2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-8.3-圆的方程一、单项选择题1．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12．设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若与y轴相切的圆C与直线l：y＝33x也相切，且圆C经过点P(2，3)，则圆CA．2 B．2或143C．74 D．744．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝34，那么yA．12 B．3C．32 D．5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A．4 B．5C．6 D．76．已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为()A．(x－4)2＋(y－2)2＝16B．(x－2)2＋(y－4)2＝11C．(x－2)2＋(y－4)2＝16D．(x－4)2＋(y－2)2＝117．一束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是()A．4 B．5C．52－1 D．26－18．在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则|PA+A．16 B．12C．8 D．6二、多项选择题9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是()A．F＝4B．圆关于直线y＝－2x对称C．圆与y轴相切D．x−2210．已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足PAPBA．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4B．点P到原点O的距离的最大值为5C．△PAB面积的最大值为4D．PA·三、填空题11．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝12．已知等腰三角形ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为________.四、解答题13．在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上．(1)求实数a的值；(2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围．14．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．参考答案1．A[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a，0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝122．B[若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<52∵a<3a<52，a<52⇒a<3∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.]3．B[因为直线l：y＝33x所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝3x上．设圆心C(a，3a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，将点P(2，3)的坐标代入，得(2－a)2＋(3−3a)2＝a2，整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝所以圆C的直径为2或1434．D[显然x≠0，令yx＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝34得(1＋k2)x2－2x＋14＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×14≥0，解得－3≤所以k的最大值为3.故选D.]5．A[设圆心C(x，y)，则x−32化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图，所以|OC|＋1≥|OM|＝32+42＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当6．C[A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，|AB|＝6，圆的半径为5，可得|PC|＝25−9＝4，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.]7．C[根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3，2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由|A′C|＝25+25＝52，则A′到圆C上的点的最短距离为52－1.故这束光线从点A(－3，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是52－1.故选C.]8．B[因为|PA+PB|＝2|PO|，|PO|max＝|OC|＋1＝32+49．ABD[由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，化成圆的一般式为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误；x−22+y−12的几何意义为圆上任意一点(从而x−22故x−22+＋4＝9，D正确．故选ABD.]10．ABD[设动点P(x，y)，则由PAPB＝2，得x−即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，化简得：x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；因为点P轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，则点P到原点O的距离最大值为−3−02又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值12×3×又PA·PB＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，所以PA·PB＝－5x－7(－5≤x则PA·PB≤－5故选ABD.]11．0或1(只写一个即可)[由题设知AM⊥MB，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为2，所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝02所以M到直线y＝x＋2的距离范围[0，2]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．]12．x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))[设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1)．所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))．]13．解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程，得1+4−D+2E+F=0解得D＝－2，E＝－6，F＝5，得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0.将点D的坐标代入上述所得圆的方程，得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5.(2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1.如图，|EM|＝22+3∴x2＋2x＋y2的最小值为(13−5)2－1＝17－2x2＋2x＋y2的最大值为(13+5)2－1＝17＋2∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－265，17＋265].14．解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0．设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC·BC＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－此时C(0，－1)，AB的中点M−1半径r＝|C