2025年高考数学一轮复习-8.8-利用空间向量研究夹角问题-专项训练【含解析】

PAGE利用空间向量研究夹角问题-专项训练（原卷版）1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=32,则l与α所成的角为(A.30° B.60° C.120° D.150°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.-1010 B.-120 C.1203.在空间直角坐标系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为()A.336 B.36 C.34 4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为()A.255 B.25 C.25.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,体对角线B1D与平面A1BC1交于E点,则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为()A.13 B.33 C.23 6.(多选题)如图,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的两个不同的动点,AC=BC=CC1,AC⊥BC,则()A.BC1⊥平面B1EFB.若EF为定长,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值C.直线BB1与平面B1EF所成角为πD.平面A1ABB1⊥平面B1EF7.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为.

8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是.

9.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中点.(1)求证:BC⊥平面A1AD;(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,求异面直线A1D和AB1所成的角的余弦值.11.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值.12.(多选题)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,则()A.A1D⊥AFB.D1C与平面AEF所成角的正弦值为2C.二面角A-EF-C的余弦值为1D.平面AEF截正方体所得的截面周长为25+3213.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.

14.(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)求证:AC=A1C;(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.利用空间向量研究夹角问题-专项训练（解析版）1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=32,则l与α所成的角为(A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】选B.由于cos<m,n>=32,所以<m,n>=30°,所以直线l与α所成的角为60°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()A.-1010 B.-120 C.120【解析】选D.建立如图空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,则A(1,0,0),C(0,1,0),E(0,12则AC=(-1,1,0),DE=(0,12设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=|cos<AC,DE>|=10103.在空间直角坐标系Oxyz中,AB=(1,-1,0),BC=(-2,0,1),平面α的一个法向量为m=(-1,0,1),则平面α与平面ABC夹角的正弦值为()A.336 B.36 C.34 【解析】选A.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=x-令平面α与平面ABC的夹角为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=|m·n||sinθ=1-cos2θ=336,所以平面4.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为()A.255 B.25 C.2【解析】选B.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),所以PD=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(1,0,-2),设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则PD·令z=1,得n=(0,2,1),设直线PB与平面PCD所成角为θ,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为sinθ=|cos<PB,n>|=|PB·n||5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,体对角线B1D与平面A1BC1交于E点,则A1E与平面AA1D1D所成角的余弦值为()A.13 B.33 C.23 【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,A1B=(0,1,-2),设平面A1BC1的法向量为m=(x,y,z),则A1令z=1,则y=2,x=2,所以m=(2,2,1),DB1=(1,1,2),因为点E在B1设DE=λDB1=(λ,λ,2λ),所以E(λ,λ,2λ),所以A1E=(λ-1,因为A1E⊂平面A1BC1,所以A1E·m=0,即(λ-1,λ,2所以2(λ-1)+2λ+(2λ-2)=0,解得λ=23,所以A1E易得平面AA1D1D的一个法向量为n=(0,1,0),设A1E与平面AA1D1D所成角为α,所以sinα=A1E·n|所以cosα=1-sin2α6.(多选题)如图,E,F是直三棱柱ABC-A1B1C1棱AC上的两个不同的动点,AC=BC=CC1,AC⊥BC,则()A.BC1⊥平面B1EFB.若EF为定长,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值C.直线BB1与平面B1EF所成角为πD.平面A1ABB1⊥平面B1EF【解析】选AB.由题可知,平面B1EF即平面B1AC.以C为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,设AC=1,由题可知:A(1,0,0),C(0,0,0),B1(0,1,1),B(0,1,0),C1(0,0,1),设AB中点为D,则D12由题可知CD⊥平面A1ABB1,即CD=12,12,0又CA=(1,0,0),CB设平面B1AC的法向量为n=(x,y,z),则n·取y=1,则n=(0,1,-1).对于A,由于BC1=(0,-1,1),则BC故BC1⊥平面B1EF,A正确;对于B,若EF为定长,由于B1到直线EF的距离即为B1到直线AC的距离,也为定值,于是△B1EF的面积为定值,又A1到平面B1EF的距离即为A1到平面B1AC的距离,为定值,则三棱锥A1-B1EF的体积为定值,故B正确;对于C,由于BB1=(0,0,1),所以直线BB1与平面B1EF所成角的正弦值为|BB1·n||BB1||n对于D,CD·n=12≠0,故平面A1ABB1与平面B1EF不垂直,D错误7.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角为.

【解析】设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos120°|=12又因为0°≤θ≤90°,所以θ=30°.答案:30°8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是.

【解析】如图,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),易证AC1是平面A1BDAC1=(-1,1,1),Bcos<AC1,BC1>=所以直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为63答案:69.正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直,则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.

【解析】取BC的中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=1,则A0,0,32,B0,-12所以BA=0,12,3CD=32设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n·BA=0取x=1,则y=-3,z=1,所以n=(1,-3,1),所以|cos<n,CD>|=32+3因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为155答案:1510.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC,D是BC的中点.(1)求证:BC⊥平面A1AD;(2)若∠BAC=90°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,求异面直线A1D和AB1所成的角的余弦值.【解析】(1)因为AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC,又AB=AC,D是BC的中点,所以BC⊥AD,因为AA1∩AD=A,所以BC⊥平面A1AD.【解析】(2)因为∠BAC=90°,AB=AC,BC=4,所以AB=AC=22,S△ABC=12AB·AC=12×22×2因为三棱柱ABC-A1B1C1的体积是83,所以S△ABC·AA1=4AA1=83,解得AA1=23,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则D(2,2,0),A(0,0,0),B1(22,0,23),A1(0,0,23),A1D=(2,2,-23),AB1=(2设异面直线A1D,AB1所成角为θ,则cosθ=|AB1·A11.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC.由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC.由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC,根据面面垂直判定定理,得平面PAC⊥平面PBC.(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=3.又PA=1,所以A(0,1,0),B(3,0,0),P(0,1,1),故CB=(3,0,0),CP=(0,1,1),AB=(3,-1,0),AP=(0,0,1).设平面CPB的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·CB不妨令y1=1,则z1=-1,故n1=(0,1,-1).设平面APB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2·AB=0n2·于是|cos<n1,n2>|=|n1·n2所以平面CPB与平面APB所成夹角的余弦值为6412.(多选题)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,则()A.A1D⊥AFB.D1C与平面AEF所成角的正弦值为2C.二面角A-EF-C的余弦值为1D.平面AEF截正方体所得的截面周长为25+32【解析】选BD.由题意知A1D⊥AC1,所以A1D⊥AF错误,故A错误;以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(1,2,0),F(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),则CD1=(0,-2,2),AE=(-1,2,0),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则n·令x=2,则n=(2,1,2),设D1C与平面AEF所成角为θ,则sinθ=|cos<CD1,n>|=|CD1易得平面CEF的一个法向量为m=(0,1,0),cos<m,n>=m·n|m|·|所以二面角A-EF-C的余弦值为-13因为E,F分别是棱BC,CC1的中点,所以EF∥BC1,因为AD1∥BC1,即EF∥AD1,所以平面AEF截正方体所得截面为四边形EFD1A,因为正方体的棱长为2,所以AD1=22,EF=2,AE=D1F=4+1=5,所以平面AEF截正方体的截面周长为25+32,故D正确.13.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示,A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.

【解析】如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,因为A1F=B1F=22,AB=AA1=2AD=4,所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5),所以PQ=(-2,1,5),MN=(0,-3,3),所以cos<PQ,MN>=PQ·MN|PQ|·|因为异面直线PQ与MN所成角为锐角,所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是215答案:214.(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)求证:AC=A1C;(2)若直线AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.【解析】(1)如图,因为A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,又BC⊥AC,A1C,AC⊂平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1,