专题19与圆有关的最值问题12种常见考法归类（原卷版）

专题19与圆有关的最值问题12种常见考法归类1、圆的最值问题求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化2、圆的最值类型：（1）圆上动点到定点距离的最值问题圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.（2）圆上动点到定直线的距离的最值问题圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径.圆的切线长最值问题从圆外任一点向圆引两条切线，圆心C,两切点A,B,我们把线段PA,PB的长度叫做切线长，设圆的半径为r,则有：①切线长的计算：，当半径给定，切线长最小等价于最小，②过圆外一点P向圆引两条切线，切点记为A、B,则四边形面积的最值等价于求圆心到点P的距离最值。（4）由直线与圆的位置关系求距离的最值（5）过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题）设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦，弦长为.（6）与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如u＝eq\f(y－b,x－a)的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．②求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：1）数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；2）把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.③求形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.（7）圆中与角度有关的最值问题①圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆处一点为顶点)中，以这两条直线为切线时最大.②圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大.③圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中，以这条直线为切线时最大。（8）利用对称性求最值形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.注：三角不等式(将军饮马):任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.如图，动点P为直线上一点，A、B为直线一侧的两个定点，那么PBPA的最大两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值，此时，PBPA的最小值为0,即P为AB中垂线与的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”（9）阿波罗尼斯圆的逆用已知圆上任意一点P和坐标轴上任意两点A、B,求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.圆有关的平行线束最值问题两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离考点一圆上动点到定点的距离的最值问题考点二圆上动点到定直线的距离的最值问题考点三圆的切线长最值问题考点四直线与圆的位置关系求距离的最值考点五与圆的弦长有关的最值问题考点六与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题（一）斜率型最值问题（二）截距型最值问题（三）距离型最值问题（四）综合应用考点七利用三角换元求最值考点八圆中与角度有关的最值问题考点九利用对称性求最值考点十阿波罗尼斯圆的逆用考点十一圆有关的平行线束最值问题考点十二利用圆的方程构建函数求最值考点一圆上动点到定点的距离的最值问题1．（2023秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）在中，，，，动点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值为.2．（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知点，是圆上的动点，则线段长的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）对任意实数m直线x＋my－3m－4＝0被圆C截得的线段长恒为4，若动点P在圆C上，则点P到原点距离的最小值为；5．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）点M为圆：上任意一点，直线过定点P，则的最大值为（

）A． B． C． D．考点二圆上动点到定直线的距离的最值问题6．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知点A在直线l：上，点B在圆C：上，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．57．（2023秋·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值是.8．（2023秋·广东揭阳·高二揭阳华侨高中校考期中）已知点在圆上运动，，点为线段的中点．(1)求点的轨迹方程(2)求点到直线的距离的最大值和最小值．9．（2023秋·广东江门·高三校考阶段练习）已知点是圆上的动点，，则点到直线的距离的最大值为.10．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是.11．（2023秋·广东揭阳·高二校考期末）已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为.考点三圆的切线长最值问题12．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（

）A．4 B． C． D．13．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是．14．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）已知圆，点为直线上一个动点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．15．（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知的顶点分别为．(1)求外接圆的方程；(2)设P是直线上一动点，过点P作外接圆的一条切线，切点为Q，求最小值及点P的坐标．16．（2023秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．17．（2023秋·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为．考点四直线与圆的位置关系求距离的最值18．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数x，y满足：，则的取值范围是．19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（

）A． B． C． D．20．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是.21．【多选】（2023秋·广东深圳·高二校联考期中）已知直线与圆，则下列说法中正确的是（

）A．直线与圆一定相交B．若，则直线与圆相切C．当时，直线被圆截得的弦最长D．圆心到直线的距离的最大值为考点五与圆的弦长有关的最值问题22．（2023春·广东阳江·高二统考期末）已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为.23．（2023秋·广东惠州·高二校考阶段练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是.24．（2023秋·广东·高二校联考期中）若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为.25．（2023秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（

）A． B．1 C． D．126．（2023秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中）已知圆及直线．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．27．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为．28．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）直线过且与圆交于两点，当弦最长时，直线的方程为.考点六与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题（一）斜率型最值问题29．（2023秋·高二课时练习）已知实数、满足，求的取值范围．30．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）如果实数满足，则的取值范围是．31．（2023·贵州·校联考模拟预测）若点在曲线：上运动，则的最大值为.32．（2023秋·四川广安·高三广安二中校考期中）设点是曲线上的任意一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．33．（2023秋·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圆C的圆心坐标为(2，7)，直线是圆C的一条切线，且点(－2，3)为圆外的一点.(1)求圆C的标准方程；(2)若点为圆上的任一点，求的最大值和最小值；(3)若点在圆C上运动，求的最大值和最小值．（二）截距型最值问题34．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）若点在圆上运动，则的取值范围.35．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的取值范围．36．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为.（三）距离型最值问题37．（2023秋·广东惠州·高二统考期中）若实数x、y满足，则的最大值是.38．（2023秋·广东广州·高二统考期中）已知实数，满足，则的取值范围为．39．（2023秋·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足，求的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程，求的取值范围．（四）综合应用40．（2023秋·广东梅州·高二校考期中）已知实数x，y满足方程，求：(1)的最大值；(2)的最小值．41．（2023秋·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）已知，是实数，且．(1)求的最值；(2)求的取值范围；(3)求的最值．42．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）已知实数满足方程．求：(1)的取值范围为；(2)的取值范围；(3)的取值范围．考点七利用三角换元求最值43．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．44．【多选】（2023秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考期中）已知点，，，且点是圆：上的一个动点，则的值可以是（

）A．66 B．79 C．86 D．89考点八圆中与角度有关的最值问题45．【多选】（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区第一中学校考开学考试）已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（

）A． B．的最大值为C．面积的最大值为2 D．的最大值为446．【多选】（2023春·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）已知点在圆：上，点，，则（

）A．点到直线的距离的最小值是 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．当为直角三角形时，其面积为347．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．48．（2023秋·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为．49．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知圆，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为、，当四边形的面积最小时，．考点九利用对称性求最值50．（2023秋·广东清远·高二校联考期中）已知圆上一动点和定点，点为轴上一动点，则的最小值为．51．（2023秋·广东广州·高二广州市玉岩中学校考期中）点P在直线上运动，点Q在圆上运动，，则的最小值为（

）A． B．13 C．12 D．52．（2023秋·广东·高二统考阶段练习）已知直线与直线相交于点P，圆交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．53．（2023秋·广东深圳·高二红岭中学校考期中）已知点，是轴上的动点，是圆上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．54．（2023秋·广东湛江·高三统考阶段练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法错误的是（

）A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2C．的最大值为 D．的最大值为考点十阿波罗尼斯圆的逆用55．（2023春·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，若动点P满足，则的最小值是．56．（2023秋·广东江门·高二校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯