2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习09平面向量提高2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习09平面向量提高题

单元复习09平面向量

基础纲3

一、单选题

1.下列命题中正确的个数是()

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②己知向量在〃而，则48,C,。四点必在一直线上；

③若5//b,b//c,则3〃己；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，

【解析】对于A,单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A

错误，

对于B,向量方〃而，则48,。,。四点共线或/&/CD,故B错误，

对于C,若万〃己，当3=6时，不一定平行，故C错误，

对于D,若48,C三点共线，则祝〃而，此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

2.如图所示，已知在“8c中，。是边48上的中点，则而=()

----1——

B.—BC+—BA

22

—1―—•1—*

C.—BC——BAD.BC+-BA

22

【答案】B

【分析】由题意得丽=g而，再由而=在+而=-团+；而，即可得到答案.

—1—.

【解析】由于。是边力8上的中点，则3。=5员4.

CD=CB+~BD=-^BC+^BA.

2

故选：B.

3.关于向量Z,h,下列命题中，正确的是（）

A.若"=问，则°=加B.若°=-5,贝!]“〃刃

C.若同咽，则£＞否D.若£〃九b//c，则£〃"

【答案】B

【分析】根据平面向量的相关定义，判断选项.

【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；

B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；

C.向量不能比较大小，故C错误；

D.当向量1=0时，G与-不一定平行，故D错误；

故选：B

4.若平面上的三个力瓦瓦后作用于一点，且处于平衡状态.己知同=1N,同=6N,1与

月的夹角为150。，则力用的大小为（）.

A.7B.V7C.—D.I

2

【答案】D

【分析】根据三力平衡得到冗+尺=-瓦，然后通过平方将向量式数量化得到

同+2同间cosl5（T+Ej=El代入数据即可得到答案.

【解析】根据三力平衡得1+月+瓦=0,即耳+E=-月，

两边同平方得开2+2科豆+引=同,

即同+2同国cosl5（T+后卜用

即I2+2x1x6•'4卜可胴2,

解得同=1

故选：D.

5.设向量2,5均为单位向量,则“力弘是“恢-彳=归+2中，的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】将|2Z-B|=B+24两边平方转化为晨5=0,从而得到与区之间的关系.

【解析】若£_LB,则73=0，所以忸-4=4«2-4a-b+b~=5,

|a+2^|2=a^+4a-b+4b'=5,所以囚-@=卜+24,满足充分性；

若悔—耳叩+24,两边平方得££=0,所以力上满足必要性.

故选：B.

6.在平行四边形488中，AB=2,AD=\,ZDAB=60\对角线ZC与8。交于点O,E是

线段。。的中点，/E的延长线与C。交于点尸.设善=d,AD=b，则下列结论错误的是()

B.AF=—a+b

3

c|万呼

D.AFAB=-

3

【答案】C

【分析】由题意可证明ADM~A£>GC,则2盘=:，根据向量的分解、模长和数量积

GCD(J3

的运算，即可判断正误.

解：对于A,取05的中点G,连接CG,贝IJ/E//CG且<E=CG,即EF//CG

.△DEFfDGC,pllj—=—=1

GCDG3

—i—i—

:.EF=-GC=-AE,A选项正确；

DFDE11

对于B,・,FDEFfDGC,则一=—二-nDF=-DC

DCDG33

:.jF=AD+DF=14D+-DC=AD+-AB=-a+b,B选项正确；

333

对于C,-：AF=^a+h,

\AF\=f—a4-ft>l=-a2+—a-b+b2=—x22+—x2xlxcos60+12=-

I1UJ93939

则卜尸卜^,C选项错误；

对于D,==1x22+2xlxcos60"=1,D选项正确；

故选：C.

7.已知向量Z=（4,2）,7（2,1）,若Z+2B与74的夹角是锐角，则实数2的取值范围为（）

A.（1-7H,2）U（2,1+4T）B.（-2,5）

C.（1-E,1+4T）D.（_00/_而川（1+杭⑺

【答案】A

【分析】根据向量的数量积为正数且两向量不同向即可根据坐标运算求解.

【解析】由题意得a+2B=（4+2/l,4）,a-族=（4-4,1）,

若£+25与的夹角是锐角，贝心+2否与［一办不共线，且它们数量积为正值，

即4+22x4（4-2）,K（a+2ft）.（a-^）=（4+22,4）.（4-A,l）=20+4/l-2/l2>0,

解得i-VTT<a<i+7TT,且儿#2,

所以实数力的取值范围为（1-布,2）U（2,1+JT）.

故选:A

8.设4,4,4,4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若石=4瓦（2eR）,

44=〃44（/，eR）,且:+'=2,则称4,4调和分割4,4.已知点。（。，。），

XJLI

D(d,0)(c,4eR)调和分割点力(0,0),B(l,0),则下面说法正确的是()

A.C可能是线段N8的中点

B.。可能是线段的中点

C.C,。可能同时在线段上

D.C,。不可能同时在线段48上

【答案】D

【分析】先根据题目定义，向量的坐标运算，推出c,d之间的关系，然后四个选项每个代入

验证，用排除法解决.

【解析】根据题意可知,AC=^AB^D=MB,HP(c,0)-(0,0)=2[(1,0)-(0,0)],(c,0)=/(1,0),

得。=4,00)-(0,0)=4(1,0)-(0,0)],即@0)="(1，0)，得”=〃，根据1+1=2,得,+1=2.

线段48的方程是y=0,xe[0,l].

若C是线段/B的中点，贝ljc=：，代入，+)=2,得1=0,

2cda

此等式不可能成立，故选项A的说法不成立；同理选项B的说法也不成立；

若C,。同时在线段16上，则0<c<1,0<d<l,此时—>1,—>\,—■F—>2,与—F—=2

cacaca

矛盾，故选项C错误；

当C,D同时不在线段AB上时，

若。>1,d>1,则,+!<2,与,+工=2矛盾，

caca

若c<0,J<0,则)是负值，与\」二2矛盾，

caca

若c<0,d>l,则，<0,此时与，+工=2矛盾，

cacaca

若C>1,J<0,则!<0,此时1+与！+!=2矛盾，故选项D的说法成立.

cacacd

故选：D.

二、多选题

9.下列说法中正确的是()

A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】ACD

【分析】利用零向量的定义及性质判断选项A和选项C,利用共线向量的定义判断选项B,

利用相等向量的定义判断选项D.

【解析】解：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0,故A与C都是

正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B错误；对于D,因

为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等,

故D正确.

故选：ACD.

10.已知平面向量3=（1,0）,5=（1,26），则下列说法正确的是（）

A.\a+b\=\（>B.（3+S）-a=2

C.向量万+另与万的夹角为30°D.向量,+B在3上的投影向量为24

【答案】BD

【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A,根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式

可判断C,由投影向量的求解公式可判断D.

【解析】2+5=（1+1,0+2百）=（2,2百），所以卜+5卜师前/=4,故A错误；

心,+B）=1X2+0X26=2,故B正确；

一a\a+b\1

cos<a,«+6>=_=-,

\a\\a+b\2

<aya+b>e（0,7i）,.\<a,3+b>=—,故C错误；

向量G+B在不上的投影向量为l-{£=3x7=2万,故D正确.

同同1

故选：BD

11.在△/8C中，下列结论错误的是（）

A.AB-AC=BC

B.7B-SC<|ZS|-|BC|

C.若（方+就）.（而-配）=0,则“8C是等腰三角形

D.若X.荏>0,则是锐角三角形

【答案】ABD

【分析】由向量减法法判断A项错误；利用数量积公式判断B项错误；将已知化简利用三线

合一得到“8C是等腰三角形判断C项正确；D项得到N8/C是锐角，不能得到"8C是锐角

三角形，判断D项正确.

【解析】由向量减法法则可得在-就=而，故A项错误；

JS-SC=|JB|-|5C|-cos<^B,BC><|78|-|BC|,故B项错误；

设8c中点为。，(^B+^C).(A6-JC)=2AD-CB=0,则而1而，因为9=。,所以由三

线合一得ZB=ZC,所以“8C是等腰三角形，故C项正确；

恁.在>0,可以得到NA4c是锐角，不能得到"8C是锐角三角形，故D项错误；

故选：ABD.

12.已知向量Z=(-2,1)I=(-M，则下列说法正确的是()

A.若2,加贝"的值为-2

B.若：〃力贝"的值为上

C.若0<t<2,则Z与5的夹角为锐角

【答案】AB

【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可；

【解析】解：对于A:若£11,则a7=-2x(-l)+lx,=0,解得/=-2,故A正确；

对于B：若a/ib，则-2/=-lxl,解得f=；,故B正确；

对于c：当";时"与石同向，此时£与B的夹角为0°,故C错误；

对于D：若(£+可，(-5),则(£+40-1)=0,即/_片=0,即(一2)2+12=(7)2+产,解

得》=±2,

当f=2时a=(-2,11B=(-1,2),“+3=(-3,3),"3=(-1,-I),显然卜+5卜卜-同，

当f=-2时a=(―2,1),5=(―1,—2),a+h=(-3,-1),a—b=(—1,3),此时,+B卜卜—耳，故D错

误；

故选：AB

三、填空题

13.已知|刈=6，出|=26，ab=3,则万与5的夹角是.

【答案】y

【分析】根据平面向量的模和数量积计算，即可直接得出结果.

-a-h31

【解析】c°s〈9〉=目诲=及亚=5,

__7T

因为〈Z,6〉e[0,7t],所以〈）,6〉=],

万与5的夹角是:.

故答案为：y.

14.若平面向量鼠B满足条件：旧1=3、展彼=-12,则向量B在向量G的方向上的数量投影

为.

【答案】-4

【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.

a,b—12

【解析】向量5在向量力的方向上的数量投影为词■=亍=~4.

故答案为：-4

15.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250国，河水的速度为向东2km/h.一艘小货船准

备从河南岸的码头/处出发，航行到位于河对岸8（48与河的方向垂直）的正西方向并且与

8相距250m的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,

则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是km/h.

【答案】2713

【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式,

即可求解小货船航行速度的大小.

【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段/C,

设小货船航行速度为1水流的速度为F，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为E，

作出示意图如下:

因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽250国，河水的速度为向正东2km/h,

AB=250百"i,SC=250,"，在RtA/15C中，有tanZ.BCA=-^-=~-0立=M,

BC250

所以NBCA=3/BAC=?,汨匐=J+3?，

36263

所以户7-K，

22222

J^W|V|=7（V2-V,）=7|V2|+|V||-2V,-V2=^6+2-2x6x2cosy=2>/13,

所以小货船航行速度的大小为2折km/h.

故答案为：

——2-......1—

16.在。中，M,N分别是边46,ZC上的点，且力N=§4C,AM=-AB,点。是

线段MN上异于端点的一点，且满足%而+3幅+4双=。（4工0）,则4=.

【分析】用如、丽表示出反、OB，从而得到前=3；病+彳^而，再根据"，O,

A+7/I+7

N三点共线，得到工+义=1,解得即可.

2+72+7

—.2---------►1—

【解析】解：因为4N=§4C,AM=-AB,

所以丽=京花-西，,

即反=g而+刀，0B=3AM+0A，

因为;I刀+3历+41=0，所以％方+3（3而+方）+4〔|丽+刀］=6,

6—■9—■

艮|】（/1+7）前=6而+9而，即75=—^—AN+——AM,

A+72+7

6Q

因为A1,O,N三点共线，故^--+---=1,解得4=8.

A+//t+/

故答案为：8

四、解答题

17.已知|口=1,|不|=2/与在的夹角为60'.

⑴求|历+B|的值；

(2)设2=4万+瓦2=-33+5,求1,2的夹角.

【答案】(1)|一3万+1|="

⑵纪

-3

【分析】⑴根据同=后可以得到答案；(2)侬(，2)=前计算即可.

【解析】(1)由已知,得：a2=l,ab=ix2cos60°=i,b2=4,

：.\-3a+bf=(-37+B)2=9加一614+户=9-6+4=:，

：.\-3a+b\=y/7；

(2)'：c-d=(4a+b)-(-3a+b)=-l2a2+a-b+b2=-7,

|c|2=|45+*|2=(45+ft)2=1652+85-6+P=16+8+4=2!,

/.|c|=2近，

由(1)得：|2|=J7,

cos(c,J)=^€=--,

\/\e\\d\2

•••卜,2)€[0,兀],(c,d)=y.

18.已知。为等边“8C所在平面内的一点，|—Z8|=2,—48=y2—。，且线段8c上存在点E,使

—4—1—

得4E=—/£)+-NC.

93

(1)试确定点后的位置，并说明理由；

⑵求酢•反的值.

【答案】(1)£为靠近点8的一个三等分点，理由见解析

【分析】(1)用平面向量的线性关系找出点所在的位置；(2)用向量方,％分别表示出

向量次，皮利用向量数量积公式计算.

【解析】(1)因为48=丁。，所以/。=豺3,

所以次，X,而+!就=2而+1：^,

92333

从而屉=衣-万=1%」方=1(%-而)」於，

3333

故点£为靠近点8的一个三等分点.

———3—■—

(2)因为。C=D4+/C=——AB+AC,

2

所以通.反=(：而+；就:而+可，

=-|AB|2+,

63

=^l+-|JS|-|^C|-cos-+-=--.

6333

19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量)=(2,1),/Q,0),B(cos6,f).

(1)若3/关,且网=码研,求向量历的坐标；

(2)若。〃送，且。,求”(：052。-＜：05。+，的最大值.

【答案】⑴丽=(-1,-1)

呜

【分析】（1）由题意在=（cos9-lj）,根据共线的坐标表示可得cos®-1=2/,又根据

阿巾网得（cos”旷+/=5,解方程组即可求出答案；

（2）由（1）得「=吗」，由此得夕再根据二次函数的性质即可求出

答案.

（1）

解：（1）48=（cos6-l,f）,又£〃益，/.2r-cos^+l=0,/.cos^-l=2z,①

又•••］益卜石|为|,.♦.（cose-1）2+产=5,②

由①②得5/2=5,解得f=±l,

当f=l时,cosJ=3（舍去），当f=-l时,cos0=-l,

5（-1,-1）,.•.丽=（-1,-1）.

（2）

解：（2）由（1）可知公笆31,

121

...当cos®=-j时，j=—.

2max16

20.某公园有三个警卫室48、C,互相之间均有直道相连，48=2千米，千米，

8c=4千米，保安甲沿C8从警卫室C出发前往警卫室8,同时保安乙沿8/从警卫室8出发前

往警卫室Z,甲的速度为2千米〃J、时，乙的速度为1千米/小时.

C

D

AB

⑴保安甲从C出发1.5小时后达点。，^AD=xAB+yAC,求实数xj的值；

(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长

时间两人不能通话？

【答案】(l)X=j3y=；1

(2)两人约有3小时不能通话

【分析】(1)先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系,

写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数xj的值；(2)表示出点E的坐标之后可

以把反坐标表示，立出不等式解不等式即可.

【解析】(1)AB2+AC2=BC2,所以工4C,

因此建立如图所示的平面直角坐标系，

/(0,0),8(2,0),C(0,2®

设保安甲从C出发/小时后达点。，所以有比=?在=而=；而，

设。区,乂),由CD=gcB=>(%，M-2百)=；(2,-20)=>占=/,必=26-后,

即。后)，当f=1.5时，

由而=xAB+yAC=>(-,—)=x(2,0)+y(0,2扬=(2x,2肉,)

(2)设保安乙从8出发f小时后达点£,所以点E的坐标为(27,0),

于是有瓦=(2-2t,0-2^3),

因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，

所以有|国＞2,所以J(2-2,)2+(8-2百丫＞2

解之："2或"3，又0W2

所以两人约有3小时不能通话.

提升与3

一、单选题

1.若a为任一非零向量，5的模为1,给出下列各式：①同目可；②@〃B；③同＞o；@W=±i.

其中正确的是()

A.①④B.③C.①②③D.②③

【答案】B

【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断.

【解析】对于①，同的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向

量的模是一个非负实数，只有③正确.

故选：B.

2.如图，在平行四边形488中，点E在线段上，且丽=，”瓦(meR),若

AC=AAE+pAb(A,〃eR)且2+2必=0,则机=()

【答案】B

【分析】方法1：由丽=加方可得血=7^—刀+一^-赤，由在二反二元-而代入可

反解得力。=(1+加)/七+(1-〃7)4万，最后根据次=4衣+〃而且丸+2〃=0即可求得胆的值.

方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.

【解析】方法1：在平行四边形N8CD中，因为丽=“诙，所以标-存="存-而卜

所以4E=——AB+——AD,

1+61+加

5L'：~AB=DC=AC-AD，

：.AE=-(AC-AD\-^-AD,

1+加'/+1+777

AC=(\+m)AE+(\-AD,

y.'：AC=XAE+pAb,

：,A=l+m,〃=(平面向量基本定理的应用)

XV2+2//=0,

/.l+?n+2(l-w)=0,解得加=3,

故选：B.

方法2：如图，以“为坐标原点，48所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则4(0,0),设8(a,0),D(b,c),

AB=DC贝iJC(a+b,c),

〃仍+Q

x=--------

a-x=m(x-b)加+1

又：丽="方，设£(x,y),则，=><

-y=m(y-c)me

即：g”」

.器)，AC=(a+h,c),而=p,c),

yL'：7c=XAE+/jAb,2+2〃=0

/.AC=-2RAE+JLIAD

/,、八(mb+amey、

(〃+b,c)=-2〃----------------+//(/bf,c)

Im+1+1J

7Ma+.hml^

a+b=/n+1+

c=②

m+\

由②得〃=”,将其代入①得加=3,

i-m

故选：B.

3.已知三角形/8C外接圆。的半径为1（。为圆心），且2万+次+就=0,|方|=2|君J,则

0.比等于（）

D.f

【答案】A

【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边,

利用数量积几何意义计算得答案.

【解析】因为三角形48c外接圆。的半径为1（。为圆心），2O4+AB+AC=0

，。为8c的中点，故“8c是直角三角形，N4为直角.

又®=2|画，

故选:A.

4.已知。为坐标原点，04=（cos0,sin0\\OA-OB^\.贝lj（）

A.|历|的最小值为孝B.|瓦|的最大值为应

C.次•丽的最小值为1D.砺的最大值为2

【答案】D

【分析】首先根据向量的几何意义判断点43的轨迹，再利用数形结合，以及向量数量积

的几何意义，判断选项.

【解析】由sin20+cos2，=l,可得点/的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减

法的几何意义，由|宓-砺1=1,可得点8的轨迹是以N为圆心，1为半径的圆，

如图所示.当点8在坐标原点位置时，|丽|取最小值0,A选项错误；

当点3在直线。区与圆/的交点位置且不是原点时，|砺|取最大值2,B选项错误；

根据向量数量积的几何意义，当点5在坐标原点位置时，历在而方向上的投影取最小值0,

此时方.砺取最小值0,C选项错误，

当点8在直线0/与圆/的交点位置且不是原点时，丽在场方向上的投影取最大值2,此时

而.瓦取最大值2,D选项正确.

5.如图，在“8C中，O为线段5c上一点，且丽=2反，G为线段/。的中点，过点G的直

线分别交直线48,AC^-D,E两点,在=用近（机>0）,AC=nAE（n>0）,则工+—一的

mm+4〃

最小值为（）

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得m+2〃=6,然后利用基本不等式

即得.

【解析】因为的=2反，

所以而一而=2（抚一前），即而=1在+］就，

又因为G为线段ZO的中点，

所以方=；（萍+|利=/+；%,

因为方=〃?而，AC=nAE，

.177.n—»

所以ZG=—NO+-4E,

63

因为。、G、E三点共线，

所以'+°=1,即加+2〃=6,

63

所以_1+-_=仕+上^叱空"LU0山卬

m〃7+4〃\mm+4n）1212\mm+4n）

、1八八/m+4〃9m-11/,.八G4

>—10+2J------------=—10+2/9=>-,

12（Vmm+4/7）12、，3

当且仅当生也=3,即用=2〃=3时取等号.

故选：c.

6.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形

ABCDEFGH,其中=给出下列结论：

①而与丽的夹角为不

@OD+OF=OE;

③同一明=当函;

④向量方在向量朋上的投影向量为-必"（其中"是与胡同向的单位向量）.

2

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用正八边形｛3CDEFG4的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐♦分

析各个命题即可求解.

【解析】对于①，因为八边形Z8CQEFG"为正八边形，所以乙

84

所以宓与丽的夹角为J,①错误；

4

对于②，OD+OF=OE^OD=FE显然不成立，②错误；

对于③，4OC=2x（=?所以因=网=码研=&,|西=2网=2,所以

|方-因=[|西，③正确；

对于④，N/QD=3xf=营，向量方在向量甜上的投影向量为

44

\p^•cosZAOD-e=1x----e=-----e,④正确，

I7

故选：B.

7.已知工是单位向量，向量万。=1,2）满足归-4=0•不，月.而+西=2,其中x、蚱R,且

x+P=l,则下列结论中，

①xe•+ye-b2=1；

②（州+丫卜晒-讣；；

③存在X、P，使得|不_.=2；

④当.-1取最小值时，a=0.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据数量积运算可判断①；由题可得|乖回="石，间方闻="豆进而得

（MX|+MJ，|）W-q=1可判断②；结合基本不等式求得|瓦-q>2可判断③；结合条件可得到

h]+h2=2e,同时平方即得4也=0可判断④.

【解析】由叫+y&=e可得+W>2）・e=e-e=l,即xe•d+ye也=1，①正确；

又+且x+y=l,则瓜+（17）%="，即x（4-a）=e-8，所以闻々=卜-勾，

又*可=工也，则|胭-胃=*w=3％,同理间看一2卜p-瓦卜工诉,

则中胸闷+x训友一反卜后区+4•瓦=1,即（亦|+小晒闻=1,②错误；

由x+y=l知%夕至少一正，若x,y一正一负，则Hx|+x3=0,显然不满足

（加1+巾|）历同=i,

故x，V均为正，则MM+HM=2xy42｛亨；=；,当且仅当X=y=g时等号成立，则

…卜品荷2,

当且仅当才=了=；时等号成立，则存在x,/使得忖-司=2,③正确；

当取最小值2时，x=y=g,由xb|+y4=e可得4+打=2^，则伍1+4）=4,

即（齐-与）皈石=4,则耳6=0,④正确.

所以正确结论的个数为3.

故选：C.

【点睛】本题关键点在于由+区=1结合x+y=1得到闻4-4卜e也，但卜一仇卜e»|

进而得（闲+x而%-回=1，再结合基本不等式求得忖-瓦22,最后由5+小切平方即可

求解.

8.点。是平面a上一定点，A,B,C是平面a上A/LBC的三个顶点，NB,NC分别是边ZC,

Z8的对角.有以下五个命题：

①动点P满足而二为+而+正，则^ABC的外心一定在满足条件的尸点集合中；

②动点尸满足而=方+/黑+黑仇>0）,则“8c的内心一定在满足条件的P点集合

\AC\J

中;

③动点尸满足。，+小时赢后南卜X））,则/BC的重心一定在满足条件的

P点集合中；

/UUTUUUT、

uuruurARACI

④动点P满足。0=。4+47——+七q—。＞0),贝IJ,的垂心一定在满足条

JAB|cosB|JC|cosC?

件的P点集合中.其中正确命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据A/I5C的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、

中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.

【解析】①当动点色茜足丽=/+而+定。万=万+定时，则点P是A/l3c的重心，所

以①不正确；

ABAC

②显然用［+万声在N8/C的角平分线上，而后与/A4c的平分线所在向量共线，

\AB\\AC\

所以“BC的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；

,ADAQ____

③变形为恁।.2）,而148|sinB,|NC|sinC表示点力到BC边的距离,

设为4。，所以力尸=-y^（/18+ZC）,而“B+/C表水8c边的中线向量，

AD

所以而表示8c边的中线向量，因此“8C的重心一定在满足条件的尸点集合中，

所以③正确；

④当乙4=90。时，“8C的垂心与点/重合，但显然此时垂心点尸不满足公式，所以④不正确;

正确答案序号为②③.

故选：C

二、多选题

9.下列叙述中错误的是（）

A.若a=B，则3d>25

B.若,/方，则方与月的方向相同或相反

C.若Z/区，bHc，则Z〃己

D.对任一非零向量a,含是一个单位向量

1«1

【答案】ABC

【分析】根据向量不能比较大小可判断A；根据共线向量的定义可判断B；当否=6时可判断

C；根据单位向量的定义可判断D,进而可得答案.

【解析】对于A,因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故/错误；

对于B,零向量与任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若B=

则对于非零向量入必有但2与6的方向不一定相同或相反，故B错误；

对于c,若坂=0,则零向量与任意向量平行，

所以对任意向量力与e,均有。后，bl1c,故此时a与万不一定平行，故c错误；

对于D,由单位向量的定义可得，对任一非零向量2,其单位向量为向，故D正确.

故选：ABC.

10.已知向量0=(2,1),方=(-3,1),则()

A.£与彼的夹角余弦值为苧

B.{a+b\Ha

C.向量々在向量右上的投影向量的模为回

则a_Lc

【答案】ACD

【分析】对于A：由已知得工-坂=(5,0),根据向量夹角的计算公式计算可判断;

对于B：由已知得«+很)，万，由此可判断；

对于C：由已知得向量Z在向量3上的投影，从而可判断；

-V5

对于D：由鼠。=2'丁+以=0,可判断.

【解析】解：对于A：因为向量之=(2,1),5=(-3,1),所以£-5=(5,0),所以£与解一的夹

角余弦值为谭二平’故人正确；

对于B：因为Z+I=（-L2）,所以（£+今•万=-lx2+lx2=0,所以仅+6）11,故B不正确；

a-b2x（-3）+lxl-5V10

对于c：向量G在向量）上的投影为呵=,_3）；+F=7甫=一〒，所以向量2在向量［上

的投影向量的模为叵，故C正确；

2

对于D：因为工=（乎，-苧］,所以展"=2**+卜卜警卜0,所以£_L",故D正确，

故选：ACD.

11.设录,均为单位向量，对任意的实数，有靡+；］区门恒成立，则（）

A.I与1的夹角为60，B.|^+|^|=y

C.|小同|的最小值为:D.|£+而的最小值为上

【答案】BD

【分析】根据已知条件求得［高的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和

选择.

【解析】对A：设4高的夹角为9,|1+；为4国+同，

两边平方可得：—+cos0<t2+2tcos+1,

4

即『+2cos6xf-cos920对任意的，恒成立，

故可得：A=4COS26»+4COS<9+1<0.即（2cosO+炉40,

1o

则COS6=—5,又64°，句，故故A错误；

对B：Iq+；。21=Jej+；62+q/2，故B正确；

222

对C：I/_=yje2+te}-2te}・e2=+1+1

当且仅当，=-；时取得等号，故c错误;

对D：|e2+/(e,-e2)|=+/(/-1)

=，3『-引+1，对y=3〃_3/+l,当且仅当t=g时取得最小值;，

故|,+而-£）1的最小值为3，故D正确.

故选：BD.

12.对于“8C,其外心为。，内心为P,垂心为H,则下列结论正确的是（）

ULUULUUU1uumUlUUUIA--------—1-------2

A.OAOB=OAOC=OBOCB.AO-AB=-AB

C.向量而与—+-共线D.PAPB^PC=2P0

\AB\cosB|JC|cosC+

【答案】BC

【分析】由O为外心，则O/=O8=OC,仅当Z4O8=Z4OC=ZBOC时，可判定A错误；根

据向量的数量积的运算公式，可得判定B正确；由（而-+1=1-->-^=0,得到

叫cosBL4CcosC

~ABAC

席—D+方I「与就垂直,再由屈，於，可判定c正确;连接尸4P8,PC,PM,设。，尸

\AB\cosBL4CcosC

分别是力5,PC的中点，连接尸分别证得PCLN8和P81/C,PA1BC,得到

P是的垂心，可判定D错误.

故选：BC.

【解析】对于A中，因为。为外心，则01=08=OC,

仅当Z4O8=Z4OC=Z8OC时，才有04.08=040C=080C，所以A错误；

对于B中，由不5/豆=|而||1瓦cosNOZB,又由|芯|COSNO/B=L^,

所以怒.方=；方,所以B正确；

,AB衣、—_刀面,就衣

对于C中，山］z布卜os8+一阿os8'酝辰C

J画图经mJ硝牛IcosC一皿帚。

卜8cos8pCcosC

~ABAC

即ITOID+\~AC\~c与BC垂直，

力叫osBL4Ccosc

又由屈，而，所以而与后―&+亦|「共线，所以C正确；

46cos8IACcosC

对于D中，如图所示，。。为A8C的外接圆，

连接PA,PB,PC,PO,设。，尸分别是力民PC的中点，

连接P£）,£）0,F。，则苏+方=2万，

又由“+而+定=2而，所以定=2（所-而）=2而，BPDO=—=PF,

2

所以而与所共线，因为。为小8c的外接圆的圆心，所以。。，/8,

所以尸CL/8,同理得。3，｛（7,尸/，8。，所以尸是“15C的垂心，所以。错误.

故选：BC.

13.如图，延长正方形Z8CD的边8至点瓦使得。£=8,动点尸从点/出发，沿正方形的

边按逆时针方向运动一周后回到点Z,若万=2万+〃左，则下列判断正确的是（）

A.满足义+〃=2的点尸必为8c的中点

B.满足2+〃=1的点P有且只有一个

C.满足2+〃=3的点P有且只有一个

D.4+必=；的的点有且只有一个

【答案】C

【分析】建立坐标系，讨论Pe4B,PwBC,PeCD,PeN。四种情况，依次求出4+〃的

范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.

【解析】如图建系，取力8=1,'."JE=JD+DE=7D-JB>

AP=2.AB+pAE=（A-//）AB+/JAD=（A-JJ\1,0）+40,1=（大一%R,

动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，

当Pe/8时，有04/1-〃41且〃=0,，OW，W1,：.G<^+p<\,

当PeBC时，有2-〃=1且04〃41,则几=〃+1,：.\<A<2,1<2+//<3,

当PeCQ时;有0W/1-//41且〃=1,则〃424〃+1,1<Z<2,：