高考高中数学第56炼 数列中的整数问题

第56炼数列中的整数问题

一、基础知识：

1、整数的基本性质：

（1）整数的和，差，积仍为整数

（2）整数的奇偶性：若〃=2左+1（%GZ）,则称〃为奇数；若"=2左（攵eZ）,则称〃为

偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：

①奇数土奇数=偶数②奇数土偶数=奇数

③偶数土偶数=偶数④奇数x偶数=偶数

⑤偶数x偶数=偶数⑥奇数x奇数=奇数

（3）若a,bGZ,且a<b,则aW/?—1

（4）已知（仇若〃eZ,且〃w（a,b）,则〃只能取到有限多个整数（也有可

能无解）

（5）若@eZ,称a能被人整除，则有：

b

①即图

②Z?为。的一个因数

（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数

2、整数性质的应用：

（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得

变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程,

在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如:若〃eN,〃e（2,5）,

则〃的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不

等关系依然可以求解。

（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取

值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的

处理方式有两个：

①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个

方程的方程组，进而解出变量

②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而

将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值

（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：

①所解得变量非整数，或不符合己知范围

②等式两侧为一奇一偶

3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前〃项和的项数，

均为正整数。

二、典型例题：

例1：已知数列｛凡｝的通项公式为4=2〃-7,若巴必应为数列｛凡｝中的项，则m=

am+2

a,"_(2"-7)(2"-5)

思路:,｛a,｝中的项为大于等于一5（q=-5）的奇数，所

以考虑将山.向奇数形式变形：⑵”7）（2〃-5）」（2〃?二3）一41［（2加二3）丘

am+22m-32m-3

QQQ

=（2加一3）-6+------=2m-9+------,可得-------应该为大于等于4的偶数，所

2m—32m-32m-3

QQ5

以------=4或-------=8,解得〃z=—（舍）或加=2

2m—32m-32

答案：m=2

小炼有话说：（1）本题的亮点在于对二7）（2〃？一5）的变形,在有关整数的问题里，通

2m-3

常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。

Q

例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在------上。

2m-3

8

（2）本题对------的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到2机-3应为奇数，而

2m-3

Q

-----eZ,而8的奇因数只有1和一1,同样可确定加的值。

2m-3

例2：已知等差数列｛4｝的公差d>0,设包,｝的前〃项和为5.，4=1应4=36

（1）求%的通项公式

（2）求〃z,eN*）的值，使得q”+qa+i++a,n+k-65

例3：已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，且S”=；〃2+1!〃(〃eN

*)

(1)求数列｛q｝的通项公式

a(n=2k-l,kGN')

(2)设/(〃)=<n是否存在meN”,使得/(m+15)=5/(m)

-13(〃=2k,kGN*)

成立？若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由

解：(1)5„=1/72+^-/7,5„_,=l(n-l)2+y(n-l)(n>2)

an=S“一S,i=n+5(n>2)①

a}=S1=g+^=6符合①an=n+5

(2)思路：/(〃)按照奇偶分段，所以要确定加+15,〃？的奇偶。观察可发现无论加为何值,

，〃+15,〃?均为一奇一偶，所以只需要对m的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的“即可

/、。“=〃+5,〃=2%—1

解：/(〃)=〈

13a”-13=3〃+2,〃=2%

当加为奇数时，加+15为偶数

/(m+15)=5/(m)=>3(m+15)+2=5(/?7+5)

解得：m=\\

当机为偶数时，m+15为奇数

/./(m+15)=5/(m)=>(/n+15)+5=5(3zn+2)

解得：机=工(舍)

7

综上所述：加=11

例4：已知各项均为整数的数列｛%｝满足4=-1，%=4,前6项依次成等差数列，从第五

项起依次成等比数列

(1)求数列｛为｝的通项公式

(2)求出所有的正整数加，使得%+《“+]+%+2=刀,"4+14+2

解：(1)设前6项的公差为d,则%=%+2〃=-l+2d，4=。3+4〃=一1+41

%,%»，四成等比数列，二•。；-a5,ai=>(4t/-l)2=4(2J-1)

解得：d=l

「.〃W6时，atl=a3+(扑一3)d=n-4

=Iq=2,则q=2I.〃>7时，an=a6-q"。=2〃一，

〃-4,〃<6

[2n-\n>7

(2)思路：由于数列｛4｝分为两部分，当〃25时，即为公比是2的等比数列，所以考虑

对于数列的前几项可进行脸证，力25后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够

找到符合条件的加。

解：由(1)可得：也｝:一3,—2,—1,0,124,8,

则当加=1时，4]+。2+。3=—6=2a3

当772=2时，%+%+%=-2,a2a3a4=°,%+%+%工出％(

当〃z=3时，%+%+%=0=a3a4a5

当加=4时，%+%+%=3,〃4〃5〃6=0,〃4+%+〃6。a4a5a6

当加之5时，假设存在m，使得册+%用+am+2=amam+iam+2

3m-12527

则有2*50+2+4)=2即：7-2"-=2312=7=2"-

m>5:.2m-l>3.-.22ffl-7>23=8>7,从而7=2加7无解

加之5时，不存在这样的m,使得am+am+l+am+2=amam+lam+2

综上所述：加=1或帆=3

例5：已知数列｛%｝的前九项和为S“，且满足q=—2,a,“1+3S“+2=0(nsN*).

(1)求4，%的值；

(2)求数列｛4｝的通项公式；

(3)是否存在整数对(〃?,〃)，使得等式一".勺=4加+8成立？若存在，请求出所有满

足条件的(利,〃)；若不存在，请说明理由.

解：（1）在a“+i+3S“+2=0中，令〃=1,得：4+3耳+2=0

a2=—2—3Sj=—2—3q=4

再令〃=2,得：%+3邑+2=0=>%=—8

(2)由4+|+3S〃+2=0①，可得：a〃+3Si+2=0(〃22)②

①一②可得：an+l-an+3an=0^>an+l=-2an(n>2)

二.｛凡｝从第二项开始成等比关系，公比为一2

n

/.a„=a2•(—2广之=(-2)(n>2)而q=-2符合上式

•■-«„=(-2/'

(3)思路：所成立的等式为(一2)2”—根(—2)"=4m+8,考虑将牡〃进行分离得到：

/7J=—_U-----=(-2)"-4+-----------,再利用小〃为整数可得---------为整数，从

(-2)+4(-2)+4(-2)"+4

而求出符合条件的〃，再求出加。

解：由(2)得：(一2)2"—，”(一2)"=4加+8

--12~12

(-2)-8(-2)-16+88

m=-----------=(一2)"—4+

KT+4(-2)"+4(-2)"+4

Q

meZ且(―2)"—4eZ,只需---------eZ,即(—2)"+4=±1,±2,±4,±8

(-2)"+4

Q

经计算可得：〃=1,2,3时，一5；—GZ

(-2)+4

n=1[n=2=3

「•解得：〈AJ

m=-2\m=\[m=-14

共有三组符合题意：(一2,1),(1,2),(-14,3)

小炼有话说：

(1)在第(2)问中，要注意〃的取值范围变化，并且要把〃所能取到的最小值代入到递推

公式中以了解递推公式从第几项开始满足。

(2)二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，

这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解

例6：已知数列｛4｝是各项均不为0的等差数列，S,是其前〃项和，且满足个=§2,1,令

〃=」一，数列｛〃｝的前〃项和为7；

44+1

（1）求数列｛可｝的通项公式及7；

（2）是否存在正整数加,〃（1＜加＜〃），使得7；,北工,成等比数列？若存在，求出所有的

相，”的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）$2,1J+y;L.（2〃—1）a,+«2„_,=2a„

•,Sa=（2〃一1）氏a;=S2/,_,且《尸0

an=2〃-1

』=______i______ap_______

"（2〃-1）（2〃+1）2（2〃-12H+1J

1〃

（2）思路：先假定存在满足条件的m,n,则由窗=工•工,可得--------5-=------------,无

（2m+1）'32n+1

法直接得到不等关系，考虑变形等式：包»_=史上3,分离参数可得：

mn

----1----;---2——,以一＞0为突破口可解出“7的范围1———-,1+'二],从而确定的值

mm~nn22

后即可求出〃

解：假设存在加,〃（1（加＜〃），则方=7]-7；

m21n（2m+1）-6〃+34/n2+4m+16〃+3

即___________________02______z_—_____=>___________________

（2w+l）232n+lm2nm2n

“41z341~3c

4+—+—7=6+—r即1n一+—7—2=一〉0

mm'nmm'n

2

-2m+4m+1nAZJZ„、底.76

----------z>0解得：1<m<\+—

m---------------------2----------------2

411

22解得

%+一

=2-=4-=12

2

二.存在加=2,〃=12,使得工,7；,7；成等比数歹U

例7：已知各项均为正数的数列｛6,｝满足：q=3,且a/北一2（。；—1）。,用一%=O,〃eN*

⑴设/=凡-J,求数列出｝的通项公式

⑵设S“=a；+W++«；,7；,=4+4++二，求S“+7；,并确定最小正整数〃,

可«2«,；

使得S.+7；为整数

解：⑴%4+1-2（/-1）%+1-。,=0=>4（匕[-1）=2（。；一1）。,+]

.•.｛〃,｝是公比为2的等比数列

1QM+2

思路：由可得

(2)(1)a“——=2=4.2"-|=——an的通项公式可求但是比较复杂,

不利于求出S“,7；,但观察发现可将S.+7；中的项重新组合，进而能够和打找到联系。

]（[丫64

d+r=4一一+2=比+2,求和可得S“+7；=S（4"—1）+2〃，若S,,+7；为整数,

%Ian）27、

则4"一1能被27整除，而27=33,考虑可将4"写成（3+1）”,通过二项式定理展开并找到

最小的正整数n

解(1、

Y+T,=d+1+++

171Ian)

2

1-(i丫

a\—+%------++In

ka2)

2222

I-42++(8I・4"T+2〃

哨+”(|)5

若S.+7；为整数，因为2〃eZ.埸（4"-l）eZ

即l）eZ

4"—1=（3+1）"=《3"+C：3"T++C；；-333+C"-232+Cf3+C；；-l

=C：3"+C：3"T++C；”+C；；-232+C73

.•.C；232+c：i3能被27整除

片32+端3=9.当雪3〃=生产

所以可得〃=9时，C；-232+C：T3能被27整除

.•・”的最小值是9

例8：已知｛4,｝为等差数列，前〃项和为S,，若S4=4S2M2“=2a“+1

（1）求％

（2）对VmcN*,将｛q｝中落入区间（2"',22"）内项的个数记为也,｝

①求0

2T-t

②记％二八，｛。｝的前加项和记为Tm，是否存在m/eN*,使得才一二

2一第1n+1一才

成立？若存在，求出机"的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设｛q｝的公差为。

/.S4=4S2=4q+6d=4（2q+d）

a2n—2an+1=>4+（2〃-l）d=2[q+（〃-l）d]+l

解得：q=Ld=2/.an=2n-\

yn4.1D2m-4-1

（2）①2,n<2n-\<22m^>-——<n<-----

22

2m-'+-<n<2rm-]+-neN*

22

2"-'+l<n<22m-|b„,=22m-'-2"i

/1I'"一2

②思路：由①可得:则所解方程变形为：

得到关于,的不定方程，可考虑对772,t进行变量分离

4-/

—,以等式左右边的符号作为突破口(左边为正数)，得到，＞(),即

\—14—

4+1)

re{l,2,3},然后代入/解出符合条件的加即可

>0

.,.4—/>0=>RG{1,2,31

[nm=log।[eZ（舍）

f=1时,解得:

解得：（3）=^=>=log,Z（舍）

r=2时,

」=>

r=3时,解得:Im=3eZ

I8

m=3

存在这样的《,满足所给方程

t=3

小炼有话说:

1、本题中②的方程，并没有在一开始就将代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为

先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算

2、本题在解机,r的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号

连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口(比如(g))，再结合变

量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。

例9：已知数列｛%｝是等差数列，数列他,｝是等比数列，且对任意的〃eN*,都有：

n+3

a占+a2b2++a1tblt=n-2,若％=8,则:

(1)求数列也｝,｛〃｝的通项公式

(2)试探究：数列也｝中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它「(reN,r22)项

的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由

,,+3

解：(1)+a„bn=n-2①

,(+2

%瓦+a2b2++an_lbll_i=(H—l)-2②

①一②可得：

n+3B+2n+2

a„bn=n-2-(n-l)2=(n+l)2(n>2)

令”=1,则=1-24=2

令”=2,则a2%=3-24+d）伪q=48

2

令”=3,则©=4•25n(4+2d)b,q=128

2(8+d)q=48d=4

所以有：<:)、，解得：

2(8+24)4=128U=2

an=4〃+4,b“=2"

(2)思路：首先要把命题翻译为等式，将其他厂项可设为2，b,,,b,,设存在某项4，

*1,2*r1,1

则〃=〃+〃++么=2'”=2,+2'2++2",设4<t,<<。，则同除以24,

trit|12*r14，

就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立

解：假设存在某项超及数列中的其他r项4,%,也&j<<tr)

:.b=b,+b,+=>2"'=24+2"++2",所以2'">2"=根

lii«|*2*r1

两边同时除以2‘，可得：

2"f=l+2'2f++2'尸"，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立

所以不存在这样的项

小炼有话说：(1)通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：

>如果不一定相邻，则可用4/2乙作角标，其中1,2,,/•体现出这一串

项所成数列中项的序数，而小弓。表示该项在原数列中的序数

(2)本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补

全，变为从，一直加到2",即24+冬++2，r<2'+22++2"。则

2"'<2+22++2"=2'3一1①，由整数性质可得加>。=>加2。一1,所以

2，“22'川>2’川一1,与①矛盾，所以不存在。

例10：已知等差数列｛4｝的首项为。，公差为"等比数列也｝的首项为。，公比为。，

其中a,b均为大于1的正整数，且《(耳，%<4，对于任意的〃eN*,均存在mwN*,

使得+3=a成立，则an=

思路：本题的关键是求出a,。，已知人均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系人

a<h

手尝试求的值或范围：/<hna<b,b)<nba<a+2b,所以4,

ba<a+2b

从而根据不等号方向可得：ba<a+2bvb+2b=3b解得：a<3,所以

\<a<3=^*a=:,从而Q帆+3==>a+(m—1)/?+3=ba/l~l,代入。=2可得：

(m—l)b+5=Z?♦2〃r=>5=42"|—机+1),因为〃wZ2」一m+1e,所以

b=l2"-一m+1=12"一|一加+1=12n~l=m

<,(舍)或■{o所以<=><成立，

2''-'-m+1=,=5历=5.=5

所以a=2,/?=5,a“=2+5(〃-1)=5〃-3

答案：a”=5〃-3

三、历年好题精选

1、(2014,山东师大附中五模)用部分自然数构造如图的数表：用％(i>j)表示第i行第j

个数(i"eN+),使得%=4=i,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之

和，设第〃(〃eN+)行中的各数之和为切

1

(1)写出伪，仇也，打,并写出与功的递推关系(不要求证明)22

343

(2)令c.=〃,+2,证明：｛c“｝是等比数列，并求出也｝的通项4774

51114115

公式.................

(3)数列｛/?“｝中是否存在不同的三项。0,々也(p,q,rwN+)恰好

成等差数列？若存在，求出p,的关系，若不存在，说明理由

2、(2016,泰州一模)已知数列｛4｝,｛〃,｝满足2s“=(4+2)2，其中S“是数列｛4｝的前〃

项和.

(1)若数列｛4｝是首项为公比为的等比数列，求数列｛〃｝的通项公式；

(2)若4=3，求数列｛&“｝的通项公式；

(3)在(2)的条件下，设£,="，求证：数列｛%｝中的任意一项总可以表示成该数列其

bn

他两项之积

3、已知数列｛4｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列｛%｝

前n项和为S”，且满足S5=2a4+a5,a9=%+%

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)若amam+l=am+2,求正整数m的值

(3)是否存在正整数加，使得与二恰好为数列｛6,｝中的一项？若存在，求出所有满足条

件的加值，若不存在，说明理由

4、(2016)无锡辅仁高中12月月测)

(2、

己知数列｛q,｝,｛〃,｝满足q=3,。/“=2,2+1=anbn------,〃eN*

(1)求证：数列是等差数列，并求数列｛2｝的通项公式

(2)设数列｛%｝满足c“=2a“-5,对于任意给定的正整数，，是否存在正整数

,、111

q,r(p<q<r),使得丁■，丁，丁成等差数列？若存在，试用P表示4，「；若不存在，请说

明理由

习题答案:

1、解析：（1）仇=1,仇=4也=10,仇=22

猜想"+1=2〃+2

⑵2+1+2=2(〃+2)cn+,=2c„

.♦.{%}是等比数列，q=1+2=3

.•.C“=C-2"T=3-2"T

"=3•2"-'-2

(3)由(2)可得：2=3・2，1-2,々=3-2"T—2,"=3・2'T-2

若bp,bq,b,.(p,q,rGN.)为等差数列

则2々=々,+d=>2川=2/'+2'.

不妨设p为最小的数，则2-2"°=l+2'-J左边为偶数，右边为奇数，显然不成立

不存在符合要求的p,%广

2（-（

2、解析：（1）因为一上1Y'=-2-1-Y

3/\3,

(2)若a=〃，则2S"=〃a“+2〃

•••2S,+i=(〃+1)%+2

...2a,用=(〃+1)«„+1-nan+2=>/M„=(n-l)«„+1+2

(〃-1)%=(〃-2)4+2

两式相减可得：2时,

叫,_I)%=(〃-1)%-(〃-2”“=2(〃-1)«„=(〃-1)%+(«-l)«„+1

•••2%=%+%+|

•.•{%}为等差数列

2S1=a1+2可得：4=2,因为%=3

.・.d=1+1

〃+1

(3)由(2)得%=——,

n

对于给定的〃wN*，****若存在k,twn,k,teN*,使得c〃=QC，

LtR〃+1Z+1/+1

只需——=------------，

nkt

…1八1、八1、口r1111〃(攵+1)八

即1H—=(1H--)•(1+-),即一二—I---1----,贝心=------------，................上2分

nktnktktk-n

取z=〃+l,则，=〃(〃+2),

〃+]〃+2〃2+2〃+1

・・・对数列匕｝中的任意一项%=—丁，都存在q,+i和7+2“使得

〃+1n2+2n

3、解析：（1）设41,々3，〃5，，〃2"1，的公差为设。2，。4，。6，,5k，的公比为乡

4=a2q-24M3=4+d=1+d,a9=1+4d

S5=2a4+a5/=q+/+4d=2

由＜〉

%=%+a44+4d=a〕+d+2qq=3

•=出"|=2,3'=ax+(«-l)J=2k-l

n,n=2k-l

***an=<J

2-32,n=2k

(2)若m=2&(ZeN*),则=4k+2，即20i(2k+1)=2-34

解得：2Z+1=3=Z:=1,即zn=2

若m=2k-l(kGN*),即a2k_ta2k=a2k+]

(2Z—=2k+ln2-3i=1+

2k-l

因为2凸一为正整数

-----为正整数.•.2攵—1=1=＞左=1

2k-\

2

代入可知人=1不符2-3"T=1+-----,故舍去

21

综上所述：m=2

若昌匚为｛%｝中的一项，则区J

为正整数

$2"1=(4+/++%"-1)+(々+/++%"-2)

加(1+2〃？-1)2(3"——1)

=3""+机2—1

23-1

22

s2mS2m_1+a2m3"--'+m-1+2-3"1-'-I2(m-1)

---------------=----------------------=3-------------S：3

m2

52,„_,S*\3-'+rn-l-

s

故若三"为｛。"｝中的某一项只能为4,生M

析-1

2(加一1)

①若3—=1无解

3m-'+m2-l

2佃一1),,

②若3————r^=2,即3"i+l—〃，=0,可知加=2是方程的根

3m-l+m2-l

当加23时,设〃x)=3A】+l—>/(x)=3'-'In3-2x

f(x)=(In3)2-2>0(x)在［3,+oo)单调递增

/./(x)>/(3)=91n3-6>0〃x)在［3,+oo)单调递增

.-./(x)>/(2)=0

.♦.加23时，3'"T+1—机2=0无解，即加=2是方程唯一解

2伍T,

③若3————"一=3,则>=1=^>m=1

3一+7一1

综上所述：m=1或m=2

/2\2a

4、解析：(1)*1=anbn-丁二一=aHbn-7巴」

I1+aJ\+an

£

:.…"+1一1+2%2"+2

b”

1J+211111

厂b+不，即］----厂=3

%2b“n2b,l+ibn2

!1是公差为」的等差数列

IaJ2

2___2

—=-+1）b,

b.瓦2、）a3

}

>|+；（〃T）=n+22

厂即年

〃+2

2

(2)由⑴及凡=而可得：an=n+2

cn=2n-l

当〃=1时，Cp=G=l，Cq=2q_lg=2r-\

1112112,1

一，一，一成等差数列一二一+一即-----=1+-----

CCCCqCpc2q-\2r-l

Pqrr

p<q<rty>2,r>3<1,1+—>1

2q-\2r-l

+」一不成立

第=12r-l

当〃22时，•成等差数列，同理可得:

CpCqcr

2

2q-\2p-\2r-l

1_21_4P-2q-l

2r-l2q-12p-\（2p-l）（2q-l）

2一i=（2：T）（2q-l）=r=2%+”2g

4p_2q_14p-2q-1

.,.设q=2p-l,此时〃=4〃2-5〃+2

p>2:.q=2p-1>/?,r-qp，p6（44-kp]

q=2p—l,〃=4〃2-5〃+2符合题意

综上所述：〃=1时，不存在满足条件的

pN2时，存在q=2p-1,r=4p2-5p+2

一、光速解题一一学会9种快速解题技法

技法1特例法

在解答填空题时，可以取一个（或一些）特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方

程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行

检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种

方法.

典例1（特殊数值）求值:cos?a+cos"a+120°）+cos2（a+240°）=.

3

答案2

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值，于是不妨令a=0。，则

113

原式=cos°0+cos°I20°+COS2240°=1+4+4=2.

典例2（特殊点）点P为椭圆元+石=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶

点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC、AC的平行线交AC

于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为Sl（三角形PDE的面积为S2>

贝US1:S2=.

答案1

(4,2)(3-2)ff

解析不妨取点P'5",则s产'57X(5-4)=5,PD=2,PE=5,所以

166

S」=^X2X5=5,所以Si：$2=1.

典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个X.,都存在唯一的XzGD,使

f(x,)•f(x2)=l成立,则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：

①''影子函数”f(x)的值域可以是R;

②“影子函数”f(x)可以是奇函数；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y=f(x)•g(x)是“影子函

数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在「使得f(x)=O,此时不存在X2,使

得f(x”f(X2)=l,所以①错误；

1

对于②：函数f(x)=x(xWO),对任意的xP(-8,o)u(o,+8),取x尸孙，贝I」

f(x.)・f(X2)=l,因为函数f(x)=x(xKO)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②

正确；

1

对于③：函数f(x)=x(x>O),g(x)="(x>0)都是“影子函数于但F(x)=

f(x)-6)=1&>0)不是“影子函数”(因为对任意的xg(0,+8),存在无数多个

X2G(0,+8),使得F(X1)•F(xz)=l),所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为AABC的重心，AD为BC边上的中线，令

AB=a,"，=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且"P=ma,"Q=nb,则

11

吗乙

(2)如图,在三棱柱的侧棱AiA和BiB上各有一动点P,Q,且AiP=BQ,过P,Q,C三点的截面

把棱柱分成上、下两部分，则上、下两部分的体积之比为

答案(1)3(2)2：1

解析（1）由题意知结果必然是一个定值，故可利用特殊直线确定所求值.如图，令

211

AP-3AB-Tn-AC3故

PQ〃BC,则=Q=',此时，m=n=4%

A

⑵将P,Q置于特殊位置：P-A1,QfB,此时仍满足条件AF=BQ（=O）,则有

上「ABC=3

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2：1的上、下两部分.

典例5（特殊图形）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等

cos/l+cosC

差数列,则i+cc=.

4

答案5

1cos/l+cosC4

解析不妨令aABC为等边三角形，则cosA=cosC=2,则1+cos/lcosC=5.

技法2换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显

露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构

造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再

研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、

复合函数解析式的求解等.

典例1（三角换元）已知x,yGR,满足x>2xy+4y"=6,则z=x2+4y；'的取值范围

是

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y2=6,

%=(

即(x+y”+(

故设x+y=%闻…,

即x=西Rin^sina.

cosa-a，y

V6

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(cosa一a)•

2a+T)

=8-4sin

所以8-4<zW8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2(整体代换)函数y=sinx-cosx+sinxcosx,xG[0,IT]的最小值是.

答案-1

Ain

解析设t=sinx-cosx二H)

1-t2

—

贝sinxcosx=

7T

4昌百

因为xG[0,n],所以x-e

所以te[-1,多,

i-t21

所以y=t+2(t-l)L，+l,当t=-l时，y»,n=-l.

典例3局部换元）设对切实数不等式

4(a+l)2a（a+M

X2log2aa+1,i工厂>0恒成立,求a的取值范围.

+2xlog2+10g2

2a

a+1

解析设10g2=t>则

(a+1)2

log2a=log22a=3+log22a=3-log2a+1=3-t,log24"=21og2

a+1

~2a=-2t,则原不等式化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，所以

3-t>0,p<3,2a_

.A=4f2+8t(3-t)<0,解得0或t>6,所以资0,即log?"々。，所以

0<解得0〈a〈l.

技法3数形结合法

数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应