四川省乐山市2024届第三次调查研究考试文科数学试题（解析版）

机密★启用前乐山市高中2024届第三次调查研究考试文科数学（本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟）[考试时间：2024年5月7日下午3：00—5：00]注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合的元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可.【详解】由题意知，，，当，时，，当，时，，所以，所以集合中的元素个数为4.故选：C.2.若复数满足是的共轭复数，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算计算即可.【详解】依题意，所以，的虚部为.故选：B.3.为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为（）A.800，360 B.600，108 C.800，108 D.600，360【答案】B【解析】【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生的满意率求解.【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为人，所以样本容量为人，因为抽取的二年级学生人数为人，所以抽取的二年级学生中满意的人数为人.故选：B4.已知，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，又为第二象限角，所以.故选：A.5.设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值.【详解】由椭圆，可得，所以，所以椭圆的离心率，又，所以双曲线的离心率为，又双曲线，所以，所以，解得.故选：B.6.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.20 B.24 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，再求出表面积即可得解.【详解】原三视图对应的几何体是棱长为2的正方体，挖去角上一个棱长为1的正方体，如图，该多面体的表面积为.故选：B7.在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，可求有两个零点的的范围，进而可求概率.【详解】因为函数存在两个不同零点，所以有两个不同的根，所以，解得或，在区间上任取一个整数，共有16种取法，能使使函数存在两个不同零点的取法有13种，所以使函数存在两个不同零点的概率为.故选：C.8.已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得.【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，得是奇函数，则必有函数是偶函数，函数是奇函数，此时，因此，当时，，不存在整数，使得值为BCD，当时，是奇函数.故选：A9.在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，由勾股定理求出，由余弦定理求出可得，再由可得答案.【详解】设，则，，由余弦定理得，，解得，，所以，，.故选：C.10.若，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论.【详解】，所以则，又，所以，所以.故选：D.11.在三棱柱中，点在棱上，且，点在棱上，且为的中点，点在直线上，若平面，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可求解.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以,又平面，平面，所以平面，过点作，交于,则易知平面，又因为平面，平面，所以平面平面又平面,所以平面.因为,所以四边形为平行四边形，所以,因为，所以,,所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形为平行四边形即可.12.已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值即可求解.【详解】由题意作出图形如图所示设Mx,y，，由∽,可得，所以，即，即，所以，所以，所以点，将点的坐标代入直线中，化简可得（不同时为），所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以的最大值为故选：B.二､填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数的值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的坐标运算及两向量垂直的条件即可求解.【详解】因为，所以.又因为，所以，解得.所以实数的值是.故答案为：.14.若关于的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为__________.【答案】0或【解析】【分析】如图，分类讨论，当直线与y轴垂直时符合题意，解得；当直线与直线垂直时符合题意，解得.【详解】作出直线，且直线经过定点，若直线与y轴垂直，则，不等式组表示的平面区域为，为等腰直角三角形，此时；若直线与直线垂直，则，不等式组表示的平面区域为，为等腰直角三角形，此时.故答案为：0或.15.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函数恒等变换公式把函数化成，可求出的系列正根，根据函数在上根的个数，可确定的取值范围.【详解】因为，由（）令可得.因为在上有且仅有3个零点，所以，故的取值范围是：.故答案为：16.峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据题意可以得到,再对每一个进行判断即可.【详解】由于到第级阶梯有两种方法：从第级阶梯上一级台阶或者从第级阶梯上两级台阶，因此由题意有，可得,当时，,所以②正确;所以,所以①正确,所以，③错误;,所以④正确.故答案为：①②④三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤.17.已知是等差数列的前项和.（1）证明：是等差数列；（2）设为数列的前项和，若，求.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为，然后由等差数列的定义证明即可；（2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】证明：设等差数列an的公差为，，．．是等差数列．【小问2详解】，数列的首项为2，第四项为．数列的公差．．18.某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男､女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：（单位：分），得到频率分布直方图.（1）试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛学生成绩的众数及平均数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表）（2）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”.把随机抽取的参赛学生数据统计如下，请将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.

科技知识达人非科技知识达人合计男生15

女生

合计

附：（其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）85，81；（2）有.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计参赛学生成绩的众数的平均数.（2）完善列联表，计算的观测值并回答问题.【小问1详解】由频率分布直方图得，这次竞赛中参赛学生成绩的众数为85；成绩在的频率依次为，这次竞赛中参赛学生成绩的平均数.【小问2详解】竞赛成绩不低于90分的学生数为，完善列联表，如下：

科技知识达人非科技知识达人合计男生153550女生54550合计2080100零假设为能否获得“科技知识达人”称号与性别独立，，所以有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关.19.如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且与交于.（1）证明：平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及全等三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一和余弦定理的推理，结合勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可求证；（2）根据（1）的结论及线面垂直的判定定理和性质定理，利用矩形的性质及勾股定理，结合棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】因为底面是边长为2的菱形，所以.因为，所以，所以.因为点为线段中点，所以.在中，，所以，解得.所以即，所以又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，又四边形为菱形，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又是平行六面体，所以，所以四边形为矩形，由（1）知，，所以，从而，连接，交于，连接，如图所示在中，，为的中点，所以，同理，又，平面，平面，所以平面，线段的长为到平面的距离.由，可得，直角三角形中，，20.已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数判断函数的单调性；（2）根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解.【小问1详解】当时，，，则，令，解得或（舍），当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上所述，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】由题可知，令当时，由可知，即，所以在为增函数.对任意都有，符合题意.由解得或.，下面讨论与1的大小:②当时，，则在上单调递增.存在，使得.③当时，，对任意都有，即在上为减函数，恒成立，不符合题意.综上所述，时，存在，使得.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是引入的分子作为新函数，再对进行合理地分类讨论.21.已知椭圆的左､右焦点分别为分别是椭圆的上下顶点，分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）点是椭圆上的动点（不与重合），是在点处的切线，直线交于点，直线交于点，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件求的值，确定椭圆的标准方程.（2）因为直线的斜率不为0，可设直线方程为：，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线的方程，令得点坐标，列出直线的斜率，化简即可.【小问1详解】．点在椭圆上，，解得或（舍）．椭圆的方程为．【小问2详解】如图：易知直线斜率不为0，设直线方程为直线方程为：，联立，得．由，得，．直线的斜率为：．直线方程为：．令，得．．所以直线的斜率为定值.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线.（1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）若与分别相交于异于原点的两点，当时，求的直角坐标方程.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据即可求解；（2）设曲线的极坐标方程为，分别联立与和的极坐标方程，求出，再根据即可得解.【小问1