1.2命题及其关系充分条件与必要条件全国比赛一等奖公开课一等奖课件省赛课获奖课件

要点梳理1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子体现的,能够________的陈说句叫做命题.其中_________的语句叫真命题,__________的语句叫假命题.§1.2命题及其关系、充足条件与必要条件判断真假判断为真判断为假基础知识自主学习2.四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题__________否命题___________逆否命题___________若q,则p（2）四种命题间的逆否关系逆命题逆否命题否命题(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_____的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性___________.3.充足条件与必要条件(1)如果pq,则p是q的________,q是p的________;(2)如果pq,qp,则p是q的__________.4.特别注意：命题的否命题是既否认命题的条件,又否认命题的结论；而命题的否认是只否认命题的结论.相似没有关系充足条件必要条件充要条件基础自测1.下列语句是命题的是（）①求证是无理数；②x2+4x+4≥0；③你是高一的学生吗？④一种正数不是素数就是合数；⑤若x∈R，则x2+4x+7>0.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.③④⑤解析①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句.而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立.答案

C

2.命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是（）A.“若x<y，则x2<y2”B.“若x>y,则x2>y2”C.“若x≤y，则x2≤y2”D.“若x≥y,则x2≥y2”C3.(2009·江西文,1)下列命题是真命题的为（）A.B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则D.若x<y,则x2<y2解析得x=y,A对的，B、C、D错误.A4.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足A∪B=C,且B不是A的子集，则（）A.“x∈C”是“x∈A”的充足条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充足条件C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充足条件也不是“x∈A”的必要条件解析由题意知，A、B、C的关系可用右图来表达.若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A,则必有x∈C，∴“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充足条件.B5.(2009·四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的（）A.充足而不必要条件B.必要而不充足条件C.充要条件D.既不充足也不必要条件解析∵c>d,∴-c<-d,a>b,∴a-c与b-d的大小无法比较；当a-c>b-d成立时，假设a≤b,-c<-d,∴a-c<b-d,与题设矛盾，∴a>b.综上可知，“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充足条件.B题型一命题的关系及命题真假的判断【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.（2）若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根.（3）若x2+y2=0，则实数x、y全为零.→→写成“若p，则q”的形式写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假思维启迪题型分类深度剖析解（1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.(2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题.否命题：若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q≥1,真命题.(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零,真命题.逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.(1)在写一种命题的逆命题、否命题、逆否命题时，首先要看这个命题与否有大前提.若有大前提，必须保存其大前提，大前提不能动.（2）原命题和其逆否命题等价.探究提高知能迁移1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.（1）若m,n都是奇数，则m+n是奇数.（2）若x+y=5,则x=3且y=2.

解

（1）逆命题:若m+n是奇数，则m,n都是奇数，假命题.否命题：若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题.逆否命题：若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,假命题.（2）逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题.否命题：若x+y≠5，则x≠3或y≠2，真命题.逆否命题：若x≠3或y≠2，则x+y≠5,假命题.题型二充要条件的判断【例2】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充足条件”、“充要条件”、“既不充足也不必要条件”中选出一种作答).(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB;(2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断.思维启迪解（1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，由于A与B不可能互补（由于三角形三个内角和为180°),因此只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然qp,但pq,即q是p的充足不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充足不必要条件.(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,因此p是q的必要不充足条件.(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,因此pq但qp,故p是q的充足不必要条件.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.对于带有否认性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可运用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.知能迁移2（2009·安徽理，4）下列选项中,p是q的必要不充足条件的是（）A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象但是第二象限C.p:x=1，q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上为增函数解析由于a>b,c>da+c>b+d，而a+c>b+d却不一定推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充足条件.B中,当a>1,b>1时，函数f(x)=ax-b但是第二象限,当f(x)=ax-b但是第二象限时，有a>1,b≥1.故B中p是q的充足不必要条件.C中，由于x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有x=1，故C中p是q的充足不必要条件.D中p是q的充要条件.答案A题型三充要条件的证明【例3】（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一种负数根的充要条件为a≤0或a=1.思维启迪（1）注意讨论a的不同取值状况；（2）运用根的鉴别式求a的取值范畴.证明充足性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为方程只有一负根.2分当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1,方程只有一负根.4分当a<0时,Δ=4(1-a)>0，方程有两个不相等的根，且<0，方程有一正一负根.6分必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根.当a=0时，适合条件.8分当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4-4a≥0，∴a≤1，当a=1时，方程有一负根x=-1.10分若方程有且仅有一负根，综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1.12分探究提高（1）条件已知证明结论成立是充足性.结论已知推出条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充足性;二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应当进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；（3）证明时易出现必要性与充足性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.知能迁移3求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>这个条件是其充足条件吗？为什么？证明设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,则平方和不不大于3的等价条件是∴|a|>这个条件是必要条件但不是充足条件.1.当一种命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保存大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件构成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一种（或n个）作为大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的.办法与技巧思想办法感悟提高3.命题的充要关系的判断办法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即运用的等价关系，对于条件或结论与否认式的命题,普通运用等价法.(3)运用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充足条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

1.否命题是既否认命题的条件，又否认命题的结论，而命题的否认是只否认命题的结论.要注意区别.2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充足条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.失误与防备

一、选择题1.（2009·重庆文，2）命题“若一种数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A.“若一种数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一种数的平方是正数，则它是负数”C.“若一种数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一种数的平方不是正数，则它不是负数”解析原命题的逆命题:若一种数的平方是正数，则它是负数.B定时检测2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（）A.充足而不必要条件B.必要而不充足条件C.充足必要条件D.既不充足也不必要条件解析当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.C3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax

(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是()A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数B.若loga2<0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数解析由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数.答案

A4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R},则“x∈A”是“x∈B”的（）A.充足不必要条件B.必要不充足条件C.充足必要条件D.既不充足也不必要条件解析A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}，x∈Ax∈B，但x∈Bx∈A.B5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“AB”是“a>5”的（）A.充足不必要条件B.必要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不必要条件解析A={x|-4≤x≤4},若AB，则a>4,a>4a>5,但a>5a>4.故“AB”是“a>5”的必要不充足条件.B6.（2009·北京文，6）的（）A.充足而不必要条件B.必要而不充足条件C.充足必要条件D.既不充足也不必要条件解析这阐明外还能够取其它的值.因此的充足而不必要条件.A二、填空题7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范畴是______.解析x［2，5］且x{x|x<1或x>4}是真命题.由得1≤x<2.[1,2)8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范畴是________.解析p:≤x≤1,q：a≤x≤a+1,易知p是q的真子集，9.(2009·江苏,12)设和为不重叠的两个平面，给出下列命题：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；②若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；③设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；④直线l与垂直的充足必要条件是l与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序