新浙教版数学八下4.5三角形的中位线

4.5三角形的中位线

如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。创设情境,导入新课连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线三角形的中位线和三角形的中线不同EDFACB获取新知你还能画出几条三角形的中位线？

（1）相同之处——都和边的中点有关；（2）不同之处：

三角形中位线的两个端点都是边的中点；

三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。CBAED概念对比CBAD中线DC中位线DE合作学习

任意画一个

△ABC,

然后分取

AB,

AC

中点

D,

E,

连结

DE.

通过

观察、测量等方法,

你发现线段

DE

有哪些性质?你能用命题的形式表述你所发现的性质吗?试一试.

CEDBA猜想结论三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，方法二方法三方法一CEDBA方法四三角形的中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半用符号语言表示DABCE∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC，DE=BC.21位置关系数量关系

小明家的村头有一大水塘，周日，小明拿一根皮尺去测量这水塘两端点AB之间的距离．可当他将皮尺的一端系在A处时发现皮尺短了，拉不到B处，怎样才能既测出AB间的距离又快捷方便呢？小明没辙了，聪明的你有办法解小明的难题吗？DA●●B●CE一位老农教给了他们一种方法：在池塘外选一点C，使Ｃ能直接到达Ａ点和Ｂ点，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，则线段DE的长就是AB的一半．定理应用ACBEDF初试身手练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点若∠ADE=65°，则∠B=

度，为什么？若BC=8cm，则DE=

cm，为什么？654若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，

则△DEF的周长=______练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点9cm若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____121、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？探究活动2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？图中有_____个平行四边形若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____36设计方案：

F（中点）(中点)DE(中点)ABC1、三角形三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积的41已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.猜想四边形EFGH的形状并证明。ABCDEFGHE，F是AB，BC的中点，你联想到什么？要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？证明：如图，连接AC∵EF是△ABC的中位线同理得：∴四边形EFGH是平行四边形典例示范

答：四边形EFGH为平行四边形。定理应用

已知，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EFABCDEFNM求证：DE=EF

挑战自我:如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.FEDCBAO

作业题CEDFBA返回证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE∴∠ADE=∠F，AD=CF∴AB∥CF又∵BD=AD=CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC（根据什么？）∴DE1/2BCCEDFBA证法二：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF又AE=EC，∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE

∴AD=FC又DB=AD，∴DBFC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE//BC且DE=EF=1/2BC返回ABCEDF证法三：如图，延长DE至F,

使EF=DE，连接CD、AF、CF∵AE=EC∴DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形∴ADFC又D为AB中点，∴DBFC∴四边形BCFD是平行四边形

∴DE//BC且DE=EF=1/2BC返回ACEDFGB证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G∵AG∥BC∴∠EAG=∠ECF

又∵AE=EC,∠AEG=∠CEF∴△AEG≌△CEF∴AG=FC，GE=EF又AB∥G