高中数学一轮复习课时作业梯级练四十八利用向量求空间角课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练四十八利用向量求空间角一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cosθ=()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE〖解析〗选C.因为点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),二面角C-AB-O的大小为θ,所以cosθ==QUOTE=QUOTE.2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 ()A.4 B.2 C.3 〖解析〗选B.由已知,平面OAB的一条斜线的方向向量=(-1,3,2),所以点P到平面OAB的距离d=||·|cos<,n>|==QUOTE=2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,QUOTE),D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=QUOTE.设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则有即QUOTE所以QUOTE所以n1=(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以|cos<n1,n2>|=QUOTE=QUOTE,即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为QUOTE.4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=QUOTE,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为AB=1,AC=2,BC=QUOTE,AC2=BC2+AB2,所以AB⊥BC.因为三棱柱为直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(0,1,0),C(QUOTE,0,0).设B1(0,0,a),则C1(QUOTE,0,a),所以DQUOTE,EQUOTE,所以=QUOTE,平面BB1C1C的法向量设直线DE与平面BB1C1C则sinα=|cos<,>|=QUOTE,所以α=QUOTE.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE〖解析〗选A.如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z).由,得QUOTE令z=-1,则m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE,(负值舍去),所以AD=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,则AF与CE所成角的余弦值为.

〖解析〗因为折后AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以AF与CE所成角的余弦值为QUOTE.〖答案〗:QUOTE7.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45°,则AE=.

〖解析〗如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,QUOTE,0),D(0,-QUOTE,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以=(-1,0,3),=(0,2QUOTE,0),=(-1,QUOTE,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则即QUOTE则y=0,令z=1,得x=-a,所以n=(-a,0,1),所以cos<n,>==QUOTE.因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°,所以QUOTE=QUOTE,解得a=2或a=-QUOTE(舍去),所以AE=2.〖答案〗:28.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是〖解析〗如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则.令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离d==QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1⊥平面AA1C1C,D是AA1的中点,△(1)求证:CD⊥B1D;(2)若BC=QUOTE,求二面角B-C1D-B1的大小.〖解析〗(1)因为△ACD是边长为1的等边三角形,所以CD=1,A1D=A1C1=1,∠DA1C1=QUOTE,所以C1D=QUOTE,因为CC1=2,所以CQUOTE=C1D2+CD2,所以CD⊥DC1,因为B1C1⊥平面AA1C1C,CD所以CD⊥B1C1因为DC1,B1C1为平面B1C所以CD⊥平面B1C1因为B1D⊂平面B1C1D,所以CD⊥B1(2)以D为坐标原点,分别以DC1,DC,过D平行BC的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(QUOTE,0,0),B1(QUOTE,0,QUOTE),B(0,1,QUOTE),设平面BC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),平面C1DB1的一个法向量为n2=(x1,y1,z1),由得QUOTE所以x=0,令z=1,所以y=-QUOTE,所以n1=(0,-QUOTE,1),由得QUOTE所以x1=z1=0,令y1=1,所以n2=(0,1,0),所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以<n1,n2>=QUOTE,因为二面角B-C1D-B1为锐二面角,所以二面角B-C1D-B1为QUOTE.10.如图甲,将直角边长为QUOTE的等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折.如图乙,使二面角B-AD-C的大小为QUOTE,翻折后BC的中点为M.(1)求证:BC⊥平面ADM;(2)求二面角D-AB-C的余弦值.〖解析〗(1)折叠前AB=AC,AD是斜边上的高,所以D是BC的中点,所以BD=CD,又因为折叠后M是BC的中点,所以DM⊥BC,折叠后AB=AC,所以AM⊥BC,又因为AM∩DM=M,所以BC⊥平面ADM;(2)建立如图空间直角坐标系,易知二面角B-AD-C的平面角是∠BDC,则BD=BC=CD=AD=1,所以A(0,0,1),BQUOTE,C(0,1,0),D(0,0,0,),设平面ABD的一个法向量为n1=(x,y,z)得,即QUOTE,令x=1,得n1=(1,-QUOTE,0),设平面ABC的一个法向量n2=(x1,y1,z1),得即QUOTE,令z1=1,得n2=QUOTE,所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以二面角D-AB-C的余弦值是QUOTE.1.(5分)如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>==QUOTE=QUOTE=-QUOTE.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cosθ=|cos<,>|=QUOTE.2.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,EQUOTE,FQUOTE,所以=(0,0,-2),=QUOTE,=QUOTE.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得QUOTE取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ==QUOTE,所以PA与平面DEF所成角的正弦值为QUOTE.3.(5分)(一题多解)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为〖解析〗方法一:延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH⊥AG于点H,连接EH,则∠EHB为所求锐二面角的平面角.求得BH=QUOTE,EB=1,所以tan∠EHB=QUOTE=QUOTE.方法二:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),EQUOTE,FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ,由得QUOTE令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),则cosθ=|cos<n,m>|=QUOTE,tanθ=QUOTE.〖答案〗:QUOTE4.(10分)(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.〖命题意图〗本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力.〖解析〗(1)在棱CC1上取点G,使得C1GQUOTECG,连接DG,FG,C1E,C1F,因为C1G=QUOTECG,BF=2FB1,所以CG=QUOTECC1=QUOTEBB1=BF且CG∥BF,所以,四边形BCGF为平行四边形,所以BCGF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD所以ADGF,所以四边形ADGF为平行四边形.则AFDG,同理可证四边形DEC1G所以C1EDG,所以C1EAF,则四边形AEC1F为平行四边形,因此点C1(2)以点C1为坐标原点,C1D1、C1B1、C1C则AQUOTE、A1QUOTE、EQUOTE、FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,设平面AEF的法向量为m=QUOTE,由,得QUOTE,取z1=-1,得x1=y1=1,则m=QUOTE.设平面A1EF的法向量为n=QUOTE,由,得QUOTE,取z2=2,得x2=1,y2=4,则n=QUOTE,cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设二面角A-EF-A1的平面角为θ,则QUOTE=QUOTE,所以sinθ=QUOTE=QUOTE.因此,二面角A-EF-A1的正弦值为QUOTE.〖加练备选·拔高〗(2021·贵港模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AA1=2AC,P是侧棱CC1上的点(1)若∠APB=60°,证明:P是CC1的中点;(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.〖解析〗(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C所以C1C⊥AC,C1C又∠APB=60°,所以AP=BP=AB,又∠ACB=90°,所以AP=AB=QUOTEAC,所以PC=AC=QUOTEAA1=QUOTECC1,即P是CC1的中点;(2)如图,以C为坐标原点,CA,CB和CC1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系,设AC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),所以=(-2,2,0),=(-2,0,3),设平面BAP的法向量为n=(x,y,z),则由得QUOTE,令x=3,得y=3,z=2,所以n=(3,3,2),又平面CAP的法向量为m=(0,1,0),所以cos<n·m>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由图可知,二面角B-AP-C为锐二面角,故二面角B-AP-C的余弦值为QUOTE.1.如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,QUOTE=λ.当∠APC为钝角时,λ的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.由题设可知,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).由=(1,1,-1),得=λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).显然∠APC不是平角,所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos<,>=<0,这等价于·<0,即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,得QUOTE<λ<1.因此,λ的取值范围为QUOTE.2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2QUOTE,∠ABC=90°,如图①所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如图②所示.(1)求证:CD⊥AB;(2)若点M为线段BC的中点,求DM与平面ACD所成角的正弦值;(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出QUOTE的值;若不存在,说明理由.〖解析〗(1)由已知条件可得,BD=2,CD=2,又BD2+CD2=BC2,所以CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB.(2)以点D为原点,BD所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则各相关点的坐标为A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0).所以=(0,-2,0),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(1,1,0).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则⊥n,⊥n,所以QUOTE令x=1得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1).若DM与平面ACD所成的角为θ,则DM与平面ACD所成角的正弦值为sinθ=|cos<n,>|==QUOTE.(3)假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°.设=λ,0<λ<1,则N(2-2λ,2λ,0),所以=(1-2λ,2λ,-1).因为平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60°,所以sin60°==QUOTE,整理得8λ2+2λ-1=0,所以λ=QUOTE或λ=-QUOTE(舍去).综上所述,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成的角为60°,此时QUOTE=QUOTE.课时作业梯级练四十八利用向量求空间角一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为θ,则cosθ=()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE〖解析〗选C.因为点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),二面角C-AB-O的大小为θ,所以cosθ==QUOTE=QUOTE.2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 ()A.4 B.2 C.3 〖解析〗选B.由已知,平面OAB的一条斜线的方向向量=(-1,3,2),所以点P到平面OAB的距离d=||·|cos<,n>|==QUOTE=2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,QUOTE),D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=QUOTE.设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则有即QUOTE所以QUOTE所以n1=(1,2,2).因为平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以|cos<n1,n2>|=QUOTE=QUOTE,即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为QUOTE.4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=QUOTE,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为AB=1,AC=2,BC=QUOTE,AC2=BC2+AB2,所以AB⊥BC.因为三棱柱为直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(0,1,0),C(QUOTE,0,0).设B1(0,0,a),则C1(QUOTE,0,a),所以DQUOTE,EQUOTE,所以=QUOTE,平面BB1C1C的法向量设直线DE与平面BB1C1C则sinα=|cos<,>|=QUOTE,所以α=QUOTE.5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE〖解析〗选A.如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z).由,得QUOTE令z=-1,则m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE,(负值舍去),所以AD=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,则AF与CE所成角的余弦值为.

〖解析〗因为折后AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以AF与CE所成角的余弦值为QUOTE.〖答案〗:QUOTE7.如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45°,则AE=.

〖解析〗如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,QUOTE,0),D(0,-QUOTE,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以=(-1,0,3),=(0,2QUOTE,0),=(-1,QUOTE,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则即QUOTE则y=0,令z=1,得x=-a,所以n=(-a,0,1),所以cos<n,>==QUOTE.因为直线OF与平面BED所成角的大小为45°,所以QUOTE=QUOTE,解得a=2或a=-QUOTE(舍去),所以AE=2.〖答案〗:28.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是〖解析〗如图建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的一个法向量n=(x,y,z),则.令x=1,则n=(1,-1,-1),所以点D1到平面A1BD的距离d==QUOTE=QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1⊥平面AA1C1C,D是AA1的中点,△(1)求证:CD⊥B1D;(2)若BC=QUOTE,求二面角B-C1D-B1的大小.〖解析〗(1)因为△ACD是边长为1的等边三角形,所以CD=1,A1D=A1C1=1,∠DA1C1=QUOTE,所以C1D=QUOTE,因为CC1=2,所以CQUOTE=C1D2+CD2,所以CD⊥DC1,因为B1C1⊥平面AA1C1C,CD所以CD⊥B1C1因为DC1,B1C1为平面B1C所以CD⊥平面B1C1因为B1D⊂平面B1C1D,所以CD⊥B1(2)以D为坐标原点,分别以DC1,DC,过D平行BC的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(QUOTE,0,0),B1(QUOTE,0,QUOTE),B(0,1,QUOTE),设平面BC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),平面C1DB1的一个法向量为n2=(x1,y1,z1),由得QUOTE所以x=0,令z=1,所以y=-QUOTE,所以n1=(0,-QUOTE,1),由得QUOTE所以x1=z1=0,令y1=1,所以n2=(0,1,0),所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以<n1,n2>=QUOTE,因为二面角B-C1D-B1为锐二面角,所以二面角B-C1D-B1为QUOTE.10.如图甲,将直角边长为QUOTE的等腰直角三角形ABC,沿斜边上的高AD翻折.如图乙,使二面角B-AD-C的大小为QUOTE,翻折后BC的中点为M.(1)求证:BC⊥平面ADM;(2)求二面角D-AB-C的余弦值.〖解析〗(1)折叠前AB=AC,AD是斜边上的高,所以D是BC的中点,所以BD=CD,又因为折叠后M是BC的中点,所以DM⊥BC,折叠后AB=AC,所以AM⊥BC,又因为AM∩DM=M,所以BC⊥平面ADM;(2)建立如图空间直角坐标系,易知二面角B-AD-C的平面角是∠BDC,则BD=BC=CD=AD=1,所以A(0,0,1),BQUOTE,C(0,1,0),D(0,0,0,),设平面ABD的一个法向量为n1=(x,y,z)得,即QUOTE,令x=1,得n1=(1,-QUOTE,0),设平面ABC的一个法向量n2=(x1,y1,z1),得即QUOTE,令z1=1,得n2=QUOTE,所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以二面角D-AB-C的余弦值是QUOTE.1.(5分)如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>==QUOTE=QUOTE=-QUOTE.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cosθ=|cos<,>|=QUOTE.2.(5分)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,EQUOTE,FQUOTE,所以=(0,0,-2),=QUOTE,=QUOTE.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由得QUOTE取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ==QUOTE,所以PA与平面DEF所成角的正弦值为QUOTE.3.(5分)(一题多解)已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值为〖解析〗方法一:延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示.设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH⊥AG于点H,连接EH,则∠EHB为所求锐二面角的平面角.求得BH=QUOTE,EB=1,所以tan∠EHB=QUOTE=QUOTE.方法二:如图,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0),EQUOTE,FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),平面AEF与平面ABC所成的锐二面角为θ,由得QUOTE令y=1,z=-3,x=-1,则n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),则cosθ=|cos<n,m>|=QUOTE,tanθ=QUOTE.〖答案〗:QUOTE4.(10分)(2020·全国Ⅲ卷)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.〖命题意图〗本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力.〖解析〗(1)在棱CC1上取点G,使得C1GQUOTECG,连接DG,FG,C1E,C1F,因为C1G=QUOTECG,BF=2FB1,所以CG=QUOTECC1=QUOTEBB1=BF且CG∥BF,所以,四边形BCGF为平行四边形,所以BCGF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD所以ADGF,所以四边形ADGF为平行四边形.则AFDG,同理可证四边形DEC1G所以C1EDG,所以C1EAF,则四边形AEC1F为平行四边形,因此点C1(2)以点C1为坐标原点,C1D1、C1B1、C1C则AQUOTE、A1QUOTE、EQUOTE、FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,设平面AEF的法向量为m=QUOTE,由,得QUOTE,取z1=-1,得x1=y1=1,则m=QUOTE.设平面A1EF的法向量为n=QUOTE,由,得QUOTE,取z2=2,得x2=1,y2=4,则n=QUOTE,cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设二面角A-EF-A1的平面角为θ,则QUOTE=QUOTE,所以sinθ=QUOTE=QUOTE.因此,二面角A-EF-A1的正弦值为QUOTE.〖加练备选·拔高〗(2021·贵港模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AA1=2AC,P是侧棱CC1上的点(1)若∠APB=60°,证明:P是CC1的中点;(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.〖解析〗(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C所以C1C⊥AC,C1C又∠APB=60°,所以AP=BP=AB,又∠ACB=90°,所以AP=AB=QUOTEAC,所以PC=AC=QUOTEAA1=QUOTE