在x=2处可导,f’(2)必定存在,故选A.9、设f(x)=则f(x)在x=1处().A、左、右导数都存在B、左导数存在,但右导数不存在C、左导数不存在,但右导数存在D、左、右导数都不存在标准答案:B知识点解析:由于在分段点两侧f(x)表达式不同,因此利用左导数、右导数进行判定.有可知f(x)在x=1处左导数存在,右导数不存在,故选B.10、设f(x2)=,则f’(x)=().A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:由于f(x2)故选B.11、设f(x)的导数在x=a处连续,又=-1,则().A、x=a是f(x)的极小值点B、x=a、是f(x)的极大值点C、(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D、x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案:B知识点解析:由于=-1,其中求极限的函数为分式,分母的极限为零,因此必定有分子的极限为零,即f’(x)=0.由题设知f’(x)在点x=a处连续,因此有f’(a)=f’(x)=0.即x=a为f(x)的驻点.又由极值第二充分条件知x=a为f(x)的极大值点.故选B.12、设f(x)=|x(3-x)|,则().A、x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点B、x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点,且(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案:C知识点解析:由于f(x)=|x(3-x)|≥0,f(0)=0,可知x=0为f(x)的极小值点.排除B,D.由可得当x<0或x>3时,f’(x)=-3+2x,f"(x)=2;当0<x<3时,f’(x)=3-2x,f"(x)=-2.由于在x=0两侧f"(x)异号,因此(0,f(0))=(0,0)为曲线y=f(x)的拐点.故选C.13、设y=ln,则dy|x=0=().A、-1/2dxB、1/2dxC、-2dxD、2dx标准答案:A知识点解析:因此dy|x=0=y’|x=0dx=-1/2dx.故选A.14、设y=f(x)对任意x满足f(x+1)=2f(x),且f(0)=1,f’(0)=C,则f’(1)=().A、1/2CB、CC、2CD、3/2C标准答案:C知识点解析:由于f(x)为抽象函数,只能从题设条件入手,寻求能由f’(1)的定义求解的方法.由于f(0)=1,f(x+1)=2f(x),令x=0,可得f(1)=2.=2C.故选C.二、计算题(本题共13题,每题1.0分,共13分。)15、标准答案:由于当x→0时,sinx~x,ex-1~x,1-cosx~1/2x2,因此知识点解析:暂无解析16、若当x→0时,-1与sin2x为等价无穷小,求a.标准答案:当x→0时,-1与sin2x为等价无穷小,因此从而可得a=2.知识点解析:暂无解析17、标准答案:当x→0-时,1/x→-∞,e1/x→0,且-1/x→+∞,e-1/x→+∞,因此所给极限表达式不能直接利用极限的四则运算法则.应先变形再求极限.知识点解析:暂无解析18、若当x→0时,sinxa,(1-cosx)1/a均是比x高阶的无穷小量,求a的取值范围.标准答案:由于当x→0,a<0时,sinxa不为无穷小量,因此a>0,此时sinxa~xa,由题设知sinxa是比x高阶的无穷小量,因此有可知a>1.又当x→0时,1-cosx~1/2x2,由题设知(1-cosx)1/a是比x高阶的无穷小量,因此有可知应有-1>0,即a<2.综上,有1<a<2.知识点解析:暂无解析19、设c>0,f(x)=在(-∞,+∞)内连续,求常数c的值.标准答案:由题设可知,当|x|≠c时,f(x)为初等函数,在其定义区间内必定为连续函数,故只需讨论当|x|=c时f(x)的连续性.5=5,f(-c)=c2+1.当c2+1=5,即c=2时,f(x)在点x=-c处左连续.此时,(x2+1)=c2+1=f(-c),f(x)在x=-c处右连续.因此当c=2时,f(x)在x=-c处连续.(x2+1)=c2+1=f(c),可知f(x)在点x=c左连续.f(x)=5,当f(x)=f(c),即c2+1=5时,亦即c=2时,f(x)在点x=c处右连续.综之,当c=2时,f(x)在(-∞,+∞)内连续.知识点解析:暂无解析20、设f(x)=,判定f(x)的间断点,并判别其类型.标准答案:当x=1时,没有意义.当x=0时,没有意义.可知点x=0与点x=1为f(x)的两个间断点.由于可知点x=0为f(x)的第二类间断点.由于因此点x=1为f(x)的第一类间断点.知识点解析:暂无解析21、设y=,求y’|x=1.标准答案:y’=.[sin(x2+3)]’=.cos(x2+3).(x2+3)’=2x.cos(x2+3).y’|x=1=2esin4cos4.知识点解析:暂无解析22、设y=,求y’.标准答案:所给函数的幂指函数求导,应利用对数求导法.将所给函数表达式两端取对数:lny=ln=x2lnx.将上式两端关于x求导:1/yy’=2xlnx+x.因此y’=y(2xlnx+x)=(1+2lnx).知识点解析:暂无解析23、求曲线y=lnx的过原点的切线方程.标准答案:由于原点(0,0)不在曲线y=lnx上,可设切点M0坐标为(x0,y0),则y0=lnx0.由导数的几何意义,过M0点的切线斜率k=f’(x0)-1/x0.因此可设切线方程为y-y0=1/x0(x-x0),即y-y0=x-1.由于切线过原点(0,0),因此0-y0=-1,得y0=1.又切点(x0,y0)在曲线y=lnx上,因此y0=lnx0,可知x0=e.故所求切线方程为y-1=x-1.即y=x/e.知识点解析:如果点(x0,y0)在曲线y=f(x)上,即y0=f(x0),斜率f’(x0)存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f’(x0)(x-x0).当f’(x0)≠0时,曲线在点(x0,f(x0))处的法线方程为y-f(x0)=-(x-x0).如果点(x0,y0)不在曲线y=f(x)上,求曲线过点(x0,y0)处的切线方程时,即先设切点为(m,n),写出切线方程,求出满足给定题设条件的切点坐标.24、标准答案:ln(1-x)=-∞.所以本题是“∞/∞”型极限.知识点解析:暂无解析25、标准答案:所给问题是“00”型.知识点解析:暂无解析26、求函数y=x3-3zx2-5的极值点与极值.标准答案:y’=3x2-6x=3x(x-2).令y’=0可解得x1=0,x2=2.y"=6x-6=6(x-1),y"|x=0=-6,y"|x=2=6,可知点x=0为y的极大值点,极大值为y=-5;点x=2为y的极小值点,极小值为y=-9.知识点解析:暂无解析27、设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可表示成其中a,b,c均为正数,且a>bc.(1)求p在什么范围变化时,使相应的销售额增加或减少?(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?标准答案:销售额是指商品全部售出后所得的总收益R,它是单价p的函数R=pQ.求销售额何时增加,何时减少,实际上就是求收益函数的单调区间.(1)设售出商品的销售额为R,则令R’=0,得驻点p0=±-b,注意到a>bc,则a/c>b,>b,所以当0<p<-b时,R’>0,这时收益函数R单调增加.即随着商品单价p的增加,相应的销售额也将增加;当p>-b时,R’<0,这时收益函数R单调减少.即随着商品单价p的增加,相应的销售额将减少.这主要是因为当p增加太大时销售数量Q就会减少.(2)由(1)可知,函数R在p0处有极大值,而且该极大值也是最大值,所以知识点解析:暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、已知函数f(x)的一个原函数为e-2x,则f’(x)=().A、-2e-2xB、2e-2xC、4e-2xD、-4e-2x标准答案:C知识点解析:由题设e-2x为f(x)的一个原函数,可知f(x)=(e-2x)’=-2e-2x,因此f’(x)=(-2e-2x)’=4e-2x.故选C.2、不定积分∫sinx.cosxdx不等于().A、1/2sin2x+CB、1/2sin2x+CC、-1/4cos2x+CD、-1/2cos2x+C标准答案:B知识点解析:这个题目有两种常见解法:一是将四个选项分别求导数,哪个选项的导数不等于sinx.cosx,则这个选项必然错误;二是直接求解,但解法不同,可能导致结果的形式不同.解法1对于A,(sin2x+C)’=1/2.2sinx.cosx=sinx.cosx,可知A正确.对于B,(sin2x+C)’=1/2.cos2x.2=cos2x≠sinx.cosx,可知B不正确.对于C,(-cos2x+C)’=1/4.sin2x.2=1/2sin2x=sinx.cosx,可知C正确.对于D,(-cos2x+C)’=-1/2.2cosx.(-sinx)=sinx.cosx,可知D正确.故选B.解法2∫sinx.cosxdx=∫sinxd(sinx)=sin2x+C;∫sinx.cosx=-∫cosxd(cosx)=-cos2x+C;∫sinx.cosxdx=1/2∫sin2xdx=1/2.∫sin2x.1/2d(2x)=-cos2x+C.可知A,C,D正确.故选B.3、设f’(x)为连续函数,则下列命题错误的是().A、d/dx∫abf(x)dx=0B、d/dx∫abf(x)dx=f(x)C、∫axf’(t)dt=f(x)-f(a)D、d/dx∫axf(t)dt=f(x)标准答案:B知识点解析:由题设f’(x)连续,可知f(x)必定连续,因此∫abf(x)dx存在,它表示一个确定的数值,可知A正确,B不正确.由牛顿一莱布尼茨公式得∫axf’(t)dt=f(t)|ax=f(x)-f(a),则c正确.由变限积分求导公式得d/dx∫axf(t)dt=f(x),则D正确.故选B.4、设f(x)为连续函数,则d/dx∫0xtf(x2-t2)dt=().A、-x/2f(0)B、x/2f(0)C、xf(0)D、xf(x2)标准答案:D知识点解析:所给问题为可变上限积分的求导问题,但是被积函数中含有变上限的变元x,且f(x2-t2)为抽象函数,不能将x从f(x2-t2)中分离出来.因此设u=x2-t2,则du=-2tdt.当t=0时,u=x2;当t=x时,u=0.因此d/dx∫0x(x2-t2]dt=d/dx(-1/2)f(u)du=xf(x2).故选D.5、设f(x)=则∫1/22f(x-1)dx=().A、1B、1/2C、-1/2D、-1标准答案:C知识点解析:令x-1=t,则dx=dt,当x=1/2时,t=-1/2;当x=2时,t=1.因此∫1/22f(x-1)dx=∫-1/21f(t)dt故选C.6、已知某商品总产量的变化率f(t)=200+5t-t2,则时间t在[2,8]上变化时,总产量增加值△Q为().A、1266B、568C、266D、8标准答案:A知识点解析:由总产量函数与其变化率的关系,有Q’(t)=f(t),于是总产量增加值为△Q=∫28Q’(t)dt=∫28f(t)dt=∫28(200+5t-t2)dt=(200t+t3)|28=1266.故选A.7、∫x2e-xdx=().A、-e-x(x2+2x+2)+CB、e-x(x2+2x+2)+CC、-ex(x2+2x+2)+CD、ex(x2+2x+2)+C标准答案:A知识点解析:利用分部积分法.∫x2e-xdx=-x2e-x+∫2xe-xdx-x2e-x+2(-xe-x+∫e-xdx)=-x22e-x-2xe-x-2e-x+C=-e-x(x2+2x+2)+C.故选A.8、设z=-1),当x=1时,z=y,则f(u)及z分别为().A、u2+2u,+y-1B、u2+2u,+y+1C、u2+u,+y-1D、u2+u,+y+1标准答案:A知识点解析:由题设当x=1时,zy,可知y=-1)=y-1,令u=-1,则y=(u+1)2,从而f(u)=(u+1)2-1=u2+2u,进而故选A.9、已知f(x,y)=x+(y-1)arcsin,则f’x(x,1)=().A、-1B、0C、1D、2标准答案:C知识点解析:常规方法是先求出f’x(x,y),再令y=1,可得f’x(x,1).由于f’x(x,y)因此f’x(x,1)=1.但是从偏导数的概念可知,下面的方法也正确.当y=1时,f(x,y)为f(x,1)=x,因此f’x(x,1)=1.显然对本题而言,后者更简便.故选C.10、设f(x,y)=x3y2+(y-1)3arctan,则f’x(1,1)=().A、-1B、2C、3D、4标准答案:C知识点解析:若依常规方法,应先求出f’x(x,y),再令x=1,y=1求解,较繁琐.如果先令y=1,可得f(x,1)=x3,再对x求偏导,可得f’x(x,1)=3x2,因此f’x(1,1)=3.故选C.11、设z=e-x-f(x-2y),且当y=0时,z=x2,则|(2,1)=().A、1+e2B、1-e2C、1+D、1-标准答案:D知识点解析:由于y=0时,z=x2,故e-x-f(x)=x2,则f(x)=e-x-x2,所以有f(x-2y)=e-(x-2y)-(x-2y)2,z=e-x-e2y-x+(x-2y)2,故=e2y-x-e-x+2(x-2y).因此故选D.12、设f(t)有连续导数,且g(x,y)=f(y/x)+yf(x/y),则x=().A、yf(y/x)B、2f’(y/x)+f’(x/y)C、xf(y/x)D、f(y/x)+2f’(x/y)标准答案:A知识点解析:设u=y/x,v=x/y,则g(x,y)=f(u)+yf(v),故选A.13、设f(x,y)=x2y2+xlnx,则点(1/e,0)().A、不是f(x,y)的驻点,是f(x,y)的极值点B、不是f(x,y)的驻点,也不是f(x,y)的极值点C、是f(x,y)的驻点,也是f(x,y)的极大值点D、是f(x,y)的驻点,也是f(x,y)的极小值点标准答案:D知识点解析:由题设可知f’x(x,y)=2xy2+lnx+1,f’y(x,y)=2x2y.令解得f(x,y)的唯一驻点x=1/e,y=0,即驻点为(1/e,0),因此排除A,B.又有f"xx=2y2+,f"xy=4xy,f"yy=2x2,A=f"xx|(1/e,0)=e,B=f"xy|(1/e,0)=0,C=f"yy|(1/e,0)=2/e2,B2-AC=-2/e<0,所以由极值的充分条件知(1/e,0)为f(x,y)的极小值点,极小值为-1/e.故选D.14、设在(1,0,-1)的某个邻域内z=z(x,y)由力程xyz+确定,则dz|(1,0)=().A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:令F(x,y,z)=xyz+,则由于点(1,0,-1)满足给定的方程,即有F(1,0,-1)=0,F’z(1,0,-1)≠0.由隐函数存在定理可得因此dz|(1,0)=dx-dy.故选A.二、计算题(本题共13题,每题1.0分,共13分。)15、标准答案:解法1利用倒代换.当x>0时,令x=1/t,则dx=-1/t2dt.所以当x<0时结果相同.解法2令x=tant,则dx=1/cos2dt.知识点解析:暂无解析16、设f(x)在(-∞,+∞)内可导,且满足关系式xf(x)=x4-3x3+4+∫2xf(t)dt,求f’(x)和f(x).标准答案:将所给关系式两端同对关于x求导,可得f(x)+xf’(x)=6x3-6x+f(x),因此xf’(x)=6x3-6x,f’(x)=6x2-6,f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x2-6)dx=2x3-6x+C.(*)依题设,有xf(x)=x4-3x2+4+∫2xf(t)dt,令x=2可得2f(2)=24-12+4=16,f(2)=8.将x=2代入(*)式,有f(2)=16-12+C,所以C=4,f(x)=2x3-6x+4.知识点解析:暂无解析17、计算定积分∫09dx.标准答案:为消除根号形式,先设t=,则x=t2,dx=2tdt.当x=0时,t=0;当x=9时,t=3.因此再设u=,则t=u2-1,dt=2udu.当t=0时,u=1;当t=3时,u=2.因此知识点解析:暂无解析18、计算定积分∫14dx.标准答案:令t=,则x=t2,dx=2tdt.当x=1时,t=1;x=4时,t=2.因此∫14dx=∫12lnt2/t.2tdt=4∫12lntdt=4(tlnt|12-∫12t.dt)=4(2ln2-t|12)=4(2ln2-1).知识点解析:暂无解析19、已知f(x)连续,∫0xtf(x-t)dt=1-cosx.求∫0π/2f(x)dx的值.标准答案:要想求解定积分∫0π/2f(x)dx,可以先求解被积函数的表达式.因为已知条件是有关积分上限的函数,必须通过求导,方可求出f(x),或求出∫0xf(t)dt亦可.设u=x-t,则dt=-du.当t=0时,u=x;当t=x时,u=0.于是1-cosx=∫0xtf(x-t)dt=∫0x(x-u)f(u)du=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du.将上式两端同时关于x求导,得sinx=∫0xf(u)du+xf(x)-xf(x)=∫0xf(u)du.由∫0xf(u)du=sinx,令x=π/2,得∫0π/2f(u)du=sinπ/2=1,因此∫0π/2f(x)dx=1.知识点解析:暂无解析20、从原点(0,0)引两条直线与曲线y=1+x2相切,求由这两条切线与y=1+x2所围图形的面积.标准答案:点(0,0)不在曲线y=1+x2上,设过点(0,0)引出的直线与曲线y=1+x2相切的切点为(x0,y0),则y0=1+x02.由y’=2x,得y’=2x0.设所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y-(1+x02)=2x0(x-x0).(*)将点(0,0)代入(*)式,得-(1+x02)=-2x02,x02=1,解得x0=±1.因此y’|x=-1=-2,y’|x=1=2.相应的切线方程为y-2=-2(x+1),即y=-2x,y-2=2(x-1),即y=2x.故两条切线与曲线y=1+x2所围图形如图1—3—6所示,故S=∫-10[1+x2-(-2x)]dx+∫01(1+x2-2x)dx=2/3.知识点解析:暂无解析21、设z=uv,u=x2+2y,v=sinxy,求标准答案:由z=uv,则=uvlnu.又u=x2+2y,则=2x.v=sinxy,=ycosxy.因此=vuv-1.2x+uv.lnu.ycosxy=2xsinxy.(x2+2y)sinxy-1+(x2+2y)sinxy.ln(x2+2y).ycosxy.知识点解析:暂无解析22、设z=f(x,xy,xyz),其中f(u,v,w)为可微函数,求标准答案:记f’i为f(u,v,w)对第i个位置变量的偏导数,i=1,2,3,则=f’1+f’2.y+f’3.yz=f’1+yf’2+yzf’3.知识点解析:暂无解析23、设z=z(x,y)由方程z-y2-3x+yez=5确定,求dz.标准答案:设F(x,y,z)=z-y2-3x+yez-5,则F’x=-3,F’y=-2y+ez,F’z=1+yez,因此知识点解析:暂无解析24、标准答案:知识点解析:暂无解析25、设u=f(x,y,z)有连续偏导数,z=z(x,y)由方程xex-yey=ze-z确定,求du.标准答案:由于u=f(x,y,z)有连续偏导数,则du=f’xdx+f’ydy+f’zdz.(*)将xex-yey=ze-z两端分别求微分,则d(xex)-d(yey)=d(ze-z),rexdx+xexdx-eydy-yeydy=e-zdz-ze-zdz,dz=[ex(1+x)dx-ey(1+y)dy].代入(*)式可得du=[f’x+f’z]dx+[f’y-f’z]dy.知识点解析:暂无解析26、求二元函数z=xy在条件x+y=1下的极值点坐标.标准答案:解法1构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=xy+λ(x+y-1),解方程组可得唯一一组解x=y=1/2,即为唯一可能极值点(1/2,1/2).如果求极值点坐标,那么只能为(1/2,1/2).知识点解析:暂无解析27、用钢板制作一个容积为am3的有盖长方体水箱,若不计钢板的厚度,如何设计长、宽、高的尺寸,才能使所用材料最省?标准答案:设长方体水箱的长、宽、高分别为x,y,z(m).体积V=xyz=a(m3),因此其高为z=a/xy(m).水箱的表面积S=2(xy+yz+xz).将z=与a/xy代入S的表达式,可得S=2(xy+)(x>0,y>0),当表面积最小时,所用材料最省.解方程组可得唯一组解x=(m).即S的唯一驻点为().依实际问题可知,水箱表面积的最小值一定存在,又驻点唯一.因此此驻点即为S的最小值点,此时z=(m).故知设计长、宽、高都为(m)时,所用材料最省.知识点解析:暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷第6套一、单项选择题(本题共14题,每题1.0分,共14分。)1、下列式子正确的是().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:由重要极限公式可知A不正确,B不正确.对于C,可知C不正确.对于D,可知D正确.故选D.2、xn=xn().A、等于1B、等于2C、等于3D、为∞标准答案:B知识点解析:xn因此xn=2,故选B.3、当x→0+时,与等价的无穷小量是().A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:注意等价无穷小量公式,当x→0+时,故选B.4、当x→0时,下列选项中与z为等价无穷小量的是().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:对于A,可知应排除A.对于B,sinx/x=1,可知x→0时,sinx/x不是无穷小量,应排除B.对于C,可知当x→0时,与x为等价无穷小量,故选C.对于D,当x→0时,xsin1/x为无穷小量,但是不存在,这表明当x→0时,无穷小量xsin1/x的阶不能与x的阶进行比较,因此排除D.5、设f(x)=f(x)存在,则a=().A、1/2B、1C、2D、e标准答案:C知识点解析:点x=0为f(x)的分段点,在分段点两侧f(x)表达式不同,应分左极限、右极限考虑.由于f(x)存在,则e2/a=e,可得a=2.故选C.(1+ax)b/x+c=eab.以后可以用作公式,简化运算.相仿6、设函数f(x)=在(-∞,+∞)内连续,则().A、a=2,b=-1B、a=2,b=1C、a=-1,b=2D、a=1,b=2标准答案:A知识点解析:由题设,点x=-1与x=1为f(x)的分段点,在(-∞,1),(-1,1),(1,+∞)内f(x)都是初等函数,皆为连续函数.只需考查f(x)在x=-1与x=1处的连续性.(x2+ax+b)=1-a+b.若f(x)在x=-1处连续,则应有1-a+b=-2,即a-b=3.①又(x2+ax+b)=1+a+b,当f(x)在x=1处连续时,应有1+a+b=2,即a+b=1.②联立①②得方程组解得a=2,b=-1.故选A.7、设函数f(x)=,讨论f(x)的间断点,其正确的结论为().A、不存在间断点B、存在间断点x=1C、存在间断点x=0D、存在间断点x=-1标准答案:D知识点解析:所给问题为判定函数f(x)的间断点.由于f(x)以极限的形式给出,因此应该先求出f(x)的表达式.由题设,得可知f(x)为分段函数,分段点为x=-1,x=1.画出草图易知x=-1为其唯一间断点.故选D.8、若函数f(x)在点x=0处可导,且f(0)=0,则=().A、-2f’(0)B、-f’(0)C、f’(0)D、0标准答案:D知识点解析:由于=f’(0)-f’(0)=0.故选D.9、设函数f(x)=其中g(x)为有界函数,则在点x=0处f(x)().A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案:C知识点解析:f(x)在分段点x=0两侧函数表达式不同,考虑:可知f(x)=f(0),因此f(x)在x=0处极限存在且连续,应排除A,B.又由单侧导数的定义,有可知f’-(0)≠f’+(0),从而f’(0)不存在,故选C.10、设函数f(x)=(x-1)(x-2)…(x-10),则f’(1)=().A、9!B、-9!C、10!D、-10!标准答案:B知识点解析:利用导数定义.=(x-1)(x-2)…(x-9)=(-1)99!=-9!.故选B.11、设曲线f(x)=xn在点(1,1)处的切线与
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