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文档简介
§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.知识梳理1.两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b>0⇔a>b,,a-b=0⇔a=b,,a-b<0⇔a<b.))(a,b∈R)2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么b=a;性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c).3.不等式的性质性质1对称性:a>b⇔b<a;性质2传递性:a>b,b>c⇒a>c;性质3可加性:a>b⇔a+c>b+c;性质4可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;性质5同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;性质6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;性质7同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).常用结论1.若ab>0,且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2.若a>b>0,m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);若b>a>0,m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b+m,a+m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.()(2)若eq\f(b,a)>1,则b>a.()(3)若x>y,则x2>y2.()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b),则b<a.()教材改编题1.如果ac>bc,那么下列不等式中,一定成立的是()A.ac2>bc2 B.a>bC.a+c>b+c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)2.已知M=x2-3x,N=-3x2+x-3,则M,N的大小关系是________.3.若1<a<2,2<b<3,则eq\f(a,b)的取值范围是________.题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R,M=(2p+1)(p-3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为()A.M<N B.M>NC.M≤N D.M≥N(2)若a>b>1,P=aeb,Q=bea,则P,Q的大小关系是()A.P>Q B.P=QC.P<Q D.不能确定思维升华比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1(1)已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为()A.M>N B.M=NC.M<N D.不确定(2)已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),则M,N的大小关系为________.题型二不等式的性质例2(1)已知a>b>c>0,下列结论正确的是()A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c)C.eq\f(1,a-c)>eq\f(1,b-c) D.(a-c)3>(b-c)3(2)(多选)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论正确的是()A.ad>bc B.eq\f(a,d)+eq\f(b,c)<0C.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数,利用函数的单调性.跟踪训练2(1)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2),则a<bC.若a<b<c<0,则eq\f(b,a)<eq\f(b+c,a+c)D.若a>b,则a2>b2(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0,则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a+b)<eq\f(1,ab) B.|a|+b>0C.a-eq\f(1,a)>b-eq\f(1,b) D.lna2>lnb2题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是__________,3x+2y的取值范围是________.延伸探究若将本例(1)中条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围.(2)已知3<a<8,4<b<9,则eq\f(a,b)的取值范围是________.思维升华求代数式的取值范围,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3(1)已知1≤a≤2,-1≤b≤4,则a-2b的取值范围是()A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8](2)已知实数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么eq\f(c,a)的取值范围是________.课时精练1.已知a>0,b>0,M=eq\r(a+b),N=eq\r(a)+eq\r(b),则M与N的大小关系为()A.M>NB.M<NC.M≤ND.M,N大小关系不确定2.已知a,b∈R,若a>b,eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立,则()A.ab>0 B.ab<0C.a+b>0 D.a+b<03.(多选)已知a<b<0,则下列结论正确的是()A.b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C.2a>2b D.ln(1-a)>ln(1-b)4.若-π<α<β<π,则α-β的取值范围是()A.-2π<α-β<2π B.0<α-β<2πC.-2π<α-β<0 D.{0}5.已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.cosx-cosy>0B.cosx+cosy>0C.lnx-lny>0D.lnx+lny>06.(多选)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是()A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ab>ac7.(多选)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有()A.c2<cd B.a-c<b-dC.ac<bd D.eq\f(c,a)-eq\f(d,b)>08.(多选)已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是()A.a2>b2+1 B.2a>2b+1C.a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b+19.已知M=x2+y2+z2,N=2x+2y+2z-π,则M________N.(填“>”“<”或“=”)10.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a2>b2>c2,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.11.若1<α<3,-4<β<2,则2α+|β|的取值范围是________.12.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.13.已知0<a<b<1,设m=blna,n=alnb,p=ln(eq\f(lna,lnb)),则m,n,p的大小关系为()A.m<n<p B.n<m<pC.p<m<n D.p<n<m14.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d
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