高中数学一轮复习课时作业梯级练五十直线的倾斜角与斜率直线的方程课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练五十直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=QUOTE,则l的斜率为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE或-2C.QUOTE或2 D.-2〖解析〗选D.因为sinθ+cosθ=QUOTE,①所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=QUOTE,易知sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=QUOTE,②由①②解得QUOTE所以tanθ=-2,即l的斜率为-2.2.已知直线l经过两点O(0,0),A(1,QUOTE),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.依题意kOA=QUOTE=QUOTE,所以直线l的倾斜角为QUOTE,所以直线m的倾斜角为QUOTE,所以直线m的斜率为tanQUOTE=-QUOTE.3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ()A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2〖解析〗选A.由于直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;由于直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角小于l3的倾斜角,所以k3>k2>0,所以k1<k2<k3.4.在同一平面直角坐标系中,两直线QUOTE-QUOTE=1与QUOTE-QUOTE=1的图象可能是 ()〖解析〗选D.直线QUOTE-QUOTE=1化为QUOTE+QUOTE=1在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;直线QUOTE-QUOTE=1化为QUOTE+QUOTE=1在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m,所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距互为相反数,对于A选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数,不满足题意;对于B选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;对于C选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;对于D选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.5.已知直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,则实数m= ()A.1 B.-1 C.±1 D.1或〖解析〗选C.由题意,直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,当直线x+my+1+m=0过原点时,在坐标轴上的截距都为零,则1+m=0,解得m=-1;当直线x+my+1+m=0不过原点时,要使得在坐标轴上的截距相等,此时直线的斜率为-1,即-QUOTE=-1,解得m=1,综上可得,实数m=±1.6.设点P是函数fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗选B.因为fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-f′(0),所以f′(0)=2-f′(0),f′(0)=1,所以fQUOTE=2ex-x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-1>-1.因为点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,所以tanα>-1.因为α∈QUOTE,所以α∈QUOTE∪QUOTE.7.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在QUOTE内变动时,a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.由直线方程l1:y=x,可得直线的倾斜角为α=45°,又因为这两条直线的夹角在QUOTE内,所以直线l2:ax-y=0的倾斜角的取值范围是30°<α<60°且α≠45°,所以直线l2的斜率a的取值范围为tan30°<a<tan60°且a≠tan45°,即QUOTE<a<1或1<a<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.直线l经过点A(1,2),倾斜角等于直线2x-3y+21=0的倾斜角的两倍,则直线l的一般式方程为.

〖解析〗设直线2x-3y+21=0的倾斜角为α,则tanα=QUOTE,则直线l的倾斜角为2α,所以直线l的斜率为k=tan2α=QUOTE=QUOTE,所以直线l的方程为y-2=QUOTE,整理得直线l的一般式方程为12x-5y-2=0.〖答案〗:12x-5y-2=09.已知函数fQUOTE=ax+2a-1的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m·n>0,则QUOTE+QUOTE的最小值为.

〖解析〗因为fQUOTE=ax+2a-1=aQUOTE-1,所以函数y=fQUOTE的图象恒过定点AQUOTE,由于点AQUOTE在直线mx+ny+1=0上,则-2m-n+1=0,则2m+n=1,因为mn>0,则QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥2QUOTE+4=8,当且仅当n=2m,即n=QUOTE,m=QUOTE时,等号成立,因此,QUOTE+QUOTE的最小值为8.〖答案〗:810.将直线y=x+QUOTE-1绕它上面一点(1,QUOTE)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是.

〖解析〗由y=x+QUOTE-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为QUOTE.又因为直线过点(1,QUOTE),所以直线方程为y-QUOTE=QUOTE(x-1),即y=QUOTEx.〖答案〗:y=QUOTEx1.(5分)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点,这个定点的坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为a+2b=1,所以a=1-2b.因为直线ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因为QUOTE所以QUOTE所以直线必过点QUOTE.〖解题反思〗求定点定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.〖加练备选·拔高〗已知直线kx-y+2-4k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.直线kx-y+2-4k=0整理可知y=kQUOTE+2,故必过定点QUOTE.2.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ()A.〖0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗选C.当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为QUOTE;当cosθ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-QUOTE.因为cosθ∈〖-1,1〗且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),即tanα∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),又α∈〖0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是QUOTE.3.(5分)过点PQUOTE在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有条 ()

A.4 B.5 C.6 〖解析〗选D.当截距为0时,是直线OP,只有1条,当截距大于0时,设截距分别为a,b,则直线方程为QUOTE+QUOTE=1,因为直线过点PQUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1①,因为a>0,b>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,结合①可得,QUOTE<1,QUOTE<1,所以a>3,b>4,又因为a,b为整数所以a≥4,b≥5,由①解得b=QUOTE=4+QUOTE,a-3为12的因数,所以a-3=1,2,3,4,6,12,对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,对应的直线有6条,综上所述,满足题意的直线共有7条.〖加练备选·拔高〗1.(2021·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ()A.0B.2C.QUOTED.1〖解析〗选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和QUOTE,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+QUOTE≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.2.已知MQUOTE,NQUOTE为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,δ=QUOTE,下列说法正确的有 ()①不论δ为何值,点N都不在直线l上;②若δ=1,则过点M,N的直线与直线l平行;③若δ=-1,则直线l经过MN的中点;④若δ>1,则点M,N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选D.因为δ=QUOTE中,ax2+by2+c≠0,所以点N不在直线l上,故①正确;当b≠0时,根据δ=1得到QUOTE=1,化简得QUOTE=-QUOTE,即直线MN的斜率为-QUOTE,又直线l的斜率为-QUOTE,由①可知点N不在直线l上,得到直线MN与直线l平行,当b=0时,可得直线MN与直线l的斜率都不存在,也满足平行,故②正确;当δ=-1时,得到QUOTE=-1,化简得a·QUOTE+b·QUOTE+c=0,而线段MN的中点坐标为QUOTE,所以直线l经过MN的中点,故③正确;当δ>1时,得到QUOTE>1,所以QUOTE>0,即QUOTE>0,所以点M,N在直线l的同侧且QUOTE>QUOTE,可得点M与点N到直线l的距离不等,所以延长线与直线l相交,故④正确.综上:说法正确的有4个.4.(10分)在△ABC中,点AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE.(1)若D为BC中点,求直线AD所在直线方程;(2)若D在线段BC上,且S△ABD=2S△ACD,求.〖解析〗(1)因为D为BC中点,所以DQUOTE,直线AD的斜率k=QUOTE=3,所以直线AD所在的直线方程为:y-4=3QUOTE,即直线AD方程为y=3x-5.(2)因为S△ABD=2S△ACD,所以=2,则=QUOTE,又由=+=+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE.5.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.〖解析〗(1)直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值,直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则QUOTE解得k≥0,故k的取值范围是〖0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-QUOTE,在y轴上的截距为1+2k,所以AQUOTE,B(0,1+2k).又-QUOTE<0且1+2k>0,所以k>0.故S=QUOTE|OA||OB|=QUOTE×QUOTE×(1+2k)=QUOTE≥QUOTE(4+4)=4,当且仅当4k=QUOTE,即k=QUOTE时,取等号.故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.课时作业梯级练五十直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题(每小题5分,共35分)1.若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=QUOTE,则l的斜率为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE或-2C.QUOTE或2 D.-2〖解析〗选D.因为sinθ+cosθ=QUOTE,①所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=QUOTE,易知sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=QUOTE,②由①②解得QUOTE所以tanθ=-2,即l的斜率为-2.2.已知直线l经过两点O(0,0),A(1,QUOTE),直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍,则直线m的斜率是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.依题意kOA=QUOTE=QUOTE,所以直线l的倾斜角为QUOTE,所以直线m的倾斜角为QUOTE,所以直线m的斜率为tanQUOTE=-QUOTE.3.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ()A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2〖解析〗选A.由于直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;由于直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角小于l3的倾斜角,所以k3>k2>0,所以k1<k2<k3.4.在同一平面直角坐标系中,两直线QUOTE-QUOTE=1与QUOTE-QUOTE=1的图象可能是 ()〖解析〗选D.直线QUOTE-QUOTE=1化为QUOTE+QUOTE=1在x轴上的截距为m,在y轴上的截距为-n;直线QUOTE-QUOTE=1化为QUOTE+QUOTE=1在x轴上的截距为n,在y轴上的截距为-m,所以两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距互为相反数,对于A选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为正数,不满足题意;对于B选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;对于C选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距同为负数,不满足题意;对于D选项:两直线中一直线在x轴上的截距与另一直线在y轴上的截距均异号,满足题意.5.已知直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,则实数m= ()A.1 B.-1 C.±1 D.1或〖解析〗选C.由题意,直线x+my+1+m=0在两坐标轴上的截距相等,当直线x+my+1+m=0过原点时,在坐标轴上的截距都为零,则1+m=0,解得m=-1;当直线x+my+1+m=0不过原点时,要使得在坐标轴上的截距相等,此时直线的斜率为-1,即-QUOTE=-1,解得m=1,综上可得,实数m=±1.6.设点P是函数fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗选B.因为fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-f′(0),所以f′(0)=2-f′(0),f′(0)=1,所以fQUOTE=2ex-x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-1>-1.因为点P是曲线上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,所以tanα>-1.因为α∈QUOTE,所以α∈QUOTE∪QUOTE.7.已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在QUOTE内变动时,a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.由直线方程l1:y=x,可得直线的倾斜角为α=45°,又因为这两条直线的夹角在QUOTE内,所以直线l2:ax-y=0的倾斜角的取值范围是30°<α<60°且α≠45°,所以直线l2的斜率a的取值范围为tan30°<a<tan60°且a≠tan45°,即QUOTE<a<1或1<a<QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.直线l经过点A(1,2),倾斜角等于直线2x-3y+21=0的倾斜角的两倍,则直线l的一般式方程为.

〖解析〗设直线2x-3y+21=0的倾斜角为α,则tanα=QUOTE,则直线l的倾斜角为2α,所以直线l的斜率为k=tan2α=QUOTE=QUOTE,所以直线l的方程为y-2=QUOTE,整理得直线l的一般式方程为12x-5y-2=0.〖答案〗:12x-5y-2=09.已知函数fQUOTE=ax+2a-1的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m·n>0,则QUOTE+QUOTE的最小值为.

〖解析〗因为fQUOTE=ax+2a-1=aQUOTE-1,所以函数y=fQUOTE的图象恒过定点AQUOTE,由于点AQUOTE在直线mx+ny+1=0上,则-2m-n+1=0,则2m+n=1,因为mn>0,则QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥2QUOTE+4=8,当且仅当n=2m,即n=QUOTE,m=QUOTE时,等号成立,因此,QUOTE+QUOTE的最小值为8.〖答案〗:810.将直线y=x+QUOTE-1绕它上面一点(1,QUOTE)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是.

〖解析〗由y=x+QUOTE-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为QUOTE.又因为直线过点(1,QUOTE),所以直线方程为y-QUOTE=QUOTE(x-1),即y=QUOTEx.〖答案〗:y=QUOTEx1.(5分)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点,这个定点的坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为a+2b=1,所以a=1-2b.因为直线ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因为QUOTE所以QUOTE所以直线必过点QUOTE.〖解题反思〗求定点定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.〖加练备选·拔高〗已知直线kx-y+2-4k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.直线kx-y+2-4k=0整理可知y=kQUOTE+2,故必过定点QUOTE.2.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ()A.〖0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗选C.当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为QUOTE;当cosθ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-QUOTE.因为cosθ∈〖-1,1〗且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),即tanα∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),又α∈〖0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是QUOTE.3.(5分)过点PQUOTE在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有条 ()

A.4 B.5 C.6 〖解析〗选D.当截距为0时,是直线OP,只有1条,当截距大于0时,设截距分别为a,b,则直线方程为QUOTE+QUOTE=1,因为直线过点PQUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1①,因为a>0,b>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,结合①可得,QUOTE<1,QUOTE<1,所以a>3,b>4,又因为a,b为整数所以a≥4,b≥5,由①解得b=QUOTE=4+QUOTE,a-3为12的因数,所以a-3=1,2,3,4,6,12,对应a=4,5,6,7,9,15,相应b=16,10,8,7,6,5,对应的直线有6条,综上所述,满足题意的直线共有7条.〖加练备选·拔高〗1.(2021·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ()A.0B.2C.QUOTED.1〖解析〗选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和QUOTE,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+QUOTE≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.2.已知MQUOTE,NQUOTE为不同的两点,直线l:ax+by+c=0,δ=QUOTE,下列说法正确的有 ()①不论δ为何值,点N都不在直线l上;②若δ=1,则过点M,N的直线与直线l平行;③若δ=-1,则直线l经过MN的中点;④若δ>1,则点M,N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选D.因为δ=QUOTE中,ax2+by2+c≠0,所以点N不在直线l上,故①正确;当b≠0时,根据δ=1得到QUOTE=1,化简得QUOTE=-QUOTE,即直线MN