自动控制理论4复域根轨迹法2

6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点

分离点或会合点：1设系统的开环传递函数系统特征方程2根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重根，必同时满足和。因此求得：消去，可得到：

以上分析没有考虑(且为实数)的约束条件，所以只有满足的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。3例:设系统试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。解：系统的开环传递函数：求得：代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K1＜0，故舍去；s2代入，求得K1＞0。所以s2会合点。(舍去)

4另外两种表达形式：(1)因为令,即得到5仍以上例说明:因为令求得(舍去)

6(2)

因为即其中即所以

-7仍以上例说明:因为消去分母解上式得到 经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。

对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面两种方法都是从第一种方法派生出来的，所以求得的结果一定要检验，舍去K＜0所对应的值。

（舍去）8复杂情况用试探法。在-2

-3之间存在一个分离点。所以分离点的位置为97、根轨迹的出射角与入射角出射角(或入射角)是指根轨迹离开复数极点(或终止复零点)处切线的倾角。10若根轨迹的一个分支离开复极点的出射角为，则（各零点到的向量幅角之和）

（其它各极点到的向量幅角之和）

若根轨迹的一个分支终止于复零点的入射角为，则

(各极点到的向量幅角之和)

(其它各零点到的向量幅角之和)

11出射角:

128.根轨迹与虚轴交点

根轨迹与虚轴交点的纵坐标为满足特征方程的值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。介绍二种常用的求交点的方法。(1)

利用特征方程求取。用替代s，令虚部、实部分别等于零，求得和对应的K1。(2)利用劳斯阵列求取。将劳斯阵列中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。13９.根之和与根之积闭环极点之和等于开环极点之和1410.根轨迹上K0值的计算根轨迹上任一点S1处的K0可由幅值条件来确定。即

15绘制根轨迹图的规则序内容规则1起点终点起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）2分支数等于开环传递函数的极点数（n

m）3对称性关于实轴对称4渐近线相交于实轴上的一点：坐标为：倾角为：5实轴上分布实轴上的根轨迹：实轴上某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数16绘制根轨迹图的规则序内容规则6分离（会合）点实轴上的分离（会合）点7出射角入射角复数极点处的出射角：复数零点处的入射角：8虚轴交点（1）满足特征方程的值；（2）由劳斯阵列求得及K0的值；9K1计算根轨迹上任一点处的K1：17

例1:

系统的开环传递函数试画根轨迹。解：起点：0，-4，-6

终点：3个无限零点（1）渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：

即 （舍去）18（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得实部方程:

虚部方程： 解得：

(舍去)1920例2系统的开环传递函数为试绘制根轨迹图解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j

开环零点：4个无限零点(1)渐近线：应有n-m=4-0=4条渐近线。渐近线的倾角：渐近线与实轴的交点：

(2)实轴上的根轨迹：0

-321(3)分离点：利用试探法求得(4)极点-p3的出射角：不难求得极点-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分别、、.所以同理不难求得极点-p4处的出射角：(5)根轨迹与虚轴的交点：

方法一：由特征方程求：特征方程：22实部方程： 虚部方程： 解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令s1行首项为零，即求K1=8.16得，再根据行s2系数得到辅助方程

(舍去)2324P118例3已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为试证明该系统根轨迹的复数部分为一圆，分析K对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。证明：根据相角条件：令：25即：等式两端取正切：26无论K>0取何值，系统的闭环极点均位于s平面的做左侧，系统稳定。27习题４-２４-３４-４（１）（２）284.3控制系统性能的复域分析

——根轨迹法29

例1:

设一单位负反馈控制系统的开环传递函数试画根轨迹。解：起点：0，-4，-6

终点：3个无限零点（1）渐近线的夹角：渐近线与实轴的交点：（2）分离点：

即 （舍去）30（3）与虚轴的交点系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0令代入，求得实部方程:

虚部方程： 解得：

(舍去)3132根轨迹分析：1．稳定性分析：当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。当K1>240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。当K1<240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。2．稳态性能分析：系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。333．动态性能分析：

当0<K1≤17时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。

当17<K1<240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。

341.

求K1=15时系统闭环极点；解：利用幅值条件，用试探法当s=-1.5,K1=16.875当s=-1.4,K1=16.744