2021-2022学年数学苏教版必修第二册练习：单元形成性评价第13章 立体几何初步

单元形成性评价（五）（第13章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1,下面没有体对角线的一种几何体是（）

A.三棱柱B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

选A.三棱柱只有面对角线，没有体对角线.

2.如图所示,心。p表示水平放置的MOB的直观图，B在x轴上,

AXY和x轴垂直，且AfOf=2,则^AOB的边OB上的高为（）

A.2B.4C.2陋D.4啦

选D.由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形=2也S直观图,

得gOBh=2y[2x|x2CB',因为OB=OB',所以h=4地.

3.若平面all平面p,直线au平面a,点B£平面p,则在平面P内

过点B的所有直线中（）

A.不一定存在与a平行的直线

B.一定不存在与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

选D.因为平面all平面P,直线au平面a,点B£平面P,所以B《a,

过直线a与点B作平面y,则平面y与平面P的交线即为与a平行的

唯一直线.

4.在如图所示的四个正方体中，能得出AB±CD的是（）

选A.A中因为CDJ_平面AMB,所以CD±AB；B中，AB与CD成

60。角；C中，AB与CD成45。角；D中，AB与CD夹角的正切值为

也.

5.（2021.全国甲卷）已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三

个点，且AC_LBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为（）

A啦R近0巫0走

八・12•124,4

选A.记。为A,B,C所在圆面的圆心则OO」ABC,因为AC±BC,

AC=BC=1,

所以AB=m，所以OO,二

4

所以Vo-ABC=-S.ABC-OO^I・；11•乎二来

6.如图，在直三棱柱ABCAiBiCi中，D为AB的中点,AB=BC

=BBi=2,AC=2A/5，则异面直线BD与AC所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

选C.如图，取BCi的中点E,

连接BE,DE,则AC〃AQ//DE,则NBDE即为异面直线BD与AC

所成的角.由条件可知BD=DE=EB=V5,所以NBDE=60°.

7.右空间中四条两两不同的直线h,b,b,L,满足L~L12/I2-LI3/

13JJ4,则下列结论一定正确的是（）

A.li±l4

B.li//14

C.I］与I4既不垂直也不平行

D.L与Lt的位置关系不确定

选D.如图，在长方体ABCD-AiBCQi中，记h=DD-b=DC,I3

=DA,

右I4=AAi,满足li-Liz,I2-LI3/I3-LI41此时liIIU,可以排除选项A

和C.若14=DC,,也满足条件，可以排除选项B.

8.（2020・全国II卷）已知^ABC是面积为竽的等边三角形，且其顶

点都在球O的球面上.若球O的表面积为16兀，则O到平面ABC的

距离为（）

3A/3

A.rB.2C.1D.

【解题指南】本题考查球的相关问题，意在考查学生的空间想象能力

和运算求解能力.

选C.设ABC的外接圆圆心为,记OO产d,圆O,的半径为r,球

O的半径为R,△ABC的边长为a,则SAABC=a2=耳^,可得a

=3,于是r=S,由题知，球。的表面积为16冗，则R=2,由R2

=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.

【方法技巧】解答球的有关问题时，通常要用到截面圆.

如图所示，设球O的半径为R,截面圆0'的半径为r,M为截面圆上

任意一点，球心O到截面圆0'的距离为d,则在RtAOO'M中，OM2

=00,2+0fM2,

即R2=d2+r2.

二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全

的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.垂直于同一个平面的两条直线平行

B.若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直

线与另一个平面垂直

C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面

平行

D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平

面垂直

选ABCD项中一条直线与一个平面内的任一直线垂直，则这条直线

和这个平面垂直；或者是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂

直，则这条直线和这个平面垂直，所以D错误.

10.已知m,n是两条不重合的直线，a,p,y是三个两两不重合的

平面，下列选项说法正确的为（）

A.若m_La,m_LP,则a〃P

B.若mua,nup,m〃n,则a〃P

C.若a±y,p_Ly,则a//|3

D.若m,n是异面直线,mua,m//「，nu0,n//a,则a〃「

选AD.对于A,垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于B,

不满足平面与平面平行的判定定理，错误；对于C,平面a,0可能

相交，错误；对于D,满足平面a与平面P平行，正确.

11.如图，在正四棱锥P-ABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的

投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）

A.AC±PB

B.AB与PD所成角等于BC与PD所成角

C.若平面PADn平面PBC=1,则1〃AD

D.平面PAD与平面PBC所成二面角与NAPB相等或互补

选ABC.对于A,连接BD,与AC交于点O,则BD_LAC,又知PO±

平面ABCD,所以PO±AC,又POPBD=O,所以AC_L平面PBD,

所以AC_LPB,A正确；

对于B,AB与PD所成角为NPDC,BC与PD所成角为NPDA,因为

△PCD2SAD,所以NPDC=ZPDA,B正确；

对于C,由于AD//BC,所以AD//平面PBC,因为ADc平面PAD,

平面PADC平面PBC=1,所以1//AD,C正确；

对于D,由C项可知，平面PAD与平面PBC所成的二面角为过P作

AD,BC的垂线所成的角，显然与NAPB无联系，D错误.

12.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiD中，点P是对角线

AG上的动点，点P与A,G不重合，则下面结论中正确的是（）

A.存在点P,使得平面A]DP〃平面BCD

B.存在点P,使得AJJ_平面AQP

c.S,,S2分别是^AiDP在平面AiBiCQ—平面BBCC上的正投影

的面积，对任意点P,都有S#Sz

D.^A,DP面积的最小值是手

选ABD.考查A,连接ADi交AiD于M,连接BG交BiC于N,再

连接PM,DiN,见图⑴，则平面AD1GBA平面A,DP=PM,平面

ADiCiBC平面BiCDi=DiN.由于AQ//BiC,只要PM//DiN能成立，

平面A）DP//平面BiCDi就成立.易知AP=|AC,时,PM〃D】N,A

正确.对B,由于AC」平面BCD-当平面AQP〃平面BCD时,

AC_L平面AQP成立，所以B正确.对C,如图⑵，^AiDP在平面

AIBIGDI的投影是V】AiD］，Pi在对角线AQ上，在平面BB.CiC的

投影是V2B1C,P2在对角线BG上，当动点位于AG中点时，Pi,

P2同时是A1。和B,C的中点.此时B.,P2,C三点共线，P由此向

点A移动时，Si逐渐变小，S2逐渐变大.一定有P点使S产S2,故C

错.对D,见图⑴,由于AiD_L平面ADQ,则AQ_LPM,△A^P

1、历

的面积为：2AiDPM=^-PM,在Rt^ADiCi中，MP±ACi时PM

最小，此时PM，所以^AiDP面积的最小值为:乎x金=乎,

D正确.

三、填空题（每小题5分，共20分）

13.如图甲，在正方形SG]G2G3中，E,F分别是边G,G2,G2G3的中

点，D是EF的中点，现沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个几何

体（图乙），使G],G2,G3三点重合于点G,下面结论成立的是

.（填序号）

①SGJ_平面EFG；②SD_L平面EFG；

③GFJ_平面SEF；④GD_L平面SEF.

在题图甲中，SGi±G,E,SG3±G3F；

在题图乙中，SG±GE,SG±GF,GEAGF=G,所以SG_L平面EFG,

故①正确，显然②错误；若GFJ_平面SEF,则GF±EF，而GF与

EF不垂直,故③错误；因为SG_L平面GEF,所以SG±GD,所以

GD与SD不垂直，即GD与平面SEF不垂直，故④错误.

答案：①

14.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD

的中点,EF=A/3，则异面直线AD与BC所成角的大小为.

取AC中点M,连接EM,FM,F为DC中点，M为AC中点,

D

所以FMIIAD,SFM=|AD=1,

同理EMIIBC，旦EM=；BC=1.

M

EN

在aEMF中作MN_LEF于N.

、口

在RaMNE中，EM=1,EN=^,

小

所以sinZEMN=,ZEMN=60°,

所以NEMF=120°,所以AD与BC所成角为60°.

答案：60°

15.（2021.杭州高一检测）在正三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=5,

BC=BD=CD=6.点M是线段BC上的点，且BM=2MC.点P是棱

AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为9,则sin9的最大值

为.

先证一个命题：平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此

角为二面角的平面角时最大.如图，AO_L平面BCD于点O,OE_LBC

于E,Q是BC上任一点,

则AO±BC，而AOnOE=O，则BCJL平面OAE，又AEc平面OAE,

所以NAEO是二面角A-BC-D的平面角，而NAQO是直线AQ与平面

BCD所成的角，

AOAO

显然sinZAEO=衣,sinZAQO=丽,

又AQ>AE,所以sinZAQO<sinZAEO,

因为NAEO,ZAQO者B是锐角，所以NAQOWNAEO,Q,E重合时等

号成立.

由此可知平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此角为二

面角的平面角时最大.

由已知,EO=*X6=5,J\E=yj52-32=4,AO=^AE2-EO2

=V13,

sinZAEO=乎,所以直线PM与平面BCD所成角最大值等于

ZAEO,

所以sin9的最大值为手.

募口案•4

16.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示,

两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h=

a

-I2一

设圆锥形容器的液面的半径为R,

则液体的体积为！KR2h,

圆柱形容器内的液体体积为制2h.

根据题意，有g兀R2h=7r||）2八，解得R=芈a.再根据圆锥形容器的

0d

轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形得三-=；，所以h=*a.

ddL

答案:坐a

四、解答题（共70分）

17.（10分）直三棱柱的高为6cm,底面三角形的边长分别为3cm,4

cm,5cm,将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.

如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆

时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半

径为R,圆柱的高即为直三棱柱的高6cm.因为在^ABC中，AB=3

cm,BC=4cm,AC=5cm,所以△ABC为直角三角形.

根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R=5,

所以R=1cm,所以V圆柱=7tR2h=67r(cm3).

而三棱柱的体积为V三棱柱x3x4x6=36(cm3),

所以削去部分的体积为36-6/r=6(6-7r)(cm3).

18.(12分)如图,正方体ABCDABQD1的棱长为2.

⑴求证：AC_LBiD；

(2)求三棱锥C-BDBi的体积.

⑴因为ABCD-AIBIC.D1为正方体,

所以BB」平面ABCD.

因为ACc平面ABCD,所以BBi_LAC.

又因为底面ABCD为正方形，所以AC±BD.

因为BBiABD=B,所以ACJL平面BBQ.

因为BiDu平面BDB],

所以AC±B,D.

⑵连接BC,VjBDB|-VB「BDC,

因为BiB_L平面ABCD,

所以BiB是三棱锥Bi-BDC的高.因为VB,-BDC=|S“BDC-BB产g

14

X-X2x2x2二g.

4

所以三棱锥C-BDB]的体积为可.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，NBAD

二60。，AB=2,PA=1,PAJ_平面ABCD,点E是PC的中点，F是

AB的中点.

⑴求证：BEII平面PDF；

⑵求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.

(1)取PD中点为M,连接ME,MF.

因为E是PC的中点，

所以ME是SCD的中位线，

所以ME』gCD.

因为F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，AB/CD,所以

ME/；AB.

所以ME』FB.

所以四边形MEBF是平行四边形.

从而BEIIMF,因为BEC平面PDF,MFc平面PDF,所以BEII平面

PDF.

(2)由⑴得BEIIMF,

所以直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角.

取AD的中点G,连接BD,BG.

因为底面ABCD是菱形，NBAD=60°,

所以^ABD是正三角形，所以BG±AD,

因为PA_L平面ABCD,PAc平面PAD,

所以平面PAD_L平面ABCD,

且平面PADC平面ABCD=AD,BG±AD,

所以BG_L平面PAD,

过F作FHIIBG,交AD于H,

则FH_L平面PAD,连接MH,

则NFMH就是MF与平面PAD所成的角.

又F是AB的中点，所以H是AG的中点.

连接MG,又M是PD的中点,

所以MG=^|PA.

在RQMGH中，MG=；PA=；,GH=]AD=；，所以MH=乎.

在正三角形ABD中，BG=V5，所以FH=；BG=¥.

在RQMHF中，MF=邛

V32

FH=逅

FM25

所以直线BE与平面PAD所成角的正弦值为芈.

20.(12分)已知在三棱锥P-ABC中，NACB=90。，BC=4,AB=20.D

为AB的中点,且VDB为等边三角形，PA±PC.

(1)求证：平面PACJ•平面ABC；

(2)求二面角D-AP-C的正弦值.

⑴在RtAACB中，D是斜边AB的中点，

所以BD=DA.

因为SDB是等边三角形，

所以BD=DP=BP,贝!]BD=DA=DP,

因此aAPB为直角三角形，

即PA±BP.

又PA_LPC,PCABP=P,

所以PAJL平面PCB.

因为BCc平面PCB,所以PA±BC.

又AC_LBC,PAAAC=A,

所以BC_L平面PAC.

因为BCc平面ABC,

所以平面PAC_L平面ABC.

⑵由⑴知PA±PB及已知PA±PC,

故NBPC即为二面角D-AP-C的平面角.

由(1)知BC_L平面PAC,则BC±PC.

在RMBPC中，BC=4,BP=BD=10,

49

所以sinNBPC=^=JQ=5,

2

即二面角D-AP-C的正弦值为5.

21.(12分)如图,在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=

90。.以AC为折痕将^ACM折起，使点M到达点D的位置且AB_LDA.

⑴证明：平面ACD_L平面ABC；

2

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=gDA,

求三棱锥Q-ABP的体积.

⑴由已知可得,ZBAC=90°,即BA±AC.

又因为BA±AD,ACAAD=A,

所以ABJ_平面ACD.

因为ABc平面ABC,

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3啦.

2

又BP=DQ=gDA,

所以BP=2也.

如图，过点