高数重要知识点习题

高数重要知识点习题 单元一:概念 2单元二:偏导与全微分计算 3单元三:隐函数求导(方程或方程组) 5单元四:二元极值 7单元五:交换二次积分次序 9单元六:二重积分计算 单元七:二重积分应用 单元一:收敛定义 单元二:数项级数审敛 单元三:幂级数 单元四:傅里叶级数 单元二:解析几何 单元三:偏导数的几何应用 单元四:方向导数与梯度 单元一:三重积分计算 单元二:三重积分应用 单元三:第一类线面积分计算 单元四:第一类线面积分应用 单元六:积分与路径无关性 单元八:第二类线面积分应用 第五讲:多元微分与二重积分单元一:概念A:连续不可导;D:全微分存在EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(x2),x2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up19(y2),y2)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up18(0),0)A:连续不可导;D:全微分存在x3A:连续不可导;D:全微分存在4.f=(x2+y2)F(x,y),其中F在含点(0,0)的邻域内有界,那么f在点(0,0)处:[D]C:可导连续不可微;D:全微分存在5.设Q(x,y)连续,F(x,y)=x-yQ(x,y),研究F(1x2+y2201x2+y220在点(0,0)可微,但偏导不连续.22喻02喻02222x2x20不连续]单元二:偏导与全微分计算22EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(δ),δ)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14(2),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(x),x))2nf(,),f(u,n1fxn2yf',u=xn1f'—f,u=f2xyf'f+2y2f'xf2yf2f(x2y2)的解.其中x++pEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(u),z)ξf(u)du,求:.[z=yf(xy)-f(x-y),z=f(xy)+xyf'(xy)+f'(x-y)]"]x[略][=a(βf"-μf")+λ(βf"-μf")]EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up13(2),y)单元三:隐函数求导(方程或方程组)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(x),z)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)-,dz=—EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up7(F),1)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(F'),2)f'dy)]abf'[FEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),y)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(δ),δ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(z),y)xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(1),z)=─]EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(dx),x)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(dy),y)2z2-EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up25(a),x)ye-ay-f'(a)=EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up9(1),x)δxδyx2x222-z2lnx2y]单元四:二元极值1.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值点.|lfy=(6x-x2)(4-2y)|lfy=(6x-x2)(4-2y)22-zy有无穷个极大值而无极小值EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(z),z)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(x),y)y-2)(非极值)]MM2l2x22满足:x2f0=]7.经过点(1,1,2)的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),a)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),b)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(2),c)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),3)4EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(z),z)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(x),y)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up12(y2),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up23(2),1)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up24(xλ),λ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up23(0),0)min22下32大值与极小值之和EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(A),B)A+λBB=0EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(B),C)2EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(1),λ)EQ\*jc3\*hps38\o\al(\s\up16(π),C)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up17(A),B)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up17(B),C)单元五:交换二次积分次序.1.设函数f(x,y)连续,交换积分次序:λBππ]AC-B21f(x,y)dy[πf(x,y)dx]2(2)I=1x2f(x,y)dy[1y2f(x,y)dx]f(x,y)dx[dx(3)I=2xf(x,y)dx[dxy2y2y2y24yf(x,y)dx[4x2f(x,y)dy]22xf(xy)dy[2xx-[I=y2--2lnxdx+2lnxdx[I=x1EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(1),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(y),x)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(y),x)y[I=xEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(y),x)bf(x)dx.b—2aaf(x)Daaf(y)2f(y)f(x)[I=b—aaf(y)2f(y)f(x)bf(x)f(y)dy=1[∫bf(x)dx]2.abf(x)f(y)dxdy=右式]bf(x)f(y)dxdy<1[f2(x)+f2(y)]dxdy=右式][f(x)-f(y)]2dxdy=∫∫[f2(x)+f2(y)-2f(x)f(y)]dxdy]单元六:二重积分计算xD11-y2[I=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(k),5)[“y〞奇函数Dx2[I=为顶点的三角形.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up14(1),3)[I=dσ(a>0),其中D由圆心在点(a,a),半径为a,且与坐标轴相切的圆的较D短一段弧和坐标轴所围的区域.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up9(3),2)D[I=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)2D[I=2x33D-yD2-y3yyDy32(y221-xlxy2y2ylxy2yEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(3),2)D[D为无界域,I=12x-x21-]EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(3),2)1xf(x)dx0D1f(u)du(x2EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)r3EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up12(π),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up13(π),2)22DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)2DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(π),2)x2+y2D2[I=EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up7(π),2)2x2DEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),3)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),9)[I=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(π),4)3cEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(n),s)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up12(EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),3)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),9)D0x2+y2x2+y22,其他f(x,y)dσDEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)4D[I=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(cos),0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(c),c)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(osθ),osθ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(s),s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(i),i)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(1),2)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(s),s)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(-si),+si)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up13(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),4)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(s),s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(θ一s),θ+s)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(i),i)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(c),c)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(o),o)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(s),s)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(一si),+si)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(n),n)EQ\*jc3\*hps37\o\al(\s\up12(θ),θ)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up12(1),2)fdσEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up20(D),1)DDf连续,且f(x,y)=1x2y2-8f(u,v)dudv,求f(x,y)πD[adxdy--DDEQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up11(π),2)1r2rdraEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up12(π),2)f(x,y)=11x2y2单元七:二重积分应用D一半,求ba2x2y2-DEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(π),2)第六讲:无穷级数单元一:收敛定义u也收敛.n2n-11a-an-na收敛,并求和.[另解:Σ(1-x)ndx=4.{na}收敛,又Σn(a-a)收敛,证明:Σa收敛.[S*P,过P作y轴平行线交抛物线于Q,再过Q作抛物线的切线得P,这样无限作下去,n-1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(n),1)Σn-14n-1nn3+Σ+Σ单元二:数项级数审敛nn伪vnnn(-nn(-1)nnn1-]nEQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up12(π),4)ΣnΣEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up13(a),n)1n1,-a(1)假设Σbn收敛,那么Σa[ba<ab]-an-1+伪a发散,那么Σbn-1n-2(1)级数Σ(a-a)绝对收敛;(2)数列{a}收敛.nn-1n5.假设级数Σ伪n[D]A:Σn1n[C][[A:Σ伪伪Σ[C]A:绝对收敛;B:条件收敛;C:发散;D:收敛性与a的取值有关8.考察以下正项级数的敛散性(1)ΣEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(1),2)-nn2+1ΣnEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up10(1),n)Σn00Σ1Σ+伪Σ+伪Σ+伪Σ.n!.nlnn或un∫EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(1),n)—2n1[u～-1-收敛]nnn[=nnlnnn9.考察以下交错级数的敛散性(1)Σ～—:条件收敛]CC(-1)n-1(-1)n-1s-2-+-++-+[bn24n-1Σ伪n发散常原级数发散]+伪Σ(u-u)=Σ+伪(-1)n+1u收敛]1<-(唯一)伪伪--;a-1Σana4nna-1a4-1单元三:幂级数(1)x2n-1;[lim[uuun13n+1n+1(2)Σ(n!)2──x2n一(n!)2.[lim[uuun2lim22-]2伪n2的收敛半径为:R3.Σaxnnn的收敛区间.4.求幂级数的收敛域:(1)Σn(2)Σn(3)Σxnn1-++ 1-++[lim[limnn5.将以下函数展开成x的幂级数,并指明展开式成立的范围Σ=Σ0[f(x)=x2n)dx=Σ伪(5)f(x)=[f(x)=___伪xn)'Σxnn,xe(1,1)]Σ]n(4x2)n2伪,xe[1,1],Σ+伪9.求幂级数的收敛域及和函数(1)Σ+伪(2)Σ+伪+伪(3)Σ+伪(4)Σnn──]3(x2nn!──x2nn!2伪nx2)]n!Σx2)'2x2]n!nn(5)Σnn(6)Σn.nΣn=x(Σ伪n!n!(7)Σ2n[Ωtx2]n!n!xe2t20n-ΣnΣn伪(Σ](1)Σ伪1Σn(2)nΣn--]xΣ]22nnn1limnnnn──;x1x1xx单元四:傅里叶级数01.设函数f(x)以2为周期,它在一个周期内的表达式为:f(x)23记S(x)为f(x)的傅立叶级数的和函数220x-2242.函数f(x)2.函数f(x)以2为周期,它在[,)上的表达式为:f(x),将f(x)在[,]上展开成傅立叶级数,并由收敛定理求该级数的和函数.[ann～-—f(x)xnf(x)xn3.将f(x)x,0x[,)2x[,]展开成Fourier级数,并求:1.[2]--2在(,)内的Fourier级数2x25.把f(x)10x,x[5,15]展开成傅立叶级数,并指明展开式成立的范围6.设f(x)是以2为周期的连续函数,a,b为其傅立叶系数,求函数:F(x)-1f(t)f(xt)dt傅立叶系数:A,B[F连续,周期为2]f(t)f(xt)dtdx-1f(t)-1f(xt)cosnxdxdtnnBsinnx-f(t)f(xt)dtdx-1f(t)-1f(xt)sinnxdxdtBnn-π-π单元一:向量代数2ξ2ζ222η2ζ)2ξ2ζ0(1)A」B;(2)以A与B为邻边的平行四边22L55 单元二:解析几何角,求直线L的方程.8==]001(a|13EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(a),a)23b1b222b333)|)|L:3=3=3与L:1=1=1的位置关系.5.设动点M(x,y,z)到xoy面的距离与其到定点(1,一1,1)的距离相等,M的轨迹为Σ,假设ly2ly222单元三:偏导数的几何应用f(y-z)在任一点的切平面都与直线x=y=z平行.[n=(1,f',-1-f'),n.(1,1,1)=0]x2+y22.-z2=3上点P处的切平面垂直于直线x=y=z,假设P在第三2x=22=z-1绕x轴旋转而成的旋转面的方程,并求该旋转面在点(0,-2,1)1处的切平面方程.2+y2-z2=27的切平面,求此切平面方程OM.其中f可