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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.2.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件3.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H4.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲5.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.7.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.8.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.9.若函数在处取得极值2,则()A.-3 B.3 C.-2 D.210.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.1611.已知定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.1 B.-1 C.2 D.-212.直角坐标系中,双曲线()与抛物线相交于、两点,若△是等边三角形,则该双曲线的离心率()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.14.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是__________.16.设集合,,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设都是正数,且,.求证:.18.(12分)已知.(1)若是上的增函数,求的取值范围;(2)若函数有两个极值点,判断函数零点的个数.19.(12分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.20.(12分)在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,,M、N分别为、的中点.(1)证明:;(2)求三棱锥的体积.21.(12分)已知椭圆的右焦点为,直线被称作为椭圆的一条准线,点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点),过点作直线与椭圆相切,且与直线相交于点.(1)求证:.(2)若点在轴的上方,当的面积最小时,求直线的斜率.附:多项式因式分解公式:22.(10分)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.(1)求圆的极坐标方程;(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.2.A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.3.C【解析】
由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.4.D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.5.B【解析】
函数的图象恒在轴的上方,在上恒成立.即,即函数的图象在直线上方,先求出两者相切时的值,然后根据变化时,函数的变化趋势,从而得的范围.【详解】由题在上恒成立.即,的图象永远在的上方,设与的切点,则,解得,易知越小,图象越靠上,所以.故选:B.【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.6.A【解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。7.A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.8.C【解析】
化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.9.A【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.10.D【解析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.11.B【解析】
根据f(x)是R上的奇函数,并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4,而由x∈[0,1]时,f(x)=2x-m及f(x)是奇函数,即可得出f(0)=1-m=0,从而求得m=1,这样便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【详解】∵是定义在R上的奇函数,且;∴;∴;∴的周期为4;∵时,;∴由奇函数性质可得;∴;∴时,;∴.故选:B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值,此类问题一般根据条件先推导出周期,利用函数的周期变换来求解,考查理解能力和计算能力,属于中等题.12.D【解析】
根据题干得到点A坐标为,代入抛物线得到坐标为,再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形,设直线OA为,设点A坐标为,代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为,代入双曲线得到故答案为:D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,结合转化为的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范围).二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:【点睛】此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.14.②③【解析】
根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.故答案为:②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.15.丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.16.【解析】
先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.证明见解析【解析】
利用比较法进行证明:把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,,所以,∴成立,又都是正数,∴,①同理,∴.【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。18.(1)(2)三个零点【解析】
(1)由题意知恒成立,构造函数,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证,.【详解】(1)由得,由题意知恒成立,即,设,,时,递减,时,,递增;故,即,故的取值范围是.(2)当时,单调,无极值;当时,,一方面,,且在递减,所以在区间有一个零点.另一方面,,设,则,从而在递增,则,即,又在递增,所以在区间有一个零点.因此,当时在和各有一个零点,将这两个零点记为,,当时,即;当时,即;当时,即:从而在递增,在递减,在递增;于是是函数的极大值点,是函数的极小值点.下面证明:,由得,即,由得,令,则,①当时,递减,则,而,故;②当时,递减,则,而,故;一方面,因为,又,且在递增,所以在上有一个零点,即在上有一个零点.另一方面,根据得,则有:,又,且在递增,故在上有一个零点,故在上有一个零点.又,故有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点,导数的综合应用.在研究函数零点时,有一种方法是把函数的零点转化为方程的解,再把方程的解转化为函数图象的交点,特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题,这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值,从而得出函数的变化趋势,得出结论.19.(1)极大值是,无极小值;(2)【解析】
(1)当时,可求得,令,利用导数可判断的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出,并求得,由题意,得方程有两个不同的实根,,从而可得△及,由,得.则可化为对任意的恒成立,按照、、三种情况分类讨论,分离参数后转化为求函数的最值可解决;【详解】(1)当时,.令,则,显然在上单调递减,又因为,故时,总有,所以在上单调递减.由于,所以当时,;当时,.当变化时,的变化情况如下表:+-增极大减所以在上的极大值是,无极小值.(2)由于,则.由题意,方程有两个不等实根,则,解得,且,又,所以.由,,可得又.将其代入上式得:.整理得,即当时,不等式恒成立,即.当时,恒成立,即,令,易证是上的减函数.因此,当时,,故.当时,恒成立,即,因此,当时,所以.综上所述,.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识,考查分类讨论思想、转化思想,考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,该题综合性强,难度大,对能力要求较高.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取中点,连接,,证明平面,由线面垂直的性质可得;(2)由,即可求得三棱锥的体积.【详解】解:(1)证明:取中点D,连接,.因为,,所以且,因为,平面,平面,所以平面.又
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