必修第二册三角函数之弧度制练习题

三角函数之弧度制

一、单选题

1.一300。化为弧度是（）

A--?B.-芋C.—rD.一9

2.a是一个任意角，则a的终边与a+3兀的终边（）

A.关于坐标原点对称B.关于x轴对称

C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称

3.一个扇形的圆心角为150。，面积为m，则该扇形半径为（）

A.4B.1C.V2D.2

4.若一扇形的圆心角为72。，半径为20cm,则扇形的面积为（）

A.40TTcm2B.80TTcm2C.40cm2D.80cm2

5.已知扇形的圆心角为2md,弧长为4c7%,则这个扇形的面积是（）

A.4cm2B.2cm2C.lcm2D.4ncm2

6.把化成角度是（）

A.-960B.-4800C.-1200D.

7.已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为47r

则该圆锥的体积为（）

A叵B.vC.3兀D.VT57T

33

8.已知扇形4OB的半径为r,弧长为/,且2/=12—r,若扇形AOB的面积为8,

则该扇形的圆心角的弧度数是（）

A.；B.5或2C.1D.；或1

9.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值

为（）

A.gB.yC.V3D.2

10.小明出国旅游，因当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针拨慢1小

时，则时针转过的角的弧度数是（）

A.7B.=C.D.J

11.一钟表的分针长10cm,经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（）

A.70cm

C.（等-4次）CTn

二、多选题

12.【多选题】扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，则()

A.扇形圆心角不变B.扇形圆心角增大到原来的2倍

C.扇形面积增大到原来的2倍D.扇形面积增大到原来的4倍

13.下列转化结果正确的是(

A.67。30'化成弧度是芈B.一笠化成角度是一600。

C.一150。化成弧度是一？D.最化成角度是5。

第II卷(非选择题)

三、单空题

14.已知扇形的半径与面积都为2,则这个扇形的圆心角的弧度数是.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

15.已知扇形的圆心角是a(a>0),半径为R.

(1)若a=60。，Rl(kiu求扇形的弧长人

(2)若扇形的周长为2(kiu,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最

大？最大面积是多少？

16.已知扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60。，R—10cm,求扇形的弧长/；

(2)若扇形的周长为20c,明当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最

大；

(3)若a=g,R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

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17.已知扇形A08的圆心角为三，AB=2V3.

B

(1)求扇形AOB的弧长；

(2)求图中阴影部分的面积.

18.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿.

(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；

(2)当小轮的转速是120r/min时，大轮上每1s转过的弧长是607rcni,求大轮的半

径.

19.某飞轮直径为1.2m,每分钟按照逆时针方向旋转300圈，求:

(1)飞轮每分钟转过的弧度数；

(2)飞轮圆周上的一点每秒钟经过的弧长

20.设扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

(1)已知一扇形的周长为9c%,面积是(cm?,求扇形的圆心角a；

(2)若扇形周长为20cm,将扇形的面积S表示为半径R的函数，并写出定义域.

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答案和解析

1.【答案】B

利用开=180'进行求解.

【解答】

解：-300"=—X7T=——.

1803

故选8.

2.【答案】A

本题考查任意角的终边位置，属于基础题.

直接利用角的终边所在位置关系，判断a的终边与a+37r的终边的对称关系即可.

【解答】

解：因为a是任意角，则a的终边与a+3兀的终边相差3兀，

所以角a的终边与a+37r的终边关于坐标原点对称，

故选A.

3.【答案】D

此题考查了扇形的面积公式，能够灵活运用是解题的关键，属于基础题.

由题意根据扇形的面积得出结果.

【解答】

47r

解：设扇形的圆心角大小为a(rad),半径为r,15()-；(/•<«/),

由题意可得：扇形的面积为：S=|xaxr2,可得：5：*xx,

解得：r=2.

故选D.

4.【答案】B

【分析】本题考查扇形的面积公式S房影=1ar2=|x^x202=80兀心病).特别注意

要将圆心角化成弧度制.属于基础题.

【解答】解：,:72°=y,

二S扇形=沏2=《X§X2。2=80兀(cm2).

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题.

结合弧长公式，求圆的半径，再利用扇形的面积公式，可得结论.

【解答】

解：•••弧度是2的圆心角所对的弧长为4,

根据弧长公式，可得圆的半径为2,

二扇形的面积为：1X4X2=4cm2,

故选A.

6.【答案】B

本题主要考查弧度制与角度制互化，属于基础题.

解题时只要根据兀=180。代入计算即可.

【解答】

解：-y=-1xl800=-480°.

故选B.

7.【答案】A

本题考查圆锥的几何特征，圆锥的体积公式，以及扇形的面积公式和弧长公式，考查

空间想像能力及运用公式计算的能力，属于中档题.

设圆锥的底面半径为r,母线长为/,由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为90。的扇形，

结合底面圆的周长等于展开扇形的弧长可得2=4r,以及圆锥的侧面积为M,可得r=

1,1=4,求出底面圆的面积，再由h=求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积

公式求出体积.

【解答】

解：设底面圆半径为r,圆锥母线长为/,

因为圆锥侧面展开图是一个圆心角为90。的扇形，

所以2nr-孑，解得［=钎，

因为该圆锥的侧面积为4兀，

所以加r•I=4nr2-4zr,解得厂=1,则，=4,

即底面圆的面积为S=7Txr2=71,

又圆锥的局h=yjl2—r2=V15，

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故圆锥的体积为U=5xSxh=逗兀，

33

故选A.

8.【答案】D

本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式，属于基础题.

由已知利用扇形的面积公式即可求解该扇形的圆心角的弧度数.

【解答】

(21=12-r,

解：由题意得与「=&

解得同域占

故a=-=或a=-=1.

r4r

故选：D.

9.【答案】C

本题考查弧度定义，属于基础题.

弧长为br，其圆心角的弧度数的绝对值为卑=遍.

【解答】解：设该圆弧所在圆的半径为「，

则圆内接正三角形的边长为2rsin60°=V3r,

所以该圆弧长为代r,

其圆心角的弧度数的绝对值为卑=V3.

故选C.

10.【答案】B

本题考查了正角与负角的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

依题意可知，他需要将表的时针逆时针旋转周角的套，即可转过的角的弧度数.

【解答】

解：依题意，小明需要将表的时针拨慢1小时，

即他需要将表的时针逆时针旋转周角的点，

则转过的角的弧度数是27T*\,

故选8.

11.【答案】D

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题.

分针每60分钟转一周，转过2兀弧度，先求出35分钟分针转过的弧度数，代入弧长公

式计算弧长.

【解答】

解：经过35分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为27rxs=?,

606

分针的端点所转过的长为；X1()21®〃)，

故选。.

12.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查了弧度制的概念及弧长和扇形面积公式，属于基础题.

根据扇形的相关概念以及圆心角的相关概念，列出等式，并半径变为原来的2倍，而

弧长也增加为原来的两倍，根据变化前后的比值求出正确答案.

【解答】

解：因为/「：：：，所以幽，所以詈=号=$三因为，1=2%，6=2「2,所

lew)TH*n2l2'rll2rl

以"x；l；

因为s=去故当半径变为原来的2倍，而弧长也增加为原来的两倍，面积增加了4

倍；

故选AD.

13.【答案】AB

【解析】

【分析】

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本题考查了角度制与弧度制的互化，考查了计算能力，属于基础题.

根据题意，利用角度制与弧度制的互化逐项判断即可.

【解答】

解：对于A,67。30'=67.5*W=¥，故4正确；

1808

对于8,因为-""xd吗-WX),所以一学=一600。，故8正确;

37T3

对于C,-150°=-150x^-=故C错误；

loOO

对于。，因为二x(1S")-15,所以碧=15。，故。错误.

127T1Z

故选AB.

14.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查了扇形的弧长与面积计算问题，是基础题.

设扇形的圆心角为a,由此求出弧长和面积，列方程求得a的值.

【解答】

解：设扇形的圆心角为a,则弧长I—2a,

所以扇形的面积为：

S=-2r2l=-x2x2a=2,

解得a=1.

故答案为：L

15.【答案】解：⑴由题意a=60°=grad,R=10cm,

贝Ijl=gX10=y7T(Cm).

(2)扇形的半径为R,弧长为/,

则I+2R=20,即，=20-2R(0<R<10),

所以扇形的面积S=\lR=i(20-2R)R=-R2+10/?=-(/?-5)2+25,

所以当R=5cm时，S有最大值25cm2,

此时，1=10cm,a=：=2rad.

因此，当a=2rad时，扇形的面积取得最大值25cm

【解析】本题主要考查扇形的弧长和扇形面积的计算，要求熟练掌握相应的公式，考

查学生的计算能力，属于基础题.

(1)根据弧长的公式即可求扇形的弧长；

(2)根据扇形的面积公式，结合一元二次函数的性质即可得到结论.

16.【答案】解：(1)因为a=60°=；,RKkni>

所以1=10xg=詈(cm);

(2)由已知得，l+2R=20,

所以S=?R=：(20-2R)R=10R-R2

=-(/?-5)2+25.

所以当R=5cm时，S取得最大值，

止匕时/=10cm,a=2rad;

27r

(3)设弓形面积为S号/,由题意知/：-cm,

<5

ll.।,127r1.>.7T

所以S弓+=5x3x2-5x2-xsau3

=y—V3(cm2).

【解析】本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积，三角形面积

公式的应用，属于基础题.

(1)利用弧长公式即可计算得解.

(2)由已知得，+2R=20,可求S=—(R-5)2+25,利用二次函数的性质即可得解.

(3)由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积.

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17.【答案】解：(1)如图，作。D14B于。，则AD=1/1B=V1

♦.•扇形AOB的圆心角为号，.・.。4=2,°

•••扇形AOB的弧长为2x£=

(2)由⑴可得扇形AOB的半径为r=2,弧长为2=筝

则扇形AOB的面积为S=i/r=|x2Xy=y,

△4。8的面积为S-OB=ix2V3xl=V3,

二图中阴影部分的面积为：y-V3.

【解析】本题考查扇形的弧长、阴影面积的求法，考查扇形性质等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

(1)作0014B于。，贝IJ4D=)B=®求出扇形AOB的圆心角为筝0A=2,由

此能求出扇形AOB的弧长.

(2)扇形AOB的半径为r=2,弧长为1=导则扇形AOB的面积为S=沙=]x2x

y=△4。8的面积为叉4。8="2料*1=同由此能求出图中阴影部分的面

积.

18.【答案】解：(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的周数为X,

则45=60%,即％=

4

大轮转动的弧度数:X2兀=9；

42

(2)设大轮的半径为R,则大轮的速度为120x