2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测四十二事务的相互独立性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.若A与B是相互独立事务,则下列结论中正确的是 ()A.A与B是对立事务B.A与B是互斥事务C.QUOTE与QUOTE不相互独立D.A与QUOTE是相互独立事务【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必定联系.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为 ()A.1 B.0.629C.0 D.0.74或0.85【解析】选B.事务“两根保险丝都熔断”即事务“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事务“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74=0.629.3.甲、乙两人各进行一次射击,假如两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为 ()A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48【解析】选B.设“甲击中目标”为事务A,“乙击中目标”为事务B,则“两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种状况:一种是甲击中、乙未击中(即AQUOTE),另一种是甲未击中、乙击中(即QUOTEB),依据题意,这两种状况在各射击一次时不行能同时发生,即事务AQUOTE与QUOTEB是互斥的,所以所求概率为P=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32.故选B.4.甲、乙两人同时报考某一所高校,甲被录用的概率为0.6,乙被录用的概率为0.7,两人是否被录用互不影响,则其中至少有一人被录用的概率为 ()A.0.12 B.0.42 C.0.46 【解析】选D.由题意知,甲、乙都不被录用的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被录用的概率为1-0.12=0.88.5.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为QUOTE,则p= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为该电路为通路的概率为QUOTE,所以该电路为不通路的概率为1-QUOTE,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-QUOTE=(1-p)4,解得p=QUOTE或p=QUOTE(舍去).故选B.6.假日期间,甲去黄山的概率是QUOTE,乙去黄山的概率是QUOTE,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事务A,B,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P(QUOTEQUOTE)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.【补偿训练】如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是QUOTE,且是相互独立的,灯亮的概率为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选C.记A,B,C,D这4个开关闭合分别为事务A,B,C,D,又记A与B至少有一个不闭合为事务QUOTE,则P(QUOTE)=P(AQUOTE)+P(QUOTEB)+P(QUOTEQUOTE)=QUOTE,则灯亮的概率为P=1-P(QUOTEQUOTEQUOTE)=1-P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.

【解析】加工出来的零件的正品率是QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,因此加工出来的零件的次品率为1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.甲、乙两人投球命中率分别为QUOTE,QUOTE,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________.

【解析】事务“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事务C,则C=AQUOTE∪QUOTEB且AQUOTE与QUOTEB互斥,P(C)=P(AQUOTE∪QUOTEB)=P(A)P(QUOTE)+P(QUOTE)P(B)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为QUOTE,乙当选的概率为QUOTE,丙当选的概率为QUOTE.(1)求恰有一名同学当选的概率;(2)求至多有两人当选的概率.【解析】设甲、乙、丙当选的事务分别为A,B,C,则有P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE.(1)因为事务A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(AQUOTEQUOTE)+P(QUOTEBQUOTE)+P(QUOTEQUOTEC)=P(A)·P(QUOTE)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(B)·P(QUOTE)+P(QUOTE)·P(QUOTE)·P(C)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.某同学参与科普学问竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学至少得300分的概率.【解析】记“这名同学答对第i个问题”为事务Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.(1)这名同学得300分的概率P1=P(A1QUOTEA3)+P(QUOTEA2A3)=P(A1)P(QUOTE)P(A3)+P(QUOTE)P(A2)P(A3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队须要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=QUOTE;其次类,需竞赛2局,第一局甲负,其次局甲赢,其概率P2=QUOTE×QUOTE=QUOTE.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=QUOTE.2.抛掷一枚骰子一次,A表示事务“出现偶数点”,B表示事务“出现3点或6点”,则事务A与B的关系是()A.互斥事务B.相互独立事务C.既互斥又相互独立事务D.既不互斥又不相互独立事务【解析】选B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(AB)=QUOTE=QUOTE×QUOTE.所以A与B是相互独立事务.3.端午节放假,甲回老家过节的概率为QUOTE,乙、丙回老家过节的概率分别为QUOTE,QUOTE.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.甲、乙、丙回老家过节分别记为事务A,B,C,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE,P(QUOTE)=QUOTE.由题知A,B,C为相互独立事务,所以三人都不回老家过节的概率P(QUOTEQUOTEQUOTE)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有1人回老家过节的概率P=1-QUOTE=QUOTE.4.有一个电路,如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,若其闭合的概率都是QUOTE,且每个开关闭合与否是相互独立的,则灯亮的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设事务T为开关A,B中至少有一个不闭合,事务R为开关E,F中至少有一个不闭合,则P(T)=P(R)=1-QUOTE×QUOTE=QUOTE.设事务M,N分别为开关C,D不闭合,则P(M)=P(N)=QUOTE.所以灯不亮的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以灯亮的概率为1-QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)5.事务A,B,C相互独立,假如P(AB)=QUOTE,P(QUOTEC)=QUOTE,P(ABQUOTE)=QUOTE,则P(B)=________,P(QUOTEB)=________.

【解析】由题意可得QUOTE解得P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(QUOTEB)=P(QUOTE)·P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________.

【解析】分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事务A,B,C,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,停车一次为事务QUOTEBC+AQUOTEC+ABQUOTE发生,故概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.台风在危害人类的同时,也在爱护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星精确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报精确的是________.

【解析】设甲、乙、丙预报精确依次记为事务A,B,C,不精确记为QUOTE,QUOTE,QUOTE,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(QUOTE)=0.2,P(QUOTE)=0.3,P(QUOTE)=0.1,至少两颗预报精确的事务有ABQUOTE,AQUOTEC,QUOTEBC,ABC,这四个事务两两互斥且独立.所以至少两颗预报精确的概率为P=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.答案:0.9028.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为QUOTE,QUOTE,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是QUOTE,QUOTE,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.

【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为QUOTE,QUOTE,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事务A,则P(A)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.在社会主义新农村建设中,某市确定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预料,三个项目胜利的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,且三个项目是否胜利相互独立.(1)求恰有两个项目胜利的概率;(2)求至少有一个项目胜利的概率.【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有农产品加工和水果种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目胜利的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以恰有两个项目胜利的概率为QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)三个项目全部失败的概率为QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以至少有一个项目胜利的概率为1-QUOTE=QUOTE.10.在一个选拔项目中,每个选手都须要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.【解析】记事务Ai(i=1,2,3,4)