2024年高考数学考前押题及答案解析

2024年高考数学考前押题

1.如图所示，在正三棱柱A8C-4B1。中，AB=AA\^2,E,尸分别是AB,AC的中点.

(1)求证：BiCi〃平面4ER

(2)若点G是线段BICI的中点，求二面角Ai-E尸-G的正弦值.

【分析】(1)证明E尸〃8C,说明E尸〃BiCi.然后证明为。〃平面41EF.

(2)向量法：以尸为原点建立空间直角坐标系尸求出平面4EF的一个法向量，

平面GEF的一个法向量，设二面角Ai-EF-G的平面角为。，利用空间向量的数量积求

解二面角Ai-EF-G的正弦值即可.

几何法：在正三棱柱ABC-A出1。中，取BC中点。，连接AZ),且40nM=0,连接

40,G0,说明/40G即为二面角4-E尸-G的平面角，记为0.连接41G,通过求

解三角形△4OG中，推出结果.

【解答】解：(1)证明：在正三棱柱ABC-A181cl中，BC//B\C\.

,：E,尸分别是AB,AC的中点，

尸是△ABC的中位线，J.EF//BC.

又,：BC〃B\Ci,：.EF//B\C\.

又物C1C平面4EF,EFu平面4EF,

.,.BlCl〃平面AiEF.

(2)向量法：

在正三棱柱ABC-4&C1中，

取4。的中点4,连接我"，则"/〃CC1.

在正△ABC中，连接FB,plijFB±AC.

又因为A8=A4=2,

所以FB=遮，FC=1.

如图，以尸为原点建立空间直角坐标系尸-xyz.

4](0,—1/2),E0)，尸(。，0/0)/G(-^/2)A]E=(­^，

T——>-1

2)，A],F=(0，1/—2)，GE-(0,—1，—2)，GF=(—工,—]，—2).

设益=(%,y,z)为平面AiE/7的一个法向量,

J61

则:"'=个+2，~=。.令zj则入=孕产2.

(m-ArF=y-2z=0

•*•nr=(―^―,2,1),

同理可求，平面GEF的一个法向量为：£=(竽，2,-1).

设二面角Ai-EF-G的平面角为0,

i+4-l,_13

cosd—I-7=~I卞

8V3

所以二面角Ai-EF-G的正弦值为一.

19

几何法：

在正三棱柱ABC-4&C1中，

取BC中点。，连接AO,且AOAEF=O,

连接40,GO,

则AQ_LBC,又A4i_LBC,AA\QAD=A,

；.8C_L平面AiOG.

由(1)知：EF//BC,

；.EF_L平面40G.

...N40G即为二面角4-EF-G的平面角，记为6.

,GO=I4+,=A-^G=y/3)

连接4G,ZUiOG中，&0=

¥+*■3「3

由余弦定理得:

2x掣x孥一好

所以二面角40-G的正弦值为行

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题.

2.如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面左BJ_底面A8C。，底面ABC。是直角梯形，AD//

BC,AB±BC,ZPAB=nO°,PA=AD=AB=19BC=2.

(1)证明：平面PBC_L平面处8；

(2)在线段P8上是否存在点M,使得直线AM与平面尸8。所成角的正弦值为手？若

存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得，8C,平面ABP,由面面垂直的判定定理证

明即可;

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出点的坐标和向量的坐标，PM=APB(^0<A<1),

求出直线的方向向量和平面法向量，由已知条件列出等式，求解即可.

【解答】(1)证明：因为平面物8,平面ABCD,且平面％8n平面A8CO=A8,

因为8C_LAB,BCu平面ABC。，

所以8C_L平面ABP,

又因为BCu平面P8C,

所以平面P8C_L平面PAB-.

(2)解：在平面内，过点A作A&LA8交尸8于点E,则可知AE_L平面A8CZ),

以点4为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

由NMB=120°,R\=AD=AB=\,BC=2,

故点P(一称,0,暮)，B(点0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),

所以DP=(—2,—1,,DB=(1,—1/0),PB=(,，0，-,

设蓝=(x,y,z)为平面PBD的法向量，

则有色."=0,即卜*y+^z=0,

堵•DB=0(%-y=0

取1=1,则y=l,z=V3,

故几=(1,LV3),

设京=4而(0W441),

m.i.,34-1>/3(1-4)、

则力M=AP+PM=(―2—,n0,—~~-)，

因为直线AM与平面PBD所成角的正弦值为《一,

贝ij|cos<AM,n>\=-27=j=------=-r-,

\AM\\n\J3#一32+1x75

解得4=4或A=I，

故存在点M满足题意，此时PM=萼或PM=竽.

【点评】本题考查了面面垂直的证明和线面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，

一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于

中档题.

3.如图，四棱锥P-ABC。的底面ABC。内接于半径为2的圆。，A8为圆0的直径，AB

//CD,2DC=AB,E为AB上一点，PE_L平面ABCQ,EDVAB,PE=EB.求:

(1)四棱锥尸-48C。的体积；

(2)锐二面角C-P8-。的余弦值.

【分析】(1)连接00，OC,△OOC是正三角形，求出底面面积和高，即可求解四棱锥

P-ABCC的体积.

(2)建立空间直角坐标系E-肛z,求出平面P8。的法向量，平面P8C的法向量，利用

空间向量的数量积求解锐二面角C-PB-。的余弦值.

【解答】解：(1)连接0。，0C,易得△0DC是正三角形，

"."AB//CD,：.ZA0D=ZODC=60°,

:EDLAB,：.ED=V3,E0=l,；.PE=EB=3,

:,SABCD=)x(2+4)xg=373,

**•^P-ABCD=WX3V3X3=3V3,

・•・四棱锥P-ABCD的体积为3次.

如图建立空间直角坐标系E-xyz,

贝ijB(0,3,0),C(国，2,0),。(遮，0,0),P(0,0,3),

：.BD=(V3,-3,0),PB=(0,3,-3),BC=(V3,-1,0),

设平面PBO的法向量为元=(无广yr,Zi),

由,皆,"1一O，即"1二。，取y]=l,则X]=依，zi=l,得元=(遮，1,1),

IpB-n^O(3%-3=0

设平面P8C的法向量为电=(x2,y2>z2)>

由呼.弓一0,gp(V3x2-y2-0取,2=1,则X2=空,Z2