新高考数学二轮复习专题培优练习专题20 立体几何解答题分类练（解析版）

专题20立体几何解答题分类练一、长度、面积及体积的计算1.（2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．记SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点）．

(1)若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，证明：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【解析】（1）证明：取线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值；(2)求该圆柱的体积的最大值.【解析】（1）设该圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0为SKIPIF1<0.由平面几何知识知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是SKIPIF1<0.

（2）设圆柱的体积为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.3.（2024届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0，求三棱锥SKIPIF1<0的体积.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，

设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.依题意，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.二、平行关系的证明4.（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）因为四边形SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为E，F，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以P为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直线为x，z轴，过P与SKIPIF1<0平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由图可知，二面角SKIPIF1<0为钝角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中，SKIPIF1<0平面BCD，平面SKIPIF1<0平面BCD，其中SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直角的等腰三角形，SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.【解析】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.因为SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.因为平面SKIPIF1<0平面BCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ECD，所以SKIPIF1<0平面BCD.因为SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以四边形ABFE为平行四边形，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面BCD.（2）过点B作SKIPIF1<0，以B为坐标原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设平面ACE的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.设平面BDE的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.设平面ACE与平面BDE的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为直角梯形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)已知点G为AF上一点，且SKIPIF1<0，求证：BG与平面DCE不平行；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为SKIPIF1<0，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0平面ABEF，AB，SKIPIF1<0平面ABEF，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面DCE的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，所以BG与平面DCE不平行；（2）设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；故SKIPIF1<0．此时梯形ABEF的面积SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．三、垂直关系的证明7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟）如图，在四棱台SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.

(1)证明：BDSKIPIF1<0CC1；(2)棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0若存在，求线段SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明:如图所示，连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0为棱台，所以SKIPIF1<0四点共面，又因为四边形SKIPIF1<0为菱形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为底面SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0假设点SKIPIF1<0存在，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0

设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由于二面角SKIPIF1<0为锐角，则点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.

8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点G是EF的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0平面ABCD；(2)线段AC上是否存在一点M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，点G是EF的中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ADEF，所以SKIPIF1<0平面ABCD．（2）由（1）得SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图，

所以SKIPIF1<0，假设线段AC上存在一点M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设平面ABF的法向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF．9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以SKIPIF1<0为顶点的五面体中，面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0与二面角SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0.(1)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】（1）由正方形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴正方向，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴正方向，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向，SKIPIF1<0为单位长，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图：因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则由（1）可知SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，即有SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的大小．【解析】（1）四边形SKIPIF1<0为菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的大小为SKIPIF1<0．四、线面角的计算11.（2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱SKIPIF1<0的底面边长为1，高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在正六棱柱SKIPIF1<0中，因为底面为正六边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，

又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中点为Q，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为底面边长为1，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量.连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，平面SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0与棱SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．

(1)试用所学知识确定SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上的位置；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，延长SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点即为点SKIPIF1<0．因为底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分点处．

（2）因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0两两相互垂直，如图，分别以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．13．（2024届湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为BC的中点．

(1)证明：SKIPIF1<0．(2)若二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0平面PEF．又∵SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，且为SKIPIF1<0，过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，∵SKIPIF1<0平面PEF，SKIPIF1<0平面PEF，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面PAB的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设直线DG与平面PAB所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为SKIPIF1<0．五、二面角的计算14.（2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值.【解析】（1）证明：在长方体SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正方形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0.15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0．

(1)证明:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)是否存在实数SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值是SKIPIF1<0?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）

因为四边形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）

取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0两两垂直，故以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0,设面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的锐二面角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍去)．故存在实数SKIPIF1<0，使得面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值是SKIPIF1<0．16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是线段SKIPIF1