新高考数学一轮复习讲义第1章　§1.3　等式性质与不等式性质（原卷版）

§1.3等式性质与不等式性质考试要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(a，b∈R)2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0⇒eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0⇒eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.()(3)若x>y，则x2>y2.()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.()教材改编题1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ac2>bc2 B．a>bC．a＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．3．若1<a<2,2<b<3，则eq\f(a,b)的取值范围是________．题型一数(式)的大小比较例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不确定(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________．题型二不等式的性质例2(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是()A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是()A．ad>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2(1)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，则a<bC．若a<b<c<0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，则a2>b2(2)(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__________，3x＋2y的取值范围是________．延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．(2)已知3<a<8,4<b<9，则eq\f(a,b)的取值范围是________．思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8](2)已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范围是________．课时精练1．已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，则M与N的大小关系为()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<03．(多选)已知a<b<0，则下列结论正确的是()A．b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)4．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}5．已知x，y∈R，且x>y>0，则()A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0D．lnx＋lny>06．(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．ac(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ab>ac7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有()A．c2<cd B．a－c<b－dC．ac<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>08．(多选)已知非零实数a，b满足a>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a2>b2＋1 B．2a>2b＋1C．a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b＋19．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)10．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a2>b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．11．若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________．12．eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．13．已知0<a<b<1，设m＝blna，n＝alnb，p＝ln(eq\f(lna,lnb))，则m，n，p的大小关系为()A．m<n<p B．n<m<pC．p<m<n D．p<n<m14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d