2025年高考数学一轮复习-第3课时-函数的奇偶性、周期性-专项训练【含解析】

函数的奇偶性、周期性-专项训练【原卷版】基础巩固练1.[2024·湖南模拟]已知fx=xA.−1 B.1 C.−22.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）.A.y=−1x B.y=x−sin3.[2024·安康模拟]设fx是定义域为R的偶函数，且f2+x=A.−12 B.12 C.−4.[2024·贵州测试]已知函数fxA.fxB.fx在0C.fx的图象关于直线xD.fx的图象与x5.[2024·安徽联考]已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA.ff2>C.gg2>6.[2024·潍坊模拟]已知函数fx的定义域为R，fx+A.fx为偶函数 B.7.[2024·山东模拟]已知函数fx=x3+A.(−2,4] B.(−3,5]8.[2024·北京测试]已知函数fx对任意x∈R都有fx+2=−A.函数y=fxB.函数y=fxC.当x∈[2D.函数y=综合提升练9.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)的定义域为R,且f12≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则().A.f-12=0B.f12=-2C.函数fx-12是偶函数D.函数fx+12是减函数10.[2024·曲靖监测]（多选题）中国传统文化中很多内容都体现了数学的“对称美”.如图,太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形，它充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.若定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列说法正确的是（）.A.对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个B.函数fxC.正弦函数y=sinD.“函数y=fx11.[2024·上海模拟]若定义在R上的函数fx为奇函数，设Fx=afx−12.[2024·温州模拟]已知定义在R上的函数fx满足fx+1+应用情境练13.[2024·长沙模拟]已知函数fx的定义域为R，且y=fx+1的图象关于点−14.[2024·河南模拟]已知函数fx=x3+tx+lg1+x2+创新拓展练15.写出一个满足以下三个条件的函数：fx①定义域为R；②fx不是周期函数；③f16.已知函数fx对任意实数x,y恒有fx+y=fx（1）判断fx（2）求fx在区间[−（3）解关于x的不等式f2函数的奇偶性、周期性-专项训练【解析版】基础巩固练1.[2024·湖南模拟]已知fx=x−2A.−1 B.1 C.−2[解析]因为fx=x2+a−2x−2a是偶函数，所以fx的图象关于直线x2.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（B）.A.y=−1x B.y=x−sin[解析]y=−1x是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故Ay=x−sinx，因为y'=1−cosxy=tanx在定义域上是奇函数但不是单调函数，故Cy=x3−x在R上是奇函数但不是单调函数，故D3.[2024·安康模拟]设fx是定义域为R的偶函数，且f2+x=f−A.−12 B.12 C.−[解析]因为fx是定义域为R的偶函数所以f2+x=f−所以f20252=f4.[2024·贵州测试]已知函数fx=xA.fxB.fx在0C.fx的图象关于直线xD.fx的图象与x[解析]对于A，fx=∣x−1故fx不是偶函数，所以A错误对于B，fx在0,1上单调递减，所以B对于C，fx的图象关于直线x=1对称，所以C对于D，fx的图象与x轴围成的三角形的面积为2×12=1，所以D5.[2024·安徽联考]已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A.ff2>C.gg2>[解析]因为fx，gx在[0,+∞)上均单调递减，fx是偶函数，gx是奇函数，所以gx在R上单调递减对于A，f2>f3，但无法判断f2,f3的正负对于B，g2>g3，gx在R上是奇函数，所以g0=0,又gx在[0,+∞)上单调递减，对于C，g2>g3，gx在R上单调递减，所以gg对于D，f2>f3，gx在R上单调递减，所以gf2<g6.[2024·潍坊模拟]已知函数fx的定义域为R，fx+1为偶函数，A.fx为偶函数 B.C.f12=−[解析]因为fx+1为偶函数，所以fx的图象关于直线x=1对称，又因为fx+4=f−x，所以由fx+4=f−x,fx+2=由fx+2=fx,fx+2=f由已知条件不能得到具体的函数值的信息，所以B,C,D不能确定.故选A.7.[2024·山东模拟]已知函数fx=x3+a−A.(−2,4] B.(−3,5][解析]因为函数fx=x3+a−2x2+2x又f−x=−fx，即−x3+a−所以fx=x因为函数y=x3与y=2x在[−5,5]上单调递增，所以fx在[−5,5]上单调递增，则不等式f2x+1+fa+8.[2024·北京测试]已知函数fx对任意x∈R都有fx+2=−fxA.函数y=fxB.函数y=fxC.当x∈[2D.函数y=[解析]因为fx+2=−fx，所以fx的周期为又f−x=−fx，所以f−x=f又当x∈(−1,1]时，fx对于A，函数y=fx的图象不关于点1,0中心对称，对于B，函数y=fx的图象不关于直线x=2对称，对于C，当x∈[2,3]时，x−2∈[0对于D，fx+2=−fx=fx，所以y=综合提升练9.(多选题)(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)的定义域为R,且f12≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则(ABD).A.f-12=0B.f12=-2C.函数fx-12是偶函数D.函数fx+12是减函数[解析]令x=12,y=0,则f12+f12×f(0)=f12[1+f(0)]=0,因为f12≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1.令x=12,y=-12,则f12-12+f12f-12=4×12×-12,即f(0)+f12f-12=-1,由f(0)=-1,可得f12f-12=0.又f12≠0,所以f-12=0,故A正确;令y=-12,则fx-12+f(x)f-12=4x·-12,即fx-12=-2x,故函数fx-12是奇函数,则fx+1-12=-2(x+1)=-2x-2,即fx+12=-2x-2,故函数fx+12是减函数,令x=0,有f12=-2,故B正确,C错误,D正确.故选ABD.10.[2024·曲靖监测]（多选题）中国传统文化中很多内容都体现了数学的“对称美”.如图,太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形，它充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.若定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列说法正确的是（ABC）.A.对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个B.函数fxC.正弦函数y=sinD.“函数y=fx[解析]任意一个圆O是关于圆心成中心对称的图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；函数fx=x3−3x是奇函数，其图象关于原点对称，将坐标原点作为圆的圆心，则fx=x3将正弦函数y=sinx图象的对称中心作为圆的圆心，则正弦函数y=sinx是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立若函数y=fx的图象是中心对称图形，则y=fx是“太极函数”，但当函数y=fx是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图11.[2024·上海模拟]若定义在R上的函数fx为奇函数，设Fx=afx−1，且[解析]由F1=3，可得a≠0，因为fx为奇函数，所以fx图象的对称中心为点0,0，则Fx12.[2024·温州模拟]已知定义在R上的函数fx满足fx+1+f[解析]因为fx+1+所以fx+4+所以fx是周期为4的周期函数所以f2022=f2，所以f又f−所以f2022应用情境练13.[2024·长沙模拟]已知函数fx的定义域为R，且y=fx+1的图象关于点−1,[解析]因为将y=fx+1的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=fx的图象，所以y=fx的图象关于原点中心对称，所以y=fx在R14.[2024·河南模拟]已知函数fx=x3+tx+lg1+x2+x+[解析]因为fx=x3设gx=f因为函数gx的定义域关于原点对称且gx所以gx为奇函数，由已知可得函数gx的最大值为M−2所以M−2+m所以ℎx=4x+因为φt=t+1所以ℎx的图象关于点(14,因为142+12=1716<5因为点(14,1)所以所求的最短弦长为25创新拓展练15.写出一个满足以下三个条件的函数：fx=①定义域为R；②fx不是周期函数；③f[解析]fx的解析式形式为ax±bsinx+如：fx=x+sinx定义域为R，不是周期函数，且f16.已知函数fx对任意实数x,y恒有fx+y=fx（1）