经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷1（共244题）

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷1（共9套）（共244题）经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、“对任意给定的ε＞0，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|＜ε／3”是数列{xn}收敛于a的()．A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件C、充分必要条件D、既非充分也非必要条件标准答案：C知识点解析：对照数列极限的定义：对任意给定的ε1＞0，总存在正整数N1，当n＞N1时，恒有|xn－a|＜ε1，则称数列{xn}收敛于a．仔细分析题设条件知命题的提法与定义相比要强些，但实质是等价的，由定义可知，对任意给定ε1＞0，必定存在正整数N1，当n＞N1时，总有|xn－a|ε1．取ε1=ε／3，，N1=N．故选C．2、A、等于1B、等于eC、为∞D、不存在，也不为∞标准答案：A知识点解析：令xn当n=2k－1时，故选A．3、A、1／2B、1／4C、1／8D、1／16标准答案：D知识点解析：当n→∞时，分子与分母的极限皆为∞，故选D．4、A、0B、1／2C、1D、2标准答案：C知识点解析：当x→0时，x2为无穷小量，sin1／x为有界变量，因此x2sin1／x为无穷小量．故选C．5、A、等于0B、等于4C、为∞D、不存在，也不为∞标准答案：D知识点解析：而当x→2+时，1／(x－2)→+∞，e1／(x－2)→+∞．当x→2－时，1／(x－2)→－∞，e1／(x－2)→0．可知e1／(x－2)不存在，也不为∞．故选D．6、设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限()．A、1／4B、为1C、为∞D、不存在，也不为∞标准答案：A知识点解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．7、函数f(x)=在点x=－1处连续，则()．A、a=e，b=eB、a=1，b=eC、a=0，b=eD、a=1－e，b=e标准答案：D知识点解析：由于(a+bx2)=a+b，ln(b+x+x2)=lnb．由于f(－1)=1，可知当a+b=lnb=1，即a=1－e，b=e时，f(x)在点x=－1处连续．故选D．8、设f(x)在点x=2处可导，且=1／3则f’(2)=()．A、－1B、1C、1／3D、－1／3标准答案：B知识点解析：由题设f(x)在x=2处可导，而题中极限过程为x→1．若设u=x+1，则当x→1时，u→2，因此因此f’(2)=1．故选B．9、设f(x)=在点x=1处可导，则()．A、a=e，b=0B、a=0，b=eC、a=e，b=1D、a=1，b=e标准答案：A知识点解析：由于f(x)在点x=1处可导，因此必定连续．又由于因此a+b=e．由于f(x)在点x=1连续，且当x＜1时，f(x)=ex，f’(x)=ex，当x＞1时，f(x)=ax+b，f’(x)=a，由于f’(1)存在，从而有f’－(1)=f’+(1)，因此a=e．进而可知b=0．故选A．10、设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f’(x)g(x)－g’(x)f(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：A知识点解析：f(x)，g(x)都为抽象函数，可以先将选项A，B变形：A可以变形为f(x)／g(x)＞f(b)／g(b)；B可以变形为f(x)／g(x)＞f(a)／g(a)．由此可得A，B是比较f(x)／g(x)与其两个端点值的大小．而C，D是比较f(x)g(x)与其两个端点值的大小．由于题设条件不能转化为[f(x)．g(x)]’，而题设f(x)＞0，g(x)＞0，且f’(x)g(x)－g’(x)f(x)＜0，因此有从而知f(x)／g(x)在[a，b]上为单调减少函数，因此当a＜x＜b时，有f(x)／g(x)＞f(b)／g(b)，进而知f(x)g(b)＞f(b)g(x)．故选A．11、设f(x)=2x+3x－2，当x→0时()．A、f(x)与x为等价无穷小B、f(x)与x为同阶无穷小但不等价C、f(x)为较x高阶的无穷小D、f(x)为较x低阶的无穷小标准答案：B知识点解析：由题意应考查极限，所给极限为“0／0”型，应利用洛必达法则求解．=ln2+ln3．可知当x→0时，f(x)与x为同阶无穷小，但不等价．故选B．12、设周期函数f(x)在(－∞，+∞)内可导，f(x)的周期为4，=－1，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()．A、－2B、－1C、1D、2标准答案：A知识点解析：由于f(x)在(－∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，又由于周期函数的导函数也是周期函数，且其周期与相应周期函数的周期相同，都为4．即f’(1)=f’(5)．又由=－1，可得f’(1)=－2．因此知曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为f’(5)=－2．故选A．13、设y=y(x)是由方程ey=(x2+1)2－y确定的隐函数，则点x=0()．A、不是y的驻点B、是y的驻点，但不是极值点C、是y的驻点，且为极小值点D、是y的驻点，且为极大值点标准答案：C知识点解析：将所给方程两端关于x求导，可得ey．y’=4x(x2+1)－y’，y’=．4x(x2+1)．令y’=0，可得y的唯一驻点x=0．当x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0．由极值的第一充分条件可知x=0为y的极小值点．故选C．14、设函数f(x)满足f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、f(0)不为f(x)的极值，但(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不为f(x)的极值，(0，f(0))也不为曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由于f’(0)=0，f"(x)+[f’(x)]2=x，可得f"(0)=0，可知判定极值的第二充分条件失效．由题设知有f"(x)=x－[f’(x)]2，上式右端可导，表示f(x)三阶可导，且f"’(x)=1－2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1．可知：f(0)不是函数f(x)的极值，点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．故选C．二、计算题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：=e2／e－3=e5．知识点解析：暂无解析17、若极限(cosx－b)=5，求a，b的值．标准答案：所给问题为求极限的反问题．所给表达式为分式，分子的极限sinx．(cosx－b)=0，而表达式的极限存在，因此分母的极限应为零，即(ex－a)=1－a=0，可得a=1，原式化为=1－b=5，可得b=－4．知识点解析：暂无解析18、若f(x)=f(x)存在，求常数k的值．标准答案：由于点x=0为函数的分段点，在点x=0两侧f(x)的表达式不同，应考虑利用左极限与右极限来求解．(1+kx)1／x=ek，由于f(x)，所以ek=2，即k=ln2．知识点解析：暂无解析19、设f(x)=在(－∞，+∞)内连续，求a，b的值．标准答案：当x＜0时，f(x)=sinbx／x处处有定义，且为初等函数，(－∞，0)为其定义区间，因此必定连续．当x＞0时，f(x)=a+kx2也为初等函数，(0，+∞)为其定义区间，也必定连续．只需考查f(x)在点x=0处的连续性．由于x=0为分段点，在x=0两侧f(x)表达式不同，应考查其左连续与右连续(或左极限、右极限，再依连续性要素判定)．可知当a=b时，f(x)在点x=0处左连续．(a+如bx2)=a=f(0)．可知对于a为任意值，f(x)在点x=0处右连续．综之，对于a=b取任何值，函数f(x)都在点x=0处连续，进而知f(x)在(－∞，+∞)内连续．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=判定f(x)的定义域与连续区间，对于间断点判别其类型．标准答案：f(x)==1／x，其定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)．在其定义域内f(x)为初等函数，其连续区间为(－∞，0)∪(0，+∞)．由1／x=∞，可知点x=0为f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析21、设f(x)=x3+x+1，证明：函数f(x)至少有一个零点．标准答案：由于f(x)=x3+x+1在定义区间(－∞，+∞)内为连续函数，且f(－1)=－1＜0，f(1)=3＞0．由闭区间上连续函数的性质知，至少存在一点ξ∈(－1，1)，使f(ξ)=0．即f(x)至少存在一个零点．知识点解析：暂无解析22、设y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求dy|x=0．标准答案：当x=0时，由方程ln(x2+y)=x3y+sinx可得y=1．将方程两端关于x求导，可得．(2x+y’)=3x2y+x3y’+cosx，(*)将x=0，y=1代入上式，可得y’|x=0=1，因此dy|x=0=y’|x=0dx=dx．知识点解析：暂无解析23、设x=－yy，求dy．标准答案：将所给函数两端取对数，得lnx=ylny，两端关于x求导数，得1／x=y’lny+y．1／y．y’=(1+lny)y’，因此dy=y’dx=dx．知识点解析：暂无解析24、设曲线y=x3+ax与曲线y=bx3+c相交于点(－1，0)，并且在该点有公共切线，求a，b，c和公切线方程．标准答案：由于两条曲线相交于点(－1，0)，因此有可得a=－1，b=c．由y=x3+ax得y’=3x2+a=3x2－1，y’|x=－1=2．由y=bx3+c得y’=3bx2，y’|x=－1=3b．由于两曲线在点(－1，0)处有公切线，因此3b=2．即b=2／3，c=2／3．此时公切线方程为y－0=2[x－(－1)]，即y=2(x+1)．知识点解析：暂无解析25、标准答案：本题属于“0．∞”型，应先变形为“0／0”或“∞／∞”型．此时极限为“0／0”型．设t=1／x，则知识点解析：暂无解析26、设f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，讨论驻点的个数与范围．标准答案：使f’(x)=0的点为f(x)的驻点．若直接求f’(x)，再判定f’(x)=0的点很复杂．由于f(x)=x(x－1)(x－2)(x－3)，因此f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0．f(x)在[0，1]，[1，2]，[2，3]上满足罗尔定理，由罗尔定理可知至少有点ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，ξ3∈(2，3)，满足f’(ξ1)=0，f’(ξ2)=0，f’(ξ3)=0．即f(x)有驻点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f(x)为四次多项式，其导函数为三次多项式，三次方程至多有三个实根，综之，f(x)有且仅有三个驻点，分别位于(0，1)，(1，2)，(2，3)内．知识点解析：暂无解析27、设曲线y=x4－2x3+3，求曲线y的凹凸区间与拐点．标准答案：由y=x4－2x3+3，可得y’－4x3－6x2，y"=12x2－12x=12x(x－1)，令y"=0，得x1=0，x2=1．当x＜0时，y"＞0，可知曲线在(－∞，0)内为凹．当0＜x＜1时，y"＜0，可知曲线在(－1，1)内为凸．当x＞1时，y"＞0，可知曲线在(1，+∞)内为凹．当x=0时，y=3，且在x=0两侧y"异号，因此点(0，3)为曲线的拐点．当x=1时，y=2，在x=1两侧y"异号，因此点(1，2)也是曲线的拐点．知识点解析：暂无解析28、将长为a的铁丝截成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长应各为多少?标准答案：设围成圆的一段长为x，则围成正方形的一段长为a－x，正方形与圆的面积之和令S’=0，解得x=为S的唯一驻点，S"=＞0，由极值第二充分条件可知，x=为S的极小值点．由于驻点唯一，且实际问题存在最小值，故当x=时，面积之和最小．即围成圆的一段长为，围成正方形的一段长为时，正方形与圆的面积之和最小．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、设xn=则当n→∞时，变量xn为()．A、无穷大量B、无穷小量C、有界变量D、无界变量标准答案：D知识点解析：由题设可知所以xn不是无穷大量，不是无穷小量，也不是有界变量，是无界变量，故选D．2、A、等于2／3B、等于3／2C、为∞D、不存在，也不为∞标准答案：A知识点解析：当x→4时，分子与分母的极限都为零，不能直接利用极限的商的运算法则．又由于分子与分母中都含有根式，先有理化再求极限．故选A．3、A、－1B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：所给极限为“∞／∞”型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之．通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算．故选B．4、A、－3／2B、－2／3C、2／3D、3／2标准答案：A知识点解析：当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．5、设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限，则()．A、a=2，b=0B、a=2，b=sin1C、a=1，b=0D、a=1，b=sin1标准答案：B知识点解析：需先求出f(x)+g(x)的表达式．显然点x=0，x=1为f(x)+g(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限．[f(x)+g(x)]=(2e－x+b)=2+b，[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b．由于f(x)+g(x)在点x=0处有极限，因此a+b=2+b，可知a=2．[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故选B．6、A、a=1，b=1／2B、a=1，b=2C、a=1／2，b=1D、a=1／2，b=2标准答案：A知识点解析：由于=b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即(a－cosx)=a－1=0，从而得a=1，因此有故选A．7、函数f(x)=，则()．A、x=－1为f(x)的可去间断点，x=1为无穷间断点B、x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为可去间断点C、x=－1与x=1都是f(x)的可去间断点D、x=－1与x=1都是f(x)的无穷间断点标准答案：B知识点解析：当x=－1与x=1时，f(x)没有定义．这两个点是f(x)的间断点．可知x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为f(x)的可去间断点．故选B．8、已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=()．A、1B、2C、3D、6标准答案：D知识点解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得f’(1)=6．故选D．9、设函数f(x)在点x=0处连续，且f(x)／x=1，则下列命题不正确的是()．A、f(x)=0B、f(0)=0C、f’(0)=0D、f’(0)=1标准答案：C知识点解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在点x=0处连续，故f(0)=f(x)=0．于是故选C．10、若y=f(x)可导，则当△x→0时，△y－dy为△x的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但不等价无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：由微分的定义可知，当△x→0时，→0，△y－dy为△x的高阶无穷小，故选A．11、若在[0，1]上f"(x)＞0，则f’(1)，f’(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是()．A、f’(1)＞f’(0)＞f(1)f(0)B、f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)C、f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)D、f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)标准答案：B知识点解析：本题考查导数值的关系．题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解．由于在[0，1]上f"(x)＞0，可知f’(x)为[0，1]上的单调增加函数，因此f’(1)＞f’(0)．又f"(x)在[0，1]上存在，可知f’(x)在[0，1]上连续．f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点ξ∈(0，1)，使得f(1)－f(0)=f’(ξ)，由于f’(x)在[0，1]上为单调增加函数，必有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．故选B．12、设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图1—2—1所示．则f(x)有()．A、一个极小值点和两个极大值点B、两个极小值点和一个极大值点C、两个极小值点和两个极大值点D、三个极小值点和一个极大值点标准答案：A知识点解析：由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点．由图1—2—1可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x1，x2，x3．在这些点的两侧，f’(x)异号：当x＜x1时，f’(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0．可知x1为f(x)的极大值点．当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0；当x2＜x＜0时，f’(x)＞0．可知x0为f(x)的极小值点．当0＜x＜x3时，f’(x)＞0；当x＞x3时，f’(x)＜0．可知x3为．f(x)的极大值点．由导函数图形知，在点x=0处f(x)不可导，但在x=0左侧f’(x)＞0，在x=0右侧f’(x)＞0．可知点x=0不为．f(x)的极值点．综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点．故选A．13、设y=sinx，则y’=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：y=sinx，则y’=(x1／3)’sinx+x1／3．(sinx)’=1／3x－2／3sinx+x1／3cosx=故选D．14、已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是()．A、y=xB、y=－xC、y=2xD、y=－2x标准答案：C知识点解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．二、计算题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、求极限x[ln(x+2)－lnx]．标准答案：所求极限为“0．∞”型，不能利用极限的四则运算法则．由对数性质及连续函数的性质有：=lne2=2．知识点解析：暂无解析16、求极限(3－n+4－n)1／n．标准答案：(3－n+4－n)1／n令x=(3／4)n，则(3／4)n=0，即x=0．原式=1／3(1+x)1／n=1／3[(1+x)1／x]x／n=1／3．知识点解析：暂无解析17、求极限(1+2n+3n)1／n．标准答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1／3lim(1+2n+3n)1／n=1，(1+2n+3n)1／n=3．知识点解析：暂无解析18、若=0，求常数a的值．标准答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质可知当x→0时，ln()1／x极限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．知识点解析：暂无解析19、设当x→0时，(－1)．ln(1+x2)是比xnsinx高阶的无穷小量，而xnsinx是比1－cosx高阶的无穷小量，求正整数n的值．标准答案：当x→0时，(－1)．ln(1+x2)～x2．x2=x4，xnsinx～xn+1，1－cosx～x2／2．由题设可知，应有2＜n+1＜4，因此n=2．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．标准答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx)2／x=e2b．可知当e2b=a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．知识点解析：暂无解析21、求函数y=ln的连续区间．标准答案：首先求y=ln的定义域，应有＞0，且1－x≠0，解得0＜x＜1．可知y=ln的定义域为(0，1)，y=ln为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1)为所求．知识点解析：暂无解析22、设y=+sinx，求y’．标准答案：先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求导法，对此，令则有ln|y1|=2ln|x|－ln|1－x|+ln|2+x|－ln|2－x|，两端关于x求导，可得知识点解析：暂无解析23、设y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1确定，求n[f(2／n)－e]．标准答案：由于n→∞时，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先将x=0代入所给方程，可得f(0)=e．只需求f’(0)．将方程两端对x求导，有cosxy．(y+xy’)+．y’－1=0．将x=0及y|x=0=e代入上式，可得y’|x=0=f’(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．知识点解析：暂无解析24、标准答案：本题是“苦0／0”型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦．考虑到分子、分母都有，故可先设t=，然后用洛必达法则．知识点解析：暂无解析25、标准答案：当x→∞时，ln(1+)～1→x，可知所以本题是“∞－∞”型．应先做变换，令t=1→x，则知识点解析：暂无解析26、设函数y=x2+ax+b在点x=2处取得极小值3，求常数a，b的值．标准答案：由于函数y在点x=2处取得极小值3，因此有3=22+2a+b，即2a+b=－1．又y’=2x+a，y’|x=2=4+a=0，可得a=－4，进而知b=7．知识点解析：暂无解析27、当e＜x1＜x2时，问lnx1／x1与lnx2／x2哪个大，为什么?标准答案：由题目可知是考查函数y=lnx／x的单调性．当x＞e时，y有定义，由于令y’=0得y的驻点x=e．当x＞e时，y’＜0，可知函数y=lnx／x单调减少．因此当e＜x1＜x2时，有lnx1／x1＞lnx2／x2．知识点解析：暂无解析28、假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：千元)的函数Q=120－8p．商品的固定成本为25(千元)，每多生产一单位产品，成本增加5(千元)．试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润．标准答案：利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)．然后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本为25(千元)，可变成本呈线性增长．所以总成本函数C=25+5Q．总销售利润L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p2－625，L’=160－16p．令L’=0，得驻点p=10．由L"=－16＜0及唯一性可知当p=10(千元)时，总销售利润最大．最大销售利润为L(10)=160×10－8×102－625=175(千元)．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且im[g(x)－φ(x)]=0，则f(x)()．A、存在且为零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：注意题设条件与夹逼准则不同，夹逼准则中条件为当|x|＞M时：(1)φ(x)≤f(x)≤g(x)；(2)φ(x)都存在!)而本题条件为[g(x)－φ(x)]=0并不能保证φ(x)都存在．例如g(x)=符合本题条件，但f(x)不存在．而取g(x)=也符合本题条件，有f(x)=0，故选D．2、A、1／4B、1／2C、－1／2D、－1／4标准答案：D知识点解析：故选D．3、设f(x－3)=2x2+x+2，则f(x)／x2=()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：设t=x－3，则x=t+3，由题设可得f(t)=2(t+3)2+(t+3)+2=2t2+13t+23，即f(x)=2x2+13x+23．则故选B．4、A、0B、1C、2／3D、3标准答案：D知识点解析：当x→∞时，为无穷小量，因此故选D．5、设f(x)=f(x)存在，则()．A、a=b=1B、a=b=eC、a=0，b=eD、a任意，b=e标准答案：D知识点解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应利用左极限与右极限判定．(1+x)1／x=e．当b=e时，f(x)存在，且f(x)=e．由于极限值与函数在该点有无定义无关，因此a可以取任意值．故选D．6、设f(x)=且f(x)在点x=0处连续，则()．A、a=5／3，b=2／3B、a=5／2，b=3／2C、a=e2／3+1，b=e2／3D、a=e3／2－1，b=e3／2标准答案：D知识点解析：由于在点x=0两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限来讨论．f(x)=(1+3x)1／2x=e3／2，由于f(0)=a+1，仅当a+1=e3／2=b时，即当a=e3／2－1，b=e3／2时，f(x)在点x=0处连续．故选D．7、设函数f(x)=，则()．A、x=－2为f(x)的第一类间断点，x=2为f(x)的第二类间断点B、x=－2为f(x)的第二类间断点，x=2为f(x)的第一类间断点C、x=－2与x=2都为f(x)的第一类间断点D、x=－2与x=2都为f(x)的第二类间断点标准答案：C知识点解析：由f(x)在x=－2，x=2处没有定义，可知x=－2与x=2为f(x)的两个间断点．由可知x=－2与x=2都为f(x)的第一类间断点．故选C．8、已知函数f(x)在点x=0处可导，则=()．A、1／2f(0)B、f’(0)C、2f’(0)D、4f’(0)标准答案：C知识点解析：所给题设条件为导数定义的等价形式，有故选C．9、设函数f(x)在点x=0处连续，且=0，则()．A、f(0)=0，f’(0)=0B、f(0)=0，f’(0)=1C、f(0)=1，f’(0)=0D、f(0)=1，f’(0)=1标准答案：A知识点解析：由于又由于f(x)在点x=0处连续，从而f(0)=f(x)=0．可知应排除C，D．故选A．10、设函数f(x)可导，y=f(x3)．当自变量x在x=－1处取得增量△x=－0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．3，则f’(－1)=()．A、－1B、0．1C、1D、0．3标准答案：A知识点解析：由于当f(x)可导且△x→0时，由微分的定义知△y与dy的差为△x的高阶无穷小量，且dy为△y的线性主部，因此有△y=dy+o(△x)=y’△x+o(△x)，当y=f(x3)时，有y’=3x2f’(x3)，由题设有[f’(x3)．3x2]|x=－1．△x=0．3，3f’(－1)．(－0．1)=0．3，f’(－1)=－1，故选A．11、设f’(x0)=f"(x0)=0，f"(x0)＞0，则下列选项正确的是()．A、f’(x0)是f’(x)的极大值B、f(x0)是f(x)的极大值C、f(x0)是f(x)的极小值D、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点标准答案：D知识点解析：需注意如果f"(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效．如果记F(x)=f’(x)，由题设条件有F’(x0)=0，F"(x0)＞0．由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值，即f’(x0)为f’(x)的极小值，因此A不正确，排除A．取f(x)=x3，则f’(x)=3x2，f"(x)=6x，f"’(x)=6．因此f’(0)=f"(0)=0，f"’(0)=6＞0．而x=0既不为．f(x)=x3的极小值，也不为f(x)=x3的极大值，可知B，C都不正确，排除B，C．由于f"’(x0)＞0，知f"(x)在点x0处连续，又f"(x0)=0，由导数定义可以验证f"(x)在x0两侧异号，从而知点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．故选D．利用泰勒公式可以证明下述命题：若f’(x0)=f"(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，则(1)当n为偶数时，x0为f(x)的极值点，且①当f(n)(x0)＞0时，x0为f(x)的极小值点；②当f(n)(x0)＜0时，x0为f(x)的极大值点．(2)当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点．但点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．以后可以将上述结论作为定理使用．12、若函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则f’(x)的零点的个数为()．A、4B、3C、2D、1标准答案：B知识点解析：f’(x)的零点即为f’(x)=0的根，也就是f(x)的驻点．可以直接求f’(x)，令f’(x)=0求解，但运算较复杂．注意到由f(x)=(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，可知f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0．在[1，2]，[2，3]，[3，4]上f(x)满足罗尔定理，因此必定存在ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，ξ3∈(3，4)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0，由于f(x)为四次多项式，f’(x)为三次多项式，因此三次方程f’(x)=0至多有三个实根．故选B．13、设y=x3／cosx，则y’|x=π=()．A、－3πB、3πC、－3π2D、3π2标准答案：C知识点解析：y=x3／cosx，则y’|x=π=－3π2．故选C．14、曲线sin(xy)+ln(y－x)=x在点(0，1)处的切线方程是()．A、y=－x+1B、y=x+1C、y=2x+1D、y=3x+1标准答案：B知识点解析：所给问题为由隐函数形式确定的函数曲线的切线问题，这类问题与由显函数形式确定的函数曲线切线问题相仿，只需求出导数值，代入切线方程求解即可．将所给方程两端关于x求导，可得cosxy．(xy)’+．(y－x)’=1，点(0，1)在曲线上，在点(0，1)处有y’|x=0=1，切线方程为y=x+1．故选B．对于显函数，如果y=f(x)在点x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点x0处必定存在切线，切线斜率为f’(x0)，切线方程为y－f(x0)=f’(x0)(x－x0)．当f’(x0)≠0时，法线方程为y－f(x0)=(x－x0)．特别当f’(x0)=0时，相应的切线方程为y=f(x0)．对于隐函数，如果曲线方程y=y(x)由F(x，y)=0确定，如果(x0，y0)在曲线上，求过该点的切线方程时，只需先依隐函数求导方法求出dy／dx，再代入切线方程即可．二、计算题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、标准答案：所给极限为“0／0”型，不能直接利用极限的四则运算法则．由于f(x)存在，则f(x)sinx=0，当x→0时，－1～1／2f(x)sinx，因此可得f(x)=12．知识点解析：暂无解析16、标准答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知知识点解析：暂无解析17、设f(x)=ansinx／an(a≠0，x≠0)，讨论f(x)是否存在?若存在，求出极限．标准答案：极限过程为n→∞，式中a为参数，an的值不仅与n有关，且与a也有关，因此应对a进行讨论．当|a|＜1时，an=0，由于sinx／an为有界变量，因此ansinx／an=0．当|a|=1时，ansinx／an=(±1)nsinx／(±1)n=sinx．当|a|＞1时，an=∞，x／an=0，因此综上所述，得知识点解析：暂无解析18、确定变量y=在什么过程下为无穷大量．标准答案：所给表达式为分式，分母在(－∞，+∞)内皆非零，因此函数的定义域为(－∞，+∞)．又由于表达式为有理式，分母为二次多项式，最高次幂数为2，分子也为多项式，最高次幂数为8／3．因此可知当x→∞时，y为无穷大量．知识点解析：暂无解析19、设f(x)=讨论f(x)在点x=0处的连续性．标准答案：由可知当f(x)=f(0)，即a=1时，f(x)在点x=0处连续；当a≠1时，f(x)在点x=0处间断，点x=0为f(x)的第一类间断点．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=求其间断点，并判别其类型．标准答案：由题设可知，当x=0时，f(x)间断．由于可知f(x)不存在．所以点x=0为f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析21、设y=ln，求y’．标准答案：在求导函数时有对数运算时，先利用对数运算法则化简再求导，往往能使运算过程简化．知识点解析：暂无解析22、设y=，求dy．标准答案：先将所给函数两端取对数，有两端关于x求导，可得知识点解析：暂无解析23、设f(x)=x3+3x2－2x+1，求曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程与法线方程．标准答案：点(0，1)在所给曲线y=f(x)上．y’=3x2+6x－2，y’|x=0=－2．因此曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1=－2(x－0)，即2x+y－1=0，法线方程为y－1=1／2(x－0)，即x－2y+2=0．知识点解析：暂无解析24、标准答案：本题是“0／0”型极限，注意到当x→+∞时，ln(1+)～1／x，可得知识点解析：暂无解析25、求极限，其中n是给定的自然数．标准答案：因为=n／n=1，所以本题是“1∞”型．可以利用取对数法．知识点解析：暂无解析26、设点(－1，3)为曲线y=ax3+bx2+x的拐点，求常数a，b的值．标准答案：由点(－1，3)为曲线y的拐点，可知点(－1，3)在曲线上，因此有3=－a+b－1，即－a+b=4．(*)y’=3ax2+2bx+1，y"=6ax+2b，因此y"|x=－1=－6a+2b=0，可解得b=3a，代入(*)式可得a=2，b=6．知识点解析：暂无解析27、当a为何值时，方程x3－3x+a=0仅有两个相异的实根．标准答案：所给方程为三次方程，最多可能存在三个实根．设y=x3－3x+a，则问题转化为讨论a为何值时函数y仅有两个零点．所给函数y的定义域为(－∞，+∞)．且(x3－3x+a)=－∞，(x3－3x+a)=+∞，y在(－∞，+∞)内连续，由连续函数性质可知y必定存在零点．y’=3x2－3=3(x－1)(x+1)，令y’=0，可得x1=－1，x2=1为y的两个驻点．可知y(－1)=2+a为y的极大值，y(1)=－2+a为y的极小值．当y的极大值或极小值之一为零时，y仅有两个不同的零点，即当a=－2或a=2时，y仅有两个不同的零点．因此当a=－2或a=2时，方程x3－3x+a=0仅有两个相异的实根．知识点解析：暂无解析28、某糖果f生产的奶油糖每袋售价5．4元，如果每周销售量为Q(千袋)时，每周成本C=2400+4000Q+100Q2(元)．设价格不变，求：(1)每周可以获利的销售量范围；(2)每周销售多少袋时，可获得最大利润．标准答案：单价p=5．4元，那么每周销售量为Q(千袋)时的收益为1000Q×5．4=5400Q．(注意单位)(1)设利润为L，L=5400Q－C=－100Q2+1400Q－2400．要想获得利润，需L＞0，即－100Q2+1400Q－2400＞0，得2＜Q＜12．即每周销售量在2000至12000袋之间，可以获利．(2)由(1)得L’=－200Q+1400．令L’=0，得唯一的驻点Q=7．又L"＜0，所以在Q=7(千袋)时利润最大．即每周销售7000袋时可获得最大利润．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、下列式子正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：当x→0时，x为无穷小量，sin1／x为有界变量，由于无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量，因此xsin1／x=0，可知A不正确．当x→∞时，1／x→0，因此1／xsinx=0．可知B不正确．由重要极限公式sinx／x=1，可知D不正确．当x→∞时，1／x→0，由重要极限公式可得：可知C正确，故选C．2、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当x→1时，分子与分母的极限皆为零，分子中含有根式，故先有理化再求极限．故选D．3、设f(x+f(x)=()．A、－1B、－1／2C、1／2D、1标准答案：D知识点解析：由于故选D．4、当x→0时，etanx－esinx与xa为同阶无穷小量，则a=()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：由题意，知该极限应为不等于零的常数，因此a－1=2，得a=3．故选C．5、设f(x)=f(x)存在，则a=()．A、4B、ln4C、0D、ln1／4标准答案：B知识点解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限来考虑．(1+ax)1／x=ea．由于=f(x)存在，ea有=4，从而a=ln4．故选B．6、函数f(x)=则x=0为f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、是否为连续点与a有关标准答案：D知识点解析：点x=0为f(x)的分段点，在x=0两侧f(x)的表达式不同．应考查f(x)的左极限与右极限．可知当a=4时，f(x)=4，又f(0)=4．进而可知，当a=4时，x=0为f(x)的连续点．当a≠4时，x=0为f(x)的间断点，且为第一类间断点．故选D．7、设g(x)=，则()．A、x=0必是g(x)的第一类间断点B、x=0必是g(x)的第二类间断点C、x=0必是g(x)的连续点D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关标准答案：D知识点解析：所给问题为函数g(x)在点x=0处的连续性及间断点的类型判定问题．又由g(0)=0，可知：当a＞1时，g(x)=g(0)，此时g(x)在x=0处连续；当a=1时，g(x)=1，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第一类间断点；当a＜1时，g(x)不存在，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第二类间断点．综上可知，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．故应选D．8、已知f’(2)=－1，则=()．A、1B、－1／3C、－1／2D、－1标准答案：A知识点解析：所给条件为在点x=2处导数定义的形式．但是，应该明确若f’(2)存在，则即当自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量增量之比的极限．注意函数增量的形式：动点处函数值与定点处函数值之差．本题中函数增量是函数在两个动点处的差值，不属于导数定义的标准形式，也不属于导数定义的等价形式，因此应考虑将其变形，化为导数定义的等价形式，由于f(x)在x=2处可导，f’(2)必定存在，故选A．9、设f(x)=则f(x)在x=1处()．A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在标准答案：B知识点解析：由于在分段点两侧f(x)表达式不同，因此利用左导数、右导数进行判定．有可知f(x)在x=1处左导数存在，右导数不存在，故选B．10、设f(x2)=，则f’(x)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于f(x2)故选B．11、设f(x)的导数在x=a处连续，又=－1，则()．A、x=a是f(x)的极小值点B、x=a、是f(x)的极大值点C、(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点D、x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：由于=－1，其中求极限的函数为分式，分母的极限为零，因此必定有分子的极限为零，即f’(x)=0．由题设知f’(x)在点x=a处连续，因此有f’(a)=f’(x)=0．即x=a为f(x)的驻点．又由极值第二充分条件知x=a为f(x)的极大值点．故选B．12、设f(x)=|x(3－x)|，则()．A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由于f(x)=|x(3－x)|≥0，f(0)=0，可知x=0为f(x)的极小值点．排除B，D．由可得当x＜0或x＞3时，f’(x)=－3+2x，f"(x)=2；当0＜x＜3时，f’(x)=3－2x，f"(x)=－2．由于在x=0两侧f"(x)异号，因此(0，f(0))=(0，0)为曲线y=f(x)的拐点．故选C．13、设y=ln，则dy|x=0=()．A、－1／2dxB、1／2dxC、－2dxD、2dx标准答案：A知识点解析：因此dy|x=0=y’|x=0dx=－1／2dx．故选A．14、设y=f(x)对任意x满足f(x+1)=2f(x)，且f(0)=1，f’(0)=C，则f’(1)=()．A、1／2CB、CC、2CD、3／2C标准答案：C知识点解析：由于f(x)为抽象函数，只能从题设条件入手，寻求能由f’(1)的定义求解的方法．由于f(0)=1，f(x+1)=2f(x)，令x=0，可得f(1)=2．=2C．故选C．二、计算题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、标准答案：由于当x→0时，sinx～x，ex－1～x，1－cosx～1／2x2，因此知识点解析：暂无解析16、若当x→0时，－1与sin2x为等价无穷小，求a．标准答案：当x→0时，－1与sin2x为等价无穷小，因此从而可得a=2．知识点解析：暂无解析17、标准答案：当x→0－时，1／x→－∞，e1／x→0，且－1／x→+∞，e－1／x→+∞，因此所给极限表达式不能直接利用极限的四则运算法则．应先变形再求极限．知识点解析：暂无解析18、若当x→0时，sinxa，(1－cosx)1／a均是比x高阶的无穷小量，求a的取值范围．标准答案：由于当x→0，a＜0时，sinxa不为无穷小量，因此a＞0，此时sinxa～xa，由题设知sinxa是比x高阶的无穷小量，因此有可知a＞1．又当x→0时，1－cosx～1／2x2，由题设知(1－cosx)1／a是比x高阶的无穷小量，因此有可知应有－1＞0，即a＜2．综上，有1＜a＜2．知识点解析：暂无解析19、设c＞0，f(x)=在(－∞，+∞)内连续，求常数c的值．标准答案：由题设可知，当|x|≠c时，f(x)为初等函数，在其定义区间内必定为连续函数，故只需讨论当|x|=c时f(x)的连续性．5=5，f(－c)=c2+1．当c2+1=5，即c=2时，f(x)在点x=－c处左连续．此时，(x2+1)=c2+1=f(－c)，f(x)在x=－c处右连续．因此当c=2时，f(x)在x=－c处连续．(x2+1)=c2+1=f(c)，可知f(x)在点x=c左连续．f(x)=5，当f(x)=f(c)，即c2+1=5时，亦即c=2时，f(x)在点x=c处右连续．综之，当c=2时，f(x)在(－∞，+∞)内连续．知识点解析：暂无解析20、设f(x)=，判定f(x)的间断点，并判别其类型．标准答案：当x=1时，没有意义．当x=0时，没有意义．可知点x=0与点x=1为f(x)的两个间断点．由于可知点x=0为f(x)的第二类间断点．由于因此点x=1为f(x)的第一类间断点．知识点解析：暂无解析21、设y=，求y’|x=1．标准答案：y’=．[sin(x2+3)]’=．cos(x2+3)．(x2+3)’=2x．cos(x2+3)．y’|x=1=2esin4cos4．知识点解析：暂无解析22、设y=，求y’．标准答案：所给函数的幂指函数求导，应利用对数求导法．将所给函数表达式两端取对数：lny=ln=x2lnx．将上式两端关于x求导：1／yy’=2xlnx+x．因此y’=y(2xlnx+x)=(1+2lnx)．知识点解析：暂无解析23、求曲线y=lnx的过原点的切线方程．标准答案：由于原点(0，0)不在曲线y=lnx上，可设切点M0坐标为(x0，y0)，则y0=lnx0．由导数的几何意义，过M0点的切线斜率k=f’(x0)－1／x0．因此可设切线方程为y－y0=1／x0(x－x0)，即y－y0=x－1．由于切线过原点(0，0)，因此0－y0=－1，得y0=1．又切点(x0，y0)在曲线y=lnx上，因此y0=lnx0，可知x0=e．故所求切线方程为y－1=x－1．即y=x／e．知识点解析：如果点(x0，y0)在曲线y=f(x)上，即y0=f(x0)，斜率f’(x0)存在，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)=f’(x0)(x－x0)．当f’(x0)≠0时，曲线在点(x0，f(x0))处的法线方程为y－f(x0)=－(x－x0)．如果点(x0，y0)不在曲线y=f(x)上，求曲线过点(x0，y0)处的切线方程时，即先设切点为(m，n)，写出切线方程，求出满足给定题设条件的切点坐标．24、标准答案：ln(1－x)=－∞．所以本题是“∞／∞”型极限．知识点解析：暂无解析25、标准答案：所给问题是“00”型．知识点解析：暂无解析26、求函数y=x3－3zx2－5的极值点与极值．标准答案：y’=3x2－6x=3x(x－2)．令y’=0可解得x1=0，x2=2．y"=6x－6=6(x－1)，y"|x=0=－6，y"|x=2=6，可知点x=0为y的极大值点，极大值为y=－5；点x=2为y的极小值点，极小值为y=－9．知识点解析：暂无解析27、设某种商品的单价为p时，售出的商品数量Q可表示成其中a，b，c均为正数，且a＞bc．(1)求p在什么范围变化时，使相应的销售额增加或减少?(2)要使销售额最大，商品单价p应取何值?最大销售额是多少?标准答案：销售额是指商品全部售出后所得的总收益R，它是单价p的函数R=pQ．求销售额何时增加，何时减少，实际上就是求收益函数的单调区间．(1)设售出商品的销售额为R，则令R’=0，得驻点p0=±－b，注意到a＞bc，则a／c＞b，＞b，所以当0＜p＜－b时，R’＞0，这时收益函数R单调增加．即随着商品单价p的增加，相应的销售额也将增加；当p＞－b时，R’＜0，这时收益函数R单调减少．即随着商品单价p的增加，相应的销售额将减少．这主要是因为当p增加太大时销售数量Q就会减少．(2)由(1)可知，函数R在p0处有极大值，而且该极大值也是最大值，所以知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、已知函数f(x)的一个原函数为e－2x，则f’(x)=()．A、－2e－2xB、2e－2xC、4e－2xD、－4e－2x标准答案：C知识点解析：由题设e－2x为f(x)的一个原函数，可知f(x)=(e－2x)’=－2e－2x，因此f’(x)=(－2e－2x)’=4e－2x．故选C．2、不定积分∫sinx．cosxdx不等于()．A、1／2sin2x+CB、1／2sin2x+CC、－1／4cos2x+CD、－1／2cos2x+C标准答案：B知识点解析：这个题目有两种常见解法：一是将四个选项分别求导数，哪个选项的导数不等于sinx．cosx，则这个选项必然错误；二是直接求解，但解法不同，可能导致结果的形式不同．解法1对于A，(sin2x+C)’=1／2．2sinx．cosx=sinx．cosx，可知A正确．对于B，(sin2x+C)’=1／2．cos2x．2=cos2x≠sinx．cosx，可知B不正确．对于C，(－cos2x+C)’=1／4．sin2x．2=1／2sin2x=sinx．cosx,可知C正确．对于D，(－cos2x+C)’=－1／2．2cosx．(－sinx)=sinx．cosx，可知D正确．故选B．解法2∫sinx．cosxdx=∫sinxd(sinx)=sin2x+C；∫sinx．cosx=－∫cosxd(cosx)=－cos2x+C；∫sinx．cosxdx=1／2∫sin2xdx=1／2．∫sin2x．1／2d(2x)=－cos2x+C．可知A，C，D正确．故选B．3、设f’(x)为连续函数，则下列命题错误的是()．A、d／dx∫abf(x)dx=0B、d／dx∫abf(x)dx=f(x)C、∫axf’(t)dt=f(x)－f(a)D、d／dx∫axf(t)dt=f(x)标准答案：B知识点解析：由题设f’(x)连续，可知f(x)必定连续，因此∫abf(x)dx存在，它表示一个确定的数值，可知A正确，B不正确．由牛顿一莱布尼茨公式得∫axf’(t)dt=f(t)|ax=f(x)－f(a)，则c正确．由变限积分求导公式得d／dx∫axf(t)dt=f(x)，则D正确．故选B．4、设f(x)为连续函数，则d／dx∫0xtf(x2－t2)dt=()．A、－x／2f(0)B、x／2f(0)C、xf(0)D、xf(x2)标准答案：D知识点解析：所给问题为可变上限积分的求导问题，但是被积函数中含有变上限的变元x，且f(x2－t2)为抽象函数，不能将x从f(x2－t2)中分离出来．因此设u=x2－t2，则du=－2tdt．当t=0时，u=x2；当t=x时，u=0．因此d／dx∫0x(x2－t2]dt=d／dx(－1／2)f(u)du=xf(x2)．故选D．5、设f(x)=则∫1／22f(x－1)dx=()．A、1B、1／2C、－1／2D、－1标准答案：C知识点解析：令x－1=t，则dx=dt，当x=1／2时，t=－1／2；当x=2时，t=1．因此∫1／22f(x－1)dx=∫－1／21f(t)dt故选C．6、已知某商品总产量的变化率f(t)=200+5t－t2，则时间t在[2，8]上变化时，总产量增加值△Q为()．A、1266B、568C、266D、8标准答案：A知识点解析：由总产量函数与其变化率的关系，有Q’(t)=f(t)，于是总产量增加值为△Q=∫28Q’(t)dt=∫28f(t)dt=∫28(200+5t－t2)dt=(200t+t3)|28=1266．故选A．7、∫x2e－xdx=()．A、－e－x(x2+2x+2)+CB、e－x(x2+2x+2)+CC、－ex(x2+2x+2)+CD、ex(x2+2x+2)+C标准答案：A知识点解析：利用分部积分法．∫x2e－xdx=－x2e－x+∫2xe－xdx－x2e－x+2(－xe－x+∫e－xdx)=－x22e－x－2xe－x－2e－x+C=－e－x(x2+2x+2)+C．故选A．8、设z=－1)，当x=1时，z=y，则f(u)及z分别为()．A、u2+2u，+y－1B、u2+2u，+y+1C、u2+u，+y－1D、u2+u，+y+1标准答案：A知识点解析：由题设当x=1时，zy，可知y=－1)=y－1，令u=－1，则y=(u+1)2，从而f(u)=(u+1)2－1=u2+2u，进而故选A．9、已知f(x，y)=x+(y－1)arcsin，则f’x(x，1)=()．A、－1B、0C、1D、2标准答案：C知识点解析：常规方法是先求出f’x(x，y)，再令y=1，可得f’x(x，1)．由于f’x(x，y)因此f’x(x，1)=1．但是从偏导数的概念可知，下面的方法也正确．当y=1时，f(x，y)为f(x，1)=x，因此f’x(x，1)=1．显然对本题而言，后者更简便．故选C．10、设f(x，y)=x3y2+(y－1)3arctan，则f’x(1，1)=()．A、－1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：若依常规方法，应先求出f’x(x，y)，再令x=1，y=1求解，较繁琐．如果先令y=1，可得f(x，1)=x3，再对x求偏导，可得f’x(x，1)=3x2，因此f’x(1，1)=3．故选C．11、设z=e－x－f(x－2y)，且当y=0时，z=x2，则|(2，1)=()．A、1+e2B、1－e2C、1+D、1－标准答案：D知识点解析：由于y=0时，z=x2，故e－x－f(x)=x2，则f(x)=e－x－x2，所以有f(x－2y)=e－(x－2y)－(x－2y)2，z=e－x－e2y－x+(x－2y)2，故=e2y－x－e－x+2(x－2y)．因此故选D．12、设f(t)有连续导数，且g(x，y)=f(y／x)+yf(x／y)，则x=()．A、yf(y／x)B、2f’(y／x)+f’(x／y)C、xf(y／x)D、f(y／x)+2f’(x／y)标准答案：A知识点解析：设u=y／x，v=x／y，则g(x，y)=f(u)+yf(v)，故选A．13、设f(x，y)=x2y2+xlnx，则点(1／e，0)()．A、不是f(x，y)的驻点，是f(x，y)的极值点B、不是f(x，y)的驻点，也不是f(x，y)的极值点C、是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极大值点D、是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极小值点标准答案：D知识点解析：由题设可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一驻点x=1／e，y=0，即驻点为(1／e，0)，因此排除A，B．又有f"xx=2y2+，f"xy=4xy，f"yy=2x2，A=f"xx|(1／e，0)=e，B=f"xy|(1／e，0)=0，C=f"yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由极值的充分条件知(1／e，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为－1／e．故选D．14、设在(1，0，－1)的某个邻域内z=z(x，y)由力程xyz+确定，则dz|(1，0)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：令F(x，y，z)=xyz+，则由于点(1，0，－1)满足给定的方程，即有F(1，0，－1)=0，F’z(1，0，－1)≠0．由隐函数存在定理可得因此dz|(1，0)=dx－dy．故选A．二、计算题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、标准答案：解法1利用倒代换．当x＞0时，令x=1／t，则dx=－1／t2dt．所以当x＜0时结果相同．解法2令x=tant，则dx=1／cos2dt．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且满足关系式xf(x)=x4－3x3+4+∫2xf(t)dt，求f’(x)和f(x)．标准答案：将所给关系式两端同对关于x求导，可得f(x)+xf’(x)=6x3－6x+f(x)，因此xf’(x)=6x3－6x，f’(x)=6x2－6，f(x)=∫f’(x)dx=∫(6x2－6)dx=2x3－6x+C．(*)依题设，有xf(x)=x4－3x2+4+∫2xf(t)dt，令x=2可得2f(2)=24－12+4=16，f(2)=8．将x=2代入(*)式，有f(2)=16－12+C，所以C=4，f(x)=2x3－6x+4．知识点解析：暂无解析17、计算定积分∫09dx．标准答案：为消除根号形式，先设t=，则x=t2，dx=2tdt．当x=0时，t=0；当x=9时，t=3．因此再设u=，则t=u2－1，dt=2udu．当t=0时，u=1；当t=3时，u=2．因此知识点解析：暂无解析18、计算定积分∫14dx．标准答案：令t=，则x=t2，dx=2tdt．当x=1时，t=1；x=4时，t=2．因此∫14dx=∫12lnt2／t．2tdt=4∫12lntdt=4(tlnt|12－∫12t．dt)=4(2ln2－t|12)=4(2ln2－1)．知识点解析：暂无解析19、已知f(x)连续，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx．求∫0π／2f(x)dx的值．标准答案：要想求解定积分∫0π／2f(x)dx，可以先求解被积函数的表达式．因为已知条件是有关积分上限的函数，必须通过求导，方可求出f(x)，或求出∫0xf(t)dt亦可．设u=x－t，则dt=－du．当t=0时，u=x；当t=x时，u=0．于是1－cosx=∫0xtf(x－t)dt=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du．将上式两端同时关于x求导，得sinx=∫0xf(u)du+xf(x)－xf(x)=∫0xf(u)du．由∫0xf(u)du=sinx，令x=π／2，得∫0π／2f(u)du=sinπ／2=1，因此∫0π／2f(x)dx=1．知识点解析：暂无解析20、从原点(0，0)引两条直线与曲线y=1+x2相切，求由这两条切线与y=1+x2所围图形的面积．标准答案：点(0，0)不在曲线y=1+x2上，设过点(0，0)引出的直线与曲线y=1+x2相切的切点为(x0，y0)，则y0=1+x02．由y’=2x，得y’=2x0．设所求切线方程为y－y0=2x0(x－x0)，即y－(1+x02)=2x0(x－x0)．(*)将点(0，0)代入(*)式，得－(1+x02)=－2x02，x02=1，解得x0=±1．因此y’|x=－1=－2，y’|x=1=2．相应的切线方程为y－2=－2(x+1)，即y=－2x，y－2=2(x－1)，即y=2x．故两条切线与曲线y=1+x2所围图形如图1—3—6所示，故S=∫－10[1+x2－(－2x)]dx+∫01(1+x2－2x)dx=2／3．知识点解析：暂无解析21、设z=uv，u=x2+2y，v=sinxy，求标准答案：由z=uv，则=uvlnu．又u=x2+2y，则=2x．v=sinxy，=ycosxy．因此=vuv－1．2x+uv．lnu．ycosxy=2xsinxy．(x2+2y)sinxy－1+(x2+2y)sinxy．ln(x2+2y)．ycosxy．知识点解析：暂无解析22、设z=f(x，xy，xyz)，其中f(u，v，w)为可微函数，求标准答案：记f’i为f(u，v，w)对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，3，则=f’1+f’2．y+f’3．yz=f’1+yf’2+yzf’3．知识点解析：暂无解析23、设z=z(x，y)由方程z－y2－3x+yez=5确定，求dz．标准答案：设F(x，y，z)=z－y2－3x+yez－5，则F’x=－3，F’y=－2y+ez，F’z=1+yez，因此知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、设u=f(x，y，z)有连续偏导数，z=z(x，y)由方程xex－yey=ze－z确定，求du．标准答案：由于u=f(x，y，z)有连续偏导数，则du=f’xdx+f’ydy+f’zdz．(*)将xex－yey=ze－z两端分别求微分，则d(xex)－d(yey)=d(ze－z)，rexdx+xexdx－eydy－yeydy=e－zdz－ze－zdz，dz=[ex(1+x)dx－ey(1+y)dy]．代入(*)式可得du=[f’x+f’z]dx+[f’y－f’z]dy．知识点解析：暂无解析26、求二元函数z=xy在条件x+y=1下的极值点坐标．标准答案：解法1构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=xy+λ(x+y－1)，解方程组可得唯一一组解x=y=1／2，即为唯一可能极值点(1／2，1／2)．如果求极值点坐标，那么只能为(1／2，1／2)．知识点解析：暂无解析27、用钢板制作一个容积为am3的有盖长方体水箱，若不计钢板的厚度，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用材料最省?标准答案：设长方体水箱的长、宽、高分别为x，y，z(m)．体积V=xyz=a(m3)，因此其高为z=a／xy(m)．水箱的表面积S=2(xy+yz+xz)．将z=与a／xy代入S的表达式，可得S=2(xy+)(x＞0，y＞0)，当表面积最小时，所用材料最省．解方程组可得唯一组解x=(m)．即S的唯一驻点为()．依实际问题可知，水箱表面积的最小值一定存在，又驻点唯一．因此此驻点即为S的最小值点，此时z=(m)．故知设计长、宽、高都为(m)时，所用材料最省．知识点解析：暂无解析经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷第6套一、单项选择题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、下列式子正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由重要极限公式可知A不正确，B不正确．对于C，可知C不正确．对于D，可知D正确．故选D．2、xn=xn()．A、等于1B、等于2C、等于3D、为∞标准答案：B知识点解析：xn因此xn=2，故选B．3、当x→0+时，与等价的无穷小量是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：注意等价无穷小量公式，当x→0+时，故选B．4、当x→0时，下列选项中与z为等价无穷小量的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：对于A，可知应排除A．对于B，sinx／x=1，可知x→0时，sinx／x不是无穷小量，应排除B．对于C，可知当x→0时，与x为等价无穷小量，故选C．对于D，当x→0时，xsin1／x为无穷小量，但是不存在，这表明当x→0时，无穷小量xsin1／x的阶不能与x的阶进行比较，因此排除D．5、设f(x)=f(x)存在，则a=()．A、1／2B、1C、2D、e标准答案：C知识点解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑．由于f(x)存在，则e2／a=e，可得a=2．故选C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，简化运算．相仿6、设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，则()．A、a=2，b=－1B、a=2，b=1C、a=－1，b=2D、a=1，b=2标准答案：A知识点解析：由题设，点x=－1与x=1为f(x)的分段点，在(－∞，1)，(－1，1)，(1，+∞)内f(x)都是初等函数，皆为连续函数．只需考查f(x)在x=－1与x=1处的连续性．(x2+ax+b)=1－a+b．若f(x)在x=－1处连续，则应有1－a+b=－2，即a－b=3．①又(x2+ax+b)=1+a+b，当f(x)在x=1处连续时，应有1+a+b=2，即a+b=1．②联立①②得方程组解得a=2，b=－1．故选A．7、设函数f(x)=，讨论f(x)的间断点，其正确的结论为()．A、不存在间断点B、存在间断点x=1C、存在间断点x=0D、存在间断点x=－1标准答案：D知识点解析：所给问题为判定函数f(x)的间断点．由于f(x)以极限的形式给出，因此应该先求出f(x)的表达式．由题设，得可知f(x)为分段函数，分段点为x=－1，x=1．画出草图易知x=－1为其唯一间断点．故选D．8、若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则=()．A、－2f’(0)B、－f’(0)C、f’(0)D、0标准答案：D知识点解析：由于=f’(0)－f’(0)=0．故选D．9、设函数f(x)=其中g(x)为有界函数，则在点x=0处f(x)()．A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：f(x)在分段点x=0两侧函数表达式不同，考虑：可知f(x)=f(0)，因此f(x)在x=0处极限存在且连续，应排除A，B．又由单侧导数的定义，有可知f’－(0)≠f’+(0)，从而f’(0)不存在，故选C．10、设函数f(x)=(x－1)(x－2)…(x－10)，则f’(1)=()．A、9!B、－9!C、10!D、－10!标准答案：B知识点解析：利用导数定义．=(x－1)(x－2)…(x－9)=(－1)99!=－9!．故选B．11、设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与