新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）5 嵌套函数的零点问题（含解析）

素养拓展05嵌套函数的零点问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理1.嵌套函数形式：形如f2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7分析：令SKIPIF1<0→SKIPIF1<0→作函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象→两个交点的横坐标为SKIPIF1<0→SKIPIF1<0、SKIPIF1<0判断SKIPIF1<0的零点个数.【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的图象和直线SKIPIF1<0，由图象可得有两个交点，设横坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即有一解；当SKIPIF1<0时，有三个解∴综上，SKIPIF1<0共有4个解，即有4个零点，故选A【题型训练】一、单选题1．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0零点个数最多是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】画出SKIPIF1<0的图像，设SKIPIF1<0，首先讨论SKIPIF1<0的根的情况，再分析SKIPIF1<0根的情况即可分析出SKIPIF1<0根的情况，即可得出答案．【详解】画出SKIPIF1<0的图像，如图所示，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由图像可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的图像，如图所示，由图像可知，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，没有根；②当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，此时有3个根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有3个根，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有4个根，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有4个根，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有11个根；③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时有三个根，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有4个根，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有4个根，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，有4个根，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有12个根；综上所述，SKIPIF1<0最多有12个根，故选：B．2．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】令SKIPIF1<0，结合题意得到SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后根据函数SKIPIF1<0的单调性和最值进而求解.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，易知方程无解，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此时方程有唯一的解；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此时方程有唯一的解，综上所述可知函数SKIPIF1<0的零点个数为SKIPIF1<0个，故选：A.3．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0的实数解的个数至多是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据复合方程问题，换元SKIPIF1<0，作函数图象分别看内外层分别讨论方程SKIPIF1<0根的个数情况，即可得答案.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图为函数SKIPIF1<0的大致图象：

由图可得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0最多有5个根；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有三个根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0最多有6个根；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有两个根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0有4个根；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有一个根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时方程SKIPIF1<0有2个根；综上，方程SKIPIF1<0的实数解的个数至多是6个.故选：B.4．（2023·全国·高三期末）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0的所有实根之和为4，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题对SKIPIF1<0取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.【详解】令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的图象，由图象可知方程的根为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当SKIPIF1<0时，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由图象可知方程的根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合函数SKIPIF1<0的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.5．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点个数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】确定函数SKIPIF1<0的值域，利用换元法令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则将函数SKIPIF1<0的零点问题转化为函数SKIPIF1<0的图象的交点问题，作函数SKIPIF1<0图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合SKIPIF1<0的图象，即可确定SKIPIF1<0的零点个数.【详解】已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，作出其图象如图示：可知SKIPIF1<0值域为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点问题即为函数SKIPIF1<0的图象的交点问题，而SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如图示：可知：SKIPIF1<0的图象有两个交点，横坐标分别在SKIPIF1<0之间，不妨设交点横坐标为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0图象和直线SKIPIF1<0可知，二者有两个交点，即此时SKIPIF1<0有两个零点；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0图象和直线SKIPIF1<0可知，二者有3个交点，即此时SKIPIF1<0有3个零点，故函数SKIPIF1<0的零点个数是5，故选：B.【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题.6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，进而考虑SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0五种情况讨论求解即可.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，我们先来考虑SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有1个交点，交点横坐标SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有1个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有2个交点，交点横坐标SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有3个零点.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有3个交点，交点横坐标SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有5个零点.若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，设切点SKIPIF1<0，所以，切线斜率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0没有交点，SKIPIF1<0没有零点.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有2个交点，交点横坐标SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有2个零点.故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元SKIPIF1<0，将问题转化为直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.7．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个零点，则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作出函数SKIPIF1<0的图象，根据题意利用图象分析可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0并将问题转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点横坐标t对应x值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.作出函数SKIPIF1<0的图象如图所示，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个零点，则函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有两个交点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由图象可得SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个实数根，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个实数根，故SKIPIF1<0的零点个数为SKIPIF1<0，故选：B．8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数），则函数SKIPIF1<0的零点个数为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】作出函数SKIPIF1<0的图象，可设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点个数，进而将SKIPIF1<0的零点个数问题转化为函数SKIPIF1<0的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0,对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处切线的斜率值为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线斜率SKIPIF1<0，则切线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0，故作出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象如下图所示，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有四个不同交点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有四个不同交点，设三个交点为SKIPIF1<0，由图象可知：SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如图，由此可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无交点，与SKIPIF1<0有三个不同交点，与SKIPIF1<0各有两个不同交点，SKIPIF1<0的零点个数为7个，故选：C【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0恰有5个零点，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意可先做出函数SKIPIF1<0的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0的大致图象如图所示．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有且只有1个实根，则SKIPIF1<0最多有3个不同的实根，不符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0有2个不同的实根，SKIPIF1<0有2个不同的实根，则SKIPIF1<0有4个不同的实根，不符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有3个不同的实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0有2个不同的实根，SKIPIF1<0有2个不同的实根，SKIPIF1<0有3个不同的实根，则SKIPIF1<0有7个不同的实根，不符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有2个不同的实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0有2个不同的实根，SKIPIF1<0有3个不同的实根，则SKIPIF1<0有5个不同的实根，符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有2个不同的实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有2个不同的实根，SKIPIF1<0，有2个不同的实根，则SKIPIF1<0有4个不同的实根，不符合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有且只有1个实根，则SKIPIF1<0最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m的取值范围是SKIPIF1<0．故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0这几种情况,也是解题关键.二、填空题10．（2023秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的所有零点之和为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数SKIPIF1<0的所有零点，从而得解．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；综上所述：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则有：①由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；综上所述：函数SKIPIF1<0的所有零点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4.故所有零点的和为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：根据题意分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况讨论，运算求解,11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0的零点个数为___________．【答案】5【分析】方法一：令SKIPIF1<0，将问题转化为SKIPIF1<0，根据图象分析得SKIPIF1<0有两个零点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而考虑SKIPIF1<0与SKIPIF1<0根的个数即可求解；方法二：利用导函数以及零点的存在性定理讨论SKIPIF1<0的根分别为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，从而用数形结合的方法确定SKIPIF1<0与SKIPIF1<0根的个数即可求解.【详解】方法一：SKIPIF1<0大致图象如下令SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0式方程的一个根SKIPIF1<0，再由图可知SKIPIF1<0式方程的另一个根SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有2个交点，所以SKIPIF1<0有2个实根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有3个交点，所以SKIPIF1<0有3个实根，SKIPIF1<0共有5个零点.方法二：令SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且仅有一个零点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有且仅有一个零点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且仅有一个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，结合函数图象可知SKIPIF1<0无解，SKIPIF1<0有两个根SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以由图象可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有2个交点，所以SKIPIF1<0有2个实根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有3个交点，所以SKIPIF1<0有3个实根，SKIPIF1<0共有5个零点.故答案为:5.12．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三次函数，其图象如图所示.若SKIPIF1<0有9个零点，则SKIPIF1<0的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0的图象判断与SKIPIF1<0在不同m取值范围下的交点个数，并确定交点横坐标的范围，结合SKIPIF1<0解析式求横坐标关于m的表达式，结合题图及SKIPIF1<0有9个零点，列不等式组求m范围.【详解】由题设SKIPIF1<0，其图象如下，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个交点且SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点且SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个交点且SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点且SKIPIF1<0；由题图，要使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有9个零点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0解析式：SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】关键点点睛：根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的图象及SKIPIF1<0零点个数，确定SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0对应零点的范围，进而求各零点关于m的表达式，列不等式求参数范围.13．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三个实数解，则实数SKIPIF1<0的取值集合为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】当SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0无解；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，采用数形结合的方式可知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0无解；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，采用数形结合的方式可知SKIPIF1<0，通过讨论SKIPIF1<0的范围可确定SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的取值，由此可构造方程求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无解，不合题意；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大致图象如下图所示，则SKIPIF1<0对应的两根为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无解，即方程SKIPIF1<0无解，不合题意；当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大致图象如下图所示，则SKIPIF1<0对应的两根为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恰有三个实数解，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个不同的交点，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个不同交点，如图所示，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且仅有一个交点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个不同交点，SKIPIF1<0