2024-2025学年新教材高中数学 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 第1课时 基本计数原理教案 新人教B版选择性必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第3章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1第1课时基本计数原理教案新人教B版选择性必修第二册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是排列与组合。教材的章节为高中数学第3章“排列、组合与二项式定理”中的3.1“排列与组合”。具体内容为3.1.1第1课时“基本计数原理教案”。

教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方和整数的乘方，这为理解排列与组合的概念打下了基础。同时，学生也学习了函数、集合等数学概念，这些知识都将有助于学生对排列与组合的理解和应用。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数学抽象。

首先，通过学习排列与组合的概念和原理，学生能够培养逻辑推理能力，能够从已知的事实出发，推导出排列与组合的规律，理解其内在逻辑关系。

其次，学生能够通过实例分析和问题解决，掌握排列与组合在实际问题中的应用，培养数学建模的能力，能够将实际问题转化为数学问题，并利用排列与组合的知识进行解决。

最后，通过探索排列与组合的性质和规律，学生能够抽象出数学模型，培养数学抽象的能力，能够从具体的事物中抽象出一般的规律，并能够运用这些规律进行推理和解决问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：在开始本节课之前，学生应该已经掌握了有理数的乘方、整数的乘方、函数、集合等数学概念。这些知识将为学生理解排列与组合的概念打下基础。同时，学生也应该具备一定程度的问题解决能力和数学思维能力，这将有助于他们在学习排列与组合时进行更好的理解和应用。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生在学习数学时，可能对具有实际应用背景的知识更感兴趣。因此，在教学过程中，教师可以通过引入生活中的实例和问题，激发学生的学习兴趣。在学习能力方面，学生可能存在差异，有的学生可能对抽象的数学概念掌握得较好，而有的学生可能更擅长具体的操作和实践。因此，教师在教学时应注重因材施教，通过不同的教学方法和教学素材，满足不同学生的学习需求。在学习风格方面，有的学生可能喜欢通过自主探索学习，而有的学生可能更倾向于通过与他人合作学习。教师可以根据学生的不同学习风格，采取相应的教学策略，促进学生的学习效果。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习排列与组合时，学生可能对排列与组合的概念和原理理解起来有困难，尤其是对于一些抽象的数学模型和规律的把握。同时，学生可能在将实际问题转化为数学问题，并利用排列与组合的知识进行解决时遇到挑战。此外，学生可能对排列与组合在不同情境下的应用有一定的疑惑，不知道如何灵活运用所学的知识。针对这些困难和挑战，教师需要通过耐心讲解、举例说明、引导思考等方式，帮助学生理解和掌握排列与组合的知识，并能够应用到实际问题中。同时，教师可以组织学生进行讨论和交流，让学生相互借鉴和学习，共同克服困难，提高学习效果。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、教学卡片、计算器、数学模型等。

2.课程平台：学校提供的教学管理系统，如Moodle或Blackboard，用于发布教学材料、作业和测试。

3.信息化资源：教学PPT、视频讲座、在线习题库、数学软件（如GeoGebra）、排列与组合的案例研究等。

4.教学手段：讲演法、互动讨论、小组合作、案例分析、问题解决、实践操作、反馈与评价等。

5.辅助材料：教科书、辅导书、练习册、在线资源链接、实际问题收集材料等。

6.评估工具：课堂练习、小测验、作业、项目作业、自我评估表、同伴评估等。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对排列与组合的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道排列与组合是什么吗？它们在数学和生活中有什么应用？”

展示一些实际问题场景，如举办活动时的座位安排、商品组合优惠等，让学生初步感受排列与组合的应用。

简短介绍排列与组合的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.排列与组合基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解排列与组合的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解排列与组合的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍排列与组合的计算方法和原理，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.排列与组合案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解排列与组合的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的排列与组合案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解排列与组合的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用排列与组合解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与排列与组合相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对排列与组合的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调排列与组合的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括排列与组合的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调排列与组合在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用排列与组合。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于排列与组合的应用案例报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要教学内容是排列与组合，涉及到高中数学第3章“排列、组合与二项式定理”中的3.1“排列与组合”。具体内容为3.1.1第1课时“基本计数原理教案”。以下是对本节课知识点的详细梳理：

1.排列与组合的定义：

-排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列的个数。

-组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序排列的个数。

2.排列的计算公式：

-排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

-特殊情况的排列数：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.组合的计算公式：

-组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的阶乘。

-特殊情况的组合数：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列与组合的性质：

-排列与组合是相互独立的，即从n个元素中先进行排列再进行组合的结果与先进行组合再进行排列的结果相同。

-排列与组合满足交换律，即对于任意两个元素a和b，A(n,m)(a,b)=A(n,m)(b,a)和C(n,m)(a,b)=C(n,m)(b,a)。

-排列与组合满足结合律，即对于任意三个元素a、b和c，A(n,m)(a,b,c)=A(n,m)(a,b)A(n,m)(c)和C(n,m)(a,b,c)=C(n,m)(a,b)C(n,m)(c)。

5.排列与组合的应用：

-活动安排：如聚会座位安排、比赛选手排序等。

-商品组合优惠：如买一送一、打折组合套餐等。

-问题解决：如求解排列组合问题、计算概率等。

6.实际问题转化为排列组合问题的方法：

-确定元素：将问题中的每个选项或物品看作是一个元素。

-确定排列组合方式：根据问题的要求，确定是进行排列还是组合。

-计算排列组合数：根据排列与组合的公式，计算出所有可能的排列或组合数。

-得出结果：根据计算出的排列组合数，得出问题的解答。典型例题讲解例题1：排列问题

题目：从5本不同的书中随机抽取3本进行阅读，求不同的抽取方法有多少种？

解答：

这是一个排列问题，因为题目要求书的顺序。

使用排列数公式A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n=5，m=3。

计算得到A(5,3)=5!/(5-3)!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=60。

所以，不同的抽取方法有60种。

例题2：组合问题

题目：一个班级有20名学生，从中选出10名参加数学竞赛，求不同的选法有多少种？

解答：

这是一个组合问题，因为题目不要求学生的顺序。

使用组合数公式C(n,m)=A(n,m)/m!，其中n=20，m=10。

计算得到C(20,10)=A(20,10)/10!=(20×19×18×...×11)/(10×9×8×...×1)。

所以，不同的选法有大约1.21×10^12种。

例题3：排列与组合混合问题

题目：一个篮子里有5个苹果，3个橘子和2个香蕉，如果随机取出2个水果，求取出的水果既有苹果又有橘子的方法有多少种？

解答：

这个问题涉及到排列与组合的混合。

我们可以先计算出所有可能的取法，即A(10,2)。

然后计算出只有苹果或只有橘子的取法，分别是A(5,2)和A(3,2)。

最后，用总的取法减去只有苹果和只有橘子的取法，即A(10,2)-(A(5,2)+A(3,2))。

计算得到A(10,2)=10!/(10-2)!=45，A(5,2)=5!/(5-2)!=10，A(3,2)=3!/(3-2)!=3。

所以，取出的水果既有苹果又有橘子的方法有45-(10+3)=22种。

例题4：排列的应用问题

题目：一个班级有6名女生和4名男生，班主任要从这些学生中选出3名班干部，要求女生至少占一名，求选法的种数？

解答：

这个问题是排列的应用问题。

我们可以分为三种情况：一女两男、两女一男、三女。

计算每种情况的选法种数，然后相加。

一女两男的情况有C(6,1)×C(4,2)种，两女一男的情况有C(6,2)×C(4,1)种，三女的情况有C(6,3)种。

计算得到一女两男的选法有6×6=36种，两女一男的选法有15×4=60种，三女的选法有20种。

所以，总的选法种数为36+60+20=116种。

例题5：组合的应用问题

题目：一个密码锁由4位数字组成，数字范围是0到9，求设置一个密码的方法有多少种？

解答：

这是一个组合的应用问题，因为密码的顺序不重要。

每位数字都有10种选择（0-9），所以总的组合方法是10×10×10×10=10^4种。

所以，设置一个密码的方法有10^4种。教学反思今天我上了一节关于排列与组合的课，总体来说，学生们表现得非常积极，参与度很高。在讲解基本概念和公式时，我发现学生们对于排列的计算公式A(n,m)=n!/(n-m)!和组合的计算公式C(n,m)=A(n,m)/m!理解得比较到位，能够正确应用这些公式来解决问题。

在解决排列与组合混合问题时，我发现学生们对于将问题转化为排列与组合的计算有些困难。这个问题可能是因为学生们对于排列与组合的混合应用还不够熟练，需要更多的练习来加强理解和应用能力。

在课堂讨论和小组活动中，我发现学生们能够积极参与，提出自己的想法和解决方案。这表明学生们对于排列与组合的应用有一定的理解和掌握，同时也能够通过合作来解决问题。

在课堂小结和课后作业布置中，我强调了排列与组合在实际生活中的应用，鼓励学生们进一步探索和应用排列与组合的知识。学生们对于排列与组合在实际生活中的应用表示出浓厚的兴趣，希望能够将所学知识应用到实际问题中。板书设计1.排列与组合的定义：

-排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列的个数。

-组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序排列的个数。

2.排列的计算公式：

-排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

-特殊情况：

-A(n,n)=n!

-A(n,1)=n

-A(n,0)=1

3.组合的计算公式：

-组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!，其中m!表示m的阶乘。

-特殊情况：

-C(n,n)=1

-C(n,1)=n

-C(n,0)=1

4.排列与组合的性质：

-排列与组合是相互独立的。

-排列与组合满足交换律。

-排列与组合满足结合律。

5.排列与组合的应用：

-活动安排

-商品组合优惠

-问题解决

6.实际问题转化为排列组合问题的方法：

-确定元素

-确定排列组合方式

-计算排列组合数

-得出结果教学评价与反馈1.课堂表现：学生们在课堂上表现积极，对于排列与组合的概念和公式能够快速理解并应用。大部分学生能够跟上教师的思路，积极参与课堂讨论。然而，仍有部分学生在理解和应用排列与组合公式时存在困难，需要进一步的指导和练习。

2.小组讨论成果展示：各小组在讨论中表现出了良好的合作和沟通能力。他们能够针对给定的问题提出自己的观点和解决方案，并通过小组讨论来达成共识。在展示中，学生们能够清晰地表达自己的观点，同时也能够接受其他小组的反馈和建议。

3.随堂测试：在随堂测试中，大部分学生能够正确应用排列与组合的公式来解决问题。学生们在解决实际问题时能够灵活运用所学知识，表现出较好的理解和应用能力。然而，仍有部分学生在解决特定类型的问题时出现错误，需要进一步的练习和指导